函数极限的性质及运算法则
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1.2 函数极限的性质
等价代换得
= lim e x x0
x1 x2
洛必达法则 = lim e x 1
x0 2 x
等价代换得 = lim x 1
x0 2 x 2
例2、lim x cot x
x0
lim x cos x
x0 sin x
0 型
lim x cos x
x0 sin x
1
4、保不等式性 设 lim f x A, lim g x B
x x0
x x0
且存在 0,当0 x x0 时，有f x g( x), 则A B.
5、迫敛性 设 lim f x lim g x A,
x x0
x x0
且0
x x0
时，有f x h( x) g( x),
f
xgg
x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
AgB
3、商的极限等于极限的商（条件：分母的极限不为零）
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
A
x x0 g( x)
lim g( x)
x x0
B
反例
型
例1、lim x0
1 x
1 e x 1
通分得
= lim e x 1 x x0 x e x 1
则 lim h x
x x0
A.
函数极限的运算法则
设 lim f x A, lim 和差
lim
x x0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
A
B
注：和差极限的存在性不能保证每一项极限都存在
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
函数的极限
x x0 x x0
若 0 ， 使 得 x U ( x0 , ) , 都 有 f ( x ) ( x ) g( x ) , 且 a b , 则 lim ( x ) a .
x x0
5.有理运算法则
如果 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则
例3 证明
证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
0, 要 使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |
. 取 , 3 3
当 0 | x 2 | 时
恒有
x 2
1 sin lim sin 2n 0 有 lim n xn n 1 lim sin lim sin( 2n 2) 1 n n yn
y sin
1 x
故由Heine 定理知,
1 li msin 不存在 . x 0 x
二、函数极限的性质
1.唯一性定理 若极限
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1 这个函数虽在x=1处 y 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 4 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 o 1 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。
| x|
lim f ( x ) ?
x x0
lim f ( x ) ?
若 0 ， 使 得 x U ( x0 , ) , 都 有 f ( x ) ( x ) g( x ) , 且 a b , 则 lim ( x ) a .
x x0
5.有理运算法则
如果 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则
例3 证明
证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
0, 要 使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |
. 取 , 3 3
当 0 | x 2 | 时
恒有
x 2
1 sin lim sin 2n 0 有 lim n xn n 1 lim sin lim sin( 2n 2) 1 n n yn
y sin
1 x
故由Heine 定理知,
1 li msin 不存在 . x 0 x
二、函数极限的性质
1.唯一性定理 若极限
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1 这个函数虽在x=1处 y 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 4 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 o 1 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。
| x|
lim f ( x ) ?
x x0
lim f ( x ) ?
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
3-3函数的极限
x0 -
x0
x0
x
点x 0的去心邻域, 体现x接近x 0 程度.
定义3.5 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式 当
,那末常数 时的极限,记作
就叫函数
" e - " 定义 e > 0, > 0, 使当0 < x - x 0 < 时,
4. 两个重要极限
重要极限1
sin x lim = 1. x 0 x
O B
C
x
A D
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
即
1 sin x 2
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
< 1 x < 1 tan x 2 2 x 1 1 < x < x< tan x (0 < x < ) sin < 故有 亦即 2 sin x cos x sin x 显然有 cos x < < 1 (0 < x < ) 2 x sin x lim =1 lim cos x = 1, x 0 x x 0
e u = u M M = e
M
故 lim u = 0 , 即 u 是 x x0 时的无穷小 .
x x0
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
定理 3.5’
设 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B ，且 A < B ，
0
o
证: 用反证法. 存在
性质与极限运算法则
且 g( x) A，lim f ( x) B, 则 lim f [g( x)] B.
xA
xX
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g( x)] lim f ( y ) B.
xX
y A
注意条件 g( x) A 不能省去.
例1. lim sin x 1 x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x x x
?
