2.4.2抛物线的几何性质
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
2.4.2抛物线的 几何性质
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
·
F
焦 点
(4)开口向下 x2 = -2py (p>0) l 准线
e=1
3、顶点
定义：抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y
y2 = 2px
(p>0)中，
o
F( p ,0 ) 2
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是（0，0）.
数学课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质
∴y421p·y222＋y1·y2＝0， ∴b2＋2pb＝0， ∴b＋2p＝0，∴b＝－2p. ∴y1·y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和－4p2. (2)AB 方程为 my＝x－2p，∴AB 过定点(2p,0)．
解决抛物线中定点、定值问题的方法 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问 题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题 的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、 事半功倍的效果．
解析：抛物线的焦点F
p2，0
，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－
p 2
，即
x＝y＋
p 2
，将其代入得：y2＝2px＝2p
y＋p2
＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所
以y1＋2 y2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
探究一 抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与 抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件， 利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
2．已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰 被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合 重点：抛物线的图形和简
问题．
单几何性质．
2.4.2-抛物线的简单几何性质
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0
p0
o F( p ,0) x
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦 的长度 通径
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
y
o F( p ,0) x
2
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
即直线与抛物线只有一个公共点。
当1 k 1 ,且k 0时， 2
即直线与抛物线有两个公共点。
课件4：2.4.2抛物线的几何性质
问题导入
我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)① 来研究它的一些几何性质.
学习新知 1.范围 因为p＞0，由方程①可知，对于抛物线上的点 M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口 方向与x轴正向相同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸．
典例精析 例1 已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M(4，2 3 )，求它的标准方程.
解 根据已知条件，设抛物线的方程为y2＝2px (p>0).
因为点M(4,2 3 )在抛物线上， 所以(2 3 )2＝2p·4，得2p＝3. 因此，所求方程为y2＝3x.
例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部 分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物 线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯 泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多 少？（图2-24（1））
a 4
)，∴m＝－a.
即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，
得0.82＝－ay，
即y＝-
0.82 a
.
欲使卡车通过隧道，应有y－(-
a 4
)>3，
a
0.82
即 4 － a >3.由于a>0，
得上述不等式的近似解为a>12.21.
∴a应取13.
x2＝－2py (p＞0)
图象
焦点 准线
性质
范围
对称轴 顶点 离心率
开口 方向
Fp2，0 x＝－p2
F－p2，0
F0，p2 F0，－p2
x＝p2
2.4.2 抛物线的几何性质
2.4.2抛物线的几何性质班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；培养学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程．【教学难点】抛物线的性质及简单应用．【教学过程】一、引入：1．抛物线定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（）的距离的点的轨迹叫做抛物线；点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0p>，表示焦点F到准线l的距离）3．抛物线的几何性质：以22(0)=>为例：y px p（1）范围：．（2）对称性：．（3）顶点：．（4）开口方向：．二、新授内容：例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）焦点在y轴上，通径的长等于4；（2）过点P(2，－4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5．例2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p => 的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为3，则p = ．【变式拓展】抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = ．例3．如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点恰好是椭圆22221x y a b +=的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，求该椭圆的离心率．【变式拓展】（1）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．*（2）已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点．①求证：OA ⊥OB ； ②当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 反思：xy F y 2=2px O三、课堂反馈：1．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 ．2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则______p =．3．抛物线顶点是双曲线22169144x y -=的中心，焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程 ．4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．*5．经过抛物线的焦点F 作一条直线与抛物线相交于1P ，2P 两点， 求证：以线段12P P 为直径的圆与抛物线的准线相切．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，焦点为(0,5)-； （2）顶点在原点，准线方程为3x =．2．对称轴为x 轴，焦点到准线的距离是4的抛物线的标准方程为 ．3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，若其准线经过椭圆4x 2＋9y 2＝36的右焦点，则该抛物线方程为______________．4．抛物线y ＝2ax 的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．5．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ．*6．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．7．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度．8．若动圆与圆(x+3)2＋y2＝1外切，又与直线x＝2相切，求动圆圆心的轨迹方程．*9．已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使PA＋PF取得最小值，求P点的坐标．*10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点(,3)M m 到焦点的距离为5，求m的值、以及抛物线方程和准线方程．。
2.4.2抛物线的几何性质
斜角为 135的直线被抛物线所截得 的弦长为 8，试求抛物线的方程.
