2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科) 解析版

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2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为　1830　．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2012年天津高考数学理科试卷(带详解)

2012年天津高考数学卷解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数7i3iz -==+ （）A ．2i + B.2i - C .2i -+ D .2i --【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数的分式形式求其值. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ，则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数的奇偶性,充分、必要条件.【考查方式】判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数，反之不成立，∴“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（） A.1- B.1 C.3 D.9第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图得出程序运算结果. 【难易程度】容易【参考答案】C 【试题解析】根据图给的算法程序可知：第一次4x =，第二次1x =，则输出2113x =⨯+=.4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（）A.0B.1 C .2 D .3 【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】直接给出函数的解析式判断其零点的个数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】解法1：因为(0)1021f =+-=-，3(1)2228f =+-=，即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断，故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（） A.10 B.10- C.40 D.40- 【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出一个二项展开式求某项的系数. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-，∴ 1031r -=，即3r =，∴x 的系数为40-.6.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知85,2b c C B ==，则cos C =（） A.725B.725-C.725±D.2425【测量目标】正弦定理，三角函数中的二倍角公式.【考查方式】已知三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵85b c =，由正弦定理得8sin 5sin B C =，（步骤1）又∵2C B =，∴8sin 5sin 2B B =，（步骤2）所以8sin 10sin cos B B B =，易知sin 0B ≠，（步骤3）∴4cos 5B =，27cos cos 22cos 125C B B ==-=.（步骤4） 7.已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ，若32BQ CP =-，则λ=（）A.12B.122±C.1102±D.3222-±【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出三角形边的向量关系式，运用平面向量的知识求解未知参数. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-，（步骤1）又∵32BQ CP =-，且2AB AC ==，,60AB AC ︒<>=，cos602AB AC AB AC ︒==（步骤2），∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦，2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=，（步骤3）所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=，解得12λ=. （步骤4）第7题图8.设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（） A.13,13⎡⎣ B.(),1313,⎡-∞++∞⎣C.222,222⎡-+⎣D.(),222222,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知一直线与圆的位置关系求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，（步骤1）∴圆心(1,1)到直线的距离为22(1)(1)21(1)(1)m n d m n +++-==+++，所以212m n mn m n +=++（）（步骤2）设t m n =+，则2114t t +，解得(),222222,t ⎤⎡∈-∞-++∞⎦⎣.（步骤3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. 【难易程度】容易【参考答案】18，9【试题解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .第10题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. 【难易程度】容易【参考答案】189π+ 【试题解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为： 3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)A B n =-，则m = ,n = .【测量目标】集合的基本运算，集合间的关系.【考查方式】给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. 【难易程度】容易【参考答案】1-，1【试题解析】∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)A B n =-，画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若EF ME =，点M 的横坐标是3，则p = . 【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线的参数方程，运用其简单的几何性质求未知数. 【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，（步骤1）∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,6)M p ±，（步骤2）所以点(,6),2p E p -±222()(06)22p pEF p =++±（步骤3）由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++，解得2p =.（步骤4）13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，33,1,,2AF FB EF ===则线段CD 的长为 .