函数图象关于点对称性
函数关于某点对称的问题
函数关于某点对称的问题函数关于某点对称的问题是数学中的一个重要概念。
在平面上，两点关于某点对称指的是，以这个点为对称中心，将一个点关于这个点对称后，会得到另一个点。
在函数中，如果一个函数的图像关于某点对称，意味着将函数图像以这个点为对称中心进行对称操作后，会得到与原函数图像完全一致的图像。
这是一种特殊的对称性，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
首先，我们来考虑一些基本的函数关于原点（0,0）的对称性。
对于奇函数来说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则函数关于原点对称。
奇函数一般表现为关于原点对称的图像，比如函数y=x，y=|x|等。
对于偶函数来说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则函数关于原点对称。
偶函数一般表现为关于y轴对称的图像，比如函数y=x²，y=|x|等。
其次，我们来考虑一些函数关于其他点对称的情况。
假设我们有一个函数f(x)，图像关于点（a,b）对称，即对于任意x，有f(x)=2b-f(x-a)。
其中，a表示点的横坐标偏移量，b表示点的纵坐标偏移量。
这种情况下，我们可以通过将函数图像以点（a,b）为对称中心进行对称操作，从而得到与原函数图像完全一致的图像。
这种对称性在函数的图像研究中非常有用，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
函数关于某点对称的性质可以帮助我们进行函数图像的描绘和分析。
首先，我们可以利用对称性来确定函数的图像在某一区间的性质。
比如，在一个函数关于原点对称的情况下，如果我们知道函数在区间[0,+∞)上是递增的，那么根据对称性，我们可以得出函数在区间(-∞,0]上也是递增的。
这样，我们就可以通过研究函数在非负半轴上的变化情况，来推断整个函数图像的性质。
其次，函数关于某点对称的性质也可以帮助我们求解函数方程和函数不等式。
比如，如果一个函数满足f(x)=f(2a-x)，即关于点(a,f(a))对称，那么我们可以通过这个对称性来简化函数方程的求解。
函数的对称问题讲解
函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。
函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。
函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。
二、函数图像的对称轴和对称中心1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。
三、奇函数和偶函数的对称性1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。
例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。
例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。
因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。
六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。
例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。
因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。
函数图象的对称性
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
(1)若x a和x b是函数f ( x)的对称轴，则函数的周 期为T ?
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x) T 2(b a)
f (2a x) f (2b x)
(2)若(a,0)和(b,0)是函数f ( x)的对称中心，则函数的 周期为T ?
2 、函数图像关于点 (a, 0) 对称的定义：
奇函数f (0 x) f (0 x) 图像关于点 0,0)对称 (
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到(a,0)距离相等的点的函数值 互为相反数 sin( x) sin( x)
函
数
——函数图像的对称性
1、函数图像关于直线 x=a 对称的定义：
特例：偶函数 (0 x) f (0 x) 图像关于直线 0对称 f x
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到直线x a距离相等的点的函数值 相等 cos( x) cos( x)
“双对称函数一定是周期函数”
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
T (3) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称轴为 x a, 则x) f ( x)
f (2a x) f ( x)
2a T T x a 2 2
f (2a x) f (T x)
T (4) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称中心 (a,0), 则(a ,0)是对称中心 2
《天府高考》 24 P (3) y f ( x 2)是偶函数, y f ( x)关于x 1对称
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
函数与像的对称轴与对称中心
函数与像的对称轴与对称中心在数学中，函数的对称性是一个重要的概念。
对称轴和对称中心是描述函数图像对称性的两个关键概念。
本文将详细讨论函数与像的对称轴和对称中心。
一、对称轴对称轴是指在函数图像中，函数曲线关于某一直线对称。
对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
对称轴可以垂直于x轴或y轴，也可以是任意直线。
1.1 垂直对称轴当函数图像关于y轴对称时，这条直线称为垂直对称轴。
对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，则函数图像关于y轴对称。
例如，我们考虑函数y = x^2。
对于任意的x，都有(-x)^2 = x^2。
所以函数y = x^2关于y轴对称，对称轴是y轴。
1.2 水平对称轴当函数图像关于x轴对称时，这条直线称为水平对称轴。
对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(x) = f(-x)，则函数图像关于x轴对称。
例如，我们考虑函数y = sin(x)。
对于任意的x，都有sin(x) = sin(-x)。
所以函数y = sin(x)关于x轴对称，对称轴是x轴。
1.3 斜对称轴除了垂直和水平对称轴，函数图像还可以关于斜线对称。
例如，对于函数y = 1/x，该函数图像关于线y = x对称，对称轴是y = x。
二、对称中心对称中心是指在函数图像中，函数曲线关于某一点对称。
对称中心将函数图像分为对称的部分。
2.1 原点对称当函数图像关于原点对称时，原点是对称中心。
