全等三角形辅助线专题(生)

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全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示,AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上,求证:AB=AC+BD.2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图,△ABC的∠B和∠C的平分线BD,CE相交于点F,∠A=60°,(1)求∠BFC的度数.(2)求证:BC=BE+CD.5.如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证:第2页,共28页BC=AB+CE.6.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=1∠BAD,求证:EF=BE+DF;2(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=1∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF=1∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;2若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = 60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.8.如图,在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,(1)求∠AOC的度数;(2)求证:OE=OD;(3)猜测AE,CD,AC三者的数量关系,并证明.第4页,共28页9.如图在△ABC中,∠ABC=60°,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于点D,延长DB点F,使BF=BD,连接AF.(1)求证:AF=CD;(2)若CE平分∠ACB交AB于点E,试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系,并证明你猜想的结论.二、倍长中线10.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,AM和DN分别是中线,且AM=DN.求证:△ABC≌△DEF.11.(1)【问题情境】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图①,△ABC中,若AB=13,AC=9,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是______.A.SSS B.SAS C.AAS D.HLⅡ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______.解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.(2)【初步运用】如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且∠FAE=∠AFE.若AE=4,EC=3,求线段BF的长.12.已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BC交AC于F,求证:AF=EF.第6页,共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°(1)如图1,若BD为高线,AB=4,BC=3,AC=5,求BD的长(2)如图2,若BD为中线,求证:BD=1AC215.如图,在五边形ABCDE中,∠E=90O,BC=DE,,连接AC,AD,且AB=AD,AC⊥BC.(1)求证:AC=AE(2)如图,若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线,求证:AF⊥CD;(3)如图,在(2)的条件下,AE=8,DE=5,则五边形ABCDE的面积为_______。

全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)

全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)

全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一 倍长中线法辅助线添法二 截长补短法辅助线添法三 旋转法辅助线添法四 作平行线法辅助线添法五 作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时,老师提出如下问题:如图1,在△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明提出了如下解决方法,延长线段AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法回答下列问题.(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围.A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2,在△ABC中,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠BAE.【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≅△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是:(用字母表示);(2)AD的取值范围是;(3)小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD平分∠BAC,求证:AB= AC.2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接CE.①证明△ABD≌△ECD;②若AB=5,AC=3,设AD=x,可得x的取值范围是;(2)如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF.3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①,△ABC 中,AB =7,AC =5,点D 为BC 的中点,求AD 的取值范围.小明的解法如下:延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接CE .在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =.又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ,而AB =EC =7,AC =5,∴<AE <.又∵AE =2AD .∴<AD <.【探索应用】如图②,AB ∥CD ,AB =25,CD =8,点E 为BC 的中点,∠DFE =∠BAE ,求DF 的长为.(直接写答案)【应用拓展】如图③,∠BAC =60°,∠CDE =120°,AB =AC ,DC =DE ,连接BE ,P 为BE 的中点,求证:AP ⊥DP .【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长:指在长线段中截取一段等于已知线段;补短:指将短线段延长,延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法(往往需证2次全等).【模型图示】(1)截长:在较长线段上截取一段等于某一短线段,再证剩下的那一段等于另一短线段.例:如图,求证BE+DC=AD方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等例:如图,求证BE+DC=AD方法:①延长DC至点M处,使CM=BE,证DM=AD;②延长DC至点M处,使DM=AD,证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合,组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N.(1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N,AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系?证明你的结论;(2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系?证明你的结论;(3)如图③,在(2)的条件下,若将M、N改在CA、BC的延长线上,完成图3,其余条件不变,则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知:如图,在△ABC中,∠B=60°,D、E分别为AB、BC上的点,且AE、CD交于点F.若AE、CD为△ABC的角平分线.(1)求∠AFC的度数;(2)若AD=6,CE=4,求AC的长.2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.(1)如图②,当∠C≠90°,AD为△ABC的角平分线时,线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系?不需要说明理由,请直接写出你的猜想.(2)如图③,当∠ACB≠90°,AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E、F分别在直线BC、CD上,且∠EAF=12∠BAD.(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1),请说明EF=BE+FD的理由.(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出EF、BE、FD之间的数量关系,并说明理由.【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转:将包含一条短边的图形旋转,使两短边构成一条边,证与长边相等.注:旋转需要特定条件(两个图形的短边共线),该方法常在半角模型中使用.【模型图示】例:如图,已知AB=AC,∠ABM=∠CAN=90°,求证BM+CN=MN方法:旋转△ABM至△ACF处,证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知:△ABC≌△DEC,∠ACB=90°,∠B=32°.(1)如图1当点D在AB上,∠ACD.(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系?请说明理由.(温馨提示:两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC上的点,且∠EAF=45°,连接EF,探究BE、DF、EF之间的数量关系,并说明理由;(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC、DC上的点,且∠EAF= 1∠BAD,此时(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于E,(1)如图(1)所示,若B,C在AE的异侧,易得BD与DE,CE的关系是DE=;(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时,(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何?请予以证明;(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置,(BD>CE),问BD与DE,CE的关系如何?请直接写出结果,不需证明.3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点D是直线AB上的一点,连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,连接EB.(1)操作发现如图1,当点D在线段AB上时,请你直接写出AB与BE的位置关系为;线段BD、AB、EB的数量关系为;(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时,如图2,是点D在射线AB上,如图3,是点D在射线BA上,请你写出这两种情况下,线段BD、AB、EB的数量关系,并对图2的结论进行证明;(3)拓展延伸若AB=5,BD=7,请你直接写出△ADE的面积.【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示:△ABC是等边三角形,D、E分别是AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交BC于点M.求让:MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA =CQ,连PQ交AC边于D.(1)证明:PD=DQ.(2)如图2,过P作PE⊥AC于E,若AB=6,求DE的长.5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明.图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中,AB=AC,在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连接DE,DE所在直线交直线BC与点M.请探究:(1)如图(1),当点E在线段AC上,点D在AB延长线上时,若BD=CE,请判断线段MD和线段ME的数量关系,并证明你的结论.(2)如图(2),当点E在CA的延长线上,点D在AB的延长线上时,若BD=CE,则(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由;(3)如图(3),当点E在CA的延长线上,点D在线段AB上(点D不与A,B重合),DE所在直线与直线BC交于点M,若CE=2BD,请直接写出线段MD与线段ME的数量关系.【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义:三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角.①直接写出∠E与∠A的数量关系;②连接AE,猜想∠BAE与∠CAE的数量关系,并说明理由.(2)如图2,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E在BD的延长线上,连CE,若已知DE=DC =AD,求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1,已知四边形ABCD,连接AC,其中AD⊥AC,BC⊥AC,AC =BC,延长CA到点E,使得AE=AD,点F为AB上一点,连接FE、FD,FD交AC于点G.(1)求证:△EAF≌△DAF;(2)如图2,连接CF,若EF=FC,求∠DCF的度数.已知:如图,点E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.分析:证明两条线段相等,常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.(1)现给出如下两种添加辅助线的方法,请任意选出其中一种,对原题进行证明.①如图1,延长DE到点F,使EF=DE,连接BF;②如图2,分别过点B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分别为点F,G.(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线,并对原题进行证明.已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明.【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图,AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).(1)求证:AB-AC<2AD<AB+AC;(2)若AB=8cm,AC=5cm,求AD的取值范围.5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.(1)小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD.①请证明△CED≌△ABD;②中线BD的取值范围是.(2)问题拓展:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=∠90°,连接MN.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:(1)如图2,由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2,AD长的取值范围是.A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时,条件中若出现“中点”、“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图3,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC=BF.7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1,已知△ABC中,AD是中线,求证:AB+AC>2AD;(2)如图2,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,求证:AB+AC>AD+AE;(3)如图3,在△ABC中,D,E在边BC上,且BD=CE.求证:AB+AC>AD+AE.8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上,老师提出了这样一个问题:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且AB+BD=AC,求证:∠ABC=2∠ACB,小明的方法是:如图2,在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,构造全等三角形来证明.(1)小天提出,如果把小明的方法叫做“截长法”,那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是:延长AB至F,使BF=,连接DF请补全小天提出的辅助线的画法,并在图1中画出相应的辅助线;(2)小芸通过探究,将老师所给的问题做了进一步的拓展,给同学们提出了如下的问题:如图3,点D在△ABC的内部,AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,且AB+BD=AC.求证:∠ABC=2∠ACB.请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程);(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换,得到的命题如下:如果在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,点D在边BC上,AB+BD=AC,那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题,老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图,在锐角ΔABC中,∠A=60°,点D,E分别是边AB,AC上一动点,连接BE交直线CD于点F.(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,求∠CFE的度数;(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN.在点D,E运动过程中,猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想.10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD.∠BAD=120°.∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC.CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.(1)小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;(直接写结论,不需证明)探索延伸:(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADF=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,(1)中结论是否仍然成立,并说明理由;(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请直接写出它们之间的数量关系.11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,线段EF、BE、FD之间的关系是;(不需要证明)(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明.若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明.若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入:如图1,点F是正方形ABCD边CD上一点,连接AF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合,F与G重合,此时点G,B,C在一条直线上),∠GAF的平分线交BC于点E,连接EF,判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系,并说明理由.(2)知识迁移:如图2,在四边形ABCD中,∠ADC+∠B=180°,AB=AD,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,连接AE,AF,且∠BAD=2∠EAF,试写出线段BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.(3)实践创新:如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC平分∠DAB,点E在AB上,连接DE,CE,且∠DAB=∠DCE=60°,若DE=a,AD=b,AE=c,求BE的长.(用含a,b,c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图,点P为等边△ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,AP=CQ,PQ交AC于D,(1)求证:DP=DQ;(2)过P作PE⊥AC于E,若BC=4,求DE的长.14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠CAB.(1)如图1,若ACB=90°,求证:AB=AC+CD;(2)如图2,若AB=AC+BD,求∠ACB的度数;(3)如图3,若∠ACB=100°,求证:AB=AD+CD.15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.【解决问题】如图,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,∠EAF =45°,连接EF ,则EF =BE +DF ,试说明理由.证明:延长CD 到G ,使DG =BE ,在△ABE 与△ADG 中,AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由:(SAS )进而证出:△AFE ≌___________,理由:(__________)进而得EF =BE +DF .【变式探究】如图,四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上,∠EAF =45°.若∠B 、∠D 都不是直角,则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时,仍有EF =BE +DF .请证明你的猜想.【拓展延伸】如图,若AB =AD ,∠BAD ≠90°,∠EAF ≠45°,但∠EAF =12∠BAD ,∠B =∠D =90°,连接EF ,请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系.。

