2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考(三)数学(文)试题(解析版)

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考（三）数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =（ ） A ．{}1,7 B ．{}3,9 C ．{}1,5,7 D ．{}1,7,9【答案】A【解析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B ，得到答案. 【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =， 所以{}1,7S C A =， 而集合{}1,3,7,9B =， 所以(){}1,7S C A B =，故选：A. 【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题.2．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +-=，则角C =（ ） A ．30° B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C【解析】对条件中()22a b c ab +-=进行化简整理，然后代入到余弦定理cos C 的表达式中，得到答案. 【详解】因为()22a b c ab +-=，所以222a b c ab +-=-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，因为()0,C π∈，所以120C ︒=， 故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理求角的大小，属于简单题.3．已知等差数列{}n a 的前5项和为10，154a =，则9a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】根据等差数列前n 项和的公式，得到15a a +，根据等差中项，得到3a 的值，结合条件，再利用一次等差中项，得到9a 的值，得到答案. 【详解】因为{}n a 为等差数列， 所以()1555102a a S +==，即154a a +=， 所以根据等差中项可得，15322a a a +==， 因为154a =，所以根据等差中项可得，315932a a a +==， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和，等差中项，属于简单题.4．已知函数()f x 是偶函数，其图象与x 轴有9个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9【答案】A【解析】根据偶函数的图像的特点，得到零点关于y 轴对称，从而得到答案.【详解】因为()f x 偶函数，所以其图像与x 的交点关于y 轴对称， 故如果()00f ≠，则()f x 图像与x 的交点个数应是偶数个， 而已知条件中，()f x 图象与x 轴有9个交点， 所以可得()00f =，其它8个交点两两关于y 轴对称， 故方程()0f x =的所有实根之和为0. 故选：A. 【点睛】本题考查偶函数图像的性质和特点，属于简单题.5．数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，则数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差是（ ）A ．20B ．18C ．10D ．8【答案】A【解析】根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案. 【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，所以数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差 是22520⨯=， 故选：A. 【点睛】本题考查数据同时变化后对方差的影响，属于简单题. 6．设a 与b 是相互垂直的两个向量，2a =，1b =且满足()()a b a b λ+⊥-，则λ=（ ） A ．12B ．4C ．2D ．14【答案】D【解析】由题意得到0a b ⋅=，再根据()()a b a b λ+⊥-，得到()()0a b a b λ+⋅-=，展开代入已知条件，得到λ的方程，求出答案. 【详解】因为a 与b 是相互垂直的两个向量， 所以0a b ⋅=，因为()()a b a b λ+⊥-， 所以()()0a b a b λ+⋅-=，即()2210a a b b λλ+-⋅-=， 因为2a =，1b =， 所以410λ-=， 解得14λ=. 故选：D. 【点睛】本题考查垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.7．已知函数()(32019log 2f x x x =+，则不等式()()21130f x f x ++-<的解集为（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()2,+∞D ．(),2-∞【答案】C【解析】判断出()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为()()2131f x f x +<-，利用单调性解得答案. 【详解】函数()(32019log 2f x x x =+，定义域(),-∞+∞，()(32019log 2f x x x -=--(132019log 2x x -=-(32019log 2x x =--()f x =-，且()00f =所以()f x 为奇函数，因为2019log y t =，2t x =和3y x =都是增函数所以()(32019log 2f x x x =+是增函数，所以由()()21130f x f x ++-<， 得到()()()211331f x f x f x +<--=-， 所以2131x x +<- 即2x >. 故选：C. 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题. 8．对于任意两个数()*,,x y x y N∈，定义某种运算“◎”如下：①当**2,2,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=∈⎩或**21,21,x m m N y n n N ⎧=-∈⎨=-∈⎩时，x y x y =+◎；②当**2,21,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=-∈⎩时，x y xy =◎. 则集合(){},|10A x y x y ==◎的子集个数是（ ）A ．142个B ．132个C ．112个D ．72个【答案】C【解析】读懂条件中给出的定义，得到,x y 对应的取值情况，然后根据所求的集合(){},|10A x y x y ==◎，列出满足要求的(),x y ，得到其子集个数.