6第六章 梁的应力解析

A
I z y 2 d A 为截面对于z轴的惯性矩。
A
FN d A
A
E

A
yd A
ESz

0
(a)
M y z d A
A
E

E
A
yz d A
y dA
2
EI yz

EI z
0
M
(b) (c)
M z y d A
A

A

由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求： 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显 然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心； 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， A yz d A 0 ； 在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自 动满足。
y

即得弯曲正应力计算公式：
My Iz
Mz
y
z x σ dA y
My Iz
应用此式时，如果取 y轴向下为正，则在弯矩 M 按以前 的规定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示为拉应
力或压应力。
但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正 应力之点在中性轴的哪一侧来判别正应力为拉应力还是压应
y

a) a) a)
b) b) 横截面上正应力分布规律
b)
c) c) c)
还有两个问题没有解决：
Mz
y
z 1、中性轴位置在哪？ x σ dA 2、中性层的曲率半径ρ=？ y
(3) 静力学方面━━ 找出确定中性轴位置的条件以及
横截面上正应力的计算公式。
梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素 dA 不可 能组成轴力，也不可能组成对于y 轴的内力偶矩，只能组成 对于中性轴 z 的内力偶矩，即
F
M
C

C
F
A

Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力 计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 找出与横截面上正应力相对应的纵 向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁：
弯曲变形
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
Mz
y
z x σ dA y
FN d A 0
A
M y zdA 0
A
M z y d A M
A
将 E
代入上述三个静力学条件，有
y
FN d A
A
E

A
yd A
ESz

0
(a) (b) (c)
M y z d A
A
E
E

（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
考察相距d x的两横截面之间的梁段，在梁弯曲变形后
的情况。两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d， 梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变为
BB1 BB1 y d dθ AB O1O2 dρ x
2
令中性层的曲率半径为 1 2 ，则有
力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z
的距离。
b o z d o z
yc,max
d2
h
yt,max
O z y
y (a)
y (b)
b
(c)
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大
拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴 的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不 相等。
d1
h
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
力的值max为
Mymax M M max Iz I z Wz y max
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。 b o d z
o2 b 2
y
1
（中性轴）
z
dx
d d x d x o' o' 1 2 y b'y a' 1 2
y
（对称轴）


y

即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变
与该点至中性轴的距离 y 成正比。
弯曲变形
(c)
(2) 物理方面━━ 由纵向线应变在横截面范围内的变
化规律
E
M z y d A
A
E

A
y dA
2
EI z

M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截
1
面的直梁位于中性层内的梁的轴线将弯成圆弧。
将上式代入式 E
第六章 梁的应力
§6-1 梁的正应力
内力在横截面上的分布 剪力FS：
弯矩M： 切应力τ 正应力σ
τ
M
σ
FS
纯弯曲 ━━ 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而 只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。
Me
M
横力弯曲 ━━ 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应
地，横截面既有正应力又有切应力。
F
FS
M
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。
横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧 的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一
层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与
横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━ 中 性轴 。
的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；
2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，
只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和
nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
A
yz d A
y dA
2
EI yzBiblioteka EI z0M
M z y d A
A

A

以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相
关的几何量，统称为截面的几何性质，而
其中
S z y d A 为截面对于z轴的静矩。
A
I yz yz d A 为截面对于y轴和z轴的惯性积。
y

找出横截面上正应力的变化规律。
小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤
压，认为梁内各点均处于单向应力状态。 梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相 同，则有
E E
y

这表明，梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴 的方向按直线规律变化。
E E
中性轴 中性轴 中性轴