函数极限运算法则
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限运算法则与常见的极限计算
极限运算法则与常见的极限计算极限运算法则是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解各种复杂的极限问题。
在本文中，我们将介绍常见的极限运算法则，并结合一些例子来说明如何应用这些法则来计算极限。
1. 基本极限运算法则(1) 常数法则：若c为常数，则lim(x→a) c = c。
这意味着在极限运算中，常数可以直接提出来。
(2) 幂函数法则：若n为正整数，则lim(x→a) x^n = a^n。
这意味着在极限运算中，幂函数可以直接求解。
(3) 指数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→∞) a^x= ∞，lim(x→-∞) a^x = 0。
这意味着指数函数在无穷远处的极限值为无穷或零。
(4) 对数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→0) log_a(x) = -∞，lim(x→∞) log_a(x) = ∞。
这意味着对数函数在0或无穷远处的极限值为负无穷或正无穷。
2. 极限运算法则的应用(1) 和差法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。
这意味着在求解两个函数之和或差的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相加或相减。
(2) 积法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
这意味着在求解两个函数的乘积的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相乘。
(3) 商法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。
这意味着在求解两个函数的商的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相除。
(4) 复合函数法则：若lim(x→a) g(x) = b，lim(y→b) f(y) = c，则lim(x→a) f[g(x)] = c。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5.函数极限的运算法则
(2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n
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2 x3 x 2 4 例1. 求 lim x 2 x6
f (0 0) lim f ( x) lim (e x 1) e0 1 =2
x0 x0
x 0
f (0 0) lim f ( x) lim (sin x b) sin 0 b = b
x0
故, 当b=2时, f (0+0) = f (0–0)= 2,
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从而
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推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则
(1) lim[Cf (x)] = C limf (x)
解: 将x=0代入. 分子, 分母都为0. 不能用定理1(3). 想法约 去零因子x. 为此, 有理化.
x 1 x 1 lim lim x0 x( 1 x 1) x 0 x 1 lim x 0 1 x 1
1 2
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函数极限的运算
1 2 x 1 cos x 1 2 解 : lim lim x 0 x si n x x 0 x x 2
25
例17设
x 2x k lim 4， 求k的 值 。 x 3 x3
2
解:由题意可知，当x→3时，x2-2x+k和x-3是 同阶无穷小．
即 lim( x 2 2 x k ) 0
9
例8
3x 2 x 1 lim 2 x 2 x x 5
3
解 因为当x→∞时，类型为“
大与无穷小的关系，
”型未定式，
且分子中的x指数大于分母中x的指数．根据无穷
2 1 5 2 2 3 2x x 5 0 x x x lim 0 lim 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 3 3 2 3 x x 3x3 2 x 1 所 以 lim 2 x 2 x x 5
12
sin 3x 例 9 lim x 0 x
解:
sin3 x sin 3 x sin3 x 3 lim （ 3 ） 3 lxim lim 0 x 0 x 0 3x x 3x
tan x 例10 lim x 0 x 0 解 这个极限是“0 ”型未定式，且含有三角函 sin x 数tanx，要想用公式，就要化为 的形式． x tan x sin x 1 lim lim( ) 1 x 0 x 0 x x cos x
x 2
x2 所以 lim x2 x 2
5
例4
x3 lim 2 x 3 x 9
解 因为当x→3时，分母、分子的极限都为0，称 为“ 0
0
”型未定式．对于这种类型的极限，常
用消去“零因式”的方法．
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
第四节 极限的运算法则
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
函数极限运算法则
2x + 3x + 5 例6 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
3 2
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
例7 求
3x 4 − 2 x 2 − 3 lim x→∞ 5x 3 + 3
解：分子分母的最高次 幂为 x 4 , 故可将 分子分母同除以 x 4 . 2 3 3− 2 − 4 4x2 + 5x − 3 x x = 3 = ∞. lim = lim 3 x→0 x→∞ 5 3 2x + 8 0 + 4 x x (极限不存在） .
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b ,当 n = m, m m −1 0 a x + a x + ⋯ + am lim 0 n 1 n −1 = 0, 当 n > m , x→∞ b0 x + b1 x + ⋯ + bn 不存在 ,当 n < m ,
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
4x −1 故 lim 2 = ∞.即极限不存在 x →1 x + 2x − 3
x −1 例4 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 ( 解 x → 1时 , 分子 , 分母的极限都是零 . 型) 0
（2）
x → x0
lim ( f ( x) + g ( x))不确定.
1 1 例如：f ( x) = 1 + , g ( x) = 1 − , x x 则f ( x)与g ( x)在x → 0时极限均不存在， 但是 lim( f ( x) + g ( x)) = 2.