【详解】根据条件中的定义可知，当*,x y N ∈，且,x y 同为奇数或者同为偶数时，有x y x y =+◎，当*,x y N ∈，且x 为偶数，y 为奇数时，有x y xy =◎， 故集合(){},|10A x y x y ==◎中10x y =◎，当,x y 同为奇数或者同为偶数时，10x y +=，(),x y 可取()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5,5，()6,4，()7,3，()8,2，()9,1，当x 为偶数，y 为奇数时，10xy =(),x y 可取()2,5，()10,1，所以(),x y 可取的情况共有11种， 即集合A 中有11个元素， 所以集合A 得子集个数为112. 故选：C. 【点睛】本题考查对给出的新定义的理解，读懂题目是关键，考查了根据集合元素个数求子集的个数，属于中档题.9．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞ D ．()8,+∞【答案】B【解析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--，设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以8b >-， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，111A A A D ==，3AB =，E 为棱1AA 的中点，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．4-B ．4C D ． 【答案】B【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到EF 和1BC 的坐标，利用向量的夹角公式，得到异面直线所成角的余弦值. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以()A ，(1A ，()B ，(1C ，E 为棱1AA的中点，所以(E ，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，所以(F ，所以(EF =，(1BC =-， 设异面直线EF 与1BC 所成角为θ 则1cos cos ,EF BC θ=1142EF BC EF BC ⋅===⨯⋅。

故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角的余弦值，属于简单题. 11．若函数()sin 2266f x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则θ的值不能是（ ） A ．43π- B ．3π-C ．23πD ．43π【答案】D【解析】对()f x 进行整理，然后根据对称轴为6x π=，得到26f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，从而得到θ，然后取不同的k 值，得到不同的θ的值，与选项进行比较，得到答案. 【详解】()sin 2266f x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2266x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 263x ππθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2sin 26x πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭根据题意，6x π=是()f x 的一条对称轴，所以2sin 22666f πππθ⎛⎫⎛⎫=⨯--=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即sin 16πθ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭所以262k ππθπ-=+或262k ππθπ-=-，即23k πθπ=--或223k πθπ=-+，k Z ∈， 当23k πθπ=--，k Z ∈时，0k =，得3πθ=-，当223k πθπ=-+，k Z ∈时，0k =，得23πθ=，1k =时，得43πθ=-，故选：D. 【点睛】本题考查辅助角公式，根据正弦型函数的对称性求值，属于中档题.12．已知数列{}n a 满足123a =，123n an a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈，则下列结论成立的是（ ）A ．201920202018a a a <<B ．202020192018a a a <<C ．201920182020a a a <<D ．201820192020a a a <<【答案】A【解析】先写出123,,a a a 以及234,,a a a 之间的大小关系，进行猜想，然后根据数学归纳法证明猜想，得到答案. 【详解】因为123a =，123n an a +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以23212233a a ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭， 所以211a a >>所以得到211222333a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即132a a a <<所以132222333a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即342a a a <<，所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n 时，有21222n n n a a a --<< 以下为证明：当1n =时，342a a a <<成立， 设当n k =时，21222k k k a a a --<<成立， 当1n k =+时，因为21222k k k a a a --<<，所以有21222222333k kk a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即21212k k k a a a -+<<成立所以21212222333k k ka a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即21222k k k a a a ++<<所以当1n k =+时，猜想也成立.故当连续三项的下标最大项为偶数2n 时，有21222n n n a a a --<< 所以201920202018a a a <<. 故选：A. 【点睛】本题考查由递推数列研究数列的性质，数学归纳法证明猜想，属于难题.二、填空题13．