八年级数学上册 1.5可化为一元一次方程的分式方程第2课时分式方程的应用作业 ppt课件 湘教版
新湘教版八年级上1.5可化为一元一次方程的分式方程(第2课时)课件(共11张PPT)
90
x = x-6
60
(2).
x = x-2 (3). x-3 = x (4). x-1 = x2-1
x=-5 x=9 无解
5
7
2
3
1
2
x=18
7 +3= x . 例1 解方程 ： x -1 x -1
解 方程两边同乘最简公分母x-1， 得 7+3(x-1)=x. 解这个一元一次方程，得x=2. x=-2时，最简公分母x-1的值为:-2-1=-3≠0 检验：把 因此x=-2是原方程的一个根. 注意：分式方程化 x+1 4 整式方程时，不含分 例2 解方程： - 2 =1 x-1 x -1 母的项也要乘以最 解 方程两边同乘最简公分母x2-1， 简公分母。 得：(x+1)2-4=x2-1 解得：x=1
数 x 2 4x a 1 有增根，求a的值。 6、若关于x的方程， x3 a=3
7、解分式方程
5 1 2 0 (4). 2 x x x x 3 2 6 x 3 5 2 2 2 (6). 2 x x x x x 1 x 1 2x 2
2x 2 1 1 1 8 (7). 2x 1 x2 ( x 2)( x 3) ( x 4)( x 5)
1 = 2 . 中考 1、分式方程 x +1 x -1 的解为 x = -3 试题 5 3 = 2、分式方程 的解是 （ A ） x -2 x
1- x +2= 1 3、解分式方程 ，可知方程（ D x -2 2- x
A. 解为x=2 B. 解为x=4 C. 解为x=3
互为相反数.
x x 1 2与 4.当x=( B )时, x5 x
湘教版SHUXUE八年级上
1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 分式方程的应用
1.5 可化为一元一次方程的分式方程第2课时分式方程的应用【学习目标】1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；2.通过用分式方程解决实际问题，发展分析和解决问题的能力【重点】能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，并能正确地解出分式方程【难点】根据题意列出分式方程一、自主学习学一学：阅读教材P57-58的内容填一填：1.行程问题：路程=_______________________________顺风(水)速度=静风(水)速度风(水)速；逆风(水)速度=静风(水)速度风(水)速2.工程问题：工作量=_______________________________议一议：解分式方程应该注意什么？归纳总结:用分式方程解决实际问题的步骤：做一做：为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1/3，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵数？二、合作探究1.飞机沿直线顺风飞行450千米后，按原来的路线飞回原处（风向不变），一共用去5.5小时，如果飞机在无风时每小时飞行165千米，那么风速是多少？（只要求列方程）分析：设，可列表分析：顺风逆风速度路程时间等量关系方程2.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．（1）这一问题中的等量关系是（2）水费= ×，所以用水量= /（3）列方程解答：3.为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？四、拓展提升4.小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“您上次买的那种梨卖完了，建议这次您买些苹果，价格比梨贵一点，不过营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．。
可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的解法及应用【要点梳理】要点一、分式方程的概念★分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【例1】下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．B ．C ．D ．，（，为非零常数） 【变式1.1】下列方程中，是分式方程的是（ ） A ．13+x 2=1 B ．x +1x=2C ．2x ＝x ﹣5D ．x ﹣4y ＝1【变式1.2】下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．1x =2B ．2x 3=3πC ．1x−1=4xD ．x 2−1x+1=2【变式1.3】下列关于x 的方程是分式方程的为（ ）A ．3+x2−x =2+x5B ．12+x =1−2x C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2要点二、分式方程的解法★解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. ★解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【例2】解分式方程（1）22151210=-+-x x ；（2）013522=--+xx x x3214312x x +--=124111x x x x x -+-=+--21305x x +=x ax a b+=a b【变式2.1】解方程：要点三、解分式方程产生增根的原因★方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.★产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.【例3】若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 【变式3.1】如果方程xxx --=++21321有增根，那么增根是________．要点四、分式方程的应用★分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案.【例4】甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?典型例题题型一：分式方程的定义【练习1.1】下列方程中，是分式方程的是（ ） A ．13+x 2=1B ．x +1x =2C ．2x ＝x ﹣5D ．x ﹣4y ＝1【练习1.2】下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．1x =2B ．2x 3=3πC ．1x−1=4xD ．x 2−1x+1=2【练习1.3】下列关于x 的方程是分式方程的为（ ） A ．3+x2−x =2+x5 B ．12+x=1−2x21233x x x-=---C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2【练习1.4】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）A ．2+x5−3=3+x6B ．x a−a b−xbC ．x−17+a=3﹣xD ．(x−1)2x−1=1【练习1.5】下列关于x 的方程：1x+x ＝1，x3+3x 4=25，1x−1=4x，x 2−1x+1=2中，分式方程的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.6】下列关于x 的方程①x−13=5，②1x =4x−1，③3−x 3=x ﹣1，④x a=1b−1中，是分式方程的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.7】有下列方程：①2x +x−15=10；②x −1x =2；③12x+1−3=0；④2x 3+x−12=0．属于分式方程的有（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【练习1.8】在下列各式中，是关于x 的分式方程的是（ ） A ．2x ﹣3y ＝0B ．x+12−3=2x 7C ．x+1x−2+3 D ．3x−2=5x【练习1.9】下列各式中是分式方程的是（ ） A ．1xB ．x 2+1＝yC ．x2+1＝0D ．1x−1=2【练习1.10】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．3x =12B ．1x=2C ．x+25=3+x 4D ．3x ﹣2y ＝1【练习1.11】下列关于x 的方程是分式方程的是（ ） A ．x+12−1=2+x 3B ．x−13+a=2−xC ．xm−1=n mD ．(x−1)2x−1=1【练习1.12】下列方程是分式方程的是（ ） A ．x−b a =2−x−a b（a ，b 为常数）B ．