全等三角形经典题型辅助线

全等三角形经典题型辅助线

全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知:如图6,△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形,且BE AD =,△CDE 是等边三角形.求证:△ABC 是等边三角形.【例2】、如图,已知BC > AB ,AD=DC 。

BD 平分∠ABC 。

求证:∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例. 3】如图,已知在△ABC 中,90C ︒∠=,30B ︒∠=,AD 平分BAC ∠,交BC 于点D 。

求证:2BD CD =证明:延长DC 到E ,使得CE=CD ,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例 4.】 如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点,且CD AB =,ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ∆的中线。

求证:2AC AE =。

证明:延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE (SAS ) 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图,△ABC 中,BD=DC=AC ,E 是DC 的中点,求证:AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线"的辅助线包含的基本图形“八字型"和“倍长中线”两种基本操作方法,倍长中线,或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

全等三角形辅助线专题

全等三角形辅助线专题

1、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C证明:在AC上截取AE=AB,连结DE∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠EAD在△BAD与△EAD中,有:AB=AE (已知)∠BAD=∠EAD (已证)AD=AD (公共边)∴△BAD≌△EAD (SAS)∴∠B=∠AED (全等三角形对应角相等)∵∠AED=∠EDC+∠C (三角形的外角等于不相邻的内角和)∴∠B=∠EDC+∠C (等量代换)∵△BAD≌△EAD (已证)∴BD=ED (全等三角形对应边相等)∵AC=AB+BD (已知)AB=AE (已知)BD=ED (已证)∴ED=CE (等量代换)∴∠C=∠EDC (等边对等角)∵∠B=∠EDC+∠C (已证)∴∠B=2∠C2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AB>AC,试判断AB-AC与BD-CD的大小并说明理由。