2
2
2、在lim sin x中，若x是一个其他的变量，(例如是x的函数)， x x0
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。 * *0
(1)三个* 处是相同的；
(2) * 表示的变量必须是趋于0的。
第2.3节
第二章
函数极限的性质与运算法则
一 、极限的性质与四则运算法则 二、 极限四则运算法则的应用
一、极限的性质与四则运算法则
定义2.3 函数 f ( x) 称为在 x x0 下是有界的, 如果 有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时
(3)
lim
e
1 x2
y
1 x2
lim e y
x0
y
1
lim
y
e
y
0.
2、极限四则运算的应用 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：
参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在 考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim 2x2 x 5 (直接代入法) x2 3x 1
2.3极限性质、法则
x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
高数1.3 函数极限的性质与运算法则
原式 =
xa
4 2
x a
推广:设 lim f ( x ) C , 且 C 0, 则 lim f ( x ) C .
推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系)
如果 lim f ( x ) A, 则对任意满足 lim xn a,
x a
n
且 xn a, n 1 的数列 { xn }， 有
如果数列 { xn }收敛于A, 则它的任意子数列
也收敛于A. 证 设 { xn } 是 { xn } 的任一子列. k 令
xn f (n), nk g(k )
显然有
n
lim f ( n) A, lim g( k ) .
k
由定理1.17有
k
lim xnk lim f [ g( k )] A.
于是 B A 为无穷小, 与 A B 矛盾. 定理1.10 (局部有界性)
若 lim f ( x )存在, 则 f ( x )在 x0的某空心邻域有界.
x x0
定理1.11 (局部保号性) 1. 设 lim f ( x ) A, 且 A 0, 则 0,
当 x U ( x0 , )时 , f ( x )与 A 同号.
子数列(简称子列).
设在数列 { xn }中, 第一次抽取 xn1 , 第二次在 x n1
后抽取 xn2 , 第三次在 x n2后抽取 x n3 , 无休止地
抽取下去得到子数列
xn1 , xn2， , xnk ,
注意: {nk } 严格单调递增，显然有 nk k .
推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系)
3x 2x 1 例 求 lim 3 ( 型 ) 同除以x的最高次幂 x x 3 x 5
极限的运算法则与性质
解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限 ．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、 计 算 下 列 极 限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
17
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4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如 果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那 么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存 在 常 数 0 ,使 得 0 当 x x 时 ， 有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0
1.3极限的运算法则和性质
例如,
lim sin x 0 , 函数 sin x 是当 x 0时的无穷小
x 0
.
lim
1 x
x
0,
n
函数
1 x
是当 x 时的无穷小
n
.
lim
( 1) n
n
0 数列 { ,
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
又如： 当 x 1时 ， x 1是 穷 量 无 小 ；
3
) lim
x x 1 3
2
x 1
2
1 x
x 1
3
3
( x 1) ( x 2)( x 1) lim 2 x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
x 1 3
lim
x x2
lim
x
m n
a0 b0
lim x
x
mn
x
x
b0 0,
,
n m; n m; n m.
,
总结：(1)有理函数在无穷远的极限
—无穷小因子分出法
a0
lim
Pm( x ) Qn( x )
x
lim
a0 x a1 x b0 x b1 x
n
m
m 1 n 1
22/22
2
函数极限的性质
定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限存在，
则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界． 定理6(保号性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限为A， 且A>0(或A<0),则在x0的某一去心邻域内，恒有
1.3极限的性质与运算法则
ESC
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
极限的性质与四则运算法则
lim 1 x2 x2 2x
1
1
limx2lim2x 4
x2
x2
5、通分法 两 个 分 式 相 减 ，， 可若 考是 虑0通 式 分 。 化
0
例
求
极lx i限 1m 12x2
1 。 1x
答案 1 2
练习 求极xl i限 m 111x13x3。
(1 ) lim[ f ( x ) g ( x )] A B ;
( 2 ) lim[ f ( x ) g ( x )] A B ;
( 3 ) lim f ( x ) A , 其中 B 0 . g(x) B
推论1 如果 limf(x)存在 ,而c为常,则 数 limc[f(x)]climf(x).