x +1x =c +1c （c 为常数）C ．x +b 2=5（b 为常数）D ．x+12=3【练习1.13】在下列关于x 的方程中分式方程的个数有（ ）①12x 2−23x +4＝0；②x a =4；③a x =5；④x 2−9x+3=1；⑤1x+2=6；⑥2x−13=x +7．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.14】下列关于x 的方程中，属于分式方程的个数是（ ）①−12x 3+3x ＝0； ②x b 2+b ＝1； ③1x 2−1＝2； ④x x +x 24=6．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练习1.15】下列方程不是分式方程的是（ ） A ．x−3x=1B ．xx+1+1x−1=1C ．3x+4y=2D ．12−x−23=x【练习1.16】在方程x+53=7，−2x =2，1π+x =12，x−12=x−13+4，3x+9x=1中，分式方程有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.17】在下列各式①x 2﹣x +1x ；②1a−3＝a +4；③x 2+5x ＝6；④20x−y+10x+y=1中，是分式方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.18】下列是关于x 的分式方程的是（ ）A ．x+24−3=3+x6B ．x−7a+7=3﹣x C ．x a−x b=1D ．2x x 2+2=5【练习 1.19】下列方程：①x5=2；②5x=2；③y =23x ；④1+x 5+x=12；⑤y +1=2y ；⑥1+3（x ﹣2）＝7﹣x ；⑦y 2﹣3=y3．其中，分式方程有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.20】观察分析下列方程：①x +2x =3；②x +6x =5；③x +12x =7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是 ．题型二：解分式方程 【练习2.1】解分式方程2x−1+x+21−x=3时，去分母后变形为（ ）A ．2+（x +2）＝3（x ﹣1）B ．2﹣x +2＝3（x ﹣1）C ．2﹣（x +2）＝3（1﹣x ）D ．2﹣（x +2）＝3（x ﹣1）【练习2.2】解分式方程2x+1+3x−1=6x 2−1，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）A ．方程两边分式的最简公分母是（x ﹣1）（x +1）B ．方程两边都乘以（x ﹣1）（x +1），得整式方程2（x ﹣1）+3（x +1）＝6C ．解这个整式方程，得x ＝1D ．原方程的解为x ＝1【练习2.3】已知点P （1﹣2a ，a ﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程x+1x−a=2的解是（ ） A ．5B ．1C ．3D ．不能确定【练习2.4】解分式方程1x−2−3=42−x时，去分母可得（ ） A ．1﹣3（x ﹣2）＝4 B ．1﹣3（x ﹣2）＝﹣4 C ．﹣1﹣3（2﹣x ）＝﹣4 D ．1﹣3（2﹣x ）＝4【练习2.5】方程2x+3=1x−1的解为（ ）A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【练习2.6】解分式方程1−x x−2=12−x−2时，去分母变形正确的是（ ）A ．﹣1+x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）B ．1﹣x ＝1﹣2（x ﹣2）C ．﹣1+x ＝1+2（2﹣x ）D ．1﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）【练习2.7】解分式方程x 2x−1+21−2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）A ．x +2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3（2x ﹣1）D ．x +2＝3（2x ﹣1）【练习2.8】对于实数a 、b ，定义一种新运算“ⓧ”为：a ⓧb =3a 2−ab，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3）ⓧx ＝2，则x 的值为（ ） A ．﹣2B ．−52C ．52D ．−72【练习2.9】方程2−x x−5−35−x=0的解为（ ）A ．﹣2B ．2C ．5D ．无解【练习2.10】对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b =2a b −1a．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1B ．13C ．﹣1D ．−13【练习2.11】对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b =1b −1a．若2⊕（2x ﹣1）＝1，则x ＝（ ） A ．56B ．54C ．32D ．−16【练习2.12】把分式方程1x−2−1−x 2−x=1的两边同时乘以（x ﹣2），约去分母，得（ ）A ．1﹣（1﹣x ）＝1B ．1+（1﹣x ）＝1C ．1﹣（1﹣x ）＝x ﹣2D ．1+（1﹣x ）＝x ﹣2【练习2.13】方程2x+2=1x−1解是（ ）A ．x =43B ．x ＝4C ．x ＝3D ．x ＝﹣4【练习2.14】分式方程1x−3+1=x3−x 的解为（ ）A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝﹣1D ．x ＝﹣2【练习2.15】分式方程2x−3=3x的解是 ．【练习2.16】对于实数a ，b 定义一种新运算“⊗”：a ⊗b =1a−b2，例如，1⊗3=11−32=−18．则方程x ⊗2=2x−4−1的解是 ． 【练习2.17】分式7x−2与x 2−x的和为4，则x 的值为 ．【练习2.18】分式方程1x−2=3x的解是 ．【练习2.19】定义：a *b =ab，则方程2*（x +3）＝1*（2x ）的解为 ． 【练习2.20】分式方程1x+2−3x x 2−4=0的解为x ＝ ． 【练习2.21】分式方程3−2x x−2+22−x =1的解为 ． 【练习2.22】分式方程4x+1x 2−1−52(x−1)=1的解为【练习2.23】分式方程3x+1=2x的解是 ．【练习2.24】若代数式6x+2与4x 的值相等，则x ＝ ．【练习2.25】方程x−3x=xx+1的解是 ．【练习2.26】关于x 的分式方程2x−1−1x+1=11−x的解是 ．【练习2.27】分式方程5x =7x−2的解是x ＝ ．【练习2.28】对两个不相等的实数根a 、b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定：方程max {x ，﹣x }=2x+1x的解为 ． 【练习2.29】对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a ，b 中的较大值，如max {﹣3，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }=3x+2x的解为 ． 【练习2.30】在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是a △b =1a +1b，根据这一规则，方程x △（x +1）=32的解是 ． 【练习2.31】分式方程x x−1=32(x−1)−2的解为 ．【练习2.32】解方程：x x+1=2x 3x+3+1．2−x x−3=13−x−2． x x−1−2x−1x 2−1=1． 1x+2+4x x 2−4−2x−2=1．x x−1−1=2x3x−3． 4x 2−1+1=x−1x+1．2x−1=4x 2−1x−3x−2+1=32−x ．题型三：分式方程的解 【练习3.1】关于x 的分式方程2x−a x+1=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A ．a ≥﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ≤﹣1D ．a ＜﹣1【练习3.2】若关于x 的方程ax x−2=4x−2+1无解，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0或2【练习3.3】已知关于x 的分式方程mx−1+31−x=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m ＞2且m ≠3【练习3.4】已知方程3−aa−4−a =14−a ，且关于x 的不等式组{x ＞a x ≤b只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜b ≤3B ．2＜b ≤3C ．8≤b ＜9D ．3≤b ＜4【练习3.5】若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜92 B ．m ＜92且m ≠32C ．m ＞−94D ．m ＞−94且m ≠−34【练习3.6】关于x 的方程3x−2x+1=2+mx+1无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5【练习3.7】若方程3x+3=2x+k的根为正数，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜2B ．﹣3＜k ＜2C ．k ≠﹣3D ．k ＜2且 k ≠﹣3【练习3.8】若关于x 的一元一次不等式组{x −14(4a −2)≤123x−12＜x +2的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程2y−a y−1−y−41−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．6【练习3.9】已知关于x 的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤3B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠2【练习3.10】已知关于x 的分式方程m x−1=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥﹣1且m ≠0D ．m ≥﹣1【练习3.11】关于x 的分式方程2x+a x+1=1的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＜1且a ≠﹣2D ．a ＞1且a ≠2【练习3.12】若关于x 的方程ax x−2=4x−2+1无解，则a 的值是 ．【练习3.13】若关于x 的分式方程2m+x x−3−1=2x 无解，则m 的值 ． 【练习3.14】若关于x 的方程1x−4+m x+4=m+3x 2−16无解，则m 的值为 ．【练习3.15】已知关于x 的方程2x+m x−2=3的解是正数，则m 的取值范围是 ． 【练习3.16】若关于x 的分式方程x+m x−2+2m 2−x=3的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．【练习3.17】关于x 的分式方程x+k x+1+2x x+1=1的解为非正数，则k 的取值范围是 ． 【练习3.18】若关于x 的分式方程xx−3+3a 3−x=2a 无解，则a 的值为 ．【练习3.19】若关于x 的方程ax+1x−1−1=0的解为正数，则a 的取值范围是 ．【练习3.20】已知关于x 的分式方程xx−3−2=kx−3有一个正数解，则k 的取值范围为 ． 【练习3.21】若关于x 的方程axx−1=3x−1+1无解，则a 的值是 ．【练习3.22】若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x35x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+a y−1+2a 1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ．【练习3.23】关于x 的方程3−2x x−3+2+mx 3−x=−1无解，则m ＝ ．【练习3.24】已知关于x 的方程：2xx+3=mxx+3−2．（1）当m 为何值时，方程无解． （2）当m 为何值时，方程的解为负数．【练习3.25】（1）解下列方程：①x +2x =3根为 ；②x +6x =5根为 ；③x +12x=7根为 ； （2）根据这类方程特征，写出第n 个方程为 ，其根为 ．（3）请利用（2）的结论，求关于x 的方程x +n 2+nx−3=2n +4（n 为正整数）的根．【练习3.26】若关于x 的分式方程xx−3+3a3−x =2a 无解，求a 的值．【练习3.27】已知关于x 的方程x x+1+x+1x=4x+ax(x+1)只有一个实数根，求实数a 的值． 【练习3.28】已知关于x 的分式方程2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2，若方程无解，求m 的值．【练习3.29】若关于x 的分式方程2m+x x−3−1=2x 无解，求m 的值．【练习3.30】已知关于x 的方程xx−3−2=mx−3解为正数，求m 的取值范围．【练习3.31】若关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2无解，求m 的值．【练习3.32】关于x 的分式方程x−5x−3=m 3−x的解为正数，求m 的取值范围．题型四：分式方程的增根 【练习4.1】若分式方程3x−a x 2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a 的取值是（ ）A ．0或2B ．4C ．8D ．4或8【练习4.2】关于x 的方程x−1x−3=2+kx−3有增根，则k 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．2【练习4.3】分式方程xx−1−1=m (x−1)(x+1)有增根，则m 的值为（ ） A ．0和2B ．1C ．1和﹣2D ．2【练习4.4】若关于x 的分式方程x+m 4−x 2+x x−2=1无解，则m 的值是（ ） A ．m ＝2或m ＝6B ．m ＝2C ．m ＝6D ．m ＝2或m ＝﹣6【练习4.5】若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝0或m ＝3B ．m ＝3C ．m ＝0D ．m ＝﹣1【练习4.6】若关于x 的分式方程m+1x−1=x 1−x有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝﹣1B ．m ＝1C ．m ＝﹣2D ．m ＝2【练习4.7】若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝0B ．m ＝﹣1C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝3【练习4.8】若分式方程1x−2+3=a+1x−2有增根，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【练习4.9】若分式方程x x−4=2+ax−4有增根，则a 的值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．0【练习4.10】若解分式方程2x x+1−m+1x 2+x=x+1x产生增根，则m 的值是（ ） A ．﹣1或﹣2B ．﹣1或2C ．1或2D ．1或﹣2【练习4.11】关于x 的分式方程m x−2−32−x=1有增根，则m 的值为（ ）A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【练习4.12】分式方程xx−3+1=mx−3有增根，则m 为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6【练习4.13】如果关于x 的分式方程4x−3=1+mx−3有增根，则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．10【练习4.14】解关于x 的方程x x−1−k x 2−1=x x+1不会产生增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．k ≠2且k ≠一2D ．无法确定【练习4.15】关于x 的分式方程x−2x+3=2−ax+3有增根，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．﹣5C ．5D ．2【练习4.16】关于x 的方程x−1x−3=k x−3有增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．0D ．﹣3【练习4.17】若关于x 的分式方程2x−1+a 1−x=1有增根，则a 的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或2【练习4.18】若关于x 的方程ax+1x−1=1有增根，则a ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．1D ．3【练习4.19】若关于x 的分式方程mx−2=1−x 2−x−3有增根，则实数m 的值是 ． 【练习4.20】当m ＝ 时，解分式方程x−5x−3=m 3−x会出现增根．【练习4.21】关于x 的分式方程2x−1+kx x 2−1=3x+1会产生增根，则k ＝ ．