证明:在AB上截取AE=AC,连结DE∵AD是∠CAB的角平分线∴∠CAD=∠EAD在△CAD与△EAD中,有:AC=AE (已知)∠CAD=∠EAD (已证)AD=AD (公共边)∴△CAD≌△EAD (SAS)∴CD=ED (全等三角形对应边相等)∵AC=AE (已知)∴AB-AC=AB-AE=BE (等量代换)∵BD-CD=BD-DE<BE (三角形两边之差少于第三边)∴BD-CD=AB-AC3、如图,O为∠BAC内一点,且AB=AC,OB=OC,反向延长OB交AC于D,反向延长OC交AB于E,求证:AD=AE证明方法一:连结BC∵AB=AC,OB=OC∴∠ABC=∠ACB,∠OBC=∠OCB (等边对等角)∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OBC∴∠ABD=∠ACE在△ABD与△ACE中,有:∠ABD=∠ACE (已证)AB=AC (已知)∠A=∠A (公共角)∴△ABD≌△ACE (ASA)∴AD=AE (全等三角形对应边相等)证明方法二:连结AO在△AOB与△AOC中,有:OB=OC (已知)AB=AC (已知)AO=AO (公共边)∴△AOB≌△AOC (SSS)∴∠ABD=∠ACE (全等三角形对应角相等)在△ABD与△ACE中,有:∠ABD=∠ACE (已证)AB=AC (已知)∠BAC=∠CAB (公共角)∴△ABD≌△ACE (ASA)∴AD=AE (全等三角形对应边相等)4、在△ABC中,AB=6,AC=8,D是BC的中点。

【专题】全等三角形辅助线做法汇总PPT课件(沪科版)

【专题】全等三角形辅助线做法汇总PPT课件(沪科版)
=
∵ቐ∠ = ∠
=
∴△BDE≌△CDH(SAS)







∴BE=CH
在△CFH中,根据三角形三边数量关系
CF+CH>FH
即CF+BE>EF




猜想:AF+CE=EF
【解析】(3)延长FA至AH,使AH=CE
易证△HAD≌△CDE(SAS),HD=DE
再证△HDF≌△EDF(SAS)



图2


图3
【解析】(1)(2)问中,利用角度的和差关系,等角的余角相等,间接求证Rt△ADB≌Rt△AEC(AAS)
课堂练习
例8 如图所示,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°
的∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,求△AMN的周长。

不需要说明理由,请直接写出你的猜想。
(2)如图③,当∠ABC≠90°时,AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想进行说明。
【解析】
(1)猜想:AB=AC+CD 证明:方法如题①,在AB上截取AE=AC。
(2)猜想:AC+AB=CD 在AF上截取AH=AC易证△ACD≌△AHD(SAS)∴CD=HD再根据∠ACB=2∠B
(还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN)
结论:DM=DN,AM=AN,∠ADM=∠AND
典型例题
例4.已知:如图,在四边形ABC中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠使BE=AB,连接DE

初中几何全等三角形常见辅助线作法

初中几何全等三角形常见辅助线作法

全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知:如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形,且= ACDE是等边三角形.求证:△ A3c是等边三角形.【例2】、如图,已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。

求证:ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例.3]如图,己知在△ABC中,ZC = 90°, ZB = 30°, A。

平分NB4C,交BC于点D.求证:BD = 2CD证明:延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA:.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形,AD=DE【例4.】如图,。

是AABC的边上的点,且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。

求证:AC = 2AEo 证明:延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD,ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图,AABC中,BD二DOAC, E是DC的中点,求证:AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线,或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助线精典题型

WORD完美格式全等三角形几种常见辅助线精典题型一、裁长补短1 > 已知AABC 中,ZA= 60 , BD、CE 分别平分ZABC 和ZACB , BD、CE 交于点0, 试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.2、如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作ZDMN = 60。

,射线MN与ZDBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关3、如图,肋丄人B, CB丄AB,恥琳a, AD^h 9妙k , ZAMR75。

, ZBM845。

, 求肋的长。

4、已知:如图,ABCD是正方形,乙FAA乙FAE.求证:B&D圧AE.DFC5、以AABC的ABj AC为边向三角形外作等边AABD、△ACE,连结CD、BE相交于点O.求证:0A平分ZDOE.6、如图所示,A ABC是边长为1的正三角形,ABDC是顶角为120。

的等腰三角形,以D为顶点作一个60。

的Z14DN,点M. N分别在AB、AC上, 求AAMN的周长.E是线段AD上的一7、如图所示,在AABC中,AB= AC , D是底边BC上的一点,点, 且ZBED = 2ZCED = ZBAC , 求证BD = 2CD •8、五边形力她疋中,AB^AE, BOWCD, ZABO^Z /4£»=180° ,求证:肋平分乙CDE二、全等与角度1、如图,在AABC 中,ZBAC = 60° , AD 是ZBAC 的平分线,且AC= AB + BD ,求ZABC 的度数.2、如图所示,在ZkABC中p AC = BC , ZC = 20°,又M在AC上,N在BC上,且满足ZBAN = 50° , ZABM = 60°, 求ZN14B •使DA=DB, 在AABC 外取一点E , 使ZDBE二ZDBC, 且3、在正4ABC内取一点DBE=BA, 求ZBED4.如图所示,在AABC 中,ZBAC = ZBCA= 44°, M为AABC内一点,使得ZMCA= SO*,ZMAC = 16 ,求ZBMC 的度数•5.如图:在AABC 内取一点M,使得ZMBA= 30*, ZMAB = 2 •设ZACB = 80 , AC = BC , 求ZAMC •6、如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,丄DM且与ZABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系?如是正五边形,正六边形呢?饗考答案:一.截长补短1、BE + CD = BC,理由是:在BC 上城取EF = BE,连结OF , 利用 SAS 证得 ABEO 竺 ABFO , A Z1 = Z2,V ZA=60°f ••• ZBOC = 90 + 丄ZA=12(r , ZDOE = 120\o・•・ ZA+ ZDOE = 180',・•・ ZAEO + ZADO = 180 , :. Zl + Z3=l 80° ,V Z2 + Z4=180 ,・・・Z1 = Z2,・*. Z3 = Z4 , 利用 AAS 证得 ACDO 竺 A CFO , /. CD = CF ,2、DM = MN.过点 M 作 MG 〃BD 交 AD 于点、G , AG=AM, A GD = 14B 又•/ZADM + ZDMA= 120° , ZDMA+ ZNMB = 120° AZADM = ZNMB ,而 ZDGM = ZK1BN = 120 , ・•・ AD GM 丝 A14BN , DM = MN .3、过点。