对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，则函数图像关于原点对称。
例如，我们考虑函数y = x^3。
对于任意的x，都有(-x)^3 = -x^3。
所以函数y = x^3关于原点对称，原点是对称中心。
2.2 其他对称中心除了原点，函数图像还可以关于其他点对称。
例如，对于函数y = cos(x)，该函数图像关于点(π/2, 0)对称，该点是对称中心。
三、对称性与图像函数的对称性与图像的形状密切相关。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。
当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。
具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。
而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。
例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。
函数 关于 点 对称
函数关于点对称中的特定函数定义在数学中，点对称是一种基本的几何变换，它将一个点关于一个给定的中心点进行镜像，使得中心点到原点和中心点到对称点的距离相等。
点对称函数是一种特定的函数，它的图像关于某个中心点对称。
点对称函数的定义如下：设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x∈[a, b]，都有f(x) = f(c- x)，其中c为常数，则称f(x)为以c为中心的点对称函数。
用途点对称函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用来描述对称结构和现象，解决对称性相关的问题。
在数学中，点对称函数常用于解决函数的性质、方程的解以及图像的绘制等问题。
通过研究点对称函数的性质，我们可以推导出关于对称轴、零点、极值点等信息，进而解决各种函数相关的问题。
在物理学中，点对称函数常用于描述对称结构和现象。
例如，对称振动的描述常用到正弦函数，它的图像关于平衡位置对称；对称的电场分布可以用点对称函数来表示，如电偶极子的电势分布。
工作方式点对称函数的工作方式是通过将一个点关于中心点进行镜像来实现。
具体而言，对于一个给定的点(x, y)，点对称函数将它映射到一个新的点(x’, y’)，使得中心点到原点和中心点到映射点的距离相等。
点对称函数的工作方式可以用下面的步骤来描述：1.确定中心点：根据具体问题确定中心点的坐标，通常表示为(c, 0)。
2.计算对称点：对于给定的点(x, y)，计算出它关于中心点的对称点的坐标(x’, y’)。
根据点对称的性质，有x’ = 2c - x，y’ = y。
3.绘制图像：将所有计算得到的对称点连接起来，就可以得到点对称函数的图像。
示例以下是几个常见的点对称函数的示例：1. 奇函数奇函数是一种特殊的点对称函数，它的图像关于原点对称。
奇函数的定义如下：设函数f(x)定义在区间[-a, a]上，如果对于任意的x∈[-a, a]，都有f(x) = -f(-x)，则称f(x)为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意的x∈[-a, a]，都有f(x)与f(-x)关于原点对称。
函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分表达了数学的之美。
对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。
本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者)证明：〔必要性〕设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。
〔充分性〕设点是图像上任一点，那么，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，那么奇函数定义有0fxf，由命题1可+x)(-)(=得函数图像关于源点对称。
推论2：如果函数满足,那么函数图象关于点对称。
〔证明略〕推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，，∴供学习参考由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，那么的值〔〕A.恒小于0B. 恒大于0C. 可能为零D. 可正可负分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。
在区间上单调递增，在区间上也单调递增。
我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。
〔因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为〔3.5，3〕，这就是它的对称中心〕如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。
〔由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z〕例3 定义在上的函数满足，那么解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是.例4 定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，供学习参考那么的值为〔〕。
函数 关于 点 对称
函数关于点对称（原创实用版）目录一、函数关于点对称的定义与概念二、函数关于点对称的性质与特点三、函数关于点对称的常见类型及应用四、函数关于点对称的判断方法与举例正文一、函数关于点对称的定义与概念函数关于点对称，是指将函数图像上的点关于某一点进行对称，所得到的新函数图像与原函数图像完全重合。
这个对称点称为函数的对称中心。
函数关于点对称是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、化学等学科中都有广泛的应用。
二、函数关于点对称的性质与特点1.对称性：函数关于点对称后，原函数与新函数的图像完全重合，即具有对称性。
2.唯一性：对于一个函数，其关于点对称的函数只有一个。
3.可逆性：若函数 f(x) 关于点 a 对称，则函数 f(x-a) 关于点 a 对称。
4.平移不变性：若函数 f(x) 关于点 a 对称，则函数 f(x+a) 关于点 a 对称。
三、函数关于点对称的常见类型及应用1.奇函数：奇函数的图像关于原点对称，即 f(-x)=-f(x)。
奇函数在物理、化学等学科中有广泛应用，如正弦函数、余弦函数等。
2.偶函数：偶函数的图像关于 y 轴对称，即 f(-x)=f(x)。
偶函数在数学、物理等学科中有广泛应用，如幂函数、指数函数等。
3.反函数：反函数的图像关于直线 y=x 对称。
反函数在微积分、概率论等学科中有广泛应用，如指数函数、对数函数等。
四、函数关于点对称的判断方法与举例判断函数是否关于点对称，可以采用以下方法：1.代数法：观察函数的解析式，判断是否满足 f(ax)f(a-x)=0。
如果满足，则函数关于点对称。
2.几何法：观察函数的图像，判断是否关于某一点对称。
如果关于某一点对称，则函数关于点对称。
