函数极限的运算法则
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5.函数极限的运算法则
(2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n
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2 x3 x 2 4 例1. 求 lim x 2 x6
f (0 0) lim f ( x) lim (e x 1) e0 1 =2
x0 x0
x 0
f (0 0) lim f ( x) lim (sin x b) sin 0 b = b
x0
故, 当b=2时, f (0+0) = f (0–0)= 2,
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从而
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推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则
(1) lim[Cf (x)] = C limf (x)
解: 将x=0代入. 分子, 分母都为0. 不能用定理1(3). 想法约 去零因子x. 为此, 有理化.
x 1 x 1 lim lim x0 x( 1 x 1) x 0 x 1 lim x 0 1 x 1
1 2
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函数极限的运算
1 2 x 1 cos x 1 2 解 : lim lim x 0 x si n x x 0 x x 2
25
例17设
x 2x k lim 4， 求k的 值 。 x 3 x3
2
解:由题意可知，当x→3时，x2-2x+k和x-3是 同阶无穷小．
即 lim( x 2 2 x k ) 0
9
例8
3x 2 x 1 lim 2 x 2 x x 5
3
解 因为当x→∞时，类型为“
大与无穷小的关系，
”型未定式，
且分子中的x指数大于分母中x的指数．根据无穷
2 1 5 2 2 3 2x x 5 0 x x x lim 0 lim 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 3 3 2 3 x x 3x3 2 x 1 所 以 lim 2 x 2 x x 5
12
sin 3x 例 9 lim x 0 x
解:
sin3 x sin 3 x sin3 x 3 lim （ 3 ） 3 lxim lim 0 x 0 x 0 3x x 3x
tan x 例10 lim x 0 x 0 解 这个极限是“0 ”型未定式，且含有三角函 sin x 数tanx，要想用公式，就要化为 的形式． x tan x sin x 1 lim lim( ) 1 x 0 x 0 x x cos x
x 2
x2 所以 lim x2 x 2
5
例4
x3 lim 2 x 3 x 9
解 因为当x→3时，分母、分子的极限都为0，称 为“ 0
0
”型未定式．对于这种类型的极限，常
用消去“零因式”的方法．
极限的运算法则
|y|>E 恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷 大量,或称变量y 趋于无穷大,记作limy=
注意：(1)无穷大是变量,不是很大的数
(2)无穷大的函数其极限是不存在
即 勿将 lim f (x) 认为极限存在. xx0
lim
2
=0
x x 2 x
题 求 lim
x2
x0 1 1 x2
解
x2 lim
lim
x2 (1 1 x2 )
x0 1 1 x2 x0 (1 1 x2 )(1 1 x2 )
lim x2 (1 1 x2 )
x0
x2
2
例8
7. 3
x2
多项式
小结: 1. 设f(x)=a0xn+a1xn1+...+an ,则有
lim
x x0
f
(
x
)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1 an
=a0x0n+a1x0n1+...+an =f(x0)
有理分式
2.设
f (x)
P( Q(
x) x)
A
B
A B
A B
B A B(B )
∵BA 0, |B+ |≥|B|| |
又∵ 0
>0,在变量的变化过程中,总有那么
一个时刻,在那个时刻以后,||<成立
|B+ |≥|B|| | >|B|
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限的运算法则总结
极限的运算法则总结
在数学中，极限是一种重要的概念，用来描述函数在某一点趋近于某个值的行为。
极限的运算法则是一组规则，用于计算或简化满足特定条件的极限。
这些法则将在以下几个方面进行总结和讨论。
1. 四则运算法则：根据四则运算法则，如果两个函数的极限都存在，那么它们
的和、差、乘积以及商的极限也存在，并且等于相应运算的极限结果。
2. 乘法法则：该法则说明了两个函数极限的乘积是等于各自极限的乘积。
根据
这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，则 f(x) * g(x) 的极限
为 A * B。
3. 除法法则：该法则说明了两个函数极限的商等于各自极限的商。
按照这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，并且 B 不等于 0，则 f(x) /
g(x) 的极限为 A / B。
4. 幂函数法则：幂函数法则用于处理具有指数的函数。
根据这个法则，如果函
数 f(x) 的极限为 A，则 f(x)^n 的极限等于 A^n，其中 n 是一个常数。
5. 复合函数法则：复合函数法则适用于复合函数的极限计算，也称为链式法则。
根据这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 在 A 的附近连续，则复合函
数 g(f(x)) 的极限等于 g(A)。
这些极限运算法则在求解极限问题时起到了重要的作用。
通过应用这些法则，
我们可以更简单地计算极限，并获得更准确的结果。
然而，在实际应用中，我们仍需注意特殊情况和条件，以确保运算正确性。
极限四则运算法则
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极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
函数极限运算法则
2x + 3x + 5 例6 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
3 2
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
例7 求
3x 4 − 2 x 2 − 3 lim x→∞ 5x 3 + 3
解：分子分母的最高次 幂为 x 4 , 故可将 分子分母同除以 x 4 . 2 3 3− 2 − 4 4x2 + 5x − 3 x x = 3 = ∞. lim = lim 3 x→0 x→∞ 5 3 2x + 8 0 + 4 x x (极限不存在） .
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b ,当 n = m, m m −1 0 a x + a x + ⋯ + am lim 0 n 1 n −1 = 0, 当 n > m , x→∞ b0 x + b1 x + ⋯ + bn 不存在 ,当 n < m ,
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
4x −1 故 lim 2 = ∞.即极限不存在 x →1 x + 2x − 3
x −1 例4 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 ( 解 x → 1时 , 分子 , 分母的极限都是零 . 型) 0
（2）
x → x0
lim ( f ( x) + g ( x))不确定.
