【精选】概率论与数理统计1.2 随机事件的概率2

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概率论数理统计1.2

概率论数理统计1.2

1.2.3 概率的几何定义
对于几何概型,若事件A是Ω 中的某一区域,且A可 以度量,则事件A的概率为
A的几何度量 P ( A) = Ω的几何度量
其中,如果Ω 是一维、二维或三维的区域,则Ω 的 几何度量分别是长度、面积和体积.
1.2.3 概率的几何定义
【例1.3】(相遇问题)甲乙两艘轮船驶向一个不 可能同时停泊两艘轮船的码头,假设它们是在一昼 夜的时间段中随机到达.若甲乙两艘轮船停泊的时 间都是6小时,求它们相遇的概率是多少?
r n
Байду номын сангаас
r r r n 易知 An = Cn r! , Cn = Cn −r .
: n个元素是由r个a种元素和(n-r)个b种元素组 成,则这n个元素的不同排列数共有 个
4. 不同球占位 n个不同的球,r个房间,将球依次投入到房间 中(每个房间中可有任意多个球),则此种排列 数共有 个. 5.相同球占位 n 个相同的球,r个房间,将球依次投入到房间 中(每个房间中可有任意多个球),则此种排列 数共有 个. 把球在房间中的占位问题转化为若干个0和1 的排列问题
兴趣拓展
解答下面问题并利用计算机进行计算: 解答下面问题并利用计算机进行计算: 个人生日各不相同的概率 生日问题 (1) n个人生日各不相同的概率(n≤365). 个人生日各不相同的概率( ≤365).
n P365 365 × 364 × L × ( 365 − n + 1) ( 答案 : p = ). = n n 365 365
6. n个相同球,r个房间, 不空的占位有 种。
,则每个房间都
1.2.2 概率的古典定义
古典概型
具有以下两个特点的试验称为古典概型: (1) 有限性:试验的样本空间只含有限个样本点; (2) 等可能性:试验中每个基本事件发生的可能 性相同. 对于古典概型,若样本空间中共有n个样本点, 事件A包含k个样本点,则事件A的概率为

概率论与数理统计(二)

概率论与数理统计(二)

欢迎阅读内容串讲第一章 随机事件及其概率1. 事件的关系与运算必然事件:Ω—随机试验全部结果构成的集合。

不可能事件:φ 一般事件A :A φ⊂⊂Ω若A 若A 11111,,nnni i i i i i i i A A A A ∞=====等等。

例1 2(1(2(3(4(5))()()(AB P A P B A P -=-(6)若n A A A ,,21两两互不相容,则∑===ni i ni i A P A P 11)()((7)若n A A A ,,21相互独立,则例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P3.古典概型古典概型:当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时,任一事件A 的概率为例3 从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球,设A :取到两个白球;B :一白一红球,求)(),(B P A P(1)无放回抽样:(2)有放回抽样:每次有放回的取一球,连取两次[注]:若设X 为两次有放回取球中取到白球数,则X ~)52,2(B ,从而)(=P A P 4(1(2例103 (3,j i j i ,,≠)(i B(4例5 某工厂生产的产品以100个为一批,在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的,设每批产品中的次品最多不超过4个,并且恰有)4,3,2,1(=i i 个次品的概率如下(1)求各批产品通过的概率;(2)求通过检查的各批产品中恰有i 个次品的概率。

)4,3,2,1(=i解:(1)设事件i B 是恰有i 个次品的一批产品)4,3,2,1(=i ,则由题设设事件A 是这批产品通过检查,即抽样检查的10个产品都是合格品,则我们有1)(0=B A P由全概率公式,即得8142.0)()()(40≈=∑=i i i B A P B P A P(2)由Bayes 公式,所求概率分别为5.事件的独立性(1)定义:A 、B 相互独立等价于)()()(B P A P B A P ⋅=(2)若n A A A ,,,21 相互独立,则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =(3)有放回抽样中的诸事件是相互独立的。