八年级数学几何图形第05讲 全等三角形的常见辅助线(学生版)

八年级数学几何图形第05讲 全等三角形的常见辅助线(学生版)

第05讲全等三角形的常见辅助线(原卷版)第一部分典例剖析+针对训练类型一倍长中线和类倍长中线1.(2021秋•齐河县期末)(1)方法呈现:如图①:在△ABC中,若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;(2)探究应用:如图②,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点,若AE是∠BAF的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明.针对训练11.(2016秋•宁都县期中)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的取值范围是()A.2<AD<8B.0<AD<8C.1<AD<4D.3<AD<52.(2021秋•江州区期末)在△ABC中,AC=5,中线AD=4,那么边AB的取值范围为()A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<133.(2021秋•微山县期中)【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题:如图1,AD是△ABC的中线,若AB=8,AC=6,求AD的取值范围.【探究方法】小强所在学习小组探究发现:延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.可证出△ADC≌△EDB,利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中,进而求出AD的取值范围.方法小结:从上面思路可以看出,解决问题的关键是将中线AD延长一倍,构造出全等三角形,我们把这种方法叫做倍长中线法.【应用方法】(1)请你利用上面解答问题的方法思路,写出求AD的取值范围的过程;【拓展应用】(2)已知:如图2,AD是△ABC的中线,BA=BC,点E在BC的延长线上,EC=BC.写出AD与AE 之间的数量关系并证明.类型二过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形典例2如图,D为CE的中点,F为AD上一点,且EF=AC.求证:∠DFE=∠DAC.针对练习24.如图.∠C=90°,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延长线交DE于F (1)求证:点F是ED的中点;(2)求证:S△ABC=2S△BEF.类型三中点加平行线构造8字全等典例3如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,E为CD的中点,若用S1、S2、S3分别表示△ADE、△EBC、△ABE的面积,则S1、S2、S3的关系是()A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S1+S2<S3D.以上都不对针对训练35.(2021•行唐县模拟)如图:已知AB∥CD,BC⊥CD,且CD=2AB=12,BC=8,E是AD的中点,请你用直尺(无刻度)作出一条线段与BE相等;并证明之;类型四截长补短法构造全等典例4 已知:如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.求证:BC=AB+CD.针对训练46.(2021秋•阳谷县期末)如图,已知AP∥BC,∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的连线交AP于点D,求证:AD+BC=AB.。

全等三角形(辅助线)

全等三角形(辅助线)

全等三角形类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1).倍长中线法:1、已知,如图,△ABC 中,D 是BC 中点,DE ⊥DF,试判断BE +CF 与EF 的大小关系,并证明你的结论. FED C B A(答案与解析)BE +CF >EF ;证明:延长FD 到G ,使DG =DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点∴BD =CD又∵DE ⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF (SAS )∴EG =EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC ≌△GDB(SAS)∴CF =BG∵BG +BE >EG ∴BE +CF >EF(点评)因为D 是BC 的中点,按倍长中线法,倍长过中点的线段DF ,使DG =DF,证明△EDG ≌△EDF ,△FDC≌△GDB,这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中,利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段).举一反三:(变式)已知:如图所示,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.(答案)证明:延长CE至F使EF=CE,连接BF.∵EC为中线,∴AE=BE.在△AEC与△BEF中,,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF(SAS).∴AC=BF,∠A=∠FBE.(全等三角形对应边、角相等)又∵∠ACB=∠ABC,∠DBC=∠ACB+∠A,∠FBC=∠ABC+∠A.∴AC=AB,∠DBC=∠FBC.∴AB=BF.又∵BC为△ADC的中线,∴AB=BD.即BF=BD.在△FCB与△DCB中,,,,BF BDFBC DBCBC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB(SAS).∴CF=CD.即CD=2CE.(2).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知:如图所示,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求证:AB=AC+CD.(答案与解析)证明:在AB上截取AE=AC.在△AED 与△ACD 中,()12()()AE AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作,已知,公用边,∴ △AED ≌△ACD (SAS ).∴ ∠AED =∠C(全等三角形对应边、角相等).又∵ ∠C =2∠B ∴∠AED =2∠B .由图可知:∠AED =∠B +∠EDB ,∴ 2∠B =∠B +∠EDB .∴ ∠B =∠EDB .∴ BE =ED .即BE =CD .∴ AB =AE +BE =AC +CD(等量代换).(点评)本题图形简单,结论复杂,看似无从下手,结合图形发现AB >AC .故用截长补短法.在AB 上截取AE =AC .这样AB 就变成了AE +BE ,而AE =AC .只需证BE =CD 即可.从而把AB =AC +CD 转化为证两线段相等的问题.举一反三:(变式)如图,AD 是ABC ∆的角平分线,H ,G 分别在AC ,AB 上,且HD =BD.(1)求证:∠B 与∠AHD 互补;(2)若∠B +2∠DGA =180°,请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系,并加以证明.(答案)证明:(1)在AB 上取一点M, 使得AM =AH, 连接DM.∵ ∠CAD =∠BAD, AD =AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD =MD, ∠AHD =∠AMD.∵ HD =DB, ∴ DB = MD. ∴ ∠DMB =∠B. ∵ ∠AMD +∠DMB =180︒,∴ ∠AHD +∠B =180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补.(2)由(1)∠AHD =∠AMD, HD =MD, ∠AHD +∠B =180︒.∵ ∠B +2∠DGA =180︒,∴ ∠AHD =2∠DGA.∴ ∠AMD =2∠DGM.∵ ∠AMD =∠DGM +∠GDM. ∴ 2∠DGM =∠DGM +∠GDM.∴ ∠DGM =∠GDM. ∴ MD =MG.∴ HD = MG.∵ AG = AM +MG, ∴ AG = AH +HD.(3).利用截长(或补短)法作构造全等三角形:M G H D CB A3、如图所示,已知△ABC 中AB >AC ,AD 是∠BAC 的平分线,M 是AD 上任意一点,求证:MB -MC <AB -AC .(答案与解析)证明:因为AB >AC ,则在AB 上截取AE =AC ,连接ME .在△MBE 中,MB -ME <BE (三角形两边之差小于第三边).在△AMC 和△AME 中,()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作,角平分线的定义,公共边,∴ △AMC ≌△AME (SAS ).∴ MC =ME (全等三角形的对应边相等).又∵ BE =AB -AE ,∴ BE =AB -AC ,∴ MB -MC <AB -AC .(点评)因为AB >AC ,所以可在AB 上截取线段AE =AC ,这时BE =AB -AC ,如果连接EM ,在△BME中,显然有MB -ME <BE .这表明只要证明ME =MC ,则结论成立.充分利用角平分线的对称性,截长补短是关键.举一反三:(变式)如图,AD 是△ABC 的角平分线,AB >AC,求证:AB -AC >BD -DC(答案)证明:在AB 上截取AE =AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠BAD =∠CAD⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE 在△AED 与△ACD 中∴△AED ≌△ADC (SAS )∴DE =DC 在△BED 中,BE >BD -DC即AB -AE >BD -DC ∴AB -AC >BD -DCE DC B A(4).在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示,已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点,点F 在BC 上,且∠DAE=∠FAE .求证:AF =AD +CF .(答案与解析)证明: 作ME ⊥AF 于M ,连接EF .∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ ∠C =∠D =∠EMA =90°.又∵ ∠DAE =∠FAE ,∴ AE 为∠FAD 的平分线,∴ ME =DE .在Rt △AME 与Rt △ADE 中,()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边,已证, ∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL).∴ AD =AM(全等三角形对应边相等).又∵ E 为CD 中点,∴ DE =EC .∴ ME =EC .在Rt △EMF 与Rt △ECF 中,()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证,公用边), ∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL).∴ MF =FC(全等三角形对应边相等).由图可知:AF =AM +MF ,∴ AF =AD +FC(等量代换).(点评)与角平分线有关的辅助线: 在角两边截取相等的线段,构造全等三角形;在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD 为正方形,则∠D =90°.而∠DAE =∠FAE 说明AE 为∠FAD 的平分线,按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离,而E 到AD 的距离已有,只需作E 到AF 的距离EM 即可,由角平分线性质可知ME =DE .AE =AE .Rt △AME 与Rt △ADE全等有AD =AM .而题中要证AF =AD +CF .根据图知AF =AM +MF .故只需证MF =FC 即可.从而把证AF =AD +CF 转化为证两条线段相等的问题.5、如图所示,在△ABC 中,AC=BC ,∠ACB=90°,D 是AC 上一点,且AE 垂直BD 的延长线于E ,12AE BD ,求证:BD 是∠ABC 的平分线. (答案与解析)证明:延长AE 和BC ,交于点F ,∵AC ⊥BC ,BE ⊥AE ,∠ADE=∠BDC (对顶角相等),∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC .即∠EAD=∠CBD . 在Rt △ACF 和Rt △BCD 中.所以Rt △ACF ≌Rt △BCD (ASA ).则AF=BD (全等三角形对应边相等).∵AE=BD ,∴AE=AF ,即AE=EF . 在Rt △BEA 和Rt △BEF 中,则Rt △BEA ≌Rt △BEF (SAS ).所以∠ABE=∠FBE (全等三角形对应角相等),即BD 是∠ABC 的平分线.(点评)如果由题目已知无法直接得到三角形全等,不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件,使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,直线l 经过顶点C ,过A ,B 两点分别作l 的垂线AE ,BF ,垂足分别为E ,F 。