第13题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. 【难易程度】中等【参考答案】43【试题解析】∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =，所以2FC =，（步骤1）又48//,,233AF FC ABBD CE BD FC AB BD AF∴===⨯=，（步骤2）设CD x =，则4AD x =，再由切割线定理得2BD CD AD =，即284()3x x =，解得43x =，故43CD =.（步骤3）14.已知函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】已知两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】(0,1)(1,4)【试题解析】∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -，且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. 【试题解析】(Ⅰ)2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 22)34x x x =+=+ （步骤1）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==（步骤2）（Ⅱ）ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-（步骤3）当πππ2()428x x +==时，max ()2f x =πππ2()444x x +=-=-时，min ()1f x =-（步骤4）16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【测量目标】互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.【考查方式】针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -=（步骤1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.（步骤2）（Ⅱ）44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=，（步骤3）这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==（步骤4）（Ⅲ）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==（步骤5）随机变量ξ的分布列为84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=（步骤6）17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.(Ⅰ)证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒，求AE 的长.第17题图【测量目标】线线垂直、异面直线所成的角的正弦值. 【考查方式】通过空间几何体中的线线，线面直接的位置角度关系求证线线垂直以及异面直线所成角的正弦值. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角坐标系A xyz -.（步骤1）则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -（步骤2） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥（步骤3）第17题（1）图（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n则0202200PC y z y z x y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n （步骤4）(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,66AD AD AD AD <>==⇒<>=n n n n得：二面角A PC D --（步骤5）（Ⅲ）设[]0,2AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD hBE CD<>=⇔=⇔=即AE =（步骤6）18.(本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=(Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . 【测量目标】等差等比数列的通项及性质.【考查方式】给出等差等比数列中已知项之间的关系求解数列的通项，由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩（步骤1）得：31,2nn n a n b =-=(Ⅱ)121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++……111213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-（步骤2）[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-（步骤3）19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若AP OA =，证明：直线OP 的斜率k 满足k >【测量目标】椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以及椭圆的参数，判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值范围.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=（步骤1）222212a b e e a -==⇔=（步骤2）（Ⅱ）设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ（步骤3）1AQ AP OA AQ OP k k =⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+（步骤4）2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>（步骤5）20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .【测量目标】运用导数的相关性质求函数的最值，证明与推理最值问题. 【考查方式】给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞（步骤1）11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++ （步骤2）()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（步骤3）（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++则()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔=（*）（步骤4）(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++（步骤5）①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)2k g x x x g x g k -'⇔=⇒<与（*）矛盾②当12k 时，min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合（*）（步骤6）得：实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…（步骤7）当1n =时，2ln32-< 得：12ln(21)221n i n i =-+<-∑ 当2i 时，2211(21)2321i i i <---- 得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121n i i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑（步骤8）。

