2017自编二次函数专题——存在性问题(提高部分)

（2011东莞）如图，抛物线

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y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作

BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；

（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N.设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.

（2010四川眉山）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线

223y x bx c =

++经过B 点，且顶点在直线5

2

x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为

t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．

（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝8

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S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

x

C

O y A B

D

1

1图2

A

x

y

B

O

类型三：特殊三角形

1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；

3、平面内有两点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 3）,则AB ＝

，AB 中点的坐标为

。

4、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；

5、平面直角坐标系中直线l 1和直线l 2:

当l 1∥l 2时k 1=k 2;

当l 1⊥l 2时k 1·k 2=-1

1.由动点产生的等腰三角形问题

（2012•扬州）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c 经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

2.由动点产生的直角三角形问题

（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

3.由动点产生的等腰直角三角形

例.（2011•东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．