(完整版)全等三角形经典题型——辅助线问题

(完整版)全等三角形经典题型——辅助线问题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,D C BAED F CB A利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

全等三角形辅助线训练专题

全等三角形辅助线训练专题

全等三角形辅助线训练专题【倍长中线】特点:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的是可以构造全等三角形,从而进行边的等量代换。

典例分析例1 已知AD 是△ABC 的中线,AB =4,AC =3,求AD 的取值范围.例2 如图,AD 是△ABC 的中线,点E 、F 分别是AB 、AC 上,且DE ⊥DF ,求证:BE +CF >EF .C【截长补短】截长:1.过某一点作长边的垂线;2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。

补短:1.延长短边;2.通过延长等方式使两短边拼合到一起。

典例分析例3 如图,四边形ABDC 中,∠D =∠ABD =90°,点O 为BD 中,且OA 平分∠BAC .求证:AB +CD =AC .例4 如图,AB <BC ,已知∠1=∠2,P 为BN 上的一点,PF ⊥BC 于F ,P A =PC ,求证:AB +BC =2BF .N21F P C BA例5 如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD.【构造一线三直角】利用垂直相等作垂线构造全等三角形,实现坐标与线段的转化典例分析例6 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,n)以点B为直角顶点,点C在第二象限内,作等腰直角△ABC,则点C的坐标是____________.(用n表示)例7 如图,△ACB为等腰直角三角形,A(-1,0),C(1,3),AC⊥BC,求B的坐标.例8 如图,∠BAC=90°,AB=AC,且B(-3,4),C(4,0),求A点坐标.例9 如图,△ACB为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,A(0,3),C(1,0).求B的坐标.例10 如图,AB=AC,且AB⊥AC,若C(0,-1),B(-4,0),求点A点坐标.例11 如图1,OA=2,OB=4,以A为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,(1)求C点的坐标;(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,P A为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP-DE的值;(3)如图3,已知点F坐标为(-2,-2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时,则m+n的定值,求出其值.。

