2016年北京自主招生数学模拟题：函数模型及其应用

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2016北京交通运输职业学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)

限时：45分钟满分：70分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．2．设a＝log132，b＝log1213，c＝⎝⎛⎭⎫120.3，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a解析：选A因为a＝log132<0，b＝log1213>log1212＝1，0<c＝⎝⎛⎭⎫120.3<1，所以a<c<b.3．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图像的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图像的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A．相交，且交点在第Ⅰ象限B．相交，且交点在第Ⅱ象限C ．相交，且交点在第Ⅳ象限D ．相交，且交点在坐标原点解析：选D 由已知得A (2,1)，B (4,2)，C (2，lg 2)，D (4，lg 4)，由于k AB ＝12，k CD＝lg 2，故AB 与CD 相交，且两直线方程分别为y ＝12x 和y ＝12lg 2x ，两直线均过原点，即交点在坐标原点处．4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎨⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13和实数m ，n ，下列结论中正确的是( ) A ．若m <n ，则f (m )<f (n ) B ．若f (m )<f (n )，则m 2<n 2 C ．若f (m )<f (n )，则m 3<n 3 D ．上述命题都不正确解析：选B 由题意可知，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13是定义在R 上的偶函数，当x >0时，函数y ＝2x－12x >0且单调递增，函数y ＝x 13>0且单调递增，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．所以由f (m )<f (n )可得|m |<|n |，故m 2<n 2.7．定义a *b ＝ab －1－ka －2，则方程x *x ＝0有唯一解时，实数k 的取值范围是( )A ．(－5，5)B ．[－2，－1]∪[1,2]C ．[－5，5]D ．[－5，－1]∪[1，5]解析：选B 依题意得，关于x 的方程x 2－1－kx －2＝0，即kx ＋2＝x 2－1有唯一解．在直角坐标系中画出函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像，注意到函数y ＝x 2－1的图像是由双曲线x 2－y 2＝1上除去位于第三、四象限的部分所组成，并且该双曲线的渐近线是y ＝±x ，函数y ＝kx ＋2的图像恒过点(0,2)，结合图像分析可知，当函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像有唯一的公共点时，k 的取值范围是[－2，－1]∪[1,2]．8．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在⎣⎡⎦⎤0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图像，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x 的图像可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0,3]时有3个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103时方程无解．二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0，则f (f (－4))＝________.解析：f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16，所以f (f (－4))＝f (16)＝16＝4. 答案：410．定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b .已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________.(结果用a ，b ，c 表示)解析：注意到log 30.3<0<0.33<1＝30<30.3，即有c <b <a .依题意得，(a *b )*c ＝b *c ＝c . 答案：c11．对于任意实数x ，[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．这个函数[x ]叫做“取整函数”，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋[lg 4]＋…＋[lg 2 010]＝________.解析：原式＝([lg 1]＋[lg 2]＋…＋[lg 9])＋([lg 10]＋[lg 11]＋…＋[lg 99])＋([lg 100]＋[lg 101]＋…＋[lg 999])＋([lg 1 000]＋[lg 1 001]＋…＋[lg 2 010])＝9×0＋90×1＋900×2＋1 011×3＝4 923.答案：4 92312．已知偶函数f (x )(x ≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f (x 2－2x －1)＝f (x ＋1)的所有x 之和为________．解析：依题意得，方程f (x 2－2x －1)＝f (x ＋1)等价于方程x 2－2x －1＝x ＋1或x 2－2x －1＝－x －1，即x 2－3x －2＝0或x 2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4.答案：413．若函数f (x )＝log 2a x －2log a x (a >0且a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：设t ＝log a x ，则f (t )＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，当a >1时，只需函数f (t )在区间⎣⎡⎦⎤log a 12，log a 2上递减即可，故log a2≤1，故a ≥2；当0<a <1时，只需函数在区间⎣⎡⎦⎤log a 2，log a 12上递增，故log a2≥1，无解，故实数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：根据新定义写出f (x )的解析式，数形结合求出m 的取值，再根据函数的图像和方程的根等条件求解．由定义可知，f (x )=(21),0,(1),0.{x x x x x x -≤-->作出函数f (x )的图像，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )=m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=2×12=1,0<x 2x 3=m <14. 令1(21),40,{x x x -=<解得x =13-或x =13+ (舍去)．所以13-<x 1<0，所以13-<x 1x 2x 3<0. 答案：13,016⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭。

