答案 二次函数-矩形的存在性问题

参考答案

1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺

时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x

2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ．

（1）求直线BD 的解析式；

（2）求△OFH 的面积；

（3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点

D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，

请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标，

利用待定系数法可求得直线BD 的解析式；

（2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积；

（3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．

解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2

﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ，

把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+；

（2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ，

把E 点坐标代入可求得m=，

∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ，

解得x=，∴H 点到y 轴的距离为，

又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=；

（3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，

∴△DFM 为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ，

∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0），

设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）；

②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2，

则有△FOD ∽△DOM ，

∴=，即=，解得OM=6，

∴M （0，﹣6），且F （0，），

∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=，

∴G （0，﹣），

设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，

解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）；

③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3，

∵四边形MFND 为矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；

综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与

y 轴交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E .

（1）求直线AD 的解析式；

（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；

（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.

答案解：⑴AD ：1y x =+

⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD 于点M ，易证△FGH ≌△FGM

故FGH FGM C C =△△

设2(,23)F m m m -++

则FM =2223(1)2m m m m m -++-+=-++

则 C=212(1(1)

2FM FM m +==-+-

故最大周长为⑶①若AP 为对角线

如图，由△PMS ∽△MAR 可得9(0,)2P 由点的平移可知1(2)2Q -，故Q 点关于直线AM 的对称点T 为1(0,)2

- ②若AQ 为对角线

如图，同理可知P 1(0,)2

-由点的平移可知Q 7(2,)2故Q 点关于直线AM 的对称点T 为9(0,)2 3. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′．

（1）若抛物线经过点C 、A 、A ′，求此抛物线的解析式；

（2）点M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，

△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；

（3）若P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为

（1，0），当P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，

当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．

分析（1）由平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，

得到平行四边形A ′B ′OC ′，且点A 的坐标是（0，4），

可求得点A ′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经

过点C 、A 、A ′的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA ′，设直线AA ′的解析式为：y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线AA ′的解析式，再设点M 的坐标为：（x ，﹣x 2

+3x+4），继而可得△AMA ′的面积，继而求得答案；

（3）分别从BQ 为边与BQ 为对角线去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′，且点A 的坐标是（0，

4），

∴点A ′的坐标为：（4，0），

∵点A 、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C 、A 、A ′，

设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，

∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x 2+3x+4；

（2）连接AA ′，设直线AA ′的解析式为：y=kx+b ，

∴，解得：，∴直线AA ′的解析式为：y=﹣x+4，