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例 求 极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而 在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
§2.4 极限的性质与四则运算法则
一、性质
性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。
函数极限的性质
x2
小结: 1. 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n-1 + + an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
=
a0
(
lim
x x0
x)n
+
a1
(
lim
x x0
x)n-1
+ + an
= a0 x0n + a1 x0n-1 + + an = f ( x0 ).
2. 设
f (x) =
证明 设A> 0,"r(0,1),取e = A-r,则$d > 0,使得"xU(x0;d)
有 f (x) > A - e = r.
对于r < 0的情形类似可证. •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且
f(x)A(xx0), 那么A0(或A0)
4 保不等式 定理3.5(函数极限的保不等式性)
1
0
1
$d 2
> 0,当0 <
x- x0
< d2时有 f (x) - B
<e,
(2)
取d = min(d ,d ),则当0 < x - x < d时(1),(2)同时成立，故有
12
0
A- B = ( f (x) - A) - ( f (x) - B) f (x) - A + f (x) - B < 2e.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
已证明过以下几个极限：
lim C = C,
xx0
1 lim = 0, x x
06[1].极限四则运算法则与基本性质
![06[1].极限四则运算法则与基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/ecaf94ea998fcc22bcd10d88.png)
f ( x) f ( x) A (4) 如果还有 B ≠ 0, 则 lim 亦存在,且有:lim = . g ( x) g ( x) B 证明 设 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B . 任给 ε > 0 , 取 δ > 0 ,
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1
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§2.3 函数极限的性质及运算法则
定义2.3
函数 f ( x ) 称为在 x x0 下是有界的, 如果
有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x ) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时 f ( x) M
x A x X
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g ( x ) ] lim f ( y ) B . x X y A
注意条件 g( x ) A 不能省去.
sin x 例1 利用函数极限的性质证 明 lim 1. x 0 x 证明 x 0 时，x 在 0 的某一去心邻域中变化， π 不妨取 x 的变化范围是 0 x ， 这时有不等式 2 π y D sin x x tan x ,0 x ( 2 1) 2 C π sin x x tan x ,0 x ( 2 2) 2 x 利用单位圆中几个图形 的面积 O A B x 大小关系得， π 当 0 x 时 AC sin x , BD tan x , 2
性质2.7 若 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B , 且在极限
x X x X
过程 x X 下 , f ( x ) g ( x ) , 则 A B .
证明
用反证法，
若 A B，则由性质 2.6 知道：
在极限过程所允许的某 一邻域内, 有 f ( x ) g( x ) ,
x X x X
lim f ( x ) A f ( x) x lim X (这里要求 B 0). x X g( x ) lim g( x ) B
x X
性质2.10 若 lim g ( x ) A（这里 A 可以是无穷大）
x X
且 g ( x ) A， lim f ( x ) B , 则 lim f [ g ( x )] B .
性质2.5 （局部有界性）若 lim f ( x ) A, 则 f ( x ) 在
x X
极限过程 x X 所允许的某一邻域内有 界 .
这一性质可以理解为： 在极限过程 x X 下， f ( x ) 在 A 的某一邻域 O ( A) 中变化，因此在极限 过程所允许的某一邻域 内 f ( x ) A .
此与条件 f ( x ) g( x ) 矛盾.
性质2.8 （函数极限的夹逼定理 ）若在极限过程
x X 所允许的某一邻域内，
g( x ) f ( x ) h( x ) ,
且
x X
lim g( x ) lim h( x ) A ,
x X
则
x X
lim f ( x ) A .
例3 证明： lim f ( x ) 0 的充要条件是 lim f ( x ) 0.
x X x X
证明 必要性：
x X
lim f ( x )
y f ( x)
lim y 0,
y0
充分性：
由于 f ( x ) f ( x ) f ( x )
根据夹逼定理可得 lim f ( x ) 0.
x X
例4
判别下列极限是否存在，如果存在求出其值：
1 x 1 x 1 x2 x 0 x x 0
(1) lim 2 ; (2) lim e ; (3) lim e
解 (1) 由于
.