概论

概论

又如:进行产品检验时,如果检验了n 件产品, 其中m 件为次品,则当 n 很大时,可用 m/n 作 为产品的次品率(概率)的估计值。
II. 频率性质 (1) 0≤ fn(A)≤1; (2) fn(Ω )=1, fn(Ø)=0; (3).若事件 A1,A2,„,Ak 两两互斥,则:
k f n Ai i 1
概率论与数理统计 第二讲
§1.2 随机事件的概率
1.2.1 事件的频率 I. 频率定义 设A是一个事件, 在相同条件下进行n次试 则称 m为事件A在 n次试验 验,A发生了m次。 中发生的频数或频次,称 m与 n之比 m/n 为事 件A在 n次试验中发生的频率,记为 fn(A)。
当试验次数 n充分大时,事件的频率总在 一个定值附近摆动,而且,试验次数越多, 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
说明
n个事件并的多除少补公式
特别地,n = 3 时,有
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
小结
本节首先介绍频率的概念,指出在试验 次数充分大的情况下,频率接近于概率的结 论;然后给出了概率的公理化定义及概率的 主要性质。
(1). P(A)≥0; (2). P(Ω)=1 ; (3). 若事件A1, A2 ,… 两两互斥,则有
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) .
则称P(A)为事件A的概率。
注意:这里的函数P(A)与以前所学过的函 数不同。不同之处在于:P(A)的自变量是事件 ( 集合 )。 不难看出:这里事件概率的定义是在频率 性质的基础之上提出的。在§5.1中, 我们将看 到:频率fn(A)在某种意义下收敛到概率P(A)的 结论。基于这一点,我们有理由用上述定义的 概率 P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可 能性大小。

概率论与数理统计1~6章总结

概率论与数理统计1~6章总结

A (BC) (A B)(A C)
摩根律 AB A B A B A B
2.随机事件的概率 ①概率和频率 概率的定义:若对随机试验 E 所对应的样本空间 中的每一事件 A,均赋予一实数 P(A), 集合函数 P(A)满足条件:
(1) P(A) ≥0;
(2) P()=1;
(3) 可列可加性:设 A1,A2,…, 是一列两两互不相容的事件,即 AiAj=,(ij), i , j=1, 2, …,
离散型随机变量 随机变量 非离散型奇异型连(续混型合型)
2.离散型随机变量
若随机变量 X 取值 x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn, …, 则称 X 为离散型 随机变量,而称
n!
n1!....nm !
eg: 30 名学生中有 3 名运动员,将这 30 名学生平均分成 3 组,求: (1)每组有一名运动员的概率; (2)3 名运动员集中在一个组的概率。 解:设 A:每组有一名运动员;B: 3 名运动员集中在一组
N (S)
C C C 10 10 10 30 20 10
Hale Waihona Puke 10!成互斥事件(互不相容事件):事件 A 与事件 B 互斥——AB=Φ;事件 A 与事件 B 不能同时发
生,两个事件没有公共的样本点
对立事件:事件 A 不发生,由所有不属于 A 的样本点组成,记作 A or Ac
差事件:差事件 A-B 发生 ——事件 A 发生且事件 B 不发生;由属于事件 A 但不属于事件 B
P(A)具有如下性质 (1) 0 P(A) 1; (2) P()=1; P( )=0 (3) AB=,则 P( A B )= P(A) +P(B) 抽球问题 设盒中有 N 个球,其中有 M 个白球,现从中任抽 n 个球,则这 n 个球中恰有 k 个白球的概 率是