举例：函数 f(x)=x^2，其解析式满足 f(-x)=f(x)，因此该函数关于原点对称。
函数 关于 点 对称
函数关于点对称函数关于点对称公式是：f(x-a)+f(x+a)=2b，中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。
是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
函数关于点对称公式是：f(x-a)+f(x+a)=2b，中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。
是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
函数是中学教学中最为重要的一块知识点，在高考中对于函数以及函数相关的知识点考察一直以来占据着大量的比重。
在函数中，对称性是一个非常重要的性质。
函数关于点对称，即中心对称问题，可以解释为，若对于定义域上的某一点a，总有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)关于x=a对称。
下面对函数关于点对称的表现形式和主要类型进行阐释。
一、函数关于点对称的具体表现形式为：1. 若函数恒满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数的图像关于点对称；2. 若函数的定义域为R，且是奇函数，则函数的图像关于点对称；3. 函数与函数的图像关于点对称。
二、函数关于点对称的两种类型主要有：1. 函数自身关于点对称若f(a+x)=f(b-x)，x属于R恒成立，则y=f(x)的图像关于x=(a+b)/2成轴对称图形。
如果关于点(a,b)对称，则所得这两个函数对应点纵坐标值(函数值)的和再除以2等于b，横坐标也同理2. 不同函数关于点对称若f(x)与g(x)关于点(a,b)对称，设f(x)上任意一点（x,y）,则（x,y）关于(a,b)对称的点（m,n）在g(x)上，其中a=(x+m)/2,b=(y+n)/2.(中点坐标公式)。
若点A,B的坐标分别为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,则线段AB的中点C 的坐标为：(X,Y)=(x₁+x₂)/2，(y₁+y₂)/2。
此公式为线段AB的中点坐标公式。
了解了函数关于点对称的主要类型及其表现形式，还要在做题的过程当中学会仔细审题，细心观察，学会用合理的方式去解决不同条件下的问题，比如证明对称，及确定点的坐标、确定函数解析式等等。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。
了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。
例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。
我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。
例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。
我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。
例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。
轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。
例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。
中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。
1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。
- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。
- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。
2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。
高中--函数的对称性
函数的对称性一．函数的轴对称定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二．函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三.函数周期性的一些结论：结论1：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-推论：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论2：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-推论：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论3：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-推论：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a=1.设函数的定义域为R ，且满足，则的图象关于__________对称。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
初中数学 如何通过函数的图像判断其是否具有对称性
初中数学如何通过函数的图像判断其是否具有对称性通过函数的图像来判断其是否具有对称性是初中数学中的一个重要概念。
在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像来判断其是否具有对称性。
要通过函数的图像来判断其是否具有对称性，我们可以按照以下步骤进行：1. 观察图像的形状：首先，我们需要观察函数图像的整体形状。
函数图像可能是关于x 轴、y 轴或原点对称的。
2. 关于x 轴的对称性：如果函数图像关于x 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(a, -b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于x 轴对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于x 轴对称。
3. 关于y 轴的对称性：如果函数图像关于y 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于y 轴对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于y 轴对称。
4. 关于原点的对称性：如果函数图像关于原点对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, -b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于原点对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于原点对称。