2016年北京自主招生数学模拟题：函数的基本性质

2016年自主招生数学模拟题:函数的基本性质【试题内容来自于相关和学校提供】题目1：下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是_____• A.y=2x• B.y=x12• C.y=2log0.3x• D.y=-x2题目2：函数y=log12(x2-5x+6)的单调增区间为_____• A.(52，+∞)• B.（3，+∞）• C.(-∞，52)• D.（-∞，2）题目3：若函数f（x）为奇函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=x（x-1），则x∈（-∞，0）时，f（x）的解析式为_____• A.-x（x+1）• B.-x（-x+1）• D.x（x-1）题目4：若f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x-1，则f（x-1）＜0的解集是_____ • A.{x|0＜x＜2}• B.{x|-2＜x＜0}• C.{{x|-1＜x＜0}• D.{x|1≤x＜2}题目5：下述函数中，在（-∞，0）上为增函数的是_____• A.y=x2-2• B.y=3x• C.y=1-√2-x• D.y=-（x+2）2题目6：函数f（x）=ax3+bx+4（a，b不为零），且f（5）=10，则f（-5）等于_____ ．题目7：若a为常数，且函数f（x）=lg（2x1+x题目8：已知f（x）是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f（x）在[-7，-3]上是_____ 函数，且最_____ 值是_____ ．题目9：函数y=log13(-x2+x+2)的单调递增区间是12．题目10：若f（x）=（m-1）x2+6mx+2是偶函数，则f（0）、f（1）、f（-2）从小到大的顺序是_____ ．题目11：若函数f(x)=a x-1a x+（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当a＞1时，判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并加以证明．题目12：已知函数f（x）=x+1，设g1（x）=f（x），g n（x）=f（g n-1（x））（n＞1，n∈N*）（1）求g2（x），g3（x）的表达式，并猜想g n（x）（n∈N*）的表达式（直接写出猜想结果）（2）若关于x的函数y=x2nΣi=1i(x)(n∈N*)在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．（符号“nΣi=1”表示求和，例如：nΣi=1i=1+2+3+…+n．）题目13：已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2-3．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）解方程f（x）=2x．题目14：设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对∀x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．（1）试证明对∀k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对∀x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．题目15：已知函数f(x)=x2+1b是奇函数且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义判断f（x）在（-∞，-1）上的单调性．答案部分1、D解析：对于A，定义域为R，函数单调增，非奇非偶，不满足题意；对于B，定义域为[0，+∞），非奇非偶，不满足题意；对于C，定义域为[0，+∞），非奇非偶，不满足题意；对于D，满足f（-x）=f（x），函数为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，故选D。

2016年大学自主招生数学模拟试题(三)

2016年大学自主招生数学模拟试题（三）一选择题1．二项式100(1)x +的展开式中系数之比为33：68的相邻两项是（）（A ）第29、30项；（B ）第33、34式；（C ）第55、56项；（D ）第81、82项.2．40个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及其中有3（A ）5；（B ）6；（C ）7；（D ）8.3．方程230xx e -=的实根（）（A ）不存在；（B ）有一个；（C ）有两个；（D ）有三个.4．当关于x 的不等式2tan 4220aa -++≤有有限个解时，a 的取值是（）（A ）全体实数；（B ）唯一的实数；（C ）两个不同的实数；（D ）无法确定.5．方程组1x y x y x y -+⎧=⎪⎨=⎪⎩的解有（）（A ）一组；（B ）两组；（C ）三组；（D ）四组.6．如图，正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别是AB 和BC的中点，则图中阴影部分的面积是（）（A ）12；（B ）34；（C ）23；（D ）25.二解答题7．10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻学生的帽子的颜色不同，则满足要求的发帽子的方法共有多少种？8．已知函数203(),!n nf n n N n *+=∈，那么使()f n 有最大值时，n 的值是多少？ D9．如右图，平面上有四个点A B P Q A B 、、、，、为定点，且AB P =、Q 为动点满足关系1AP PQ QB ===，又APB 和PQB 的面积分别为S 、T .（1）求22S T +的取值范围.（2）当22S T +取得最大值时，判断APB 的形状. 10．一副纸牌有52张，分别编号1,2,,52.B A C 、、、D 四个人每人从中抽出一张（不放回），每张纸牌被抽到的可能性是相同的，抽到编号较小的两个人为一个组，抽到编号较大的两个人为另一组，已知A 抽到编号为9a a +、的两张纸牌中的一张，而D 抽到这两张纸牌中的另一张，设A 、D 两个人在同一组的概率为()p a ，当1()2p a ≥时，求()p a 的最小值11．男女各2n 个人，混合围成内外二圈，每圈2n 个人，游戏规则：内外两圈的男女互相对面时，则起舞，否则就鼓掌，试证：至少有一次起舞，男女舞对不少于n。

