二次函数y=ax2+bx+c的图象与待定系数的关系

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二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式课件

已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
归纳
知识点3
用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
思考
回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
知识点1
用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？
∴4=a(0+2)(0-8),
拓展延伸
6.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
基础巩固
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-22. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c= ．3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 .

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．二、应用迁移巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。

3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。

6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。

7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。

11、已知二次函数y1= ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。

_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质

二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。

利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小；最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。

它们之间的关系如下：系数图象的特征系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)PPT课件(人教版)

检测反馈
1.已知二次函数的图象过(1,0),(2,0)和(0,2)三点, 则该函数的解析式是 ( D )
A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2D
C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+2
解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入得
a 4a
3.已知二次函数的图象与x轴交于点(2,0),(-
1,0),与y轴交于点(0,-1),那么这个二次函数 y 1 x2 1 x 1
的解析式是 2 2 .
解析:设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x+1),
把(0,-1)代入得-1=-2a,∴
a1 2
，
∴所求二次函数的解析式为
y 1 (x 1)(x 1),即y 1 x2 1 x 1,故填
当x=15时,y=
1 25
(15-20)2+16=15;
当x=25时,y=
1 25
(25-20)2+16=15.
∴铁柱应取15 m长.
[知识拓展]
1.求二次函数解析式的几种方法之间是相互联系的,而不是孤立的,不同的函数解析式的设法是根据不同的已知条件来确定的.
2.在选用不同的设法时,应具体问题具体分析,特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时,应灵活选用不同的方法来求解, 以到达事半功倍的效果.
又对称轴直线
x
b 2a
2,
解得a=1,b=-பைடு நூலகம்,c=-5,所以二次函数的解
析式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.
5.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4),且经过点(-2,-5),求此二次函数的解析式.

用待定系数法求二次函数表达式的三种形式

出该函数表达式。
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0），求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见的三种形式：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1），图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6，求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上，试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求

用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

教案教学内容二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质一、学习目标：1.会用描点法画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质；2.通过独立思考、小组合作、动手操作，掌握二次函数y=ax²+bx+c的性质，并会灵活应用.二、知识回顾：1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的相同，不同.抛物线y=ax2向平移个单位，向平移个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.（2）对称轴是直线x=h.（3）顶点坐标是（h,k）.3．二次函数y=ax2，y=ax2+k的性质有哪些？请填写下表．二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2（x+3）2+5y=-3（x-1）2-2y=4（x-3）2+7y=-5（2-x）2-6三、知识梳理：1、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）二次函数y=ax²+bx+c的顶点和对称轴：一般地，二次函数y=ax ²+bx+c 可以通过配方化成y=a （x-h ）²+k 的形式，即y=a （x+a 2b ）2+a 4b -ac 42，所以二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的顶点为（-a 2b ，a 4b -ac 42），对称轴是直线x=-a2b。

例如y=x ²-2x+3可以配方成y=（x-1）²+2，其顶点为（1,2），对称轴为直线x=1. （2）二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的作法：二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的图象的常见作法有两种：五点法和平移法。

方法一：五点法①通过配方将二次函数y=ax ²+bx+c 化成二次函数的形式； ②确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴； ③以顶点为中心，左右对称各取两对点的坐标； ④用平滑的曲线将描出的点顺次连接起来。

22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质2

直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1，当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。
Байду номын сангаас
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

c 3,
0,
解得 b
3 4
,
c 3,
∴抛物线的解析式为y=- 3 x2+
8
3 x+3.
4
解法二:设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),把C(0,3)代入得-8a=3,即a=
知识点三待定系数法求二次函数解析式
6.(2018黑龙江大庆龙凤期中)已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8, 其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是 ( ) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 答案 D ∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同, 故设该二次函数的解析式为y=-2(x-h)2+k,∵当x=1时,y有最大值8,∴该二次函数的顶点为(1,8),∴h=1,k=8,∴该二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+8, 即y=-2x2+4x+6.
图22-1-4-1
解析二次函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象的顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1, ∵a=1>0,∴函数有最小值-4.其图象如图.
知识点二抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系 4.(2017北京昌平期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图22-1-4-2所示,则下列关系式不正确的是 ( )
题型二利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质比较函数值的大小
例2 (2017河南商丘柘城模拟)已知二次函数y=-x2+2x+c的图象上三个点的坐标分别为A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 ( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 解析 ∵y=-x2+2x+c, ∴函数y=-x2+2x+c的对称轴为直线x=1,开口向下, 当x<1时,y随x的增大而增大. ∵C(2,y3)关于x=1的对称点为(0,y3), 又∵0>-1>-2, ∴y3>y2>y1.