【练习4.22】若分式方程xx−1−m 1−x =2有增根，则这个增根是 ． 【练习4.23】若关于x 的分式方程xx−2+2m 2−x=2m 有增根，则m 的值为 ．【练习4.24】已知关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=0有增根且m ≠0，则m ＝ ．【练习4.25】若关于x 的方程1x−2+x+m 2−x =1有增根，则m 的值是【练习4.26】如果关于x 的分式方程m x−2−2x 2−x=1有增根，那么m 的值为 ．【练习4.27】若关于x 的分式方程x+m x−2+3m 2−x=2有增根，则m 的值为 ．【练习4.28】若关于x 的方程x+2x−1=m+1x−1产生增根，则m ＝ ．【练习4.29】关于x 的分式方程7x x−1+5=2m−1x−1有增根，则m 的值为 ．【练习4.30】若分式方程mx−3=2x−3+1有增根，则m ＝ ． 【练习4.31】m ＝ 时，方程x x−3−2=m x−3会产生增根．【练习4.32】若关于x 的分式方程2x−5+x−a 5−x =7有增根，则a 的值为 ． 【练习4.33】若关于x 的分式方程xx−2−x−a 2−x=1有增根，则a 的值 ．【练习4.34】若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a 的值是 ．【练习4.35】（1）若解关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2会产生增根，求m 的值．（2）若方程2x+a x−2=−1的解是正数，求a 的取值范围．【练习4.36】解关于x 的方程x+1x+2−x x−1=kx+2(x−1)(x+2)时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．【练习4.37】小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x−2+3=12−x．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x ＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【练习4.37】解方程：1x−2−1=4x 2−4．【练习4.39】关于x 的方程2x+1+51−x=m x 2−1去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．题型五：换元法解分式方程【练习5.1】阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0，方程两边同时乘y 得：y 2﹣4＝0， 解得：y ＝±2，经检验：y ＝±2都是方程y −4y =0的解，∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1，当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程x−14x −xx−1=0中，设y =x−1x ，则原方程可化为： ； （2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ； （3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．【练习5.2】阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0， 方程两边同时乘以y 得：y 2﹣4＝0，解得：y ＝±2， 经检验：y ＝±2都是方程y −4y=0的解， ∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1；当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题：（1）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ； （2）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．【练习5.3】用换元法解方程x 2−12x −4x x 2−12=3时，设x 2−12x =y ，则原方程可化为（ ）A ．y −1y−3＝0B ．y −4y−3＝0C ．y −1y+3＝0 D ．y −4y+3＝0【练习5.4】用换元法解方程3x x 2−1+x 2−1x=52时，如果设xx 2−1=y ，则原方程可化为（ ）A ．y +1y=52B ．2y 2﹣5y +2＝0C ．6y 2+5y +2＝0D ．3y +1y=52【练习5.5】用换元法解方程x+1x 2+x 2x+1=2时，若设x+1x 2=y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0 B ．y 2+2y +1＝0 C ．y 2+y +2＝0 D ．y 2+y ﹣2＝0题型六：有实际问题抽象出分式方程【练习6.1】“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x −180x+2=3 B ．180x+2−180x =3 C ．180x−180x−2=3D ．180x−2−180x=3【练习6.2】九年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm /h ，则所列方程正确的是（ ） A ．10x =102x −13B ．10x =102x −20C ．10x=102x+13D ．10x=102x+20【练习6.3】A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm /h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．180x −180(1+50%)x =1 B ．180(1+50%)x −180x =1 C ．180x−180(1−50%)x=1D ．180(1−50%)x−180x=1【练习6.4】2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（ ） A ．30x−30(1+20%)x=5 B ．30x−3020%x=5C ．3020%x+5=30xD ．30(1+20%)x−30x=5【练习6.5】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．800x+50=600xB ．800x−50=600xC ．800x=600x+50D ．800x=600x−50【练习6.6】小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的为（ ） A ．5x +16=52xB ．5x−16=52xC ．5x+10=52xD ．5x−10=52x【练习6.7】施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．2000x −2000x+50=2 B ．2000x+50−2000x =2C ．2000x−2000x−50=2D ．2000x−50−2000x=2【练习6.8】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240x−20−120x=4 B ．240x+20−120x=4 C ．120x−240x−20=4D ．120x−240x+20=4【练习6.9】小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A ．24x+2−20x=1 B ．20x−24x+2=1C ．24x−20x+2=1D ．20x+2−24x=1【练习6.10】甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm /h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A ．180x+6=120x−6B ．180x−6=120x+6C ．180x+6=120xD ．180x=120x−6【练习6.11】某工程队准备修建一条长1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm ，则根据题意可列方程为（ ）A ．1200(1−20%)x −1200x=2 B ．1200(1+20%)x−1200x=2C ．1200x−1200(1−20%)x=2D ．1200x−1200(1+20%)x=2【练习6.12】衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为（ ） A ．30x−361.5x =10 B ．30x −301.5x =10 C ．361.5x−30x=10D ．