求函数极限的方法
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一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:
12
23lim 22=-+-→x x x x 证: 由
2
4
4122322-+-=
--+-x x x x x x
()2
2
22
-=--=
x x x
0>∀ε 取εδ= 则当δ
<-<20x 时,就有
ε<--+-12
2
32x x x
由函数极限δε
-定义有:
12
23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质
若
A x f x x =→)(lim 0
B x g x x =→)(lim 0
(I)[]=±→)()(lim 0
x g x f x x )(lim
x f x
x →±B A x g x x ±=→)(lim 0
(II)
[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0
(III)若 B ≠0 则：
B
A
x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )
(lim )()(lim 0
00
（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim
（c 为常数）
上述性质对于时也同样成立
-∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4
5
3lim 22+++→x x x x
解: 4
53lim 22+++→x x x x =
25
4252322=++⋅+
3、约去零因式（此法适用于型时0
,0x x
→）
例: 求12
16720
16lim 23232+++----→x x x x x x x
解:原式=()
()
)
12102(65)
2062(103lim
2
23223
2
+++++--+---→x x x x x
x x x x x
x =)
65)(2()
103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x
=)
65()
103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2
lim
-→x 73
5
-=+-x x
4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21
44(
lim 2
2
x x
x ---→
解: 原式=)
2()2()
2(4lim
2x x x x -⋅++-→
=)
2)(2()
2(lim
2x x x x -+-→
=4
1
21lim
2=+→x x
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
（I ）
0)(lim 0
=→x f x x
(II)
M x g ≤)(
(M 为正整数)
则：
0)()(lim 0
=→x f x g x x
例: 求 x
x x 1sin
lim
⋅→ 解: 由 0lim
=→x x 而 11
sin
≤x
故 原式 =01
sin
lim
=⋅→x
x x
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I ）若：∞=)(lim x f 则 0)
(1
lim
=x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)
(1
lim
x f 例: 求下列极限 ① 51lim
+∞→x x ②1
1lim 1-→x x
解: 由 ∞=+∞
→)5(lim x x 故 051
lim
=+∞→x x
由 0)1(lim 1
=-→x x 故 11
lim 1-→x x =∞
7、等价无穷小代换法 设''
,,,ββα
α 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： '
'
~,~β
βαα
，
'
'lim β
α 存在，
则 β
α
lim
也存在，且有βα
lim
= '
'
lim
βα
例:求极限2
2
2
0sin cos 1lim x x x x -→
解: ,~sin 2
2
x x 2
)(~
cos 12
22
x x -
∴ 2
2
2
0sin cos 1lim x x x x -→=
212)(2
22
2=x x x
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
1sin lim
)(0=→x x A x e x
B x x =+∞→)1
1(lim )(
但我们经常使用的是它们的变形：
)
)((,))(1
1lim()()0)((,1)
()
(sin lim
)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ϕϕϕϕϕϕ
例：求下列函数极限
x
a x x 1lim )1(0-→、 bx ax
x cos ln cos ln lim
)2(0→、 )
1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x a a u x u a x x
+=
-+==-于是则）令解：（
a u a
u u a u a u x
a u x u
u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 0
10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当
)]
1(cos 1ln[)]
1(cos 1ln[(lim
)2(0-+-+=→bx ax x 、原式