2016年北京自主招生数学模拟题：双曲线

2016年北京自主招生数学模拟题:双曲线【试题内容来自于相关网站和学校提供】题目1：如果方程x2m+2+y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围是（）∙ A.（2，+∞）∙ B.（-2，-1）∙ C.（-∞，-1）∙ D.（1，2）题目2：设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）∙ A.√52∙ B.√102∙ C.√152∙ D.√5题目3：方程√(x-4)2+y2-√(x+4)2+y2=6化简的结果是（）∙ A.x29-y27=1∙ B.x225-y29=1∙ C.x29-y27=1，x≤-3∙ D.x29-y27=1，x≥3题目4：已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_____∙ A.（1，+∞）∙ B.∙ C.（1，2）题目5：已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）∙ A.x220-y25=1∙ B.x25-y220=1∙ C.x280-y220=1∙ D.x220-y280=1题目6：若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为√2，且过点（2，3），则曲线C的方程为_____ ．题目7：">已知点F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是_____ 2+1）．题目8：已知抛物线的顶点在原点，抛物线的焦点和双曲线x23-y 2=1的右焦点重合，则抛物线的方程为_____ ．题目9：">若圆（x-2）2+y2=2与双曲线x2α2-y2b2=1（α＞0，b＞0）的渐近线相切，则双曲线的离心率是_____ 2．题目10：y=±">已知点（2，3）在双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的渐近线方程为_____ 3x．题目11：等轴双曲线过(4，-√7)点（1）求双曲线的标准方程；（2）求该双曲线的离心率和焦点坐标．题目12：已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，d√2)是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：DAx2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；情形二：抛物线y 2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)及它的顶点．题目13：已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e＞1+√2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？题目14：过双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 1（-2，0）、右焦点F 2（2，0）分别作x 轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A 、B 、C 、D 四点，且四边形ABCD 的面积为16 √3．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设P 是双曲线C 上一动点，以P 为圆心，PF 2为半径的圆交射线PF 1于M ，求点M 的轨迹方程．题目15：设命题p ：方程x 2k-7+y 2k=1表示焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：函数f （x ）=x 3-kx 2+1在（0，2）内单调递减，如果p ∧q 为真命题，求k 的取值范围．答案部分1、B解析：解：由题意知（2+m）（1+m）＜0，解得-1＜m＜-1。

赏析2016年北京大学自主招生数学试题

赏析2016年北京大学自主招生数学试题
李加军;吴盛盛
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2017(0)8
【摘要】近日偶得2016年北京大学自主招生考试全部数学试题，相比2015年的5道选择题和5道填空题，2016年试题形式变为20道选择题，数量增加一倍，结构全部为主观题，内容涉及函数、方程、多项式、三角、数列、不等式、平面几何、复数、排列组合、数论等，覆盖面广泛，风格迥异，内容灵活，给人耳目一新的感觉．试题难度虽然不是太大.
【总页数】3页(PF0002-F0002)
【关键词】数学试题;北京大学;自主招生;赏析;招生考试;大学自主;试题形式;平面几何
【作者】李加军;吴盛盛
【作者单位】山东省东营市烟台路胜利第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案 [J], 甘志国;张荣华
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3.2019年北京大学自主招生数学试题(部分)及其详解 [J], 甘志国
4.2019年北京大学自主招生数学试题(部分)及其详解 [J], 甘志国
5.2018年北京大学博雅计划自主招生数学试题(部分)及其详解 [J], 甘志国
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2016年北京大学自主招生数学试题

一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则x的取值范围是（）
2．的个位数字是（）
A．1 B．3 C．5 D．前三个答案都不对
3．点P位于△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点P有（）
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记f(n)为最接近的整数，其中n∈N∗．若，则正整数m的值为（）
A．1015056 B．1017072 C．1019090 D．前三个答案都不对
5．实数x,y,z满足x+y+z=2016，，则
（）
A．0 B．1 C．−1 D．前三个答案都不对
6．方程组的非负整数解有（）
A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知，g(x)为整系数多项式，
则g(x)的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程
的正整数解有_______个．
12．空间中的一点P(x,y,z)满足∃n∈N∗，使得成立，则所有满足要求的点P所形成的空间几何体的体积为_______．。

专题11 函数模型及其应用-2016年高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．【热点题型】题型一二次函数模型例1、A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？【提分秘籍】实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．【举一反三】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A．10.5万元 B．11万元C．43万元 D．43.025万元题型二指数函数、对数函数模型例2、世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)( )A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%【提分秘籍】在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．【举一反三】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况题型三分段函数模型例3、某旅游景点预计2015年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x （x ∈N *，且1≤x ≤6），160x（x ∈N *，且7≤x ≤12）. (1)写出2015年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？【提分秘籍】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【举一反三】某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，则y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，5%（x －800），800＜x ≤1 300，10%（x －1 300）＋25，x ＞1 300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元．【高考风向标】【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭ 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

北大自招数学2016

2016年北京大学自主招生测试数学学科1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。

2. 圆内接四边形ABCD 满足AB =80，BC =102，CD =136，DA =150，求直径。

3. 四个半径为1的球两两相切，求其外切正四面体的棱长为（）A.2+B.2+C.4+D.以上均错4. 已知实数x ，y ，z 满足1112016,2016x y z x y z++=++=，求(2016)(2016)(2016)x y z ---=( )A.1B.0C.-1D.以上全错5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381n n n x y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。

6. 正方体八个顶点中任取3个，求能构成等腰三角形的概率________。

7. 设n a的整数，若112016n k k a ==∑，求n =________。

8. 若方程21x ax b ++=有两个不同的非零整数根，则22a b +可能为________。

A. 素数B. 2的非负整数次幂C. 3的非负整数次幂9. 2002n ⎡⎡=⎣⎣有________个正整数解。

10. 实数a ，b ，c 满足33323,2(),,,a b c abc a b c a b c N --==+∈，这样的a 有_________个。

11. 232016(21)(21)(21)...(21)++++的个位数字为（）A.1B.3C.5D.以上均错12. 实系数方程4320x ax bx cx d ++++=有四个非实数根，其中两个之和为2+i ，另外两个之积5+6i ，b =________。