需要注意的是，对称性是一种函数的性质，通过观察函数的图像可以得出初步的结论，但并不能给出准确的判断。
如果想要更准确地判断函数是否具有对称性，可以使用函数的数学定义和性质进行分析。
通过了解如何通过函数的图像判断其是否具有对称性，你可以更好地理解函数的性质和变化。
这对于解决实际问题和进一步深入学习数学非常重要。
希望本文能够帮助你更好地理解和应用这一概念。
函数对称性
故点M1（2a－x0，2b－y0）也在 图像上；而点M与点M1关于点P(a ,b)对称。
在掌握了（*）式以后，也基本解决了函数 在平面内关于任一点对称的问题。
（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
解：设点 是函数 图象上的任一点。
若 ，则点M关于函数 的图象上；
若 ，则点 关于直线 的对称点为 ，这点也在 的图象上；
若 ，可类似说明。
所以 与 的图象关于直线 对称。
例4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。
对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。
本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者)证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。
（充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有f(x) f( x) 0，由命题1可得函数图像关于源点对称。
推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。
（证明略）推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，，∴由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为零 D.可正可负分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。
在区间上单调递增，在区间上也单调递增。
我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A例2如果函数满足，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）例3定义在上的函数满足，则解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是.例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，则的值为（）。
函数关于某个点对称的公式
函数关于某个点对称的公式在我们学习数学的旅程中，函数可是个相当重要的角色。
而今天咱们要聊的，是函数关于某个点对称的公式。
先来说说啥叫函数关于某个点对称。
想象一下，有一个函数图像，就像一条弯弯曲曲的线，要是它能以某个点为中心，对折起来两边完全重合，那这个函数就关于这个点对称啦。
那函数关于某个点对称的公式到底是啥呢？假设点的坐标是$(a,b)$，函数是$y = f(x)$，那么如果这个函数关于点$(a,b)$对称，就有个神奇的公式：$f(a + x) + f(a - x) = 2b$。
为了更好地理解这个公式，咱们来举个例子。
比如说有个函数$f(x) = x^2 + 1$，假如它关于点$(2,5)$对称。
那我们来验证一下这个公式。
$f(2 + x) = (2 + x)^2 + 1 = 4 + 4x + x^2 + 1 = x^2 + 4x + 5$$f(2 - x) = (2 - x)^2 + 1 = 4 - 4x + x^2 + 1 = x^2 - 4x + 5$$f(2 + x) + f(2 - x) = x^2 + 4x + 5 + x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 + 5) = 2×5 =10$，而点$(2,5)$中的纵坐标的 2 倍就是 10，完全符合公式。
再比如说，我之前教过一个学生，他对函数关于某个点对称的概念总是搞不清楚。
我就给他画了好多图，一点点地引导他。
我让他自己动手画一些简单函数的图像，然后找出对称轴的点，再去验证公式。
刚开始他总是出错，急得直挠头。
但慢慢地，经过多次练习，他终于掌握了这个知识点，脸上露出了开心的笑容。
其实啊，这个公式在解决很多数学问题的时候都特别有用。
比如说在求函数的对称轴、判断函数的对称性，甚至在一些复杂的函数综合题中，都能派上大用场。
学习数学就是这样，一个公式、一个概念，刚开始可能觉得很难很抽象，但只要我们多思考、多练习，总能把它们拿下。
就像函数关于某个点对称的公式，只要我们用心去琢磨，多做几道题巩固一下，它就不再是难题啦！希望大家都能在数学的海洋里畅游，轻松搞定这些看似复杂的知识点！。
函数关于点(a,b)中心对称的结论
函数关于点(a,b)中心对称的结论函数关于点(a,b)中心对称，指的是将函数中的任意一点(x,y)关于点(a,b)对称后得到的点(x',y')，在函数图像上对应于点(x',y')与点(x,y)关于点(a,b)的对称位置。
在研究函数图像时，我们常常会遇到关于点对称的问题，尤其是在绘制函数图像时，如果能够掌握函数关于点对称的特性，将有助于我们更快速、准确地绘制函数图像。
首先，我们考虑函数关于点对称的基本特性。
对于任意函数y=f(x)，如果将函数中的任意一点(x,y)通过点(a,b)中心对称得到点(x',y')，那么有以下结论：1. 点(x,y)与点(x',y')的横坐标x和x'关于点a对称，即x'=2a-x；2. 点(x,y)与点(x',y')的纵坐标y和y'关于点b对称，即y'=2b-y；3. 对于函数图像上的任意一点(x,y)，它的关于点(a,b)对称点(x',y')也在该函数图像上。
根据以上三个结论，我们可以得到函数关于点对称的几何特性和运算规律。
具体来说，我们可以通过以下步骤来掌握函数关于点对称的特性：1. 首先确定函数图像中的关键点，包括极值、零点和拐点等等。
2. 然后求出这些关键点关于点(a,b)的对称点，并计算出它们的坐标。
3. 接下来，我们可以用这些对称点来构造函数图像的一部分或者整体，从而更快速、准确地绘制出函数图像。
例如，我们考虑函数y=x^2在点(1,0)处的中心对称图像。
根据结论1和结论2，我们可以求出点(1,0)关于点(1,0)的对称点(1,-2)，可以画出这两个点，并使它们关于点(1,0)对称，就可以得到函数在点(1,0)处的中心对称图像。
此外，我们还可以通过函数关于点对称的运算规律来求解一些特殊问题，比如直线与函数的交点、圆的切线等等。
例如，我们考虑求解函数y=x^2和直线y=2x+1的交点，那么我们先将该直线关于点(1,0)对称得到直线y=-2x+1，然后求解方程组y=x^2和y=-2x+1，就可以得到函数与直线的交点。
函数的性质之---函数的对称性
函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
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A. 2
B. 3
的反函数的图象关于点
C. -2
D. -4
成中心对称，则实数
由推论 3 可知
图象关于点
成中心对称,又
的反函数的图象关于点
成中心对称，
所以点
点
关于直线 ,即
.