已知sin39a ︒=（a 为常数），则sin 219︒=______.（用含a 的式子表示） 【答案】a -【解析】()sin 219sin 18039︒=︒+︒，利用诱导公式，结合已知条件，得到答案. 【详解】因为sin39a ︒=，所以根据诱导公式可得()sin 219sin 18039︒=︒+︒sin39a =-︒=-.故答案为：a -. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，属于简单题.14．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，1n n b a =+，*n N ∈，则{}n b 的通项公式n b =______. 【答案】2n【解析】根据121n n a a +=+，得到()1121n n a a ++=+，从而得到12n n b b +=，再求出1b ，得到n b 的通项公式. 【详解】因为121n n a a +=+，所以()112221n n n a a a ++=+=+ 因为1n n b a =+， 所以12n n b b += 而1112b a =+=所以{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以1222n n n b -=⋅=故答案为：2n 【点睛】本题考查根据递推关系求数列的通项关系，属于简单题.15．已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______. 【答案】()2,1【解析】设直线:l y x m =+，代入双曲线方程，利用相切得到0∆=，求出m 的值，然后再得到在第一象限内切点A 的坐标，得到答案. 【详解】因为直线l 的斜率为1， 所以设:l y x m =+代入双曲线2212x y -=得224220x mx m +++=因为直线与双曲线相切，所以0∆=， 即()22164220m m -+= 解得1m =±当1m =时，22112y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩， 当1m =-时，22112y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩ 因为切点A 在第一象限， 所以点()2,1A . 故答案为：()2,1. 【点睛】本题考查根据直线与双曲线相切，求参数的值和切点坐标，属于中档题. 16．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱()14AA a a =>，M 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（包括四条边上的点），且满足tan 3tan APD MPB ∠=∠，则三棱锥P ABC -的体积的最大值是______.【答案】15【解析】由题意画出图形，表述出tan 3tan APD MPB ∠=∠，得到23PA PB =，从而得到P 到平面ABC 的距离PN ，然后求出PN 的最大值，从而得到三棱锥P ABC -的体积的最大值. 【详解】做PN AB ⊥于N ，在长方体1111ABCD A B C D -中，DA ⊥平面11A ABB ，CB ⊥平面11A ABB 所以在Rt PDA ∆和Rt PBC ∆中，tan AD APD AP ∠=，tan BMMPB PB∠=因为tan 3tan APD MPB ∠=∠，1122BM BC AD ==， 所以23PA PB =， 因为CB ⊥平面11A ABB ，PN ⊂平面11A ABB ， 所以CB PN ⊥，又PN AB ⊥于N ，AB BC B ⋂= 所以可得PN ^平面ABC ，设,PN h AN x ==，则4BN x =-，[]0,4x ∈， 由23PA PB =，得2249PA PB = 即()2222449h x h x ⎡⎤+=+-⎣⎦，整理得22326455h x x =--+，[]0,4x ∈ 开口向下，对称轴165x =-， 所以在[]0,4x ∈单调减，所以0x =时，2h 取最大值，为2max645h=所以max 5h =， 所以三棱锥P ABC -的体积的最大值为114432⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．三、解答题17．已知，如图甲，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图乙所示，且60DEA CFB ∠=∠=︒，点M 在线段AB 上且不与点A ，B 重合，直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定的平面相交，交点为O .（1）若12AM AB =，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ； （2）若78AM AB =，求点O 到平面CDEF 的距离.【答案】（1）延长FM 交EA 的延长线于点O ,证明见解析（2）【解析】（1）延长FM 交EA 的延长线于点O ，可得M 为OF 的中点，A 为OE 的中点，连接DF 交CE 于点N ，则N 为FD 的中点，从而得到//DO MN ，然后可得//DO平面EMC .（2）根据AM EF 得到比例线段，然后根据78AM AB =，得到OA 的长度，从而得到OE 的长，利用等体积转化O DEF F ODE V V --=，分别表示出体积，从而得到点O 到平面CDEF 的距离. 【详解】解：（1）如图，延长FM 交EA 的延长线于点O ， ∵M 为AB 的中点，//AE BF ， ∴M 为OF 的中点， 又//AB EF ， ∴A 为OE 的中点， 连接DF 交CE 于点N ， 则N 为FD 的中点， 所以//DO MN .又DO ⊄平面EMC ，MN ⊂平面EMC ， ∴//DO 平面EMC .（2）令d 为点O 到平面CDEF 的距离， 根据平面图形可知，,EF DE EF EO ⊥⊥ 而,DE EO ⊂平面EDO ，且DE EO E =，所以EF ⊥平面EDO . 因为AMEF ，所以AM OAEF OE=， 而78AM AM EF AB ==， 所以728OA OA =+，得14OA =，所以16OE =， 因为O DEF F ODE V V --=，所以1133DEF ODE S d S EF ∆∆⋅=⋅， 所以1111sin 603232DE EF d OE DE EF ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅︒⋅，所以d =点O 到平面CDEF的距离为【点睛】本题考查线面平行的判定，利用等体积转化求点到平面的距离，属于中档题.18．在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列.数列{}n b 满足3,4,n an nn b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数为正偶数. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）n a n =，*n N ∈（2）()()391418n n n -++【解析】（1）根据题意得到2319a a a =，用1a 和d 表示出来，从而可解得1a 和d 的值，得到n a 的通项；（2）根据题意写出n b 的通项，利用分组求和的方法，求出其前2n 项的和，得到答案. 【详解】解：（1）在公差d 不为0的等差数列{}n a 中， 由1a ，3a ，9a 成等比数列，可得2319a a a =，又11a =，可得()()211128a d a a d +=+， 化简可得11a d ==， 即有n a n =，*n N ∈.（2）由（1）可得3,4,n n n b n n ⎧=⎨⎩为正奇数为正偶数，数列{}n b 的前2n 项和()()352123333816248n n T n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()319188192n n n -=++-()()391418n n n -=++【点睛】本题考查等差数列通项中基本量的计算，分组求和的方法求数列的和，属于简单题. 19．2014年12月19日，2014年中国数学奥林匹克竞赛（第30届全国中学生数学冬令营）在重庆市巴蜀中学举行.参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市（自治区、直辖市）、香港地区、澳门地区，以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队，共317名选手.竞赛为期2天，每天3道题，限时4个半小时完成.部分优胜者将参加为国际数学奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛（全国中学生数学冬令营）是在全国高中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛，该项活动也是中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛.2020年第29届全国中学生生物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行.巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了2019年参加全国生物竞赛的200名学生（其中男生、女生各100人）的成绩，得到这200名学生成绩的中位数为78.这200名学生成绩均在50与110之间，且成绩在[)90,100内的人数为30，这200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名.并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.（1）求x ，y 的值；（2）填写下表,能否有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.025x =，0.02y =（2）列联表见解析,有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系.【解析】（1）表示出成绩在[)90,100内的频率，根据各组频率之和为1，以及中位数为78，得到关于,x y 的方程组，解出,x y 的值；（2）根据题意，写出成绩不高于平均数的男、女生数量，填写好列联表，然后根据公式求出2K 的值，进行判断，得到答案. 【详解】解：（1）∵成绩在[)90,100内的人数为30， ∴成绩在[)90,100内的频率为300.15200=. 由频率分布直方图得()0.010.005100.151y x x ++++⨯+=，化简得20.07y x +=，①由中位数可得()0.01101078700.5y x ⨯++-=，化简得540.2y x +=，② 由①②解得0.025x =，0.02y =.（2）200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名，因男、女生各100名，所以可得成绩不高于平均数的男生有38名，女生有62名， 根据题意得到列联表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()22003838626211.5210.828100100100100⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图求频数，中位数等，完善列联表，卡方的计算和判断，属于中档题.20．已知函数()22ln f x x x =-.（1）求函数()f x 在点()01,A y 处的切线方程； （2）求函数()f x 在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域；（3）若存在121,,,,n x x x e e ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+≤成立，求n 的最大值.（其中自然常数 2.71828e =⋅⋅⋅）【答案】（1）10y -=（2）()21,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦（3）n 的最大值为6.【解析】）（1）对()f x 求导得到()f x '，然后代入切点横坐标，得到斜率，点斜式写出切线方程，整理得答案；（2）利用导数判断出()f x 的单调性，根据单调性求出其最小值，并比较在两个端点时的函数值，得到最大值，从而得到答案；（3）由（2）可得()22n e f x ≤-，要使()()()()121n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+≤成立，且n 的值最大，则()1f x ，()2f x …()1n f x -的值应最小，即1211n x x x -==⋅⋅⋅==，()()()1211n f x f x f x -==⋅⋅⋅==，从而得到217n e ≤-<，从而得到n 的最大值为6.【详解】解：（1）()2222'2x f x x x x-=-=，∴()'10f =，又()11f =，∴()101y x -=⨯-，即10y -=为所求切线的方程.（2）()2222'2x f x x x x-=-=令()0f x '=，得1x =（舍去负根）所以1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， (]1,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增.故()()min 11f x f ==，又因为21123f e e⎛⎫=+< ⎪⎝⎭， ()2225.29 2.722 2.82 5.84f e e =-<=-<-=，故()()2max 2f x f e e ==-，故1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦. （3）由（2）知，1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦. 