2012年高考数学天津理解析版

2012年天津高考数学卷解析（理）一．选择题1.【答案】B.【命题透析】本题考查了复数的四则运算.以商的形式给出，意在考查考生对复数的乘除法的基本运算能力.【思路点拨】解题的基本思路是复数分母的实数化，即给分式上下同乘以分母的共轭复数，并化简即可..2)3)(3()3)(7(37i i i i i i i -=-+--=+-故正确答案为B ，在运算过程中要注意正负符号与12-=i ，否则会出现选A 、C 、D 项的错误答案.2．【答案】A.【命题透析】本题考查了充分必要条件问题，并以三角函数的奇偶性为载体.意在考查考对知识间的内化能力.【思路点拨】若0=ϕ，则x x f cos )(=是偶函数，故充分性成立，排除B ，D 项；若)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数，则),(Z k k ∈=πϕ故必要性不一定成立，排除C 项，所以正确答案为A.【总结归纳】此类问题的解答分两步骤：一判断充分性，二判断必要性，要明确题中哪个作条件，哪个做结论，若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的心要条件.3．【答案】C.【命题透析】本题考查了循环结构的程序框图，由输入值来求输出值，意在考查考生的识图，析图，用图的能力.【思路点拨】由题可知，当输入25-=x 时，1>x ，415=-=x，14> ，∴循环得112=-=x ，11> 不成立，∴循环结束，则输出3112=+⨯=x ，故正确答案为C ；而B 项是因没注意到输入表达式12+⨯=x x，则误认为直接输出1=x ；D 项是第一次得4=x ，忽略判断语句1>x ，没进入循环直接输出结果，A 项把判断语句1>x 理解错误，多循环一次而输出结果值.4．【答案】B.【命题透析】本题考查了函数的零点分布.考查考生的化归与转化能力.【思路点拨】以数形结合思想来解答问题.原题可以转化为函数221-=x y 与32x y -=的图象在区间（0，1）内的交点个数问题.由作图可知在正区间内最多有一个交点，故排除C 、D 项；当0=x 时，0121=<-=y y ，当1=x 时，1021-=>=y y ，因此在区间（0，1）内一定会有一个交点，所以A 项错误，正确答案为B.【考场雷区】考生要避免用导数思想来解答试题，这样会进入运算的盲区中，即使能运算出来，也是量大费时，作为小题而言有些大作之味.5．【答案】D.【命题透析】本题考查了二项展开式中的项系数的求解.意在考查考生对基础知识的理解及基本技能的掌握.【思路点拨】通过观察将5次分别给xx 1,23-分配2次、3次即可得含x 的项，即x 40)1()2(32335-=-⋅xx C ，所以x 的系数为-40；而C 项错在将“—”号勿略；A 项错在分配次数为1次、4次，其实得到的是21x的系数，D 项错在上述两类错误的基础上.故正确答案为D ；【技巧点拨】此类类问题的解答一般有两种方法：一是通项法；二是观察法，作为小题往往观察法是高效之法，即通过观察要得什么的系数，需将次进行前后如何分配，然后再列式化简即得.6．【答案】A【命题透析】本题考查了解三角形、正弦定理、倍角公式，意在考查考生的综合分析、解决问题的能力.【思路点拨】由c b 58=，得B C B 2sin 5sin 5sin 8==，即54cos =B ，所以53sin =B ，所以2571cos 22cos cos 2=-==B B C .而B 项错对公式记为B B 2cos 212cos -=，C 项错在考虑了两类情况，D 项用错公式B B B sin cos 22cos =.7．【答案】A【命题透析】本题考查了向量的数量积、向量的基本定理.命题以求参数的形式给出，意在考查考生的方程思想的掌握，逆向思维的解题能力.【思路点拨】先用向量的基本定理将CP BQ ,用AC AB ,分解，然后以23-=⋅，列关于参数λ的方程，解即之即可.因为AB AC AB AQ BQ --=-=)1(λ，-=-=λ，且23-=⋅，ABC ∆是等边三角形，所以得01442=+-λλ，解得21=λ.故正确答案为A. 8．【答案】D【命题透析】本题考查了直线与圆的位置关系，以直线与圆相切为据，列关于n m +的等式关系，再借用重要不等式放缩，转化为不等式关系来解答问题，意在考查考生的综合思维能力与数学转化能力.【思路点拨】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列式，再利用重要不等式放缩出关于n m +的不等关系，解之即可.由题得1)1()1(22=++++n m n m ，即,2)2()1)1()(22(22++≥++=++n m n m n m 令n m t +=，得0442≥--t t ，解得222+≥t 或222-≤t ，故n m +的取值范围为(]222,-∞- [)∞+-,222.而C 项错在化简中将不等符号改变了，A 、B 项错在转化中误用了重要不等式.【考场雷区】考生易出现在等式的情况下不知如何求参数的取值范围，事实上这里需要由等到不等的转化，此题就用到重要不等的放缩来达到转化目的. 二．填空题9．【答案】9,18【命题透析】本题考查统计初步中的分层抽样法.【思路点拨】先求每个学校被抽取的概率，然后求各自学校的样本容量.设小学、中学各抽取y x ,所学校，则有75150257515030yx ==++，解得9,18==y x .10．【答案】)2(9+π【命题透析】本题考查了三视图，空间几何体的体积..【思路点拨】先由三视图还原几何体，后求其体积.由题可知此几何体为两球相切，上面放一柱体，其体积为)2(9136)23(3423+=⨯⨯+⨯⨯⨯ππ. 11．【答案】-1，1【命题透析】本题考查了集合的交集运算，解不等式.试题以求参数的值给出，意在考查学生的逆向思维能力.【思路点拨】先化简集合在最简形式，然后由交集可知-1是方程0)2)((=--x m x 的一根，求得1-=m ，此时{}15|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B ，则)1,1(-=B A ，所以1=n .【考场雷区】也许考生会对集合B 中的参数m 分2>m ，2<m 进行分类讨论，再对应求参数的值，事实上，会使运算更繁，费时更多.12．【答案】2【命题透析】本题考查抛物线的方程与性质，两点间的距离公式.以求值为目的，意在考查考生的方程思想.【思路点拨】消参得抛物线方程为px y 22=，因为MF EF =，所以32)6()32(22+=+-pp p ，得2=p .13.【答案】34【命题透析】本题考查了平面几何知识，以圆为载体，涉及到圆的切线定理，相交弦定理，相似三角形等知识，考查考生的综合思维能力与运算能力.【思路点拨】由相交弦定理得FC EF FB AF ⨯=⨯，得2=FC ，其次由AFC ABD ∆∆相似于得38=⨯=AF CF AB BD ，DC DA 4=，再由切线定理得9642=⨯=DC DA BD ，最后求得34=DC .14．【答案】（0，1）或（1，4）【命题透析】本题考查了函数的图象，以两图象相交于两点为载体，求实数k 的取值范围，意在考杳考生的数形结合思想与综合分析问题的能力.【思路点拨】先简化函数为⎩⎨⎧>+<+-=,1,11,1x x x x y ，再在同一直角坐标系下画出两函数的图象，（略），在1>x 时，有两交点的实数k 的取值范围为（1，4），当1<x 时，有两交点的实数k 的取值范围为，所以实数实数k 的取值范围为（0，1）或（1，4）. 