30x+361.5x=10【练习6.13】某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ） A ．480x +480x+20=4 B ．480x −480x+4=20C ．480x−480x+20=4D ．480x−4−480x=20【练习6.14】在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ． 【练习6.15】某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x 元，根据题意可列方程为 ． 【练习6.16】端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x 元，列方程为 ．【练习6.17】已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x 千米/时，根据题意，可列方程为 ．【练习6.18】2019年2月，全球首个5G 火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G 网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆，依题意，可列方程为 ．【练习6.19】“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x 千米/时，依题意，可列方程为 ．【练习6.20】在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3人，甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的45．求甲、乙两班各有多少人？设乙班有x 人，则甲班有（x +3）人，依题意，可列方程为 ．【练习6.21】两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米．第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程 ．【练习6.22】某圾处理厂日处理垃圾3600吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高20%，这样日处理同样多的垃圾就少用3h ．若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x 吨，则可列方程 ．【练习6.23】某市为治理无水，需要铺设一段全长为600m 的污水排放管道，铺设120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m ，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程 ． 【练习6.24】清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x 人，则可列分式方程 ．【练习6.25】新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，若设甲厂每天生产口罩x 万只，根据题意可列出方程： ．【练习6.26】已知A ，B 两地相距80千米，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，两车同时出发，已知甲车的速度比乙车的速度快15千米/时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/时，则根据题意可列方程为 ．【练习6.27】题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km 2的土地进付绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．甲同学所列的方程为60x −601.5x=2乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2（1）甲同学所列方程中的x 表示 ．乙同学所列方程中的y 表示 ． （2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．【练习6.28】2019年4月4日，珊瑚中学组织七年级学生乘车前往距学校130km 的大观参观．学校租用30座和48座两种客车运送学生．（1）一部分学生乘48座客车先行，出发0.5小时后，另一部分学生乘30座的客车前往，结果他们同时到达大观．已知30座客车的速度是48座客车速度的1.3倍，求48座客车的速度．解：设48座客车的速度为xkm /h ： 填写表格：s v t 48座客车 x 30座客车1.3x列出方程： ， 解： ， 答： ．（2）若学校单独租用50座客车m 辆，则有2人没有座位，则全校七年级学生人数可表示为 人．题型七：分式方程的应用【练习7.1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ） A ．1080x =1080x−15+6 B ．1080x =1080x−15−6C ．1080x+15=1080x−6D ．1080x+15=1080x+6【练习7.2】某乡镇对公路进行补修，甲工程队计划用若干天完成此项目，甲工程队单独工作了3天后，为缩短完成的时间，乙工程队加入此项目，且甲、乙工程队每天补修的工作量相同，结果提前3天完成，则甲工程队计划完成此项目的天数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【练习7.3】某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（ ）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务 【练习7.4】甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ） A ．a+b b倍 B ．ba+b倍 C ．b+a b−a倍 D ．b−a b+a倍【练习7.5】某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共赢利（ ）元． A ．1220元B ．1225元C ．1230元D ．1235元【练习7.6】一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 ．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价） 【练习7.7】徐州至北京的高铁里程约为700km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐”徐州号“高铁A 与”复兴号“高铁B 前往北京．已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80km /h ，A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为 ．【练习7.8】某网店老板经营销售甲、乙两种款式的浮潜装备，每件甲种款式的利润率为30%，每件乙种款式的利润率为50%，当售出的乙种款式的件数比甲种款式的件数少40%时，这个老板得到的总利润率是40%；当售出的乙种款式的件数比甲种种款式的件数多80%时，这个老板得到的总利润率是．【练习7.9】某水果销售商在年末准备购进一批水果进行销售，经过市场调查，发现芒果、车厘子、奇异果、火龙果比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案．其中芒果、车厘子的进货量与奇异果、火龙果的进货量分别相同，而芒果、车厘子的单价与火龙果、奇异果的单价分别相同，已知芒果和车厘子的单价和为每千克180元，且芒果和车厘子的进货总价比奇异果和火龙果的进货总价多863元．由于年末资金周转不开，所以临时决定只购进芒果和车厘子，芒果和车厘子的进货量与原方案相同，且进货量总数不超过300kg，则该水果商最多需要准备元进货资金．【练习7.10】某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，规定甲乙两队单独施工的总天数不超过25天完成，且施工总费用最低，则最低费用为万元．【练习7.11】某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是天．【练习7.12】将三支长度相同的蜡烛A，B，C同时点燃，当蜡烛A剩一半时，蜡烛B和蜡烛C剩余部分的长度之比为28：33，当蜡烛B剩一半时，蜡烛A和蜡烛C剩余部分的长度之比为16：25，若整个燃烧过程中．每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C剩一半时，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为．【练习7.13】某饮品店老板新推出A、B两种囗味的饮料，其中每杯A种口味饮料的利润率为60%，每杯B种口味饮料的利润率为20%．当售出的A种口味的杯数比B种口味的杯数少50%时，这个老板得到的总利润率为36%；当售出的A种口味的杯数比B种口味的杯数多25%时，这个老板得到的总利润率为．（利润率＝利润÷成本）【练习7.14】中有公司是中国知名手机厂家，旗下的产品不仅受到国人追捧而且在国外也圈粉不少．2018年6月中有公司推出了A款手机，国内售价和国外售价分别定为3000元/部和4500元/部，且国内出货量与国外出货量之比为3：2，经核算，6月份A款手机的利润率为80%．11月份中有公司推出了更高端更智能的B款手机，已知每部B款手机的成本是每部A款手机的1.5倍，其国内售价和国外售价分别定为5000元/部和6000元/。