辅助线——全等三角形专题训练

辅助线——全等三角形专题训练

辅助线——全等三角形专题训练点G连接B,交MN于点H,连接DH,因为∠ABC为外角,所以∠ABH=∠ABC/2。

又∠HMD=90度,所以∠XXX=90度-∠ABH,即∠DMH=∠ABC/2。

因为∠XXX∠ABH,所以∠DGM=∠ABC/2,又因为∠DGM=∠MBN。

所以∠XXX∠ABC/2,所以∠NMB=90度-∠ABC/2,所以∠XXX∠NMB-∠DMH=90度-∠ABC/2-∠ABC/2=90度-∠ABC。

又因为∠MDN=90度,所以∠XXX=90度-∠MDN=∠ABC。

所以∠XXX∠XXX-∠XXX∠ABC-(90度-∠ABC)=2∠ABC-90度。

因为∠DGH=∠ABH=∠ABC/2,所以∠XXX∠DGM,所以DM=MN。

在等腰三角形ABC中,顶角A的度数为20度。

在边AB 上取点D,使得AD=BC。

求角BDC的度数。

解析:以AC为边向外作正三角形ACE,连接DE。

在三角形ABC和三角形EAD中,AD=BC,AB=EA,∠EAD=∠BAC+∠CAE=20+60=80=∠ABC。

因此,三角形ABC≌三角形EAD。

由此可得ED=EA=EC,因此三角形EDC 是等腰三角形。

由于∠AED=∠BAC=20度,因此∠CED=∠AEC-∠AED=60-20=40度。

从而∠DCE=70度,∠DCA=∠DCE-∠ACE=70-60=10度,因此∠XXX∠DAC+∠DCA=20+10=30度。

另解1:以AD为边在三角形ABC外部作等边三角形ADE,连接EC。

在三角形ACB和三角形CAE中,∠CAE=60度+20度=∠ACB,AE=AD=CB,AC=CA,因此三角形ACB≌三角形CAE,从而∠CAB=∠ACE,CE=AB=AC。

在三角形CAD和三角形CED中,AD=ED,CE=CA,CD=CD,因此三角形CAD≌三角形CED,从而∠ACD=∠ECD,∠XXX∠ACE=2∠ACD,因此∠ACD=10度,因此∠BDC=30度。

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助线精典题型This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.2、如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=︒,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系 3、如图,AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,DM =CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠AMD =75°,∠BMC =45°,求AB 的长。

4、已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD =∠FAE . 求证:BE +DF =AE .5、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆,连结CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DOE ∠.6、如图所示,ABC ∆是边长为1的正三角形,BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求AMN ∆的周长.7、如图所示,在ABC ∆中,AB AC =,D 是底边BC 上的一点,E 是线段AD 上的一点,且2BED CED BAC ∠=∠=∠,求证2BD CD =.8、五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠AED =180°,求证:AD 平分∠CDE二、全等与角度NEB M ADDO ECBAMDCBANMDCBAED CBACEDBA1、如图,在ABC ∆中,60BAC ∠=︒,AD 是BAC ∠的平分线,且AC AB BD =+,求ABC ∠的度数.2、如图所示,在ABC ∆中,AC BC =,20C ∠=︒,又M 在AC 上,N 在BC 上,且满足50BAN ∠=︒,60ABM ∠=︒,求NMB ∠.3、 在正ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.4、如图所示,在ABC ∆中,44BAC BCA ︒∠=∠=,M 为ABC ∆内一点,使得30MCA ︒∠=,16MAC ︒∠=,求BMC ∠的度数.5、如图:在ABC ∆内取一点M ,使得MBA ∠=30,10MAB ∠=.设80ACB ∠=,AC BC =,求AMC ∠.6、如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系如是正五边形,正六边形呢参考答案:一、截长补短1、BE CD BC +=,理由是:在BC 上截取BF BE =,连结OF ,利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆,∴12∠=∠,∵60A ∠=︒,∴1901202BOC A ∠=+∠=,∴120DOE ∠=,∴180A DOE ∠+∠=,∴180AEO ADO ∠+∠=,∴13180∠+∠=,NMCBA4321FD OE CBA∵24180∠+∠=,∴12∠=∠,∴34∠=∠,利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆,∴CD CF =,∴BC BF CF BE CD =+=+.2、DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ,AG AM =,∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠,120DMA NMB +=∠∠∴ADM NMB =∠∠,而120DGM MBN ==∠∠,∴DGM MBN ∆∆≌,∴DM MN =.3、过点D 作BC 的垂线,垂足为E .∵∠AMD =75°,∠BMC =45° ∴∠DMC =60°∵DM =CM ∴CD =DM∵AD ⊥AB ,DE ⊥BC ,CB ⊥AB ,∠AMD =75°∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE ∴AD =DE故ABED 为正方形,AB =AD =h ,选D .4、延长CB 至M ,使得BM =DF ,连接AM .E MDCBAM F EDCB A∵AB =AD ,AD ⊥CD ,AB ⊥BM ,BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ,∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM∴∠AMB =∠EAM ∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .5、因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形,所以AB AD =,AE AC =,CAE ∠=60BAD ∠=,则BAE DAC ∠=∠,所以BAE DAC ∆∆≌, 则有ABE ADC ∠=∠,AEB ACD ∠=∠,BE DC =.在DC 上截取DF BO =,连结AF ,容易证得ADF ABO ∆∆≌,ACF AEO ∆∆≌. 进而由AF AO =.得AFO AOF ∠=∠;由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠,即OA 平分DOE ∠. 6、如图所示,延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中,因为BD CD =,90MBD ECD ∠=∠=,BM CE =, 所以BDM CDE ∆∆≌,故MD ED =.EABC DM N因为120BDC ∠=,60MDN ∠=,所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠,所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中,DN DN =,60MDN EDN ∠=∠=,DM DE =, 所以MND END ∆∆≌,则NE MN =,所以AMN ∆的周长为2.7、如图所示,作BED ∠的平分线交BC 于F ,又过A 作AH EF ∥交BE 于G ,交BC 于H ,则知12EAG DEF BEF AGE BAC ∠=∠=∠=∠=∠,从而GE AE =.又12AGE BED CED ∠=∠=∠,则AGB CEA ∠=∠.由ABE BAE BED BAC CAE BAE ∠+∠=∠=∠=∠+∠可得ABG CAE ∠=∠. 注意到AB CA =,故有ABG CAE ∆∆≌,从而BG AE =,AG CE =,于是BG GE =.又由AH EF ∥,有BH HF =,12GH EF =,且AH HDEF FD=. 而CED FED ∠=∠,从而1122CD EC AG AH GH AH HD FD EF EF EF EF FD -====-=-, 即1111122222CD HD FD HF FD BF FD BD =-=+=+=,故2BD CD =.8、延长DE 至F ,使得EF =BC ,连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°,∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEFGH F ED CB A∵AB=AE,BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC,AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.二、全等与角度1、如图所示,延长AB至E使BE BD=,连接ED、EC.由AC AB BD=+知AE AC=,而60BAC∠=,则AEC∆为等边三角形.注意到EAD CAD∠=∠,AD AD=,AE AC=,故AED ACD∆∆≌.从而有DE DC=,DEC DCE∠=∠,故2BED BDE DCE DEC DEC∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE∠=∠=,602080ABC BEC BCE∠=∠+∠=+=【另解】在AC上取点E,使得AE AB=,则由题意可知CE BD=.在ABD∆和AED∆中,AB AE=,BAD EAD∠=∠,ABD EFCED C BAED C BAAD AD =,则ABD AED ∆∆≌,从而BD DE =,进而有DE CE =,ECD EDC ∠=∠,AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.注意到ABD AED ∠=∠,则:1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=,故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ,利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地,将AC 拆分成两段,之后再利用三角形全等亦可,此思路也是十分自然的.需要说明的是,无论采取哪种方法,都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”,它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过M 作AB 的平行线交BC 于K ,连接KA 交MB 于P .连接PN ,易知APB ∆、MKP ∆均为正三角形. 因为50BAN ∠=︒,AC BC =,20C ∠=︒,所以50ANB ∠=︒,BN AB BP ==,80BPN BNP ∠=∠=︒,则40PKN ∠=︒,180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒, 故PN KN =. 从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠,1302NMB KMP ∠=∠=︒3、如图所示,连接DC .因为AD BD =,AC BC =,CD CD =, 则ADC BDC ∆∆≌,故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠,BE AB BC ==,BD BD =,因此BDE BDC ∆∆≌, 故30BED BCD ∠=∠=.4、在ABC ∆中,由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =,92ABC ︒∠=. 如图所示,作BD AC ⊥于D 点,延长CM 交BD 于O 点,连接OA ,则有30OAC MCA ︒∠=∠=,443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=,301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=,所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠, 所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒DECBAOD MCA B而AO AO =,因此ABO AMO ∆∆≌,故OB OM =.由于120BOM ︒∠=,则180302BOMOMB OBM ︒-∠∠=∠==︒,故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=5、如图所示,ABC ∆的高CH 与直线BM 交于点E ,则AE BE =. 而301020EAM EAB MAB ∠=∠-∠=-=,1402ACE ACB ∠=∠=,(9040)3020EAC CAH EAB ∠=∠-∠=--=,103040AME MAB MBA ∠=∠+∠=+=,由两角夹一边法则可知AME ACE ∆∆≌, 因此AM AC =,6、DM MN =.在AD 上截取AG AM =,∴DG MB =,∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠,∴ADM NMB =∠∠, ∴DGM MBN ∆∆≌,∴DM MN =.EHABCMNCDEB M A。

