二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题

类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．

类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

1．已知，如图抛物线2

3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：

(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22

1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标；

（2）求过A、B、C 三点的圆的半径；

（3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。

1．如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行

四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

2、练习：如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。

检测：

1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x 轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D。

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由。

备用图

2、如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；