应力状态与应变状态分析

t C xy
s x s y 0
t
xy
t
Mn WP
求极值应力
s s
1 2
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y ）2 t
2 xy
t
2 xy
t
s1t ;s 20;s 3t
tg2
0
2t xy s x s
y
0
45
t t
m m
ax
in
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
t
tg21s2xtsxy y 010
破坏分析
低碳钢:s s 240 MPa;t s 200 MPa
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t m in
s s
1 3
OCR半径
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y ）2 t
2 xy
t t
m m
ax
in
R半径
s
m
axs
2
m
in
（s
x
s
2
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
Mx
tzx
txz
t yx t C xy
七、主单元体、主面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal bidy)：
sx
各侧面上剪应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
d
0
s x s
y
sin202t xycos200
由此的两个驻点：
01、（ 01 2）和两各极值：
tg20
s
2t xy x s
y
sy
ssmm´´ainx
sx
sy ±（sx
2
sy
2
）2
t2 xy
sx
t0 0极值正应力就是主应力 ！
y
txy
Ox
s1s m ax; s 2 s m in
s1在剪应力相对的项限内，
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相 离。
sy
y
证明: 单元体平衡 M z 0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
sz
z
txy sx
x
t xy t yx
六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
A
P sx
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
第七章 应力状态与应变状态分析
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 梁的主应力及其主应力迹线 §7–5 三向应力状态研究——应力圆法 §7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §7–7 复杂应力状态下的变形比能
低碳钢
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb640~960MPa;tb198~300MPa
铸铁
§7–3 平面应力状态分析——图解法
sy
一、应力圆（ Stress Circle）
sx
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
c
os2
t
xys
in2
y
txy
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
c
os2
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
Fn 0
n
s Ss xScos2t xyScossin
t
s ySsin 2t yxSsincos0
sy
考虑剪应力互等和三角变换，得：
y O
sx
y
sx
txy
x
图1
s
sy
ttxy
s
sx
s
2
y
sx
s y
2
cos2
t xy
sin 2
同理：
t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos2
n
Ox
t
图2
二、极值应力
令:ds
y ）2 t
2 xy
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
的无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
sy
y
b、平行面上，应力相等。
sz
z
txy sx
x
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
§7–１ 应力状态的概念 一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
且偏向于sx 及sy大的一侧。
y
令:dt 0 d 1
tg21s2xtsxy y
O
ttmmainx
± （sx
sy
2
）2 tx2y
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
sy
s 2
主 单元体
sx
txy s1
x
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
M
txy tyx
解：确定危险点并画其原
t yx
始单元体
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§7–2 平面应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等价 y
sx
txy
x z
Ox
sy
一、任意斜截面上的应力
sx 规定：s 截面外法线同向为正；
y
txy
t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
n s
s
x
s
2
y
2
t 2
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
2
C O
B(sy ,tyx)
x
A(sx ,txy) s
建立应力坐标系，如下图所示， （Baidu Nhomakorabea意选好比例尺）