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

八年级全等三角形辅助线专题(经典)

八年级全等三角形辅助线专题(经典)

D
A
C
B
E
如图,若 DA = DB ,则 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
第五部分:等腰三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的定义: 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
6
2、等腰三角形的性质: ⑴ 两腰相等. ⑵ 两底角相等. ⑶ “三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
⑷ 是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴.
是∠BAC、∠BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F,请你判断 FD 与 FE 的数量关系 (2)如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而(1)中条件不 变,则(1)中结论是否成立
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18 如图,点 C 为线段 AB 上一点, ACM 、 CBN 都是等边三角形,AN 、 BM 交于点 O ,连结 OC , 求证: (1) AN = BM (2) AOB = 120 (3) OC 平分 AOB (4)连结 EF 后,则 CEF 是等边三角形 (5) EF / / AB 思考:当 AC、BC 不共线时,上述结论是否仍成立?
3、化繁为简原则:对一类几何命题,其题设条件与结论之间
在已知条件所给的图形中,其逻辑关系不明朗,通过添置适当辅助线,
4
把复杂图形分解成简单图形,从而达到化繁为简、化难为易的目的.
4、发挥特殊点、线的作用:在题设条件所给的图形中,对
尚未直接显现出来的各元素,通过添置适当辅助线,将那些特殊点、 特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来,并充分发挥这些特殊点、线的 作用,达到化难为易、导出结论的目的.
A
E
C
D
O
F
B
如图,若射线 OC 是 AOB 的角平分线,则 DE = DF .

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一:一线三等角模型2.题型二:手拉手模型3.题型三:半角模型4.题型四:旋转模型5.题型五:倍长中线法6.题型六:截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段,会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形:题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形,绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE;②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系);③FC平分∠BFE;12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形,正三角形,等腰直角三角形等,解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧:在图1中,△AEB 由△AND 旋转所得,可得△AEM ≌△AMN ,∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ,易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系;总之:半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型,奔驰模型是非常经典的一类题型,且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型,提升利用旋转解决问题的能力,更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化,从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型,费马点属于几何中的经典题型,目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来,所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段),或中点,通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形.把该中线延长一倍,证明三角形全等,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路:倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE作CF ⊥AD 于F ,作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ,使DN =MD ,连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时,用截长补短.1.补短法:通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和,在证所构造的线段和求证中那一条线段相等;2.截长法:通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段,在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