13. 若△ABC 的三个顶点对应复数为z 1，z 2，z 3，且满足213112z z i z z -=+-，则△ABC 的面积与其最长边的平方之比为________。

14. 将1~100这100个正整数分成三组，使第一组和为102的倍数，第二组和为203的倍数，第三组和为304的倍数。

2016北京工业职业技术学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网danzhaowang限时： 45 分钟总分值： 70 分一、选择题 (共 8 个小题，每题5 分，共 40 分 )1．0<a<1 ，那么方程a |x |＝ |log a 的实根个数为 ()x|A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 B 作出函数 y ＝ a |x|， y ＝ |log a x|的图像，由图像可知，两图像只有两个交点，故方程有 2 个实根．2．不等式 x 2－a，在 x∈ 0，1 时恒成立，那么a 的取值X 围是()log x<0 21A ． 0<a<1B.16≤ a ＜ 1C ． a>1D ． 0<a ≤ 116解析：选 B不等式 x 2－log a 转化为 2 a ，由图形知x<0 x <log x 0<a<1 且12 1 ，所以 a ≥ 112≤log a16，所以≤ a<1.2162－x － 1， x ≤ 0，3．设函数 f(x)＝1假设f(x 0)>1，那么x 0 的取值X 围是 ()x 2， x>0.A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)考单招——上高职单招网danzhaowangC．(－∞，－ 2)∪(0，＋∞)D．(－∞，－ 1)∪(1，＋∞)解析：选 D首先画出函数y＝ f(x)与 y＝1 的图像 (如图 )，解方程f(x)＝ 1，得 x＝－ 1，或 x＝ 1.由图易得 f(x0)>1 时，所对应 x0的取值X围为 (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞)．4．假设直线＝＋b与曲线＝－4x－2有公共点，那么 b 的取值X围是 () y x y 3xA．[－1,1＋2 2]B．[1－2 2，1＋2 2]C．[1－2 2，3]D．[1－2 ，3]解析：选 C曲线方程可化简为(x－2)2＋ (y－ 3)2＝ 4(1≤ y≤ 3)，即表示圆心为 (2,3)半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线y＝ x＋b 与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线 y＝ x＋ b距离等于2，解得 b＝ 1＋ 2 2或 b＝1－ 22，因为是下半圆故可得b＝ 1－ 2 2，当直线过 (0,3)时，解得 b＝ 3，故 1－ 2 2≤ b≤ 3.a a≥b ，5．对 a， b∈ R，记 max{a， b} ＝那么函数 f(x)＝ max{|x＋ 1|， |x－2|}(xb a<b ，∈R) 的最小值是 ()3 A． 1 B.25 C． 2 D.2考单招——上高职单招网danzhaowang解析：选 B由|x＋ 1|≥ |x－ 2|? (x＋ 1)2≥ (x－2)2? x≥1，所以 f(x)＝2|x＋1| x≥1 ，2其图像如下列图，那么[f(x)]min＝f1＝1＋ 1＝3.1222|x－2| x<2，1312＋ bx＋ c 在 x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满6．函数 f(x)＝3x＋2ax足 x1∈(－ 1,1)， x2∈ (2,4)，那么 a＋ 2b 的取值X围是 ()A．(－11，－ 3)B．(－6，－ 4)C．(－16，－ 8)D．(－11,3)解析：选 D依题意得，f′ (x)＝x2＋ax＋b，x1，x2是方程f′ (x)＝0的两个根，于是有2f′－1 ＝－1 ＋ a·－ 1 ＋ b＝ 1－ a＋ b>0，2f′ 2 ＝ 2 ＋ a·2＋b＝ 4＋ 2a＋ b<0 ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影局部表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－ 4)， (－1，－ 2)，(－ 3,2)，(－ 5,4)，验证得：当 a＝－ 5， b＝4 时， a＋ 2b 取得最大值 3；当 a＝－ 3， b＝－ 4 时， a＋ 2b 取得最小值－ 11.于是 a＋2b 的取值X围是 (－ 11,3)．考单招——上高职单招网danzhaowang7．