1 1 y x lim 2 y , lim 2 x y x 0 1 1 y 1 x y t y x lim 2 lim 2 lim t 0, y t 2 x 0
O
x
A
B
x
由于 lim cos x cos 0 1，根据夹逼定理可得
x 0
sin x lim 1. x 0 x
1 1 1 例2 求极限 lim x , 其中 是 的取整函数 . x 0 x x x 1 1 1 1 解 x 0 时, x x x 1 因此，x 0 时, 1 x x 1 x 1 由夹逼定理可得 lim x 1； x 0 x 1 x 0 时, 1 x x 1 x 1 1 由夹逼定理可得 lim x 1. 从而 lim x 1. x 0 x x 0 x
性质2.6 （局部保号性）若 lim f ( x ) A , lim g ( x )
x X x X
B , A B , 则 f ( x ) 与 g ( x ) 在极限过程 x X 所允许 的某一邻域内满足 f ( x ) g( x ) 特别有 f ( x ) B .
这一性质可以这样理解 ：在极限过程 x X下 , f ( x ) 在 A的某一邻域 O 1 ( A)中变化 , g ( x )在 B 的某一 邻域 O 2 ( B )中变化 , A B , 则这两个邻域可以取成 互 不相交 , 且 O 2 ( B ) 在 O 1 ( A) 的左边 , 这时 O 2 ( B )中的 任何点小于 O 1 ( A)中的任何点 , 因此 , 在 x X 所允 许的某一邻域内有 f 的面积 扇形 OBC 的面积 OBD 的面积 ，
1 1 1 sin x x tan x 2 2 2
y
D
C
由此即得不等式 ( 2 1) . 由不等式 ( 2 1) 和 ( 2 2) 可得
sin x π cos x 1, 0 x ( 2 3) x 2
因此 lim 2 不存在.
x 0
1 x
( 2)
x
lim e
1 x
1 y x
lim e y e0 1.
y 0
(3) lim e
x 0
1 x2
1 y 2 x
y
lim e
y
1 lim y 0. y e
这一性质可以理解成：
由 lim g( x ) lim h( x ) A知道在 x X 下，
x X x X
g( x ) 和 h( x ) 无限趋于 A，而
g( x ) f ( x ) h( x )
因此 f ( x ) 也无限趋于 A.
性质2.9
x X
若 lim f ( x ) A, lim g( x ) B，则
x X x X
lim[Cf ( x )] C lim f ( x ) CA ( C 是与 x 无关的常数 );
x X
x X
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x X x X
x X
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) AB;
定义2.3
函数 f ( x ) 称为在 x x0 下是有界的, 如果
有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x ) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时 f ( x) M
x A x X
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g ( x ) ] lim f ( y ) B . x X y A
注意条件 g( x ) A 不能省去.
sin x 例1 利用函数极限的性质证 明 lim 1. x 0 x 证明 x 0 时，x 在 0 的某一去心邻域中变化， π 不妨取 x 的变化范围是 0 x ， 这时有不等式 2 π y D sin x x tan x ,0 x ( 2 1) 2 C π sin x x tan x ,0 x ( 2 2) 2 x 利用单位圆中几个图形 的面积 O A B x 大小关系得， π 当 0 x 时 AC sin x , BD tan x , 2
性质2.7 若 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B , 且在极限
x X x X
过程 x X 下 , f ( x ) g ( x ) , 则 A B .
证明
用反证法，
若 A B，则由性质 2.6 知道：
在极限过程所允许的某 一邻域内, 有 f ( x ) g( x ) ,
x X x X
lim f ( x ) A f ( x) x lim X (这里要求 B 0). x X g( x ) lim g( x ) B
x X
性质2.10 若 lim g ( x ) A（这里 A 可以是无穷大）
x X
且 g ( x ) A， lim f ( x ) B , 则 lim f [ g ( x )] B .
