函数极限的性质及运算法则

性质2.7 若 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B , 且在极限
x X x X
过程 x X 下 , f ( x ) g ( x ) , 则 A B .
证明
用反证法，
若 A B，则由性质 2.6 知道：
在极限过程所允许的某 一邻域内, 有 f ( x ) g( x ) ,
这一性质可以理解成：
由 lim g( x ) lim h( x ) A知道在 x X 下，
x X x X
g( x ) 和 h( x ) 无限趋于 A，而
g( x ) f ( x ) h( x )
因此 f ( x ) 也无限趋于 A.
性质2.9
x X
若 lim f ( x ) A, lim g( x ) B，则
x X
例4
判别下列极限是否存在，如果存在求出其值：
1 x 1 x 1 x2 x 0 x x 0
(1) lim 2 ; (2) lim e ; (3) lim e
解 (1) 由于
.
1 1 y x lim 2 y , lim 2 x y x 0 1 1 y 1 x y t y x lim 2 lim 2 lim t 0, y t 2 x 0
§2.3 函数极限的性质及运算法则
定义2.3
函数 f ( x ) 称为在 x x0 下是有界的, 如果
有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x ) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时 f ( x) M
性质2.5 （局部有界性）若 lim f ( x ) A, 则 f ( x ) 在
x X
极限过程 x X 所允许的某一邻域内有 界 .
这一性质可以理解为： 在极限过程 x X 下， f ( x ) 在 A 的某一邻域 O ( A) 中变化，因此在极限 过程所允许的某一邻域 内 f ( x ) A .
x X x X
lim[Cf ( x )] C lim f ( x ) CA ( C 是与 x 无关的常数 );
x X
x X
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x X x X
x X
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) AB;
OБайду номын сангаас
x
A
B
x
由于 lim cos x cos 0 1，根据夹逼定理可得
x 0
sin x lim 1. x 0 x
1 1 1 例2 求极限 lim x , 其中 是 的取整函数 . x 0 x x x 1 1 1 1 解 x 0 时, x x x 1 因此，x 0 时, 1 x x 1 x 1 由夹逼定理可得 lim x 1； x 0 x 1 x 0 时, 1 x x 1 x 1 1 由夹逼定理可得 lim x 1. 从而 lim x 1. x 0 x x 0 x
x X x X
lim f ( x ) A f ( x) x lim X (这里要求 B 0). x X g( x ) lim g( x ) B
x X
性质2.10 若 lim g ( x ) A（这里 A 可以是无穷大）
x X
且 g ( x ) A， lim f ( x ) B , 则 lim f [ g ( x )] B .
此与条件 f ( x ) g( x ) 矛盾.
性质2.8 （函数极限的夹逼定理 ）若在极限过程
x X 所允许的某一邻域内，
g( x ) f ( x ) h( x ) ,
且
x X
lim g( x ) lim h( x ) A ,
x X
则
x X
lim f ( x ) A .
例3 证明： lim f ( x ) 0 的充要条件是 lim f ( x ) 0.
x X x X
证明 必要性：
x X
lim f ( x )
y f ( x)
lim y 0,
y0
充分性：
由于 f ( x ) f ( x ) f ( x )
根据夹逼定理可得 lim f ( x ) 0.
x A x X
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g ( x ) ] lim f ( y ) B . x X y A
注意条件 g( x ) A 不能省去.
sin x 例1 利用函数极限的性质证 明 lim 1. x 0 x 证明 x 0 时，x 在 0 的某一去心邻域中变化， π 不妨取 x 的变化范围是 0 x ， 这时有不等式 2 π y D sin x x tan x ,0 x ( 2 1) 2 C π sin x x tan x ,0 x ( 2 2) 2 x 利用单位圆中几个图形 的面积 O A B x 大小关系得， π 当 0 x 时 AC sin x , BD tan x , 2
因此 lim 2 不存在.
x 0
1 x
( 2)
x
lim e
1 x
1 y x
lim e y e0 1.
y 0
(3) lim e
x 0

1 x2
1 y 2 x
y
lim e
y
1 lim y 0. y e
性质2.6 （局部保号性）若 lim f ( x ) A , lim g ( x )
x X x X
B , A B , 则 f ( x ) 与 g ( x ) 在极限过程 x X 所允许 的某一邻域内满足 f ( x ) g( x ) 特别有 f ( x ) B .
这一性质可以这样理解 ：在极限过程 x X下 , f ( x ) 在 A的某一邻域 O 1 ( A)中变化 , g ( x )在 B 的某一 邻域 O 2 ( B )中变化 , A B , 则这两个邻域可以取成 互 不相交 , 且 O 2 ( B ) 在 O 1 ( A) 的左边 , 这时 O 2 ( B )中的 任何点小于 O 1 ( A)中的任何点 , 因此 , 在 x X 所允 许的某一邻域内有 f ( x ) g ( x ) .
OBC 的面积 扇形 OBC 的面积 OBD 的面积 ，
1 1 1 sin x x tan x 2 2 2
y
D
C
由此即得不等式 ( 2 1) . 由不等式 ( 2 1) 和 ( 2 2) 可得
sin x π cos x 1, 0 x ( 2 3) x 2