专题03 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(解析版) 初升高数学无忧衔接(沪教版2020)

热身练习
一、单选题
1．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）抛物线 y x2 bx c 图象向右平移 3 个单位再向下平移 4 个单位，
所得图象的解析式为 y x2 2x 2 ，则 b 、 c 的值为（）
A． b 4 ， c 9
【答案】A
B． b 4 ， c 9 C． b 4 ， c 9
又 b 1，所以 b 2a ，代入得 a 2a +c>0 ，
2a 所以 3a c 0 成立，故②正确；当 x 1 时， y 0 ，所以 a+b+c 0 ，即 a+c b ，
又 a+c>b ，所以 a+c2 b2 0 ，故③正确；
对称轴是 x 1 ，当 x 1 时，有最小值 a+b+c ，所以 a+b+c am2 +bm+c ，所以 a b m(am b) ，故④正确，
综上得结论正确的是②③④，故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
知识精讲
一、二次函数图像的伸缩变换问题函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝ 1 x2，y＝－2x2 的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2 2
，得
，故正确，
故选：C．例 2.下列说法错误的是( ) A．二次函数 y=－2x2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0 B．二次函数 y=4x2 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大 C．在三条抛物线 y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2 中，y=2x2 的图象开口最大，y=－x2 的图象开口最小 D．不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【答案】C 【解析】 A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当 x=0 时，y 有最大值是 0，故该选项正确； B、二次函数 y=4x2 中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，故该选正确； C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2 的图象开口最小，y=-0.5x2 的图象开口最大，故该选错误； D、不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．故选 C．