1 1 例如：f ( x) = 1 + , g ( x) = 1 − , x x 则f ( x)与g ( x)在x → 0时极限均不存在， 但是 lim( f ( x) + g ( x)) = 2.
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
极限的运算法则
不能直接使用极
1 “, 0 ”“ ”“0 ”“” 限的四则运算法
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
x2 16 lim x4 x 4
(0型 ) 0
解 lim x 2 1 6 lim (x 4 )(x 4 ) lim (x 4 ) 8 x 4x 4 x 4 x 4 x 4
x 1
lim
x1
x2
1
0 0
x1 lim
x1 (x1)(x1)
1 lim
x1 x 1
1 2
目录
练习
求lxi m 1(13x3
1 ). 1x
3 lxi m 1(1x3
11 x x3x2). lxi m 13(11xx3x2)
2xx2
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A 型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
目录
例：lim （x23x5） . x2
代入法
解： lim (x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x2
x 2
x 2
x 2
223253
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解：lim(x4) limxlim434 10
函数极限的求法总结
函数极限的求法总结函数极限是高等数学中的一个重要概念，其在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
函数极限的求法相对而言较为复杂，但通过理解一些基本的求极限的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种极限问题。
下面将对函数极限的求法进行总结。
一、基本极限求法：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，得到一个数值。
2. 分子分母都趋于0的极限：在计算分子分母同时趋于0的极限时，可以根据问题的具体形式进行化简，然后再求极限。
3. 有界函数的极限：有界函数的极限一般可以通过夹逼定理进行求解。
即通过构造两个函数，一个逼近于函数极限的上界，另一个逼近于函数极限的下界，然后利用夹逼定理求得函数的极限。
4. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质进行极限的推导和化简。
二、重要极限法则：1. 基本极限法则：(1) 常数函数极限：lim c = c，其中c是常数；(2) 幂函数极限：lim x^n = a^n，其中a是常数，n是正整数；(3) 正比例函数极限：lim kx = ka，其中k是常数；(4) 正比例函数的乘积极限：lim k*g(x) = k*lim g(x)，其中k是常数；(5) 正比例函数的商极限：lim [g(x)/h(x)] = lim g(x) / lim h(x)，其中h(x)≠0。
2. 极限的四则运算法则：(1) 和的极限：lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)；(2) 差的极限：lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)；(3) 积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)；(4) 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0。
3. 乘积极限法则：lim [f(x) * g(x)] = (lim f(x)) * (lim g(x))，其中极限存在。
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
1-5极限运算法则
0 0 ， 0 ， 0，1 型 不能用
二、求极限例子
例1 求 lim( x 2 3 x 5).
x 2
解
lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
x 2
x2 x2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
答案 正确 错误 错误
-例 分段函数在分段点处的极限
x 1 已知 f ( x) x 2 3 x 1 x3 1
x 0 x x
x0 x0
求 ： lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) 解 ： lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1
x0 x0
x2 3x 1 1 lim f ( x ) lim 3 x0 x0 x 1
lim f ( x ) 1
x0
(极 限 存 在 的 充 要 条 件 )
x2 3x 1 lim f ( x ) lim 0 3 x x x 1
d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
f.利用复合运算法则求极限
作业
P45 1 (1),(2),(3), (6),(7),(8), (10),(11),(13),(14); 2; 3； 5
思考
例 xn 2 x 3 若 lim 2 2, 求n和c . x cx 3 x 1
x0
1 arctan x 2
上例表明，在利用复合函数极限运算法则时， 如果复合函数中间层的变化趋势有多种，而且 不同的变化趋势会导致外层的极限不同时，需 分情况讨论.
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
函数极限的四则运算法则具体内容
函数极限的四则运算法则具体内容函数极限的四则运算法则是指利用函数极限性质推导出的一系列关于四则运算的法则。
这些法则是极其重要的，它们对于理解函数极限的概念和实质有着重要的意义。
因此，了解这些法则和它们的具体内容是理解极限的第一步。
函数极限的四则运算法则包括：一、加法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}[f(x)+g(x)]=limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)+limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)+g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相加得到$f(x)+g(x)$在$x_0$处极限值。
二、乘法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrow x_0}[f(x)timesg(x)]=limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)timeslimlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)times g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相乘得到$f(x)times g(x)$在$x_0$处极限值。
三、除法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，且$limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)eq0$，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)}{limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)}$即函数$frac{f(x)}{g(x)}$在某点$x_0$处可求极限，且函数$g(x)$在$x_0$处的极限值不为零，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相除得到$frac{f(x)}{g(x)}$在$x_0$处极限值。
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教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o
==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数
二 0）. 说明：当三 例1 求)3(lim 2
2x x x +→
例2 求1
12lim 231++-→x x x x
例3 求4
16lim 24--→x x x
分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
4
162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.
例4 求1
33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、2
总结：lim x x o →lim x ∞→例5 求lim →x 计算了。
四 （1）lim 21
→x
（3）lim 4
→x 14321-+→x x x
（5）11lim 21+--→x x x （6）9
65lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y y y
五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
（1）-→x 2
（4）lim 0→x
（7）lim 2→x
（10）x
（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3
526113lim 221--+-→x x x x x
（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23
203526lim x x x x x x x ----→ （18）32323526lim x x x x x x x ----∞→。