假设函数 f(x)＝|x－ 2| ·(x－4)在区间 (5a,4a＋ 1)上单调递减，那么实数a 的取值X围是()212A. 5，2B. 5，＋∞135C. －∞，2D. 5，6解析：选 A由于f(x)＝|x－2|·(x－4)＝x2－ 6x＋ 8，x≥ 2，－x2＋6x－8，x<2，在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像，如下列图，递减区间为 (2,3)，所以 (5a,4a＋ 1)? (2,3)，2≤ 5a，因此有5a<4a＋ 1，4a＋ 1≤3，2 1解得5≤ a≤2.8．设函数 f(x)(x∈R) 满足 f(－ x)＝ f(x)， f(x)＝ f(2－x)，且当 x∈[0,1]时， f(x)＝ x3.13又函数 g(x)＝|xcos( x)|π，那么函数 h(x)＝ g(x)－f(x)在－2，2上的零点个数为 ()A．5B．6C．7D．8解析：选 B 由题意知函数 f(x)是偶函数，且周期是 2.作出 g(x)，f(x)的函数图像，如图．由图可知函数y＝ g(x)， y＝在－1，3图像有 6 个交点，故 h(x)＝ g(x)－ f(x)在f(x)22考单招——上高职单招网danzhaowang－12，32上的零点有6 个．二、填空题 (共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分 )9 A， B 均为集合 U＝ {1,2,3,4,5,6} 的子集，且A∩B＝ {3}， (?U B)∩ A＝ {1}，(?U A)∩(?U B)＝{2,4}，那么 B∩(?U A)＝________.解析：依题意及韦恩图得，B∩ (?U A)＝ {5,6}．答案： {5,6}10．定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在 (0,2]上的图像如下列图，那么不等式 f(x)>x 的解集为 ________．解析：依题意，画出y＝ f(x)与 y＝ x 的图像，如下列图，注意到y＝ f(x)的图像与直线 y＝ x 的交点坐标是(0,0)，2， 2和－2，－2，结合图像可知，3333不等式f(x)>x 的解集是－2，－2∪，230 3.2 2答案：－2，－3∪ 0，311．定义函数 f(x)＝cos x， cosx>sin x．那么函数的值域为sin x， cos x≤ sin x，________解析：在同一坐标系中作出 y＝sin x 和 y＝ cos x 的图像，如图，那么f(x)的图像是实线局部，依图知T＝2π，f(x)max＝ 1， f(x)min＝－2，故 f(x)值域为－2，1 . 22考单招——上高职单招网danzhaowang2答案：－2，112．直线 y＝ 1 与曲线 y＝ x2－ |x|＋ a 有四个交点，那么a 的取值X围是 ________．解析：如图，在直角坐标系内画出曲线y＝x2－|x|＋a，1观图可知，直线y＝ 1 在直线 y＝ a， y＝ a－4之间，即 a 的取a>1，解得 1<a<5 .值必须满足1a－4<1 ，45答案： (1，4)13．设函数 f(x)＝ |x＋ a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式 f(x)≥ g(x)恒成立，那么实数 a 的取值X围是 ________．解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1 的图像，观察图像可知：当且仅当－ a≤ 1，即 a≥－ 1 时，不等式 f(x)≥ g(x)恒成立，因此 a 的取值X围是 [－ 1，＋∞ )．答案： [－1，＋∞)14．设 f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x∈ R，都有 f(x)＝ f(x＋4)，且当 x∈[－2,0]时，f(x)＝1x－1，假设在区间(－2,6]内关于x的方程－loga(x＋2)＝0(a>1)恰2f(x)有三个不同的实数根，那么 a 的取值X围为 ________．考单招——上高职单招网danzhaowang解析：依题意得， f(x＋ 4)＝ f(x)，即函数 f(x)是以 4 为周期的函数．关于x 的方程f(x)－ log a(x＋ 2)＝ 0(a>1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f(x)与 g(x)＝ log a(x＋2)(a>1)的图像恰有三个不同的交点．结合题意画出函数f(x)在 (－ 2,6]上的图像与函数g(x)＝ log a(x＋ 2)(a>1)的图像，结合图像分析可知，要使两函数图像有三个不同的交点，a>1 ，33那么有log a 2＋ 2 <3，由此解得4<a<2 ，即 a 的取值X围是 ( 4，2)．答案： (34，2)。