1.2 随机事件的概率

1.2 随机事件的概率

实验的基本事件总数为C
2 个,而有利于
100
Am
的基本
事件数是C
6m0C
2m 40
个,所以有
P(
A0
)
C402 C2
100
P( A2) CC6202 100
26 , 165 59 . 165
P( A1 )
C1 C1 60 40 C2 100
16 , 33
古典概型举例
例5. 在例4中产品组成不变,如果每次随机地抽取一 件,连续两次,求两次取到的产品等级相同的概率。
概率的统计定义并非严格的数学上的定义, 而只是大 数定律的一个描述. 实际应用时,我们只能得到不稳定的频率(概率的近似
值பைடு நூலகம்,而无法获得准确的频率稳定值p 。
§1.2.2概率的公理化定义
注意到概率统计定义和频率定义都具有非负性、正则性 、 可加性。 1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫通过规定 概率应具备的基本性质给出概率的公理化定义。 定义:设试验E的样本空间为Ω,对于试验E 的每一个事件 A ,即对于样本空间Ω的每一个子集A,都赋予一个实数 P(A),若P(A)满足下面3条公理: 公理1:对任何事件A,有P(A)≥0。 (非负性) 公理2:对于必然事件Ω, P(Ω)= 1。(正则性) 公理3:对于任意可列个互不相容事件A1,A2,…,An, …,
例. 抛硬币试验(续)
掷一枚均匀硬币,记录前400次掷硬币试验中, 正面出现频率μn(A)的趋势,如图 μn(A)
1 0.5
n
7
历史上的掷硬币试验
试验者
抛掷次数 正面出现次数 正面出现频率
n
m
m/n
德.摩尔根
2048

概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第二节:随机事件的概率

概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第二节:随机事件的概率

C 取得一件正品一件次品 ,
解 1 采取有放回抽样 .
概率论
2
从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 12 .
即样本空间中所含的基本事件数为 12 .
2
事件 A 中所含有的基本事件数为 C9C9 9 . 2 9 9 . 所以 P A 2 12 16
1 1 2
所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An P P P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An .
概率论
定义: 若随机试验满足下述两个条件: (1) 它的样本空间只有有限多个样本点; (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
概率论
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
记 B={摸到红球} P(B)=? 1 2 345 6
P(B)=6/10
85 1 9 4106 72 3
1 4
,
, 就下列三种情况求概率 P BA .
1 A 与 B 互斥 ;

2 A B ;
3 P AB .
9

1
1由于 A、B 互斥 , 所以
B A
于是 所以 BA B
P BA P B
1 2 .
A
B
A、B 互斥
概率论
2 因为 A B , 所以
故由性质 4 , 可得 P A P 1 .

第2讲随机事件的概率

第2讲随机事件的概率
空间,全集 空集 元素 集合 A是B的子集
A与B是相等集合
A与B无相同元素
A与B的并集
A与B的交集
A与B的差集
A的余(补)集
§1.2 随机事件的概率
• 1.直观定义 • 2.统计定义 • 3.古典定义; • 4.公理化定义; • 5.几何定义.
1.2.1 概率的统计定义
概率的直 在一次试验中事件A发生的可能性大小的 观定义: 量度称为事件A的概率。
B { 取到的两只球都是黑球}
C { 取到的两只球中至少有一只是白球 }
D { 取到的两只球颜色相同 }
显然C B, D A B
(1)
P( A)
P42 P62
12 30
2 5
(2)类似于(1),可求得
P(B)
P22 P62
1 15
由于AB ,Leabharlann 由概率的有限可加性,所求概率为:
P(D) P( A B) P( A) P(B) 2 1 7 5 15 15
加法原理
完成某件事情有 n 类途径, 在第一类途径中有m1种方 法,在第二类途径中有m2种方法,依次类推,在第 n 类 途径中有mn种方法,则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤,做第一步有m1种 方法,第二步有 m2 种方法,依次类推,第 n 步有mn种方 法,则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
率的稳定值p,记做P(A)。概率是不变的
我们称这一定义为概率的统计定义 。
4 概率是事件的自然属性,有事件就一定有 概率。频率是概率的表现,频率的本质是概率
概率的公理化定义
• 非负性公理: P(A)0; • 正则性公理: P(Ω)=1; • 可列可加性公理:若A1, A2, ……,

