“补集思想”在解题中的应用

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“补集思想”在解题中的应用

江苏省洪泽中学 邵刚

在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。

例1、已知集合A={y|y 2

-(a 2

+a+1)y+a(a 2

+1)>0},B={y|y 2

-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。

分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。 解：易解得A={y|y>a 2

+1或y

由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤3

32a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .

即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为

{}

332|<<-

>a a a 或.

评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。

例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2

+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。 分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。故先考虑其反面是捷径。 解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

<<-

>-<<

<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆0

23

11212

30)2(4)2(0

4)1(0)34(4)4(232

222

1a a a a a a a a a a 或

123

-<<-

⇔a 。设A=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123

a a a A C U 或

例3、若x 、y 、z 均为实数，且6

2,3

2,2

22

2

2

π

π

π

+

-=+

-=+

-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.

分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。 证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,

又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2

+π-3>0恒成立，

∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.

评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。

总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助。