北大自招北京大学自主招生数学2016及解析

1-sin 2x12016年北京大学自主招生数学试题一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知sin x -cos x =2(0<x <2π)，则x 的取值范围是（）A．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πB．⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2C．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ D.以上三个答案都不对2．(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)的个位数字是（）A．1B．3C．5D．前三个答案都不对3．点P 位于∆ABC 所在的平面内，使得∆PAB ,∆PBC ,∆PCA 的面积相等，则满足题意的点P 有（）A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对4．记f (n )为最接近值为（）的整数，其中n ∈N *．若f (1)+1f (2)++1f (m )=2016，则正整数m 的A．1015056B．1017072C．1019090D．前三个答案都不对5.实数x ,y ,z 满足x +y +z =2016，，则()()()=---201620162016z y x （）5．A．0B．1C．−1D．前三个答案都不对⎧⎪a 3-b 3-c 3=3abc ,6．方程组⎨⎪⎩a2=2(b +c )的非负整数解有（）A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）A．2+2B．2+2C．2+2D．前三个答案都不对8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）1-cos 2xn 2361111=++zy xA．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对二、填空题．9．已知f (x )=3x 2-x +4，g (x )为整系数多项式，f (g (x ))=3x 4+18x 3+50x 2+69x +a ,则g (x )的各项系数之和为．10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第张．11．用高斯函数[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]12001200212001200222+=+n n 的正整数解有12．空间中的一点P (x ,y ,z )满足∃n ∈N *，使得183≤++n n n z y x 成立，则所有满足要求的P 所形成的空间几何体的体积为．北京大学2016年自主招生数学参考答案与解析1．B．根据题意，有sin x>0，cos x<0，于是x是第二象限的角．2．C．因为22+1=5，且对于任意正整数k，都有2k+1为奇数，所以(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)≡5(mod10).3．D．考虑到平面内使△PAB和△PBC的面积相等的点的轨迹为直线BM以及过点B且与AC平行的直线，其中M为边AC的中点，因此满足题意的点P有4个：△ABC的重心，或者由P,A,B,C四点所构成的平行四边形的顶点．4．B．若f(n)=k，则k2-k+1≤n≤k2+k,所以f(1)=f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=,f(6)=2,,进而有2016=1+1++1=2⋅1+4⋅1+6⋅1++2016⋅1, f(1)f(2)f(m)231008故m=2+4+6++2016=1017072．5．A．由于(x-m)(y-m)(z-m)=xyz-m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)-m3⎡1⎛111⎫⎤2,=mxyz⎢m- x+y+z⎪⎪⎥+m[(x+y+z)-m]于是所求代数式的值为0⎣⎝⎭⎦6⎢⎪666．B．根据题意，有a 3-b 3-c 3-3abc =a 3-(b +c )3+3bc (b +c -a )=a 3-1a 6+3bc ⎛1a 2-a⎫8=⎛1⎝2⎫⎡2⎛1⎪⎭,12⎫⎤a 1-a ⎪a 2 1+a +a 24⎪-3bc ⎥⎝⎭⎣⎝⎭⎦=0当a =0时，(b ,c )=(0,0)；当a =2时，(b ,c )=(0,2),(1,1),(2,0)．当a ≠0,2时，有2⎛112⎫142a 1+a +a -3bc >a -3bc =(b +c )-3bc ≥0,⎝24⎭4于是题中方程组的非负整数解共有4组．7．C．棱长为a 的正四面体的内切球半径为a ．设4个半径为1的球的球心分别为O ，O ,O ,O ,121234则正四面体O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为．设这4个球的外切正四面体为12346ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为1+8．D．6，故正四面体ABCD 的棱长为2+2．6假设这样的分法存在，设三组数的和分别为102x ,203y ,304z ，x ,y ,z ∈N *，则102x +203y +304z =5050,即101(x +2y +3z )+(x +y +z )=101⨯50,于是101|x +y +z ,因此x +y +z ≥101．而此时102x +203y +304z >102(x +y +z )>5050,矛盾．故不存在满足题意的分法．20012+120012+19．8．易知g (x )为二次多项式，设g (x )=px 2+qx +r ，则f (g (x ))=3g 2(x )-g (x )+4=3p 2x 4+6pqx 3+(3q 2+6pr -p )x 2+(6qr -q )x +3r 2-r +4,对比系数，依次解得p =1，q =3，r =4，a =48．故g (x )的各项系数之和为8．10．44．每一轮剩下的牌依次是11．4002．因为2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,12,28,44,12,44,44.2002⋅2001<2002<2002⋅2001+1,所以[200220012+1]=2002⋅2001．于是原方程等价于[n20012+1]=2001n ,即2001n ≤n <2001n +1,解得n <1+2001，所以原方程的正整数解有4002组．12．．3考虑第一卦限，只需要3x ,8y ,z ∈(0,1)即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为一个长方体，体积为1⋅1⋅1⋅8=1.38320012+1。

