第六章 应力状态分析

pl
14
例6－4、分析A点的应力状态。
2 1 3
2
3
1
15
§6-2 二向应力状态分析
在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相 垂直的截面），确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而 确定该点的主平面和主应力。
1、斜截面上应力
y
e´ e
y
yx
a
n
x
f
a
y
a
f´
①
n
F
yx (dA sin ) cos y (dA sin ) sin 0 ② Ft 0 dA xy ( dA cos ) cos x ( dA cos ) sin
yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0 2 2 cos2 =cos -sin sin2 2sin cos 利用三角函数公式： x y x y x y x y x y 2 2 2 2 且有 yx xy，化简得：
6
哪一个面上？ 哪一点？
2、研究方法 单元体
z
zy yz
各边边长
dx , dy , dz
z
3
zx
x
x
2
xz
xy yx
y
y
单元体上没来自百度文库切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并且
1
1 2 3
2
主应力按代数值排序：1 2 3
21
3 最大剪应力 max

max min

x y
2
d 令 0 d

max min
x y tan 21 2 xy
2

x y 2
复杂 应力 3）空间（三向）应力状态（三个主应力都不等于零） 状态
8
例6-1、画出如图所示梁S截面各点的应力状态单元体。
F
5 S平面 4 3 l/2 l/2 2 1
9
5 4
3 2 1
x
1
S平面
5
4 3 2
1
x
1
x
2
2
x
2
2
1
x
2
2
x
2
2
3
3
10
例6-2、画出如图所示梁危险 截面危险点的应力状态单元 体
y S 1 2 z 4 l
FS
3
z
F
x
2
4 3
MZ
a
T
11
y
FS
1 2 z 3 4 z x 2 4 3
MZ
T
1 2
z
3
Mz x1 Wz
T 1 Wt
T 4 FS 2 Wt 3 A
x3
T Mz 3 Wt Wz
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例6－3、分析薄壁圆筒受内压时的应力状态。

A
y
'
4
P A B
M (x ) y (x, y ) IZ
τ

FS (x ) S* Z (x, y ) bI Z
FN A
A cos2 A sin 2
2
5
一般性结论
1）受力构件上应力随点的位置变化而变化； 2）即使在同一点,应力也是随截面的方位变化而变化。 应 力 指明 哪一点？ 哪个方位面？ 过一点所有方位面上应力的集合，称之为这一点的应 力状态。
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任意斜截面应力公式
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 xy sin 2

sin 2 xy cos 2
都是 的函数。 可见，
19
2、 正应力极值和方位

d 确定正应力极值： d 0
7
只有主应力的单元体称为主应力单元。
3、应力状态分类
一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主 平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力 1 2 3
2
2
3
1 1
应力状态：
1
1
2
1 3
1
1）单向应力状态(一个主应力不等于零)
2
2）平面（二向）应力状态（两个主应力不等于零）
xy
x x
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正负号规定
： 对单元体内任一点取矩顺时针为正，逆时针为负。
第一个角标表示作用面的法线方向， 第二个角标表示切应力的方向

： 拉（+），压（） 正应力的角标表示作用面的法线方向
：由x 轴正向逆时针转到
斜截面外法线时为正； 反之为负。
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对隔离体列平衡方程
0 dA xy (dA cos ) sin x ( dA cos ) cos
20
( x y ) 2
sin 2 0 xy cos 2 0 0 0
确定了两个相互垂直 的平面，分别为最大和最 小正应力所在平面。
此截面的位置可由下式确定： 2 xy tan 2 0 x y 正应力极值：

max min

x y
2
x y 2 xy 2
z
D
(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F p
薄壁圆筒的横截面面积
D2
4
A D
F pD A 4
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(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象
"
p
FN
O
FN
d
"
'
y
D FN l 0 2 d sin plD pD pD F 0 2 l plD 0 iy 2 4
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 ( x y ) d 2 sin 2 2 xy cos 2 d 2

设＝ 0 时，上式值为零，即： ( x y ) sin 2 0 xy cos 2 0 0 0 2 即α＝α0的截面，正应力取极值，切应力为零。
第六章 应力状态分析和强度理论
§6-1 应力状态概述
§6-2 二向应力状态分析
§6-3 应力圆及三向应力状态简介 §6-4 广义虎克定律与应变能密度 §6-5 强度理论
2
§6-1 应力状态概述
1、问题的提出
铸
铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
3
低碳钢
铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面 断开？