八年级数学可化为一元一次方程的分式方程练习题
⼋年级数学可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程练习题 学习⼋年级的数学需要练习，同学们需要准备哪些可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程的练习题呢?下⾯是店铺为⼤家带来的关于⼋年级数学可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程的练习题，希望会给⼤家带来帮助。
⼋年级数学可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程练习题⽬ 1.有下列说法：①解分式⽅程⼀定会产⽣增根;②⽅程x-2x2-4x+4=0的根为2;③⽅程12x =12x-4的最简公分母为2x(2x-4);④x+1x-1=1+1x-1是分式⽅程.其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4 2.[2012•永州]下⾯是四位同学解⽅程2x-1+x1-x=1过程中去分母的⼀步，其中正确的是 ( )A.2+x=x-1B.2-x=1C.2+x=1-xD.2-x=x-1 3.[2012•成都]分式⽅程32x=1x-1的解为 ( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4 4.[2012•毕节]分式⽅程1x-1-2x+1=4x2-1的解是 ( )A.x =0B.x=-1C.x=±1D.⽆解 5.[2012•宁波]分式⽅程x-2x+4=12的解是________. 6.[2012•哈尔滨]⽅程1x-1=32x+3的解是________. 7.解⽅程：(1)[2012•重庆]2x-1=1x-2; (2)[2012•苏州]3x+2+1x=4x2+2x; (3)[2012•梅州]4x2-1+x+21-x=-1. 8.解关于x的⽅程2x-2+mxx2-4=0有增根，求 m的值. 9.解答问题： (1)按下表已填写的形式填写表中的空格： 三个⾓上三 个数的积 1×(-1)×2 =-2 (-3)×(-4) ×(-5)=-60 三个⾓上三 个数的和 1+(-1)+2 =2 (-3)+(-4) +(-5)=-12 积与和的商 (-2)÷2=-1 (2)请⽤你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x. ⼋年级数学可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程练习题答案解析1.A2.D3.C4.D 5.x=8 【解析】观察可得最简公分母是2(x+4)，⽅程两边同乘最简公分母，可以把分式⽅程转化为整式⽅程再求解. 6.x=6 7.解：(1)⽅程两边同乘(x-1)(x-2)，得 2(x-2)=x-1， 解得x=3. 经检验，x=3是原⽅程的解. (2)⽅程两边同乘x(x+2)，得3x+x+2=4， 解得x=12. 经检验，x=12是原⽅程的解. (3)⽅程两边同乘(x+1)(x-1)，得 4-(x+1)(x+2)=-(x2-1)， 整理，得3x=1，解得x=13. 经检验，x=13是原⽅程的解. 8 .解：分式⽅程有增根，最简公分母(x-2)(x+2)=0， 解得x=2或x=-2. 去分母，得2(x+2)+mx=0， 当m≠-2时，x=-42+m. 将x=-2代⼊得-2=-42+m， 解得m=0; 将x=2代⼊得2=-42+m， 解得m=-4， 所以m的值为0或-4. 9.解：(1)图②：(-60)÷(-12)=5， 图③：(-2)×(-5)×17=170， (-2)+(-5)+17=10, 170÷10=17. (2)图④：5×(-8)×(-9)=360， 5+(-8)+(-9)=-12， y=36 0÷(-12)=-30. 图⑤：由1×x×31+x+3=-3，解得x=-2.。
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第1章分式 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 分式方程的应用
们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车
的速度.
解：设自行车的速度为 x 千米/时，那么汽车的速度是
3x 千米/时，依题意得：
15 15 2 . 3x x 3
解得 x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根. 由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
因此 x = 2200 是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台 2200 元.
2. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到
达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，
求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h.
做一做 1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车 行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提 速，他们约定好在 300 公里的地方碰头，他们正好同 时到达，请问小轿车提速多少 km/h？
0
180 200
甲的工1作效(1率 1是) 13
，根据题意得 1 1 1， 即
3
2 x2
1 1 2 2x
1.
方程两边同乘 2x，得 x 1 2x.
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部
任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务， 所以乙队的施工速度快.
车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若 面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车、 小轿车的速度分别为多少？
可化为一元一次方程的分式方程(2)分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意； （2）设未知数（要有单位）； （3）根据题目中的数量关系列出式子，找 出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是 否符合题意； （5）写出答案（要有单位）。
例题解析
例1:A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B， 大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30 分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两 车的速度。 分析:已知两车的速度之比为5：2，所以设大车的速 度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，而A、B两 地相距135千米，则大车行驶时间 (13/2x)小时，小 车行驶时间（135/5x)小时，由题意可知大车早出发5 小时，又比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小 车行驶时间多4.5小时，由此可得等量关系
1 1 36 36 2 2 2 x x 0.5
X+0.5=5 经检验x=4.5是原分式方 程的解,且符合题意. 答：甲的速度是5km/h, 乙的速度是4.5km/h.
解得: x 4.5
做一做
两名教师带若干名学生去旅游,联系了甲,乙两家 旅游公司,甲公司给的优惠条件是:1名教师按行业统一 规定收全票价,其余按7.5折收费;乙公司给的优惠条件 是:全部按8折收费,经核算甲公司的优惠价比乙公司的 1 优惠价便宜 ,问参加旅游的学生人数是多少?