2016届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理

第八节函数的模型及其综合应用A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·北京昌平区模拟)在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A．32人B．35人C．40人D．45 人解析设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1≤x≤30且x∈N时，m＝800，y max＝800×30－12 000＝12 000，当30<x≤45且x∈N时，m＝800－20(x－30)＝1 400－20x，则y＝(1 400－20x)x－12 000＝－20x2＋1 400x－12 000，对应的抛物线开口向下，因为x∈N，所以当x＝－1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B.答案 B2．(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝12t2米，那么，此人( )A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米解析以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t，汽车在时间t内的位移为s＝12t2，故设相对位移为y m，则y＝－25＋6t－12t2＝－12(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7米．故选D.答案 D3．(2015·沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3S t 1＋t 2＋t 3＝3S S v 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案 D4．(2014·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案 A 二、填空题5．(2014·金华十校期末)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______．(围墙厚度不计)解析设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.答案 2 500 m 2三、解答题6．(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5，即3<x <10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x >7时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大．一年创新演练7．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v (m 3/h). 那么瞬时融化速度等于v (m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4解析平均融化速度为v ＝V （100）－V （0）100－0，反映的是V (t )图象与坐标交点线的斜率，观察可知t 3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.答案 CB 组专项提升测试三年模拟精选一、填空题8．(2014·惠州模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________．解析根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10. 答案 10 二、解答题9．(2014·河南鹤壁二模)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)．前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升趋势，其中4天的单价记录如下表：时间(将第x 天记为x )x1 10 11 18 单价(元/件)P918而这20天相应的销售量Q (百件/天)与时间x (天)对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数； (2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *)，Q ＝100－（x －10）2，x ∈[1，20]，x ∈N *，∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2]，x ∈[1，20]，x ∈N *. (2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500，当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值．又x ∈N *，∴当x ＝3或17时，y max ＝70051≈4 999，此时，P ＝7.答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．一年创新演练10．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y (单位：万元)与技术改造投入x (单位：万元)之间的关系满足：①y 与a －x 和x 2的乘积成正比例；②当x ＝a4时，y ＝3a 316；③0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]．(1)设y ＝f (x )，求f (x )的表达式，并求y ＝f (x )的定义域； (2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入x 的值．解 (1)设y ＝k (a －x )x 2，由②得k ＝4， ∴y ＝4(a －x )x 2.∵0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]，y ＝f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t ，t为常数，且t ∈[0，2]． (2)f ′(x )＝－4x (3x －2a )，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2a3， (ⅰ)当2ta 1＋2t ≥2a3，即1≤t ≤2时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3，则f ′(x )>0；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2ta 1＋2t ，则f ′(x )<0，故当x ＝2a 3时，y max ＝16a 327.(ⅱ)当2ta 1＋2t <2a 3，即0≤t <1时，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2ta 1＋2t 时恒有f ′(x )>0，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t 上是增函数，故当x ＝2ta 1＋2t 时，y max ＝16t 2a3（1＋2t ）3.综上，当1≤t ≤2，投入x ＝2a 3时，附加值y 最大，为16a 327万元；当0≤t <1，投入x ＝2ta1＋2t 时，附加值y 最大，为16t 2a3（1＋2t ）3万元．。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理(全国通用)

第八节函数的模型及其综合应用考点一函数的实际应用1．(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km ，消耗1升汽油．故D 正确．答案 D2．(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D3.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位： m)的取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解析设矩形另一边长为y ，x 40＝40－y40，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C.答案 C4．(2011·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10 ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克B ．75 ln 2太贝克C ．150 ln 2太贝克D ．150太贝克解析由题意M ′(t )＝M 02－30t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10 ln 2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150，故选D.答案 D5．(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.答案 246.(2012·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx－120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米． (2)∵a >0，∴炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.∴当a 不超过6千米时，可击中目标．7．(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．考点二函数的综合应用1．(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12B.14C.12πD.18解析不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14. 答案 B2．(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件．a >0时，易知f (0)＝0，x >0时，f (x )＝x (1＋a |x |)>0，于是f (0＋a )>0＝f (0)，而由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 可得0∈A ，即f (0＋a )<f (0)，所以a >0也不满足条件，故a <0.易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a （x ≥0），－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a （x <0），在坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝f (x ＋a )的图象如图所示，由图可知满足不等式f (x ＋a )<f (x )的解集A ＝(x A ，x B )．由x (1－ax )＝(x ＋a )[1－a (x ＋a )]可得x A ＝1－a22a ；由x (1＋ax )＝(x ＋a )[1＋a (x ＋a )]，可得x B ＝－1＋a22a.∴A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22a ，－1＋a 22a (a <0)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 22a <－12，－1＋a 22a >12，a <0，解得1－52<a <0.故选A.答案 A3．(2012·新课标全国，12)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln 2B.2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)解析由题意知函数y ＝12e x与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离的2倍，设y ＝12e x上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，所以|PQ |的最小值为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．答案 B4．(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数． (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0)．答案 (1)x (2)x5．(2014·山东，15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析函数g (x )的定义域是[－2，2]，根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．答案 (210，＋∞)6．(2013·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x(x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.(ⅰ)若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0.即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． (ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x >－2时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2].。

2016高考数学-函数模型及其应用

2016高考数学:函数模型及其应用
2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

1、常见函数模型：(1)一次函数模型:;
(2)二次函数模型:;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。

解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。

(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。

(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。

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北京大学自主招生数学2016

2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（）（A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则的各项系数之和为（）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（）（A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始）第四轮剩下的数，12，28，44，第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对【解析】D答案为4002，由,即, 即于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则等于（）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Î£££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（）（A ）一个素数（B ）2的非负整数次幂（C ）3的非负整数次幂（D ）前三个答案都不对【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（）（A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段，所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数的个数为（）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个（D ）前三个答案都不对【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式，可得故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（）（A ）（B ）（C ）（D ）前三个答案都不对【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（）（A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，；同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。

2016北京经济技术职业学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)

