振动分析基础 第三章1

c 的铅
c 点的转动 θ(t)组成。因为 x(t) 是从平衡
位置算起，所以汽车重量 W =mg由弹簧中的初始压力来平衡。 这里，角位移 θ(t)假设很小。
车身系统具有两个运动方程，分别与平动 x(t) 和转动 θ(t) 相对应。根据图3－2b，有铅垂方向的方程为：
& & −k1[ x(t)−a (t)] −k2 [ x(t)+b (t)] =mx(t) θ θ
x1(t) F(t) 1 ={ x(t)} , ={F(t)} 2 x2(t) F (t)
(3.4) 3.4)
位移向量”和“激励向量 激励向量”。 位移向量 激励向量 {x(t)} 和 {F(t)} 分别称为二维的“位移向量 这时，由方程(3.3) 和(3.4) ，即可将前面方程(3.2) 改写为 ( ) ( ) ( ) 如下的简洁矩阵形式：
耦合项
(3.8)
将方程(3.8)写为矩阵形式： (
& x −(k1a−k2b)x(t) 0 m 0 & (t) k1 +k2 0 I θ(t)+−(k a−k b) k a2 +k b2 θ(t)=0 (3.9) & & c 2 1 2 1
3.4 无阻尼系统的自由振动，固有振型 无阻尼系统的自由振动，
当外部激励为零，并不考虑系统的阻尼因素时，两自由度系 统的模型将简化为下图3－4的情况：
x1(t) x2(t)
k1
m1
k2
m2
k3
图3－4. 两自由度无阻尼系统
显然，上图表示的是一保守系统。因为此时系统既没有能量 的耗散，也没有能量的输入。其运动微分方程也可以简单的令阻 尼系数 c1 =c2 =c3 =0以及激励 F(t)=F (t)=0后得到，即： 1 2
k1 +k2 =k11, k2 +k3 =k22, −k2 =k12 =பைடு நூலகம்21
所以，将方程(3.12)进一步写为： ( )
mx1(t)+k11x1(t)+k12x2(t) = 0 1&& m2&&2(t)+k12x1(t)+k22x2(t) = 0 x
绕
(3.6)
c 点的转动方程为：
& & k1[ x(t)−a (t)]×a−k2 [ x(t)+b (t)]×b=Icθ(t) θ θ
(3.7)
对(3.6)和(3.7)整理，得到两个联立的运动微分方程： ( (
& & mx(t)+(k1 +k2)x(t)−(k1a−k2b)θ(t) =0 & & Icθ(t)−(k1a−k2b)x(t)+(k1a2 +k2b2)θ(t) =0
3.2 两自由度系统的运动方程
考虑下图3－1所示的，具有粘性阻尼的两自由度系统：
F (t) 1 x1(t) F2(t) x2(t)
k1
k2
k3
m1
c1 c2
m2
c3
图3－1a. 两自由度阻尼系统
图中， x1(t) 和 x2(t) 分别表示两个质量 m1 和 m2 在任意时 刻 t 的位移。这里需要假定位移足够小，以确保系统在线性范围 内运动。F1(t) 和 F2 (t) 分别为作用在两个离散质量上的外力。
& mx1(t)+( k1 +k2 ) x1(t)−k2x2(t) = 0 1& & m2& 2(t)−k2x1(t)+( k2 +k3) x2(t) = 0 x
矩阵表达式(3.3)可知，方程(3.12)中的系数： ( ) ( )
(3.12) 3.12)
方程(3.12)为两个联立的二阶齐次微分方程。由前面引入的 ( )
引进矩阵形式的表达：
1 m 0 c1 +c2 −c2 k1 +k2 −k2 0 m2=[m] , −c2 c2 +c3=[c] , −k2 k2 +k3=[ k]
(3.3) 3.3)
由方程(3.2)的系数组成的常数矩阵 [m] ， [c] 和 [ k] 分别称 ( ) 为系统的“质量矩阵 质量矩阵”、“阻尼矩阵 质量矩阵 阻尼矩阵”和“刚度矩阵 刚度矩阵”。 阻尼矩阵 刚度矩阵 此外，再令：
所以，我们得到结论：耦合的性质取决于所选用的坐标 ， 耦合的性质取决于所选用的坐标， 耦合的性质取决于所选用的坐标 而并不是系统的固有特性。 而并不是系统的固有特性。 问题： 问题： 能否找到这样的坐标 q1(t) 和 q2(t)，当用它们来建立运动方 程时，即不是“弹性耦合 弹性耦合”的，也不是“惯性耦合 惯性耦合”的。也就 弹性耦合 惯性耦合 是质量阵和刚度阵在该坐标下都将成为对角矩阵。 这样的坐标确实存在，并被称为是“固有坐标 固有坐标”或“主坐 固有坐标 主坐 标”。