全等三角形证明之辅助线,附练习题含答案

全等三角形证明之辅助线,附练习题含答案

全等三角形证明之辅助线讲义➢ 知识与方法梳理1. 为了解决几何问题,在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助线通常画成虚线.辅助线的原则:添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立已知和未知之间的桥梁,把问题转化成自己已经会解的情况. 辅助线的作用:①把分散的条件转为集中; ②把复杂的图形转化为基本图形.添加辅助线的注意事项:明确目的,多次尝试.2. 要证明边相等(或角相等),可以考虑证明它们所在的三角形全等;要证全等,需要找3组条件. ➢ 例题示范例:已知:如图,在△ABC 中,∠C =90°,D 是AB 边上一点,AD =AC ,过点D 作DE ⊥AB ,交BC 于点E . 求证:CE =DE . 【思路分析】 ① 读题标注:② 梳理思路:要证CE =DE ,考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等,利用全等三角形对应边相等来证明.观察图形,发现不存在全等的三角形.结合条件,AC =AD ,∠C =∠ADE =90°,考虑连接AE ,证明△ACE ≌△ADE . 【过程书写】 证明:如图,连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE在Rt △ACE 和Rt △ADE 中AE AE AC AD=⎧⎨=⎩(公共边)(已知)∴Rt △ACE ≌Rt △ADE (HL ) ∴CE =DE (全等三角形对应边相等)EDC AEDBAEDBCA➢练习题BFEAC D7. 已知:如图,BD ,CE 是△ABC 的高,点P 在BD 的延长线上,BP =AC ,点Q 在CE 上,CQ =AB .判断线段AP 和AQ 的数量和位置关系,并加以证明.8. 已知:如图,∠B =∠D ,AB =CD ,AD ∥BC ,E ,F 分别是AD ,BC 的中点.求证:AF =CE .9. 已知:如图,B ,C ,F ,E 在同一条直线上,AB ,DE 相交于点G ,且BC =EF ,GB =GE ,∠A =∠D .求证:DC =AF .10. 已知:如图,∠C =∠F ,AB =DE ,DC =AF ,BC =EF .求证:AB ∥DE .11. 已知:如图,AB ∥CD ,AD ∥BC ,E ,F 分别是AD ,BC 的中点.求证:BE =DF .QPEDCBACAEF B DDGC AB EFFEBAD CF E B A DC12. 已知:如图,在正方形ABCD 中,AD =AB ,∠DAB =∠B =90°,点E ,F 分别在AB ,BC 上,且AE =BF ,AF 交DE 于点G . 求证:DE ⊥AF .连接BM ,交CN 于点F .有下列结论:①∠AMB =∠ANB ;②△ACE ≌△MCF ;③CE =CF ;④EN =FB .其中正确结论的序号是_________________.【参考答案】1. 证明:如图,连接AD在△ABD 和△DCA 中AB DCBD CAAD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩(已知)(已知)(公共边) ∴△ABD ≌△DCA (SSS )∴∠ABO=∠DCO (全等三角形对应角相等) 2. 证明:如图,连接AC∵AB ∥CDGFEDCBANM EB AFC∴∠CAB =∠ACD ∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中CAB ACDAC CABCA DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已证)(公共边)(已证) ∴△ABC ≌△CDA (ASA )∴AB =CD ,BC =DA (全等三角形对应边相等) 3. 证明:如图,连接AC ,AD在△ABC 和△AED 中,AB AE B EBC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已知)(已知) ∴△ABC ≌△AED (SAS )∴AC =AD (全等三角形对应边相等) ∵F 是CD 的中点 ∴CF =DF在△ACF 和△ADF 中,AC AD AF AFCF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩(已证)(公共边)(已证) ∴△ACF ≌△ADF (SSS )∴∠CFA =∠DFA (全等三角形对应角相等) ∵∠CFA +∠DFA =180° ∴∠CFA =90° ∴AF ⊥CD4. 证明:如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC=90° 在△ADB 和△ADC 中,B CADB ADCAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(公共边) ∴△ADB ≌△ADC (AAS )∴AB =AC (全等三角形对应边相等) 5. 证明:如图,过点B 作BF ⊥AC 于点FA DBCFCBEDAAD B C6. ∵BC ⊥AD∴∠ACE =∠BCD =90° 在Rt △ACE 和Rt △BCD 中AE BD CE CD =⎧⎨=⎩(已知)(已知)∴Rt △ACE ≌Rt △BCD (HL )∴∠CAE =∠CBD (全等三角形对应角相等) ∵∠ACE =90° ∴∠CAE +∠AEC =90° ∵∠AEC =∠BEF ∴∠CBD +∠BEF =90° ∴∠BFE =90° ∴AF ⊥BD7. 解:AP =AQ 且AP ⊥AQ ,理由如下:如图,∵BD ⊥AC ,CE ⊥AB ∴∠BEQ =∠BDC =∠ADP =90° ∴∠1+∠3=90° ∠2+∠4=90° ∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2在△ABP 和△QCA 中54321QCB PE DA1 2 AB QC BP CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已知) ∴△ABP ≌△QCA (SAS )∴AP =AQ (全等三角形对应边相等) ∠P =∠5(全等三角形对应角相等) ∵∠ADP =90° ∴∠P +∠PAD =90° ∴∠5+∠PAD =90° 即∠QAP =90° ∴AP =AQ 且AP ⊥AQ 8. 证明:如图,连接AC∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中,∴△ABC ≌△CDA (AAS )∴BC =DA (全等三角形对应边相等) ∵E ,F 分别是AD ,BC 的中点 ∴1122BF BC DE AD ==, ∴BF =DE在△ABF 和△CDE 中,∴△ABF ≌△CDE (SAS )∴AF =CE (全等三角形对应边相等)9. 证明:如图,过点G 作GH ⊥BE 于点H∵GH ⊥BE∴∠GHB =∠GHE =90° 在Rt △GHB 和Rt △GHE 中,BCA DAC B DAB CD (已证)(已知)(公共边)∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD B DBF DE (已知)(已知)(公共边)=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩H FBA C GDGB GEGH GH=⎧⎨=⎩(已知)(公共边) ∴Rt △GHB ≌Rt △GHE (HL )∴∠B =∠E (全等三角形对应角相等) ∵BC =EF ∴BC +CF =EF +CF 即BF =EC在△ABF 和△DEC 中,A DB EBF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已证) ∴△ABF ≌△DEC (AAS ) ∴DC =AF10. 证明:如图,连接BE在△AEF 和△DBC 中,AF DCF CEF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已知)(已知) ∴△AEF ≌△DBC (SAS )∴AE =DB (全等三角形对应边相等) 在△ABE 和△DEB 中,AE DB AB DEEB BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩(已证)(已知)(公共边) ∴△ABE ≌△DEB (SSS )∴∠ABE =∠DEB (全等三角形对应角相等) ∴AB ∥DE11. 证明:如图,连接BDCD ABE F∵AB ∥CD ,AD ∥BC∴∠ABD =∠CDB ,∠ADB =∠CBD 在△ABD 和△CDB 中,ABD CDBBD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已证)(公共边)(已证) ∴△ABD ≌△CDB (ASA )∴AD =CB (全等三角形对应边相等) ∵E ,F 分别是AD ,BC 的中点 ∴DE =BF在△BED 和△DFB 中,DE BF ADB CBDBD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(已证)(公共边) ∴△BED ≌△DFB (SAS )∴BE =DF (全等三角形对应边相等) 12. 证明:如图,在△DAE 和△ABF 中AD BA DAE B AE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩(已知)∠∠(已知)(已知) ∴△DAE ≌△ABF (SAS )∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) ∵∠DAB =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AGD =90° ∴DE ⊥AF 13. B 14. ②③④CDA B E F ABCDEF G第7题图312。

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