y 2 2 px 1 2 2 由 p 得 x 3 px p 0 4 y x 2
p 抛物线方程为 y 2 px（p 0） 直线l：y x 2
2
解：当焦点在 x轴正半轴时，
课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上 , 顶 点 A、 B 在抛物线 y 2 x 上, 求正方形的边长.
2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上,
B 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长. 顶点 A 、
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
2
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y x 1 直线的方程是__________________________.
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 与两点。 例：判断直线 y = x -1与 y 抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一 元二次方程，需计 算判别式。相交。
O
x
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)
,
例1. 正三角形的一个顶点 位于坐标原点，另外两 个顶点 在抛物线 y 2 2 px（p 0）上，求这个三角形的 边长.
课件8：2.4.2 抛物线的几何性质
做一做
2.抛物线 y＝－18x2 的准线方程是(
)
A.x＝312
பைடு நூலகம்
B.x＝14
C.y＝2
D.y＝4
【答案】C
题型探究 题型一 抛物线的标准方程与性质 例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x42＋y92＝1 短 轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛 物线的方程及准线方程.
解：∵椭圆x42＋y92＝1 短轴在 x 轴上， ∴抛物线的对称轴为 x 轴, 设抛物线的标准方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0), ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3， ∴p2＝3，即 p＝6，
由y＝－x＋12p，消去 y2＝2px，
y
得
x2－3px＋p42＝0，
∴x1＋x2＝3p，∴p＝2,
∴所求抛物线方程为 y2＝4x.
若设抛物线方程为 y2＝－2px，
同理可求得抛物线方程为 y2＝－4x.
名师点评
当直线与抛物线相交时，联立方程组，利用一元二 次方程根与系数的关系解题是最常见的一种方法.求 出x1＋x2，再利用焦半径公式，写出焦点弦长，可确 定p,这样可以使计算量大大减少.
标准方 程
焦半径 |AF|
y2＝ 2px(p＞
0)
|AF|＝x0 ＋p2
y2＝－ 2px(p ＞0)
|AF|＝ p2－x0
x2＝ 2py(p ＞0)
|AF|＝ y0＋p2
x2＝－ 2py(p ＞0)
|AF|＝ p2－y0
跟踪训练
2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1)， B(x2,y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.
解：抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.由抛物 线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即 x1＋x2＋ 2＝ 7， 如图 ，∴|AA1|＋|BB1|＝7， ∴|MM1|＝ |AA1|＋2 |BB1|＝72,因此点 M 到抛物线准线的距离72.
§2.4.2_抛物线的简单几何性质(1)
1.已知M为抛物线 y2 4x上一动点，F为抛物线的焦点，
定点P(3,1),则 MP MF 的最小值为（B ）(A)3(B)4
(C)5
(D)6
N
M
. .
..
M P
F (1,0)
x3
A A`
OF
解这题,你有什么方法呢?
B` B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
解
由题意可知,
p
2,
p 2
1,
y A
A`
焦点F1,0,准线l : x 1.如
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
（二）归纳：抛物线的几何性质
图形
方程
焦点
准线
范围
顶 点
对称 轴
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≥0 y∈R
由已知得抛物线的焦点为F1,0,所以直线 AB 的 方程为 y x 1. 1
将 1 代入 y2 2x , 得 x 12 4x.
y A
A`
OF
化简得 x2 6x 1 0.
