2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}2. 已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.23. 已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R4. 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.a c >bdD.√ac>√bd5. 己知命题p:∀x>0，lgx<lnx，q:∃x>0，x2<√x，则下列命题中真命题是（）A.p∧qB.p∧(￢q)C.p∨qD.p∨(￢q)6. (x√x)7的展开式中x的系数为（）A.560B.1120C.−35D.2807. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A.25B.29C.27D.288. 若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1 B.a≥√5 C.a<1 D.a<√59. 若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.1 2B.√22C.√2−1D.2√2−110. 函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12 B.向左平移π6 C.向右平移π12D.向右平移π611. 如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A.12 B.44 C.58 D.7612. 如图，F I ，F 2是双曲线C:x 2a2−y 23=1(a >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ|＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.√72C.2√33D.√194二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________．在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________．设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n +n ． （1）证明：{a n −1}为等比数列；（2）设b n=log√2|a n−1|，若不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1<t对∀n∈N∗恒成立，求t的最小值．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线C上一点，|PF|＝4，O为坐标原点，∠OFP＝120∘．（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记△QAB，△OAB的面积分别为S1，S2，求1S2−1S1的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x +1|+|2x −1|． （1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，求a +b 的取值范围．参考答案与试题解析2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}＝{x|−√6<x<√6}，∴A∩B＝{1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z1−z2得答案．【解答】∵z1=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−35i，z2=11−2i =1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，∴z1−z2=15−35i−15−25i=−i，∴z1−z2的虚部为−1．3.【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答】由指数函数的性质可知，函数f(x)＝2x的值域为(0, +∞)，令t＝2x，则t>0，∴f（f(x)）＝f(t)＝2t>20＝1，即所求函数的值域为(1, +∞)．4.【答案】C【考点】不等式的基本性质 【解析】根据不等式的基本性质可判断ABD 是否成立，取特殊值可知C 不一定成立． 【解答】A ．∵ a >b >0，c >d >0，∴ a +c >b +d ，故A 成立；B ．∵ c >d >0，∴ −d >−c ，又a >b >0，∴ a −d >b −c ，故B 成立；C ．由a >b >0，c >d >0，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，则ac =bd ，故C 不一定成立； D ．∵ a >b >0，c >d >0，∴ ac >bd >0，∴ √ac >√bd ． 5.【答案】 C【考点】复合命题及其真假判断 【解析】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0，p 为假命题，对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22，q 为真命题．再对四个选项中复合命题判断真假． 【解答】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0，所以命题p:∀x >0，lgx <lnx ，为假命题， 对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22，所以命题q:∃x >0，x 2<√x ，为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∧(￢q)为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(￢q)为假命题． 6.【答案】 A【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x 的系数． 【解答】 (x √x)7的展开式的通项公式为 T r+1=C 7r (−2)r x 7−32r ，则令7−3r 2=1，求得r ＝4，可得x 的系数为 C 74⋅⋅(−2)4＝560，7.【答案】 C【考点】 归纳推理 【解析】根据题意，利用常用对数估算即可． 【解答】lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27， 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由题意可得，f ′(x)＝cos2x −2sin2x +a <0有解，分离系数后转化为求解最值． 【解答】由题意可得，f ′(x)＝cos2x −2sin2x +a <0有解，则a <2sin2x −cos2x =√5sin(2x +φ)有解，即a <[√5sin(2x +φ)]max ， 所以a <√5． 9.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，求出相应的坐标即可得到k 的值． 【解答】由图可知，x +y ＝z 将可行域划分为两块区域，{x +y =z x −y =−1 ⇒{x =z −12y =z +12 ⇒D(z −1, z +1) 其中AE ＝z −(−1)＝z +1；∴ 三角形ADE 部分的面积等于△ABC 的12； 即S =12(z +1)⋅z+12=12⇒z =√2−1（负值舍）．10.【答案】 C【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f(x)的解析式，再利用y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】由函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A＝2，由f(0)＝1，f(2π3)＝−2可得，ω＝2，φ=−π3，∴f(x)＝2cos(2x−π3)＝2sin(2x+π6)＝2sin[2(x+π12)]，故可将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y＝2sin2x的图象．11.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，按四位数的尾数分4种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共C21⋅A22⋅3=12，还可能为234，有A33=6种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共C21⋅A22⋅2=8，还可能为124，有A33=6种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，045，共C21⋅A22⋅2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共C21⋅A22=4．综上所述，共有12+6+8+6+8+4＝44种；12.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】利用已知条件，结合双曲线的定义与性质，通过直线与圆相切，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】PQ＝PF1−F1Q＝PF1−F1M＝PF1−NF2＝PF1−(PF2+PQ)⇒PQ=12(PF1−PF2)=a，∴a＝4，b=√3，∴c=√19，所以双曲线的离心率为：e=√194．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】5【考点】分层抽样方法由题意利用分层抽样的定义和方法，先求出其它地区贫困户占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【解答】其它地区贫困户占的比例为1−48%−32%＝20%，故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是25×20%＝5户， 【答案】34b →+12a → 【考点】平面向量的基本定理 【解析】由平面向量基本定理化简计算即可． 【解答】DF →=12DB →+12DC →=12(DA →+AB →)+12DC →=34DC →+12DA →． 