中考数学复习考点知识归类讲解20 二次函数的图象与系数的关系问题

中考数学复习考点知识归类讲解专题20 二次函数的图象与系数的关系问题知识对接考点一、二次函数图象与系数的关系问题 1.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 考点二、用待定系数法求二次函数解析式的步骤（1）设:巧设二次函数的解析式;（2）代:根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);（3）解:解方程(组),求出待定系数的值,从而得到函数的解析式.专项训练一、单选题1．已知抛物线2y ax bx =+，当0a <，0b >时，它的图象经过（） A ．第一，二，三象限 B ．第一，二，四象限 C ．第一，三，四象限D ．第一，二，三，四象限2．函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）经过点（﹣1，0）、（m ，0），且1＜m＜2，当x ＜﹣1时，y 随x 增大而减小，下列结论：①abc ＞0；②a +b ＜0；③若点A （﹣3，y 1），B （3，y 2）在抛物线上，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c -2=0必有两个不相等实数根；⑤c ≤﹣1时，则b 2﹣4ac ≤4a ．其中结论正确的有（）个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，二次函数()2y ax bx ca 0=++≠的图象与x 轴正半轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >； ②930a b c ++<； ③1c >-；④关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1a-．其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，图象过(1,0)点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①0abc >；②240b ac ->；③930a b c -+=；④若点()()122.5,,0.5,y y --均在抛物线上，则12y y >；⑤520a b c -+<． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象的顶点为点D ，其图象与轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面四个结论中，其中正确的结论是（）A ．2a ﹣b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．c ＜﹣3aD ．当ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有实数解时，则a ≥0.56．已知点()13,P y -，()25,Q y ，()3,M m y 均在抛物线2y ax bx c =++上，其中20am b +=．若321y y y >，则m 的取值范围是（）A ．3m <-B ．1mC ．31m -<<D ．15m <<7．已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0a b c -+>，则一定有（） A ．240b ac -≥B ．240b ac ->C ．240b ac -≤D ．240b ac -<8．如图，已知二次函数()20y axbx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③20a b -=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数）；⑤c-a <-1，其中正确的是（）A ．①②⑤B ．②③C ．①②③⑤D ．②③④9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③2a ﹣b ＞0；④3a +c ＜0，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a )，点A (4，y 1)是该抛物线上一点，若点D (x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②若y 2＞y 1，则x 2＞4；③若0≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ；④若方程a (x +1)(x ﹣3)＝﹣1有两个实数根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣1＜x 1＜x 2＜3．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(2,0)-，()1,0x ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在()0,2的下方，下列结论：①0abc >；②420a b c -+=；③0a b c -+<；④20a c +>．其中正确的有_______．（填序号）12．如图，二次函数2() 0y ax bx c a =++≠的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c <3b ；③8a +7b +2c >0；④若点A (-3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：⑤若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则12-15. x x <<<其中正确的结论有__________． (只填序号)13．抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则a ＋b ＋c ______0．（填“＜”“＝”“＞”）14．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为12x =且经过点（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y 1），（π，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；②c ＝2b ；③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ≠0）一定有两个不同的解；④()4bm am b ≥+（其中m 为实数）．其中说法正确的是_______．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc ＜0；②a +c ＜b ；③2a +b ＝1；④a +b ≥m （am +b ），其中全部正确的是______三、解答题16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）过点C （0，2）、点A （2，0）．（1）求证：b ＝﹣2a ﹣1；（2）若平行于x 轴的直线y ＝2﹣a 与抛物线有交点，求a 的取值范围．（3）若a 为整数，n 为正整数，当n ＜x ＜n ＋2时，对应函数值有且只有9个整数，求a 、n 的值．17．在平面直角坐标系中，二次函数221y x mx =-+图像与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ．（1）直接写出点A 与点B 的坐标；（2）若函数221y x mx =-+的图像与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为222422y x mx m =-+-+，直线l ：y =－x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）如图1，当抛物线经过点A 且与x 轴的两个交点都在y 轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P 为直线l 上方的抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，求PQ 的最大值．（3）如图2，点C （－2，0），若抛物线与线段AC 只有一个公共点，求m 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax ax c =-+与直线3y =-有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D 的坐标，并求出c 与a 的关系式；（2）若点(),P x y 为抛物线上一点，当1t x t ≤≤+时，y 均满足233y at -≤≤-，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点(),M x y （其中3x ≥）作x 轴的垂线l ，设l 与直线23y ax a =-+-交于点N ，若M 、N 两点间的距离恒大于等于1，求a 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2﹣4x+2m ﹣1与x 轴交于点A ，B ．（点A 在点B 的左侧）（1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大整数时，求点A 、点B 的坐标．21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，试判断P ，Q 的大小关系．22．设二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0，c ＞1），当x ＝c 时，y ＝0；当0＜x ＜c 时，y ＞0．（1）请比较ac 和1的大小，并说明理由；（2）当x ＞0时，求证：021a b cx x x++>++． 23．己知抛物线()()22113y m x m x =-+++（m 为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m +7），求m 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m ；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P （5-，1y ），Q （7，2y ）（其中12y y <）两点，当53x -≤≤时，点P 是该部分函数图象的最低点，求m 的取值范围．。

二次函数的性质及其图象

象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个左单位加向右右 (h 减 0)、左（h 0） y=a(x-h)2
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜

二次函数第二次课

环球雅思学科教师辅导讲义组长签字：1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝知识点1：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为9．(2014·河南)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于轴为直线x＝2，则线段AB的长为________．,2－7x＋152.若自变量x1，x2，x3，且0＜＜y3＜y，当－5≤x≤0时，14．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？15．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－请求出最大值．16．已知二次函数y＝x2－(1)当二次函数的图象经过坐标原点用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为求这条抛物线的解析式．轴的两个交点的坐标分别为(－1，3)，则b，c的值分别是的对应值如下表：0 1 2 …16．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；＝－23x＝92，1221．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，就是二次函数二次函数的图象与x轴交点的________．知识点1：二次函数与一元二次方程1．抛物线y＝－3x2－x＋2与坐标轴的交点个数是(则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．ax2＋bx＋c的部分图象由图象可知不等式ax2＋bx＋c5．x＜－1或x＞5已知二次函数y＝ax2＋bx＋与自变量x的部分对应值如表：x … 1 2 3 …__________．的形式；且x1＜x2＜1，请比较是常数)．轴没有公共点；轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与16．已知抛物线y＝ax2＋bx是方程x2＋4x－5＝0的两根．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a＞0时，开口_____，当a＜0时，开口_____；：二次函数图象与字母系数的关系的图象如图所示，则下列关系式错误的是( ),y＝ax2＋bx＋c(a≠的图象如图所示，下列结论正确的是( )．b2－4ac＜0 x＜3时，y＞0 1，若b＋c＝0，则它的图象一定过点( )一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()), y＝ax2＋bx＋c(a≠的图象如图所示，其对称轴为下列结论中错误的是B．2a＋b＝0＞0 D．a－b＋c＞0已知二次函数y＝kx2－7x－的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )7,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象的顶点为点D ，其图象与x 轴的交点C.在下面四个结论中：①＋b ＋c ＞0；③c ＝－3a ＝12时其中正确的结论是_____．(只填序号16．如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线(1)求m 的值和抛物线的解析式；与y＝ax2＋b在同一坐标系中的大致图象是( )两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是＜h＝hc的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且,第7题图),第8题图)的部分图象如图所示，图象过点(－＞－1时，y的值随x值的增大而增大．x的增大而_____．2，已知A，B，C三点的坐标分别为A(－2，0)，三点的抛物线的解析式；轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD，BC的交点PC，PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．。