极限的运算法则
不能直接使用极
1 “, 0 ”“ ”“0 ”“” 限的四则运算法
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
x2 16 lim x4 x 4
(0型 ) 0
解 lim x 2 1 6 lim (x 4 )(x 4 ) lim (x 4 ) 8 x 4x 4 x 4 x 4 x 4
x 1
lim
x1
x2
1
0 0
x1 lim
x1 (x1)(x1)
1 lim
x1 x 1
1 2
目录
练习
求lxi m 1(13x3
1 ). 1x
3 lxi m 1(1x3
11 x x3x2). lxi m 13(11xx3x2)
2xx2
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A 型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
目录
例：lim （x23x5） . x2
代入法
解： lim (x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x2
x 2
x 2
x 2
223253
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解：lim(x4) limxlim434 10
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
函数极限的四则运算法则具体内容
函数极限的四则运算法则具体内容函数极限的四则运算法则是指利用函数极限性质推导出的一系列关于四则运算的法则。
这些法则是极其重要的，它们对于理解函数极限的概念和实质有着重要的意义。
因此，了解这些法则和它们的具体内容是理解极限的第一步。
函数极限的四则运算法则包括：一、加法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}[f(x)+g(x)]=limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)+limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)+g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相加得到$f(x)+g(x)$在$x_0$处极限值。
二、乘法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrow x_0}[f(x)timesg(x)]=limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)timeslimlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)times g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相乘得到$f(x)times g(x)$在$x_0$处极限值。
三、除法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，且$limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)eq0$，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)}{limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)}$即函数$frac{f(x)}{g(x)}$在某点$x_0$处可求极限，且函数$g(x)$在$x_0$处的极限值不为零，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相除得到$frac{f(x)}{g(x)}$在$x_0$处极限值。
五节极限运算法则
取 min{ 0 ,1}, 则当 0 x x0 时
就有( 3)(4)式都成立 , 从而有
f (x)g(x) f (x) g(x)
K K
即
f (x)g(x)
按定义得 lim[ f ( x) g( x)] 0 x x0
推论
(1) lim f ( x) 0,C常数 lim[C f ( x)] 0
(约去零因子)
x3 64 例4 lim
x4 x 2
解 x 4时, 分子, 分母的极限都是零 .
x3 64
( x3 64)( x 2)
lim
lim
x4 x 2 x4 ( x 2)( x 2)
( 0型) 0
lim ( x 4)( x2 4x 16)( x 2)
x4
x4
lim( x2 4x 16)( x 2) x4
由函数极限与无穷小旳关系,得
lim[ f ( x) g( x)] A B
x x0
类似可证：
lim[ f ( x) g( x)] A B
x x0
[2] lim f ( x) g( x) A B x x0
[3]
f (x) A g(x) B
A(x) A B (x) B
B(x) A (x) B[B ( x)]
对 0
B 2
0,
0,使得当
0
x x0
时就有
B
(x) 0 2
从而有
B (x) B (x) B 1 B 1 B
22
当0 x x0 时,就有
B [B ( x)] 1 B2 即 B [B ( x)] 1 B2
2
2
即
1
| B [B ( x)] |
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利用函数极限的运算法则，我们可以根据 已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的 函数的极限。
请同学们记清函数极限的运算法则
函数极限运算法则 如果
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) a b
x x0 x x0
x x0
an n a lim (b 0) n b lim bn b n
n
lim an
特别地，如果C是常数，那么
n
lim C an C lim an C a
n
也就是说：如果两个数列都有极限，那么由 这两个数列的各对应项的和、差、积、商组 成的数列的极限，分别等于这两个数列的极 限的和、差、积、商（各项作为除数的数列 的极限不能为0）。
g ( x) b lim f ( x) a ， xlim x
0
那么
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) a b
x x0 x x0
f ( x) x x0 a lim (b 0). x x0 g ( x) lim g ( x) b
x x0
lim f ( x)
x x0
lim[Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
（C为常数）
x x0
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)] (n N )
n n * x x0
下面举例说明如何求函数的极限
例1 求
2
lim( x 3x).
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) a b
x x0 x x0
f ( x) x x0 a lim (b 0). x x0 g ( x) lim g ( x) b
x x0
lim f ( x)
也就是说：如果两个函数都有极限，那 么由这两个函数的各对应项的和、差、 积、商组成的函数的极限，分别等于这 两个函数的极限的和、差、积、商（各 项作为除数的函数的极限不能为0）。
x 1 x 1 x 1
2
lim 2 x lim x lim1
2 x 1 x 1
x 1
x 1
观察图象
总结提高： (1)
lim( x 3 x)
2 x2
(2)
2x x 1 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1
2
通过例1、例2同学们会发现：①函数f（x） 在 x x0 处有定义②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解 析式中，就得到极限值。如：
x x0
lim(2 x x 1) 2x x 1 x 1 lim 解： 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim( x 2 x 1)
2
2
2 1 1 1 3 2 3 2 2 lim x lim 2 x lim1 1 2 1 1
x x0
(lim x) 2 3 2 10
2
观察图象
2x x 1 例2求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1
2
lim f ( x) f ( x) a x x0 lim (b 0). x x0 g ( x) lim g ( x) b
2x x 1 求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1 2 2 2x x 1 2 1 1 1 解： lim 3 2 3 2 x 1 x 2 x 2 1 1 2 1 1
1、请同学们回顾一下数列极限的运算法则：
如果
n
lim an a
n
lim bn b ，那么 n
n
lim(an bn ) lim an lim bn a b
n
lim an bn lim an lim bn a b
n n n
注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。
x x2 问题1：函数， f ( x) , 当 x 1 时 ， 2 x 1
2
你能否直接看出函数值的变化趋势？ 问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函 数极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则： 函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则，即
注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x)不难得到： 由x x x x x x
0 0 0
x x0
lim[Cf ( x)] C lim f ( x) （C为常数）
x x0
x x0
2、 " x x0时" 函数极限运算法则 如果
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) a b
x x0 x x0
x x0
g ( x) b lim f ( x) a ， xlim x
0
那么
x x0
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)] (n N )
n n * x x0
注意：使用极限运算法则的前提是 各部分极限存在！
由上面的运算法则可知：
x x0
lim x ( lim x) x0 ,即 lim x x0 ;
n n n x x0 x x0
n
n
(n N )
2 x 2
2
解： lim( x 3 x ) lim x lim 3 x x 2 x 2 x2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)