解得：x 60
840 14 x
经检验x=60是原方程的解，且符合题意. 答：原计划14天完成任务.
做一做
甲,乙两人分别从相距36km的A,B两地出发,相向 而行.甲从A地出发至1km时,发现遗忘物品在A地,便立 即返回,取了物品又立即从A地向B地行走,这样甲,乙两 人恰在AB中点处相遇.又知甲比乙每小时多走0.5km.求 甲,乙两人的速度? 解:设乙的速度为 x km/h,则甲的速度为(x+0.5) km/h,则由题意得 甲的速度为：
《1.5可化为一元一次方程的分式方程》同步练习(含答案)
1.5可化为一元一次方程的分式方程同步测试一、选择题1.若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为（）A. 3B. 0C. -3D. 22.用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A. y2+y-3=0B. y2-3y+1=0C. 3y2-y+1=0D. 3y2-y-1=03.一列火车自2018年全国铁路第10次大提速后，速度提高了26千米/小时，现在该列火车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1个小时。
已知甲、乙两个车站的路程是312千米，设火车提速前的速度为x千米/小时，根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.4.一本书共280页，小颖要用14天把它读完，当她读了一半时，发现平均每天需多读21页才能恰好在规定的时间内读完，如果读前一半时，小颖平均每天读x页，则下列方程中正确的是( )A. =14B. =14C. =14D. +=145.炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下列所列方程正确的是 ( )A. =+2B. =C. =+2D. ＝6.若关于x的方程=0无解，则m的值是（）A. 3B. 2C. 1D. -17.若关于x的方程+ =0有增根，则m的值是（）A. ﹣2B. ﹣3C. 5D. 38.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为( ).A. +=18B. +=18C. +=18D. +=189.把分式方程−＝1的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（）A. 1-（1-x）=1B. 1+（1-x）=1C. 1-（1-x）=x-2D. 1+（1-x）=x-210.若关于x的方程有增根，则m的值为（）A. 2B. 0C. -1D. 1二、填空题11.甲、乙两地相距48千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时9小时，已知水流的速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为________．12.分式方程=的解是________ ．13.若关于的分式方程无解，则m的值为________ ．14.若关于x的分式方程= 有增根，则增根为________．15.若解分式方程产生增根，则m=________16.若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是________．17.若关于x的分式方程无解，则a=________．18.分式方程的解为x=________．三、解答题19.某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？20.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．21.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．22.自2018年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．23.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？参考答案一、选择题1. A2.A3.A4.D5.D6.B7.D8.B9.D 10.D二、填空题11.=9 12.x=2 13.1或14.2或﹣2 15.-5 16.a＞1且a≠2 17.1或﹣2 18.2三、解答题19.解：设原来报名参加的学生有x人，依题意，得﹣=4，解这个方程，得x=20．经检验，x=20是原方程的解且符合题意．答：现在报名参加的学生有40人20.解：依题意可得：=3去分母得：1﹣x=3（2﹣x），去括号得：1﹣x=6﹣3x，移项得：﹣x+3x=6﹣1，解得：x=经检验，x= 是原方程的解．答：x的值是．21.解：设原计划每天生产的零件x个，依题意有= ，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．则规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产的零件是2400个，规定的天数是10天22.解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得+=30解得：x=200经检验x=200是原方程的解．则（1+50%）x=300=20（棵）答：樱花树的单价为200元，有20棵．23.解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，解得：x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．。
湘教版八年级数学上册导学案可化为一元一次方程的分式方程
1.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法（1）学习目标：1.知道分式方程的意义，掌握分式方程的一般解法；2.分式方程的解需先转化为整式方程.【学前小测】1.分式xx 235与-的最简公分母是： . 2.解一元一次方程：151-22+=-x x解：方程两边同时乘以 得： ， 去括号得： ， 移项，合并同类项得： ， 把系数化为１得： .自主学习阅读教材Ｐ32-34页，完成下面问题：1.分式方程的概念： ；辨析：下面方程中，哪些是分式方程？是的在题号上打＂√＂错的打“×|” （1）424830=-x x ， （2）1639-=+x x ， （3） 213-=x x ， （4） 11++x x x ， 2.分式方程的解也叫作分式方程的 . 3.解分式方程：232-=x x ，两边同时乘以最简公分母： 得 .4.解分式方程1613122-=-++x x x ，两边同时乘以最简公分母： 得 .5.解方程：0235=--x x小结：解分式方程必须检验，那么如何检验呢？把你找到的方法与大家分享出来..6.不解方程，判断方程01312112=-++--m m m 的解是 （ ） A.－6 B.1 C.－1 D.1或－1 基础演练1.解方程：x x 3231=- 2.解方程：1233-=+x x拓展延伸解方程 1.1312-=-+x x 2. 263132-=-x x x3.03341=++x x 4. 5223=--x x当堂检测1.解方程：121+=x x 2.解方程： xx x -=-1417课后反思：1.5.2可化为一元一次方程的分式方程的解法（2）学习目标：1.知道增根产生的原因;2.并会检验解出的值是不是增根.课前小测１.解方程：(1)x x 142=+ (2)x x 10010120=+自主学习1.解方程：(1)1112-=-x x x (2) 48122-=--x x x2.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验，那么如何检验呢？把.基础演练1.解方程：1521-=+-x x x2.解方程：1213-+=+x x x拓展延伸1.解方程xxx --=+-21321 2.解方程2631132-=--x x3. 若关于x 的分式方程0111=----x xx m 有增根，求m 的值.当堂检测1.解方程：2.解方程：2631132+=-+x x 5113-=-+-x xx提示：先将m 视为一个常数，去分母后求出x 的值 （用m 表示）后，再利用增根的意义求出m 的值.课后反思：1.5.3可化为一元一次方程的分式方程的解法（3）学习目标：1.会熟练地解分式方程；2.加强运算技巧,提高解题速度.自主学习1.解分式方程1211-=+x x2.当x 的值是多少时，分式13-+x x 的值等于3.拓展延伸1.已知关于x 的方程112=++x a 的解是非正数，求a 的取值范围.2.如果关于x 的方程3132--=-x m x 无解，求m 的值.3.如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别为－3和xx--21，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值.4.已知关于x 的方程31-x +3+x k =932-+x k有增根，求k 的值.当堂检测1.要把方程03522=--yy 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ） A. 3y －6 B.3y C.3（3y －6） D.3(2)y y - 2.解方程：44212-=-x x课后反思：1.5.4分式方程的应用学习目标：1.通过具体情景，理解方程的意义，学会从实际问题中建立数学模型求解数学问题的过程。