二次函数y=ax+bx+c的图像和性质

对称轴的轴对称图形，有以下性质：
y
1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；
抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。 O
x
2.如果抛物线交x轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。
3.若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为x1，x 2，则抛物线的对称轴是直线x x1 +x 2
2
1 2
x2－6x＋21
＝ 1 (x－6)2＋3 2
由此可知，抛物线
y＝
1 2
x2－6x＋21
的顶点是点（6，3），对称轴是直线 x＝6.
直接画函数
y 1 x2 6x 21 2
的图象
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
2
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
顶点坐标:(6,3).
再见
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质１２３...顶位增23个|个..不联单单点置减同系位位坐与性:点(当y(:当标开与=(a((14234(ab与口最)axc4))位a对最-bh>对方值置2称值)0²+>不时轴不称向k0同,(时不同向a轴≠(向:同右20分))上顶:平分别的平点移别是图移不4;是当a象2直c4;同当a可线b:224分xb以aac和4别看a<0b0是2成b2.<时a0y,时2=向ba和a,,左x向4ya²轴c的平4下a.b图移平2 象)移和,再先)(得0沿沿,0到对x).的轴称.整轴体整左体(上右()下平)移平|移 2|b4aac4|a b2
y a x
b
2

4ac

b2
.
2a

初三年级奥数知识点：用待定系数法确定二次函数表达式

初三年级奥数知识点：用待定系数法确定二次函数表达式待定系数法仅仅一种方法，是一套固定程序，并不是什么公式。

就比如说二次函数，有一种一般表达式y=ax2+bx+c(a≠0)，那么a、b、c叫做系数，它们未知，有待确定所以叫“待定系数法”。

待定系数法就是要想办法找出这个二次函数过的三个已知点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x1、x2、x3、y1、y2、y3都是已知数)，把它们代入表达式ax12+by1+c=0ax22+by2+c=0ax32+by3+c=0解这三个方程能够求出a、b、c就算出了二次函数表达式。

有时候也不一定非要把这三个数都求出来，仅仅要它们之间的某些关系。

比如x=1代入可得y=a+b+c，也就是说如果图上画了横坐标为1的点就能够估算a+b+c的范围，如果图上这个点纵坐标大于0就能够知道a+b+c>0，如果小于零则能够知道a+b+c<0，等于零则能够知道a+b+c=0。

同样，画了一个横坐标是-1的点则代入y=a-b+c，横坐标为-1的点纵坐标就是a-b+c，也能够判断。

还比如与x轴交点有两个不同的则b2-4ac>0，只有一个则b2-4ac=0，没有则b2-4ac<0。

还有比如与y轴交点纵坐标就是c，等等。

另外二次函数还有两种形式，是两根式y=a(x-x1)(x-x2)，x1、x2分别是一元二次方程y=0的两个根，这时候a是系数未知，只要再找到一个在图像上的点代入坐标就能够求出a。

还有顶点式y=a(x-h)2+k，(h,k)是顶点坐标(或者最低点)，a是待定的系数，这时候还要知道图象上的一个点带入坐标算出a。

总结一下就是三种形式，必须知道三个普通点的坐标或者一个顶点、一个普通点的坐标就能够通过待定系数法确定二次函数表达式。

课后练习当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏水准能够用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响能够用公式I=2v 2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度.① 列表表示I与v的关系;② 当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍 ?答案：①略②4倍。