课件5：2.4.2 抛物线的简单几何性质
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点P的坐标为( )
A．(14，±
F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
→ FP
＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
[答案] D
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准
线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交
点为G，因为
→ FP
＝4
→ FQ
，则点Q是PF的三等分点，由于三角形
5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线 上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
[答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以 及恒成立问题，不妨设A( a，a)，B(－ a，a)，C(x0，x20)，则 C→B＝(－ a－x0，a－x20)，C→A＝( a－x0，a－x20)， ∵∠ACB＝90°. ∴C→A·C→B＝( a－x0，a－x20)·(－ a－x0，a－x20)＝0. ∴x20－a＋(a－x20)2＝0，∵x20－a≠0. ∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0. ∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
课件15：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2
所以其标准方程为 y2＝4x.
名师指导
抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点始终在对
称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始
终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于
顶点对称，顶点到焦点的距离为 .
2
跟踪训练
1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶
点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
C
2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B 且 AB 垂直于 x 轴，若
|AB|＝2 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为(
1
A.2
1
B.4
1
C.6
1
D.8
)
【解析】
线段 AB 所在的直线的方程为 x＝1，抛物线的
1
焦点坐标为2，0，则焦点到直线
【答案】
A
1 1
AB 的距离为 1－2＝2.
例3
过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，
求AB所在直线的方程.
【解】
法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).
又 y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
探究点 抛物线的焦点弦及其它弦的问题
探究 1 直线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线
第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质
13．已知倾斜角为π的直线 l 过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F，抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴上一点 Q(5,0)关 6
于直线 l 对称，则 p 等于( )
A.1
B．1
C．2
D．3
2
14.如图，已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线 AF， BF 分别与抛物线交于点 M，N. (1)求 y1y2 的值； (2)连接 MN，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：kk12为定值．
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.
5．抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，
其面积为( )
A．2 3
B．4
C．6
D．4 3
6．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标
为 2，则该抛物线的准线方程为( )
2 所在的直线方程．
引申探究 本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离．
反思感悟 求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. (2)焦点弦长
设过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所 在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1＋x2 即可． 跟踪训练 3 已知 y＝x＋m 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点． (1)若|AB|＝10，求实数 m 的值；(2)若 OA⊥OB，求实数 m 的值．
高中数学2.4.2 抛物线的几何性质
高中数学2.4.2 抛物线的几何性质要点精讲1.抛物线标准方程中p 的几何意义是：焦点到准线的距离．2. 抛物线的离心率e=1.典型题解析【例1】抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为52，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标，准线方程． 【分析】 【解】【例2】顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝－2x － 1所得的弦长AB ＝35，求抛物线的方程． 【分析】 【解】【例3】定长为5的线段AB 的两个端点在抛物线 y 2＝4x 上移动，试求线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离． 【解】【点评】【点评】【例4】已知抛物线y2=2px(p ＞0)的一条过焦点的弦，被焦点分成长度是m 、n 的两部分，求证pn m 211=+． 【解析】【例5】过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【解析】【点评】【点评】【例6】已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a ＋4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围；（2）求|AM|＋|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？【解】(1) 设M (x 1，y 1 )，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0 ) 则[ x —（a ＋4）]2 ＋ y 2 = 16 ( y ≥0)用y 2 = 4ax (a>0) 代入得x 2 ＋ 2 (a —4)x ＋ 8a ＋ a 2 = 0 由4△= ( a —4)2 — (8a ＋ a 2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A 为焦点 ∴ |AM| ＋ |AN| = (x 1 ＋ a ) ＋ (x 2 ＋ a) = x 1 ＋ x 2 ＋ 2a = 8—2a ＋ 2a = 8． (3) △AMN 中，AP 为MN 边上的中线，由平面几何知识，|AM|+|AN|>2|AP|，∴不存在实数a ，使AM|,|AP|,|AN|成等差数列．【点评】（1）根据定义解题，能化难为易；（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程．【例7】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x y 11,），B （x y 22,）均在抛物线上．（I ）写出该抛物线的方程及其准线方程（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y 12+的值 及直线AB 的斜率【分析】本题的条件主要有两个：一是A 、B 两点在抛物线上；二是直线PA 与PB 的倾斜角互补．