概率论1.2-随机事件的概率

概率论1.2-随机事件的概率
m n
( 0 m n )
排列组合
例7 设一年有365天,求下列事件A,B的概率:
A={n个人中没有2人同一天生日},
B={n个人中至少有2人同一天生日}。 解:显然事件A,B是对立事件,所以P(A)+P(B)=1 由于每个人的生日可以是365天中的任意一天, 因此n个人的生日有365n种可能结果,而且每种
1 13
因 此 事 件A 的 概 率 为 m C C C C P ( A) 4 n C52
1 13
因 此 事 件A 的 概 率 为 m C C C C P ( A) 4 n C52 m Cn 4 13 4 ! n( n 1)( n m 1) 52 51 50 49 m!
2 00
该数值表达了 “每人得到三等奖 ” 这个随 机事件发生可能性的大小. 数值 2% 称为这个事件发生的概率.
概率就是用来描述随机 事件发生的可能 性大小的。
一、概率的统计定义
定义1 在相同条件下重复进行 n 次试验,若事
m 件A发生的频率f n ( A) 随着试验次数 n的增大 n 而稳定地在某个常数 p(0 p 1)附近摆动,则称 p 为事件A发生的概率,记为 P( A).
P21:8 同时掷四个均匀的骰子,求下列事件的概率: (1) 四个骰子的点数各不相同; (2) 恰有两个骰子的点数相同; (3) 四个骰子的点数两两相同,但两对点数不同; (4) 恰有三个骰子的点数相同;
(5) 四个骰子的点数都相同。
P64 6 5 4 3 5 (1) 4 4 6 6 18
若一个随机试验满足以下两个特点: 有限性 基本事件总数有限 等可能性 每一个基本事件发 生的可能性相等
这样的试验模型称为古典概型

自考概率论与数理统计(经管类)自学资料

自考概率论与数理统计(经管类)自学资料

自考概率论与数理统计(经管类)自学资料第一章随机事件与随机事件的概率1.1 随机事件例一,掷两次硬币,其可能结果有:{上上;上下;下上;下下}则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现,也可能不出现的。

引例二,掷一次骰子,其可能结果的点数有:{1,2,3,4,5,6}则出现偶数点的事件A,点数≤4的事件B都是可能出现,也可能不出现的事件。

从引例一与引例二可见,有些事件在一次试验中,有可能出现,也可能不出现,即它没有确定性结果,这样的事件,我们叫随机事件。

(一)随机事件:在一次试验中,有可能出现,也可能不出现的事件,叫随机事件,习惯用A、B、C表示随机事件。

由于本课程只讨论随机事件,因此今后我们将随机事件简称事件。

虽然我们不研究在一次试验中,一定会出现的事件或者一定不出现的事件,但是有时在演示过程中要利用它,所以我们也介绍这两种事件。

必然事件:在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件,习惯用Ω表示必然事件。

例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。

不可能事件:在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件,而习惯用φ表示不可能事件。

例如,掷一次骰子,点数>6的事件一定不出现,它是不可能事件。

(二)基本(随机)事件随机试验的每一个可能出现的结果,叫基本随机事件,简称基本事件,也叫样本点,习惯用ω表示基本事件。

例如,掷一次骰子,点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件,或叫样本点。

全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间,记作Ω,当然Ω是必然事件。

(三)随机事件的关系(1)事件的包含:若事件A发生则必然导致事件B发生,就说事件B包含事件A ,记作。

例如,掷一次骰子,A表示掷出的点数≤2,B表示掷出的点数≤3。

∴A={1,2},B={1,2,3}。

所以A发生则必然导致B 发生。

显然有(2)事件的相等:若,且就记A=B,即A与B相等,事件A等于事件B,表示A与B实际上是同一事件。

概率论及数理统计:1.2 概率

概率论及数理统计:1.2  概率

则 P( A) k n
例 袋中有a 只白球,b 只红球,从袋中按
不放回与放回两种方式取m个球( mm a bb),
求其中恰有 k 个 ( k a,k m )白球的概率
对应两个重要 的概率模型
例 袋中有a 只白球,b 只红球, 从袋中不放回 地取球 k 次, 每次一只,求第k次取得的是白球 的概率
设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5” A = A1 A2
A A1 A2 A1 A2
例 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中,每盒放一球,求 至少有一个盒子的号码与放入的球的号 码一致的概率
解 设 A 为所求的事件
不放回情形解法一
E1: 球编号,一次取出 m 个球,记下颜色
1:
n1
Cm ab
记事件 A 为m个球中有k个白球,则
nA CakCbmk
因此
P( A)
C ak C bm k Cm
ab
m! a! b!
k !(m k)!
(a k)! (b m k)! (a b)!
(a b m)!
例 (分房问题)设有 k 个可以分辨的球,每个 球等可能地落入 N 个有编号的盒子中(k N ), 设每个盒子容纳的球数无限,求下列事件的概率
(1)某指定的 k 个盒子中各有一球; (2)恰有 k 个盒子中各有一球; (3)某指定的一个盒子没有球; (4)某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k ); (5)至少有两个球在同一盒子中
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
n
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )

概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计知识点总结




密度函数


分布函数
期望
( EX ) 方差( DX )
均 匀 分
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0, x a
0, 其他
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
EX a b 2
(b a)2 DX
12

1, x b
记作 X ~U[a,b]
n
n
n
P Ai 1 P(Ai ) 1 (1 P(Ai ))
i1
i1
i1
(4)伯努利概型
伯努利定理:在一次试验中,事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ,则在 n 重伯努利试验中,事
件 A 恰好发生 k 次的概率为: b(k; n, p) Ckn pkqnk ,其中 q 1 p . 在伯努利试验序列中,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ,“事件 A 在第 k 次试验中才首
数 n 有关),如果 n 时, npn ( 0 为常数),则对任意给定的 k ,有
lim
n
b(k; n,
pn
)
k k!
e
.
当二项分布 b(n, p) 的参数 n 很大,而 p 很小时,可以将它用参数为 np 的泊松分布来近
似,即有
b(k; n, p) (np)k enp . k!
4.常用的连续型分布
k
N2 N
nk
.这一近似关系的严格
数学表述是:当 N
时, N1
, N2
,且
N1 N
p,
N2 N
1
p ,则对任意给

概率论与数理统计整理(一二章)

概率论与数理统计整理(一二章)

一、随机事件和概率考试内容:随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求:1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义),掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分),以及贝叶斯公式.3.理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.整理重点:1. 随机事件:可能发生也可能给不发生的事件。

0<概率<1。

2. 样本空间:实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点,实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间,大写字母S表示。

3. 事件的关系:(1)包含:事件A发生必然导致事件B发生,称事件B包含事件A。

(2)相等:事件A包含事件B且事件B包含事件A。

(3)和:事件的并,记为A∪B。

(4)差:A-B称为A与B的差,A发生而B不发生,A-B=A-AB。

(5)积:事件的交,事件A与B都发生,记为AB或A∩B。

(6)互斥:事件A与事件B不能同时发生,AB=空集。

(7)对立:A∪B=S。

4. 集合的运算:(1)交换律:A∪B=B∪A AB=BA (2结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(B C)(3)分配率:A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组:如果n个事件中至少有一个事件一定发生,则称这n个事件构成完全事件组(特别地:互不相容的完全事件组)。

【精品】概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案完整版

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概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案完整版随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点.习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式:习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题13习题14习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答:①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答:分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下:X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2 ,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答:由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答:(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答:因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为:P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:(1)X的概率分布;(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答:(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.解答:此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X, 它可能的值只有两个,即0和1.X=0表示未投中,其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次,其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.解答:设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36 120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120. X的分布律为习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答:由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答:因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答:以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答:\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.所以其分布函数(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答:P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求:(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答:(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答:F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答:应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答:P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时,F(x)=0;当0<x<1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0d t=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:(1)A,B的值;(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答:(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答:由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et ∣-∞x=12ex;当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度f(x)={100x2,x≥10 00,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答:设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答:设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d 满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答:因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答:先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05).因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:工人每月需完成多少件产品才能获奖?解答:用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件,就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答:已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答:X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走. 第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?解答:设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布。

《概率论与数理统计》第一章知识点

《概率论与数理统计》第一章知识点

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象:1.确定性现象:在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象(偶然现象):在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件:1.实验可以在相同条件写可以重复进行;(可重复性)2.事先的所有可能结果是事先明确可知的;(可观察性)3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

(不确定性)1.1.2样本空间1.样本点:每次随机试验E 的每一个可能的结果,称为随机试验的一个样本点,用w 表示。

2.样本空间:随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件:一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件:试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件:每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件:每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件,用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”,则称事件B 包含事件A ,也称事件A 是B 的子事件,记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和(并⋃)“事件A 与B 中至少有一个事件发生”,这样的事件称为事件A 与B 的和事件,记作B A 。