即两自由度系统的质量阵、阻尼阵和刚度阵均为对称阵。其 两自由度系统的质量阵、 两自由度系统的质量阵 阻尼阵和刚度阵均为对称阵。 中，质量阵为对角阵。如果这三个矩阵均为对角阵，则方程(3.5) ( 就表示了一组互不相关的方程。 对于任意激励向量，方程(3.5) 的解很难求出，因为方程是 ( 相互关联的。本章这里将只讨论当力向量 {F(t)} 为零向量时的自 由振动情况。
已经知道，如果给予单自由度无阻尼系统某一初始激励，那 么系统由此产生的运动可称为“固有振动 固有振动”，即单自由度系统以 固有振动 其固有频率进行的自由振动。而对于多自由度系统来说，其固有 振动的概念却与单自由度系统不尽相同，区别在于： 单自由度系统的固有振动：是指单自由度系统以其固有( 单自由度系统的固有振动 ： 是指单自由度系统以其固有 ( 自 然)频率进行的振动； 频率进行的振动； 多自由度系统的固有振动： 多自由度系统的固有振动：是指多自由度系统振动过程中的 某种“位移模式” 或称“位移形状” 某种“位移模式”，或称“位移形状”。 另外，对于多自由度系统，其位移形状也不只一种，而是具 固有振型”。并 有一定的数目，这些位移形状被统称为系统的“固有振型 固有振型 且对于不同的初始激励，多自由度系统可按照其固有振型中的任 何一种进行振动。
显然，方程组(3.2) 中的两个方程相互关联的。因为第一式 ( ) 中包含了 x2 (t) 和 x2 (t) ，第二式中包含了 x1(t) 和 x1(t) 。 & & 我们这里把由联立的方程所表示的系统运动称为是“耦合 耦合” 耦合 的，而把彼此相关的项称为“耦合项 耦合项”。方程(3.2) 这种情况中， 耦合项 ( ) 耦合项分别为 、 & −c2x2 (t)
第 三 章
两 自 由 度 系 统
3.1 概 述
两自由度系统是属于多自由度系统的一种特殊情况，也是多 自由度系统中的最简单的情况。 将两自由度系统单独作为一章。首先，可以对两自由度系统 进行独立的讨论；其次，也是最重要的，即是通过本章内容，为 后面进一步学习多自由度系统打下基础。 自由度：完全描述系统运动所需要的独立坐标的个数。 自由度：完全描述系统运动所需要的独立坐标的个数。
对比前面以
( c 点列出的运动方程(3.9)，即：
& x −(k1a−k2b)x(t) 0 m 0 & (t) k1 +k2 0 I θ(t)+−(k a−k b) k a2 +k b2 θ(t)=0 & & c 2 1 2 1
“耦合项”位于质量 耦合项” 矩阵的反对角线上。 矩阵的反对角线上。 耦合项
可见，选用两个不同的坐标，运动方程的耦合情况将不相 同。前者是通过刚度项来耦合，这种耦合称为“静力耦合 静力耦合”或 静力耦合 “弹性耦合 弹性耦合”；而后者则通过惯性项来耦合，这种耦合称为 弹性耦合 “动力耦合 动力耦合”或“惯性耦合 动力耦合 惯性耦合”。 惯性耦合
3.3 坐标变换，耦合 坐标变换，
c
m
b
·
k1
a
k2
L
图3－2a. 理想化的汽车模型
图3－2a中的系统可以看作是理想化的汽车模型。为简化， 车身用质量为 m的钢板代表。质心 c 与弹簧 k1 和 k2 的距离 分别为 a 和 b 。车身绕质心 c 的转动惯量为 Ic 。
上图3－2b为车身移位后的自由体图。位移由质心 垂平动位移 x(t)和绕
由前面已知的： 1a =k2b，上式整理为： k 1 1
& mx1(t)−me& (t)+(k1 +k2)x1(t) =0 & & θ 2 & & −mex1(t)+Ioθ(t)+(k1a1 +k2b2) (t) =0 & & 1 θ
写成矩阵形式为：
耦合项
(3.10)
& x 0 m −me&1(t) k1 +k2 x1(t) 0 = (3.11) 2 2 −me I θ(t) + 0 & & k1a1 +k2b θ(t) 0 0 1
整理后，得到：
& & mx1(t)+(c1 +c2) x1(t)−c2x2(t)+(k1 +k2) x1(t)−k2x2(t)=F(t) 1&& 1 3.2) (3.2) & & m2&&2(t)−c2x1(t)+(c2 +c3) x2(t)−k2x1(t)+(k2 +k3) x2(t)=F (t) x 2
−k2、(t) −c2、(t) −k2。(t) & x2 x1 x1