由于所求的是y l ＋y 2的值及1212x x y y --的值，因此考虑将条件向与结论相关的方向去变 .由点A 、B 在抛物线上，可知其坐标满足方程，也可将A 、B 看作是直线PA 与PB 与抛物线的交点即从方程组人手．直线PA 与PB 的倾斜角互补，因此，其斜率互为相反数．这样运用斜率公式即可其坐标化，得到与y l 、y 2有关的结论；也可利用待定系数法，用一个参数写出PA 与P 的方程，再用方程组来处理．【解】 ( I)当y p =2时，x p =8, 又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=- 故k y y x x p y y x x PA =--=+≠101010102() , 同理可得k py y x x PB =+≠22020()yPOAB由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =- , 即221020p y y py y +=-+所以y y y 1202+=- , 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB , 由y px 2222=，y px 1212= , 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以k y y x x py y x x AB =--=+≠212112122() ,将y y y y 120020+=->()代入得 k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数规律总结1．抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．（常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离）．2．抛物线标准方程中p 的几何意义是：焦点到准线的距离．3．抛物线2y ＝2px （p ＞0）上的点可设为（py 22，y ）或（2p 2t ，2pt ）形式，二元转化为一元，方便解题．。
2.4.2抛物线的几何性质
顶点
焦半径
（0,0）
p 2 x0
（0,0）
p 2 x0
（0,0）
p 2 y0
（0,0）
p 2 y0
5、焦半径：抛物线上任一
y
P
点和焦点的连线所成线段。
OF
x
探究：求抛物线上点P（x0,y0)的焦半径
抛物线y2=2px(p＞0),
PF
x0
(
p) 2
p 2
x0;
抛物线y2=-2px(p＞0)，
离心率
1
1
1
1
【例１】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
原点，并且经过点M（２，2 2 ），求它的标准方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
y2 = 2px (p>0)中，令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
4、 离心率
注：抛物线上距离焦 点最近的点是顶点。
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线 的距离之比，叫做抛物线的离心率， e=1 。
抛物线的简单几何性质
方程
图
形 范围
y2 = 2px （p＞0）
[变式]过抛物线y2=8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B
两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值.
【解析】由抛物线y2=8x知，p=4.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据抛物线定义知：
AF
2.4.2抛物线的简单几何性质
O
.
F
x
y 2 64x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
由 0得 : m 36
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的 最小值. 解：设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P，依据 1 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP是梯形AA1BB1的中位线， 1 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
e
c , (0 e 1) a
e
c , (e 1) a
一、抛物线的几何性质
1、范围
y
P(x,y)
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
o
F(
2 px y 0 p0
2
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱ 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。
方程 图 形
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
范围
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
课件9：2.4.2 抛物线的简单几何性质
C.y=2
答案:A
INZHIDAOXUE
y轴
向上
做一做 1
A.y=-
X 新知导学 Z重难探究
1
4
B.y=-
D.y=-1
)
向下
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
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得抛物线的标准方程,但注意抛物线的开口方向不确定,需分两种情况考虑.
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 Z重难探究
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探究四
解:当焦点在 x 轴的正半轴上时,
设方程为 y2=2px(p>0),当 x= 时,y=±p,由 2p=8,得 p=4.
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2.2.2 抛物线的简单几何性质
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X 新知导学 Z重难探究
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1.抛物线的几何性质
y2=2px
类型
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图象
焦 p
p
p
p
F 2 ,0
F - 2 ,0
答案:B
2
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
2.4.2抛物线的简单几何性质
（4）x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 5， 0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（ 4）
（0，-2）
y=2
前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性 质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有 什么区别吗？
分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有 一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它 没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭
四.离心率：
同样 ，抛物线上的点M到其焦点的距离 和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1.
例1：
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M（2，-2 2 ）, 求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在 原点,并且经过点M（2,-2 2）,所以,可以设它的 标准方程为 y2=2px（p>0） 因为点M在抛物线上，所以（-2 2）2=2p· 2， 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x
3x2-10x+3=0，
M
例3：
如图,直线y=x-2与抛物 线y2=2x相交于A,B两点,求 证:OA⊥OB.