所以有()()22n f f x e e ≤=-而要使()()()()121n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+≤成立，且n 的值最大， 则()1f x ，()2f x …()1n f x -每个的函数值应最小，即，即1211n x x x -==⋅⋅⋅==，()()()1211n f x f x f x -==⋅⋅⋅==， 从而得到()()()()2112n f f n f x e e ≤≤-=-，所以217n e ≤-<， 所以n 的最大值为6. 【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和值域，不等式能成立问题，属于中档题.21．已知椭圆Γ的方程为()222210x y a b a b+=>>，椭圆Γ的离心率正好是双曲线2213y x -=的离心率的倒数，椭圆Γ的短轴长等于抛物线24y x =上一点()03,P y 到抛物线焦点F 的距离. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 与椭圆Γ的两个交点为C ，D 两点，已知圆O ：224x y +=与x 轴的交点分别为A ，B （点A 在x 轴的正半轴），且直线l 与圆O 相切，求ACD ∆的面积与BCD ∆的面积乘积的最大值.【答案】（1）221164x y +=（2）12【解析】（1）根据题意分别写出椭圆的离心率，短轴长，从而得到关于,,a b c 的方程组，解出,,a b c 的值，得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切，得到,k m 的关系()2241m k =+，分别表示出点A 、B 到直线l 的距离，直线与椭圆联立，得到12x x +，12x x ，从而表示出CD ，然后表示出12S S ，代入,k m 的关系，利用基本不等式，求出最大值. 【详解】解：（1）双曲线2213y x -=的离心率为e '==所以椭圆Γ的离心率e =抛物线24y x =的准线为1x =-，所以抛物线24y x =上一点()03,P y 到抛物线焦点F 的距离为314+=，所以椭圆Γ的短轴长为24b =，则2b = 设椭圆Γ的焦距为()20c c >，所以得到，2222c e a b b a c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆Γ的方程为221164x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，设点()11,C x y ，()22,D x y ， 由于直线l 与圆224x y +=2=，所以()2241m k =+.点A 到直线l的距离为1d =，点B 到直线l的距离为2d ==将直线l 的方程与椭圆Γ的方程联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222418440k x kmx m +++-=.由韦达定理可得122841kmx x k +=-+，()21224441m x x k -=+. 记ACD ∆的面积为1S ，记BCD ∆的面积为2S ，由弦长公式可得12CD x x =-====.所以，2121212111224S S CD d CD d CD d d =⋅⋅⋅=⋅()()22222221921414141k k k m k k +-=⨯⨯++()()222221921144141k k k k +=⨯⨯++ ()222422192192161841k k k k k ==+++221921168k k=++1921216≤==. 当且仅当22116k k =时，即当12k =±时，等号成立.因此，12S S 的最大值为12. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆相交，椭圆中的最值问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为325415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，且()2,1A ，求11AP AQ+的值. 【答案】（1）4cos ρθ=（2【解析】（1）先得到曲线1C 的普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得到答案；（2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程，得到12t t +，12t t ，将所求的11AP AQ+用12,t t 表示，从而得到答案. 【详解】解：（1）曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=.将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程()2224x y -+=中，得28305t t +-=， 设P ，Q 两点的参数分别为1t ，2t ，则12128530t t t t ⎧+=-⎪⎨⎪=-<⎩，1t 、2t 异号，1212121111t t AP AQ t t t t -+=+====【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化，直线参数的几何意义，属于简单题. 23．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞（2）40a -≤≤【解析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案. 【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-， 所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞.（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立， 当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤， 所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤；当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤--所以636a x x a -⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立，∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤. 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.。