II.不同函数关于点对称性
命题 1: 函数 证明：设
与 是函数
的图像关于点 成中心对称。 图象上的任意一点，则点 关于 的对称点是
A. 2 B. -1 C. 0 D. 1
解：由函数 的图象关于点
成中心对称，得
，又
，∴
;令
则
,于是 是偶
函数，且 则
，即 ，
是以 3 为周期的函数， ，∴
= 例 4 函数
.
解：由推论 3 可知
=1.
的图象关于点
成中心对称，则实数
图象关于点
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成中心对称,所以
，即 .
例 5 函数
.
∴
,由：命题 2 可知选 D。
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，从而
，
为对称轴，
为对称中心其中 k∈Z）
例 3 定义在 上的函数 满足
，
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则
解：由命题 1 可得函数 关于点
对称，所以点
关于点
的对称
点
也在函数 图象上，所以
同理可得
，
，即
；
，
；于是
. 例 4 已知定义在 上的函数 的图象关于点
成中心对称，对任意的实数
都有 则
，且
、
，
的值为（
）。
上单调递增，如果
且
，则
的值（ ）
A. 恒小于 0 B. 恒大于 0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析：先 代替 ，使变形为，它的特征就是推论 2，因此函数 的图像关于点 对称。 在区间
上单调递增，
在区间
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
个单位。
解：∵
且在区间
上单调递增，
,因为点
在函数
的图象上，所以函
数
与
的图像关于点 成中心对称。
命题 2：设 均为常数，函数
)与函数
的定义域均为 ，那么函
数 对一切
的图象与函数 ,均有
证明：（1）充分性：设
的图象关于 b.
成中心对称图形的充要条件是：
是函数
图象上的任意一点，
则点 关于 所以
的对称点是 ,即点
,且
.
是
函数图象上的一
点，也即函数
是奇函数，则奇函数定义有 f (x) f (x) 0 ，由命题 1 可得
函数
图像关于源点
对称。
推论 2：如果函数
满足
,则函数
图象关于点
对称。（证明略）
推论 3：函数
的图像关于点
。
证明：∵
，
，
∴
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由命题 1 有函数
的图像关于点
对称。
例 1 已知定义域为 的函数 满足
且函数 在区间
图象上任意一关于点
的对称点都在函数
的图象
上；同理可证，函数 的图象上。
(2) 必要性：设点
图象上任意一关于点
的对称点也都在函数
是函数
整理为 word 格式
图象上的任意一点，则点
关于点
的对称点
∴
,即
.
由（1）（2）证明可知：命题 2 成立。
推论 1 :设 均为常数，则函数
在函数
图象上，
，也即对一切
,均有
函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。 函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关 系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决， 对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的 较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
∴
，∵
∴函数 的图像关于点 对称，∴
∴
.所以选 A
例 2 如果函数
满足
，求该函数的对称中心。（因为
自变量加起来为 7 时函数值的和始终为 6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对
称中心）
如果 为奇函数，并且 轴。（由周期性定义知周期为 4，又 按上例知 x=-1 为对称轴，所以
，求该函数的所有对称中心和对称
I.函数自身关于点对称性
命题 1：函数
的图像关于点
对称的充要条件是
(或者
)
证明：（必要性）设
是
图像上任一点，∵点
关于点
的
对称点
也在
图像上，∴
，即
故
，必要性得证。
（充分性）设点
是
图像上任一点，则
，∵
，∴
，即
，故点
也在
图像上，而点 与点 关于点
对称，充分性得证。
推论 1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数
的图象与函数
的图
象关于点
成中心对称。
证明：令
,
则
,对
均成立。
∴
对
均成立.
∴由命题 2，函数
与函数
的图象，即函数
的图象与
函数
的图象关于点
成中心对称。
例 1 已知函数
是定义在 上的函数，那么
与
的
图象 ( ) A.关于直线
对称. B.关于直线
对称.
C.关于点 对称. D.关于点 对称。
简解：令
,则
对
均成立。