湘教版数学八年级上册1.5《可化为一元一次方程的分式方程的解法》说课稿1
湘教版数学八年级上册1.5《可化为一元一次方程的分式方程的解法》说课稿1一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程的解法》是湘教版数学八年级上册1.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了分式的基本性质、分式的运算、分式方程的初步知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握如何将分式方程化为整式方程，并运用一元一次方程的解法来求解。
通过这部分的学习，让学生能够解决一些实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的分式知识基础，但对于如何将分式方程化为整式方程，以及如何运用一元一次方程的解法来求解，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解分式方程的化简过程，以及如何将问题转化为一元一次方程来解决。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握将分式方程化为整式方程的方法，以及运用一元一次方程的解法来求解分式方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：将分式方程化为整式方程的方法，以及一元一次方程的解法。
2.教学难点：如何引导学生理解分式方程的化简过程，以及如何将问题转化为一元一次方程来解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决分式方程。
2.自主学习：让学生自主探究如何将分式方程化为整式方程。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题方法。
4.教师引导：教师引导学生总结分式方程化简的方法，并讲解一元一次方程的解法。
5.巩固练习：让学生运用所学知识解决一些实际问题。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
湘教版八年级数学 1.5 可化为一元一次方程的分式方程(学习、上课课件)
3.检验分式方程解的两种方法： 直接检验法
知2－讲
公分母检验法
检验 方式
将求得的解分别代入原 分式方程的左边和右边 进行检验
把求得的解代入最简公分 母中进行检验 , 使最简公分 母为 0 的解不是原分式方 程的解
直接检验法不仅能检验
优缺 点
求得的解是不是原分式 方程的解，而且能检验 求得的解是否正确，但
数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，有时
设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数 . 3. 应用题中解分式方程同样要验根 .
感悟新知
知3－讲
(4) 解： 即解所列的分式方程，求出未知数的值 . (5) 验： 即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式
第一章 分式
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
分式方程的概念 分式方程的解法 分式方程的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 分式方程的概念
知1－讲
1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 .
2. 判断一个方程是分式方程的条件：
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不
含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 .
2. 解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
3. 对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化成的整式方程的解；
(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为0时
的未知数的值 .
感悟新知
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数 . 以上三者缺一不可 .
湘教版数学八年级上册1.5可化为一元一次方程的分式方程课件
解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，
约去分母化成整式方程
（2）解这个整式方程
（3）把方程的根代入原方程，检验是否符合题意。
两边
都乘
以最
简公
分母
解方
程
否
原方程
的解
是
增根
检验
例3
解方程：
−5
1
（1）1+4− = −4 ，
方程两边同乘以x-4，
得，x-4+x-5=1
∴x=5
−2
(−1)
+ =7
= −1
()
()
3−��
=2
1
()
2+1
+3x=1
()
=0
()
3
()
() − = 2
+5
1
−3=0
2+1
()
7
− =5
我是分式方程
3 − ��
=
2
=0
+5
1
3
=
−2
4 3
+ =7
我是整式方程
1
−3=0
2 + 1
3
2
=
−3
无解
=1
=9
3
（6）
=
7−2
− 1 2 − 2
（8）
（10）
2
2
=1−
2 − 1
+2
7
=
6
=0
3
=
−1
八年级数学上册分式. 可化为一元一次方程的分式方程 可化为一元一次方程的分式方程的解法
Image
12/13/2021
第十五页，共十五页。
解得：
x=30
经检验(jiǎnyàn)，x=30是所列方程的解.
去分母
第三页，共十五页。
推进(tuījìn)新课
分母(fēnmǔ)不含未知数
例
不含等号
下列关于x的式子：①
x ；1②= 5 3
；1 = 4 x x1
③ x 2 1 ；④ x - 2 x ；式方 x
平均车速1分.5x别km为/h 多少？
1h
解：设走线路一的平均(píngjūn)车速为xkm/h.
6
分母中含有未 知数的方程叫 做分式方程.
25 30 = 1 x 1.5x 6
第二页，共十五页。
25 30 = 1 x 1.5x 6
最简公分母6x
解： 方程(fāngchéng)两边同乘6x，得
25×6-30×4=x
第七页，共十五页。
可化为一元一次方程的分式方程 方程(fāngchéng)两边同乘各个分式的最简公分母
一元一次方程 求解(q：iú 去jiě)括号，移项，合并 同类项，系数化为1；
一元一次方程的解
检验(jiǎnyàn)
把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则 这个解是原方程的根；若它的值等于0，则原分式方程无解.
02 0-4
因此x=0是原方程的解.
第十二页，共十五页。
2.解下列(xiàliè)方程：
（2）1 2 = 1 3 2x-1 6x-3