【答案】 1e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设曲线的切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，一一对应表示出ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，根据其导数判断出其最大值即可．【解答】设切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，所以g′(x)=1−lnx x 2，所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e ，【答案】 −2【考点】 数列递推式 【解析】推导出 a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n <−2，该数列单调递增，无限趋于−2；若a n ＝−2，该数列为常数列，即a n ＝2．由此能求出λ的最小值． 【解答】a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)， 若a n <−2，则a n+1>a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于−2；若a n＝−2，则a n+1＝a n，该数列为常数列，即a n＝2．综上所述，λ≥−2．∴λ的最小值是−2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1−1，⇒a n−1＝2(a n−1−1)(n≥2)，所以：{a n−1}为等比数列，公比为2．令n＝1，则有S1＝2a1+1⇒a1＝−1，所以a n−1=(a1−1)⋅2n−1=−2n，所以a n=1−2n，令b n=log√2|a n−1|=log√22n=2n，令c n=1b n b n+1=14(1n−1n+1)，所以1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，所以t≥14．所以t的最小值为14．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）通过a n＝S n−S n−1，推出a n−1＝2(a n−1−1)(n≥2)，即可判断{a n−1}为等比数列．（2）求出首项以及a n=1−2n，化简b n=log√2|a n−1|=log√22n=2n，化简c n=1b n b n+1=14(1n−1n+1)，通过裂项消项法求解数列的和，即可求解t的最小值．【解答】a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1−1，⇒a n−1＝2(a n−1−1)(n≥2)，所以：{a n−1}为等比数列，公比为2．令n＝1，则有S1＝2a1+1⇒a1＝−1，所以a n−1=(a1−1)⋅2n−1=−2n，所以a n=1−2n，令b n=log√2|a n−1|=log√22n=2n，令c n=1b n b n+1=14(1n−1n+1)，所以1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，所以t≥14．所以t的最小值为14．【答案】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ． 所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）根据条件概率的计算公式求解即可；（2）根据ξ∼B(4, 14)，得到P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．进而求出结论 【解答】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ． 所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．【答案】因为sin(2A +C)+sinC =32sinC −√32cosC ⇒sin(2A +C)=sin(C −π3)，所以2A +C +C −π3=π⇒A +C =2π3．由于m ≥BD r 1+BD r 2=2sinA +2sinC =2sinA +2sin(2π3−A)=3sinA +√3cosA =2√3sin(A +π6)，又A ∈(0,π2)，A +π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A +π6)∈(12, 1],2√3sin(A +π6)∈(√3, 2√3]， 所以m ≥2√3．所以实数m 的最小值2√3．【考点】 正弦定理两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，利用正弦函数的性质可求A +C 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可求m ≥2√3sin(A +π6)，由题意A ∈(0,π2)，可求A +π6∈(π6, 2π3)，利用正弦函数的性质即可求解m 的最小值．【解答】因为sin(2A +C)+sinC =32sinC −√32cosC ⇒sin(2A +C)=sin(C −π3)，所以2A +C +C −π3=π⇒A +C =2π3．由于m ≥BD r 1+BD r 2=2sinA +2sinC =2sinA +2sin(2π3−A)=3sinA +√3cosA =2√3sin(A +π6)，又A ∈(0,π2)，A +π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A +π6)∈(12, 1],2√3sin(A +π6)∈(√3, 2√3]， 所以m ≥2√3．所以实数m 的最小值2√3．【答案】f ′(x)=ax+1+2x −a =x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增， 当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增；当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．（2）结合（1）单调性的讨论，可转化为求解函数的最值，即可求解． 【解答】 f ′(x)=a x+1+2x −a =x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增， 当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增；当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1． 【答案】（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ， 则有AB =4sin 2θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ， 所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质 【解析】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ，得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，即可得到抛物线C 方程；（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ，则有AB =4sin 2θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ，所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin 2θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．【解答】（1）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1．直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t ，（t为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1．直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t ，（t 为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 【答案】函数f(x)＝|x +1|+|2x −1|，当x ≥12时，不等式f(x)≤2可化为x +1+2x −1≤2， 解得：12≤x ≤23；当−1<x <12时，不等式f(x)≤2可化为x +1+1−2x ≤2， 解得：0≤x <12；当x ≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x −1+1−2x ≤2， 解得：x ≥−23（不合题意，舍去）； 所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x +1|+|2x −1|={3x,x ≥12−x +2,−1<x <12−3x,x ≤−1，画出y ＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，化为3a 2+b 2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）利用分段函数法去掉绝对值，解不等式即可；（2）求出函数f(x)的最小值，把不等式化为3a2+b2≤32，结合题意画出图形，利用参数法求出a+b的最大、最小值，求出a+b的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|，当x≥12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+2x−1≤2，解得：12≤x≤23；当−1<x<12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+1−2x≤2，解得：0≤x<12；当x≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x−1+1−2x≤2，解得：x≥−23（不合题意，舍去）；所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x+1|+|2x−1|={3x,x≥12−x+2,−1<x<12−3x,x≤−1，画出y＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，化为3a2+b2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．。