限时：45分钟满分：70分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若a >b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．a 3>b 3 C ．a 2>b 2D ．a >|b |解析：选B 若a ＝1，b ＝－3，则1a >1b ，a 2<b 2，a <|b |，知A 、C 、D 错误；函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，函数f (x )＝x 3在R 上为增函数，若a >b ，则a 3>b 3.2．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( )A ．a ＋b <2abB ．a 12>b 12C ．ln a >ln bD ．0.3a <0.3b解析：选A 根据幂函数、对数函数、指数函数的性质可知，选项B 、C 、D 的不等式均成立．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x2－2x －2，x<1，若f (x 0)>1，则x 0的取值围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 解析：选B ∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0≥1，2x0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x0<1，x20－2x0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．4．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a >0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值围为( )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12解析：选C 如图，约束条件为图中的三角形区域ABC .目标函数化为y =-1z x aa +，当z 最大时，za 最大，根据图形只要13AB k a ->=-，即a >13即可．5．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：选D 因为x >0，y >0，所以2y x ＋8xy ≥216＝8，当且仅当x ＝22，y＝2时取等号．要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2. 6．已知a ，b ，c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则使4a ＋b ≥c恒成立的c 的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2B ．[0,22) C ．[2,23) D ．(0,25]解析：选D 因为a ，b 都是正数，log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，所以log 3(9a ＋b )＝log 3(ab )，故9a ＋b ＝ab ，即9b ＋1a ＝1，所以4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫9b ＋1a ＝13＋36ab ＋ba≥13＋2 36a b ·b a ＝25，当且仅当36a b ＝ba ，即b ＝6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝52，b ＝15时等号成立．而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，则0<c ≤25.7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得A (30,20)．8．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5] D ．(0,5]解析：选B 不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋y －k －2＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋32，k ＋12. 由题知9≤⎝⎛⎭⎪⎫k ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122≤25，解得17－2≤k ≤5.二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.解析：由题意可知，0和2是方程－12x 2＋2x －mx ＝0的两根，代入得m ＝1.答案：110．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0，则不等式x ＋xf (x )≤2的解集是________．解析：当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，即0≤x ≤1；当x <0时，原不等式可化为x2－x ＋2≥0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥0恒成立，即x <0.综合(1)(2)知x ≤1，所以解集为(－∞，1]．答案：(－∞，1]11．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域(如图)，再平移目标函数得最小值．当目标函数经过点(1,0)时，z 取得最小值2.答案：212．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.解析：当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案：313．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值围是________．解析：由题意得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即⎝⎛⎭⎪⎫1m2－4m2－1x 2＋2x ＋3≤0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m2－4m 2－1≤－2x －3x2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，g (x )＝－2x －3x2＝－3x2－2x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是增函数，故当且仅当1m2－4m 2－1≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32即可满足条件．解得m ≤－32或m ≥32，即m 的取值围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞ 14．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋2b 在区间(0,1)，(1,2)各有一个零点，则a 2＋(b －2)2的取值围是________．解析：注意到a 2＋(b －2)2可视为点(a ，b )到点(0,2)的距离的平方．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2b>0，f (1)＝a ＋2b ＋1<0，f (2)＝2a ＋2b ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b>0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0.在坐标平面aOb 画出该不等式组表示的平面区域，结合图形可知，该区域的点(a ，b )与点(0,2)间的距离的取值围是(5，10)，因此a 2＋(b －2)2的取值围是(5,10)．答案：(5,10)。

2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答

的值为
万方数据
（）
Ａ．
－
１１６
Ｂ．
－
１３２
Ｃ．
－
１６４
Ｄ．前三个答案都不对
８．设ａ，ｂ，ｃ为实数，ａ，ｃ ≠ ０，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝
∑ ０
的两个虚数根为
ｘ１，ｘ２
满足ｘ２１ｘ２
２０１５
为实数，则
ｋ＝０
æ ｘ１
ç
è ｘ２
ö
÷
ø
ｋ
等于
（）
Ａ．１Ｂ．０Ｃ．３ｉＤ．前三个答案都不对
ＢＣ的长为
（）
Ａ．１１Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．前三个答案都不对
１１．两个圆内切于Ｋ，大圆的弦ＡＢ与小圆切于
Ｌ，已知ＡＫ ∶ ＢＫ＝２ ∶ ５，ＡＬ＝１０，则ＢＬ的长为
（）
Ａ．２４Ｂ．２５Ｃ．２６Ｄ．前三个答案都不对
１２．ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的函数，满足
理和勾股定理，可得
{２４·１８＝ＡＥ·ＥＢ＝（ｒ＋ＯＥ）（ｒ－ＯＥ）＝ｒ２－ＯＥ２，２４２＝ｒ２＋ＯＥ２，
把它们相加后，可求得ＯＥ＝６２．
图１图２
解法２Ｃ．如图２所示，连结ＣＦ，可得 △ＤＯＥ ∽ △ＤＦＣ，
所以ＤＯＤＦ
＝
ＤＥ，ＤＣ
ＤＯ２４＋１８
＝
２２Ｄ４Ｏ，ＤＯ２
＝
１２ · ４２，ＯＥ
＝
ＤＥ２－ＯＤ２＝２４２－１２·４２＝６２．
４．Ｄ．由ｘ ∈ （０，１）知，在ｆ（ｘ）的解析式中可不妨设ｐ，ｑ ∈ Ｎ∗ ，ｐ＞ｑ，（ｐ，ｑ）＝１．