性质2.5 （局部有界性）若 lim f ( x ) A, 则 f ( x ) 在
x X
极限过程 x X 所允许的某一邻域内有 界 .
这一性质可以理解为： 在极限过程 x X 下， f ( x ) 在 A 的某一邻域 O ( A) 中变化，因此在极限 过程所允许的某一邻域 内 f ( x ) A .
此与条件 f ( x ) g( x ) 矛盾.
性质2.8 （函数极限的夹逼定理 ）若在极限过程
x X 所允许的某一邻域内，
g( x ) f ( x ) h( x ) ,
且
x X
lim g( x ) lim h( x ) A ,
x X
则
x X
lim f ( x ) A .
例3 证明： lim f ( x ) 0 的充要条件是 lim f ( x ) 0.
x X x X
证明 必要性：
x X
lim f ( x )
y f ( x)
lim y 0,
y0
充分性：
由于 f ( x ) f ( x ) f ( x )
根据夹逼定理可得 lim f ( x ) 0.
x X
例4
判别下列极限是否存在，如果存在求出其值：
1 x 1 x 1 x2 x 0 x x 0
(1) lim 2 ; (2) lim e ; (3) lim e
解 (1) 由于
.
1 1 y x lim 2 y , lim 2 x y x 0 1 1 y 1 x y t y x lim 2 lim 2 lim t 0, y t 2 x 0
O
x
A
B
x
由于 lim cos x cos 0 1，根据夹逼定理可得
x 0
sin x lim 1. x 0 x
1 1 1 例2 求极限 lim x , 其中 是 的取整函数 . x 0 x x x 1 1 1 1 解 x 0 时, x x x 1 因此，x 0 时, 1 x x 1 x 1 由夹逼定理可得 lim x 1； x 0 x 1 x 0 时, 1 x x 1 x 1 1 由夹逼定理可得 lim x 1. 从而 lim x 1. x 0 x x 0 x
性质2.6 （局部保号性）若 lim f ( x ) A , lim g ( x )
x X x X
B , A B , 则 f ( x ) 与 g ( x ) 在极限过程 x X 所允许 的某一邻域内满足 f ( x ) g( x ) 特别有 f ( x ) B .
这一性质可以这样理解 ：在极限过程 x X下 , f ( x ) 在 A的某一邻域 O 1 ( A)中变化 , g ( x )在 B 的某一 邻域 O 2 ( B )中变化 , A B , 则这两个邻域可以取成 互 不相交 , 且 O 2 ( B ) 在 O 1 ( A) 的左边 , 这时 O 2 ( B )中的 任何点小于 O 1 ( A)中的任何点 , 因此 , 在 x X 所允 许的某一邻域内有 f 的面积 扇形 OBC 的面积 OBD 的面积 ，
1 1 1 sin x x tan x 2 2 2
y
D
C
由此即得不等式 ( 2 1) . 由不等式 ( 2 1) 和 ( 2 2) 可得
sin x π cos x 1, 0 x ( 2 3) x 2
因此 lim 2 不存在.
x 0
1 x
( 2)
x
lim e
1 x
1 y x
lim e y e0 1.
y 0
(3) lim e
x 0
1 x2
1 y 2 x
y
lim e
y
1 lim y 0. y e
这一性质可以理解成：
由 lim g( x ) lim h( x ) A知道在 x X 下，
x X x X
g( x ) 和 h( x ) 无限趋于 A，而
g( x ) f ( x ) h( x )
因此 f ( x ) 也无限趋于 A.
性质2.9
x X
若 lim f ( x ) A, lim g( x ) B，则
x X x X
lim[Cf ( x )] C lim f ( x ) CA ( C 是与 x 无关的常数 );
x X
x X
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x X x X
x X
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) AB;