3.事件的积(交⋂)“事件A 与B 同时发生”,这样的事件称作事件A 与B 的积(或交)事件,记作AB B A 或 。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”,这样的事件称为事件A 与B 的差事件,记作A-B 。

5.事件互不相容(互斥事件)“事件A 与事件B 不能同时发生”,也就是说,AB 是一个不可能事件,即=AB 空集,即此时称事件A 与事件B 是互不相容的(或互斥的)6.对立事件“若A 是一个事件,令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件,或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系:=A A 空集,Ω=A A 对立事件一定是互斥事件;互斥事件不一定是对立事件。

1.2随机事件的概率

1.2随机事件的概率
§12 随机事件的概率
一、概率和频率解释 二、从频率的性质看概率的性质 三、概率的公理化定义 四、概率测度的其他性质
一、 概率和频率解释
定义11(概率的直观定义) 随机事件A发生的可能性大小的度量(数值) 称为事件A
发生的概率 记作P(A)
提示 大量重复投掷一枚均匀硬币 出现正面和反面的频率会
接近一个稳定值1/2 可见频率的稳定值与事件发生的可能性 大小存在内在必然的联系 一方面频率的稳定性说明事件发 生的可能性大小确实是一种客观存在 另一方面 频率的稳定 值对事件发生的可能性大小提供了经验解释
(1) 5天均下雨 (2) 至少一天不下雨 (3) 至多三天不下雨
解 已求得
P(
A0)
1 16
P(
Ai
)
i 16
(i1 2 3 4 5)
记(1) (2) (3)中三个事件分别为A B C 则
(1)
P(
A)
P(
A0)
1 16
(2)
P(B)
5
P( i1
Ai)
1
P(
A0)
15 16
(3)
P(C)
3
P( i1
P(A0)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
P(A0)P(A0)2P(A0)3P(A0)4P(A0)5P(A0)
16 P(A0) 于是可求得
P(
A0)
1 16
P(
Ai
)
i 16
(i1 2 3 4 5)
例110 观察某地区未来5天的天气情况 记Ai为事件 “有i天不下雨”(i0 1 2 3 4 5) 已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5) 求下列各事件的概率

概率论与数理统计1.2

概率论与数理统计1.2

bk=ak+(k-1),k=1,2,…,r;其中b1<b2<…<br ≤n+r-1
重复组合公式
故从1到n中取r个的允许重复组合,对应一个从1到n+r-1 中取r个的不允许重复的组合。
反之,从(1,2,…,n+r-1)中取r个作不重复组合 ( b1,b2,…,br ),不妨设b1<b2<…<br ≤n+r-1。构造序列 b1,b2-1,,…br-r+1,显然有 b1 ≤ b2-1 ≤ … ≤ br-r+1
形成x-平面上的一个矩形,其面积为:
S = d( /2).
蒲丰投针问题(续2)
A = “针与平行线相交” 的充要条件是:
x l sin ( /2).
针是任意投掷的,所以这个问题可用几何方法 求解得
的随机模拟
由蒲丰投针问题知:长为l 的针与平行线相交
的概率为: 2l/d.
而实际去做 N 次试验,得 n 次针与平行线相 交,则频率为: n/N.
前两种情况出现的概率为零. 所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.
解:记Pab,Pac,Pbc ,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc, a,b,c与平行线相交的概率,则所求概率为 p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc. 由蒲丰投针问题知
Pa=2a/(d), Pb=2b/(d), Pc=2c/(d). 因为 Pa= Pab+Pac, Pb= Pab+Pbc, Pc= Pac+Pbc 所以 Pa + Pb + Pc = 2(Pab+Pac+Pbc), 由此得
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能. Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
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1.2 随机事件的概率
一、率概的统计意义 二、概率的古典定义 三、概率的公理化定义 四、概率的性质 补充、几何概率
1
研究随机现象,不仅关心试验中会出 现哪些事件,更重要的是想知道事件出现 的可能性大小,也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大,概率就 越大!
2
我们只好认为所有结果在试验中有同等可能 的出现机会,即1/N的出现机会.
10
例如,一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1-10 . 把球搅匀,蒙上眼睛,从 中任取一球.
85 1946 7 2 3 10
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因为抽取时这些球是 10个球中的任一个被取 完全平等的,我们没有理 出的机会都是1/10
率波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时,频率趋 于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件
A在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
概率.
7
概率的统计定义
定义 在相同条件下进行n次重复试验, 若事件A
发生的频率
fn
(
A)