O
y
●
B
F
x
A
（x-2）2=2x. 证明：将y=x-2代入y2=2x中，得 则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0， 解得x=3± 5 ， 5
1+ 5 1因为k OB= ，k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB.
2.4.2__抛物线的简单几何性质.ppt
2
探究5 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，O为坐标原点， OA⊥OB，则直线AB是否过定点？ 求AB中点P的轨迹方程.
2
探究6 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )，M为该抛物线 上一定点，且MA⊥MB，则直线AB 是否过定点？
O
N
B1
F B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠, ∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线 y 2 px 的焦 点的一条直线和抛物线相交，两交 点的纵坐标为 y1 , y 2 ， 2 求证：y1 y 2 p .（焦点弦的其中 一条性质）
y A1 M1 A(x1,y1)
M
O F B(x2,y2) X
B p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4 1 1 2 ( 3) | AF | | BF | P
2
1
(4) A, O , B1三点共线, B , O , A1三点共线
y
A1 A(x1,y1)
y2=2px(p>0)
M1
M
率为非零常数.
y0
变式1过抛物线 y 2 px ( p 0) 上一定 点 P ( x 0 , y0 )( y0 0) ，作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，若直 p 线AB的斜率为定值 ，证明直线 y0 PA与PB的倾斜角互补.
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复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 N l
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 ︳ ︳ MN
M 的轨迹是抛物线。ຫໍສະໝຸດ ﹒ ﹒ ﹒y图 形
o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
类比探索
抛物线y2=2px(p>0) 几何性质:
K
y
(1)范围
x≥0,y∈R
l
0
F
x
(2)对称性
关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
(3)顶点
抛物线和它的轴的交点.只有一个顶点(0,0)
1 (4)离心率 所有的抛物线的离心率都是 y
(5)焦半径 (6)通径
PF x0 p 2
O
P(x,y)
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度：2P 思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
焦点到准线的距离(焦准距)为p
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
y ax
2 2
(a 0)
( 2 ).( y 1 ) 4 ( x 1 )
2、求以双曲线
x
2
y
2
1 的右顶点
16
9
为顶点，左顶点为焦点的抛物线的方程。
3 ． 点M与点F（4，0）的距离比它到直线L： x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
x
思考 求过定点P（-1，1）且与抛物线 y
2
2 x 只有一个
公共点的直线方程。
例3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是：
X0 +
— 2
y
p
抛物线的焦半径长
O F
． ．
M
x
l M
Y
P
O
F
·X
·
提高探究：
1、已知抛物线的方程，求它的焦点坐标和准线方程：
例题
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程,
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为 y2=mx(m ≠0)(x2=my (m≠0)),可避免讨论 变题：若抛物线的焦点为（5，0），准线方 程为x=-1，求抛物线的方程 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
顶点
焦半径
（0,0）
p 2 x0
（0,0）
p 2 x0
（0,0）
p 2 y0
（0,0）
p 2 y0
焦点弦 的长度
p x1 x 2
p ( x1 x 2 )
p y1 y 2
p ( y1 y 2 )
练习:1.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为45
3、注重数形结合的思想。
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
0
的直线,则被抛物线截得的弦长为
2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设 L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.
练习3 :过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两 点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线 于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O D B
答:(2)(5)
例4 正三角形的一个顶点为原点,另外两个顶点在抛 物线 y 2 2 px (p>0) 上,求这个正三角形的边长.
4 3p
变形:若三角形OAB的垂心恰为抛物线 的焦点,求直线AB的方程. y
x 3 p 4
A x B
O
小 结 ：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
焦点弦的长度
AB p x1 x 2
例3 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: (1)焦点在y轴上 (2)焦点在x轴上 (3)抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离为6 (4)抛物线的通径的长为5 (5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足为 (2,1) 2 能使这抛物线方程为 y 10 x 的条件是