rn
( A) n
随着试验次数n的增大而
稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概
则完成这件事共有
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事,
18
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理,它们不但可以直接解决不少 具体问题,同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
19
3.排列、组合的几个简单公式 1、排列: 从n个不同元素取 k 个
( 1 k n )的不同排列总数为:
Pnk n(n 1)(n 2)
(n k 1) n! (n k)!
k = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2) 21 n!
20
4.组合: 从n个不同元素取k个
(1 k n)的不同组合总数为:
Cnk

Pnk k!
率,记为P(A).
8
二、概率的古典定义 我们首先引入的计算概率的数学模型,
是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象,通常称为
古典概型
9
假定某个试验有有限个可能的结果 ω1, ω2, …,ωN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分 析,我们找不到任何理由认为其中某一结果
例如 ωi ,比任一其它结果ωj , 更有优势,则
4 5
5 1

1 2
1.0
25
处波动较小
0.2
24
0.50 247 0.494
在01.48处波动 25最 1 小0.502
6
2
0.4
18
02.36 262 0.524
74
0.8
27 0.54 258 0.516
4
从上述数据可得 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得
的fn(A)不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率fn(A)的随机波动 幅度较大,但随 n 的增大, 频率fn(A) 呈现出稳定 性.即当 n 逐渐增大时频率fn(A)总是在 0.5 附近 摆动, 且逐渐稳定于 0.5.
5
实验者
德 摩根 蒲丰
K 皮尔逊 K 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
rn ( A)
1061 2048 6019 12012
fn ( A)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
fn( A) n的增大
1. 2
6
重要结论
当实验次数 n 较小时,事件A发生的频
第一种方式有n1种方法,
第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共
…;
有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有nm种方法, 种方法 .
无论通过哪种方法都可以 完成这件事,
17
基本计数原理
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤,
第一个步骤有n1种方法,
第二个步骤有n2种方法, , …;
第m个步骤有nm种方法,
一、概率的统计意义
定义 若在相同条件下进行 n 次试验,其中A发生的
次数为 rn( A),则称
fn ( A)

rn ( A) n
为事件A 发生的
Байду номын сангаас频率.
显然 0 rn ( A) n 0 fn( A) 1;
3
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
称这样一类随机试验 为古典概型.
如i =2
2
1 7
98345106
13
若随机试验满足下述两个条件: (1) 它的样本空间只有有限多个样本点; (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验模型为等可能概型或古典概型.
14
注意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 • Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正
由认为10个球中的某一个
会比另一个更容易取得 .
也就是说,10个球中的任
一个被取出的机会是相等 的,均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
12
我们用 i 表示取到 i号球, i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
Ω ={ 1 , 2 , … , 10 } 且每个样本点(或者说 基本事件)出现的可能 性相同 .
反), (正反反), (反正反), (反反正), (反反
反)} 此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三 反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
15
古典概型中事件概率的计算
设古典型随机试验E的样本空间为 1,2,,n
对任意事件 A ,若 A i1 ,i2 ,,ir , r n 则定义
试验 n 5
n 50
n 500
序号 rn ( A) fn( A) rn ( A) fn( A) rn ( A) fn( A)
1 2 3
2 0.4
22
0.44 251 0.502
随n13的增大00..,62频率 在 2f2n51(12H处)呈波00现动..5402出较大稳22定4596性
0.498 0.512
事件 A 发生的概率
P( A)

r n

A包 含 的 基 本 事 件 数
中 基 本 事 件 的 总 数
称此概率为古典概率, 这种确定概率的方法称为 古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基
本事件的计数问题.
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这里我们先简要复习一下计算古典概率
所用到的
基本计数原理
1. 加法原理
设完成一件事有m种方式,
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