【技巧点拨】画图寻找两图象有两交点的位置是解题的关键，其次以平行线为依据或以个别特殊点对就的斜率值作为解题的基本点. 三．解答题15．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】三角函数的求最小值，一般先化简使其成为)sin()(ϕω+=x A x f 的形式，在简化的过程中一般要用到三角函数的公式式、同角三角函数的关系、二倍角公式、和、差角公式，考生要做到胸有成竹，熟练的进行运算.求此类函数的最值问题，一般用到整体角的思想.16．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】概率应用题的特点为文字叙述长，解题首先要做到读懂题意、明确事实、提取数知（数学问题）、化归（概率）类型．其次考虑问题要周全、细心，数值计算要仔细，离散型变随机变量的分布列列好后，回头再检验是否概率的和为1．17.【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】立几解答题，一般在传统与向量法中找平衡点.在传统证明线面位置关系时，需要明确要证什么，得需证什么的思维线索；直线与平面所成角，从传统上解需找角、证角、算角，而向量法首先建系，然后写相关向量的坐标，最后进行代数解答，思维单一，公式化强，但运算易错.考生一般遵循先传统后向量的方法选择，也就是在传统法难做下去时，不防换用向量法.18．【命题透析】【思路点拨】【考场雷区】一等差数列与一等比数列的积数列求和，一般用到错位相减法，在两边同乘以等比的公比后，两式的相减上易出现错误，经常出现于不知如何相减，保留项弄丢，正负号弄错，需考生仔细、认真对待.19．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】求离心率的方法有：一是求c a ,的值，二是求关于c b a ,,的齐次方程；求参数的取值范围问题，一般以寻找关于参数的不等关系，在题目明确的前提下直接列出即可，但要考虑所有受限条件，在题目没有明确的前提下往往由等到不等的转化来实现，至于如何转化，要因宜而论.20．【命题透析】【思路点拨】【思维拓展】函数与导数的综合作为高考的重头戏，多以能力为立意，计算为基础，主要考查函数的单调性、切线、极（最）值、零点分布、参数（值）范围、不等式恒成立证明等知识，此类问题解答时，运用导数这把有利工具，探索函数的有关性质，突破解题思维防线．函数中引参变量是命题的焦点，使得试题增加了宽度与深度，通常需对参变量进行分类讨论．。

2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位.复数=（）2．（3分）（2012•天津）设φ∈R.则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图.运行相应的程序.当输入x的值为﹣25时.输出x 的值为（）.x=﹣x35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中.x项的系数为（）=.）==6．（3分）（2012•天津）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别是a.b.c．已知8b=5c.C=2B.cosB=.B）．sinB==．nC=sin2B=2×.=．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形.AB=2．设点P.Q满足..λ∈R．若=﹣.则λ=（）.再根据﹣..+λ﹣λ）﹣的三角形法则求出.AB=2.即可求解！8．（3分）（2012•天津）设m.n∈R.若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣.1+∪[1+.2.2+2].=1.整理得：m+n+1=mn≤x+1≤=2+22）≥0或]∪[2+2二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所.中学75所.大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查.应从小学中抽取18 所学校.中学中抽取9 所学校．=.应该选取小学选取中学×75=910．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）.则该几何体的体积为18+9πm3．下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．下部为两个半径均为的球体•（11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}.集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}.且A∩B=（﹣1.n）.则m= ﹣1 .n= 1 ．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数）.其中p＞0.焦点为F.准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线.垂足为E．若|EF|=|MF|.点M的横坐标是3.则p= 2 ．（﹣．再由解：抛物线的参数方程为（.0﹣（﹣．=+6p=9+13．（3分）（2012•天津）如图.已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E.与AB相交于点F.AF=3.FB=1.EF=.则线段CD的长为．3×1=×FCBD.BD=.（故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点.则实数k的取值范围是（0.1）∪（1.4）．==三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1.x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．2x+）=2x+）[.cos sin cos sin）=π．[.]（﹣（=（上的最大值为=2x+16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动.该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏.掷出点数为1或2的人去参加甲游戏.掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X.Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数.记ξ=|X﹣Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．每个人去参加甲游戏的概率为.去参加乙游戏的人数的概率为.===17．（2012•天津）如图.在四棱锥P﹣ABCD中.PA⊥平面ABCD.AC⊥AD.AB⊥BC.∠BAC=45°.PA=AD=2.AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点.满足异面直线BE与CD所成的角为30°.求AE的长．通过得出＞=cos30°=..0）证明：易得.•=0.解：=的一个法向量为=即则以=的一个法向量为==．由此得﹣=＜==cos30°=.h=AH===．.CD=sin∠ADC=由.sin∠FAB=sin135°=BF=..EF==..BE==.cos30°=h=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列.其前n项和为S n.{b n}是等比数列.且a1=b1=2.a4+b4=27.s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n.n∈N*.证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．得方程组..19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A.B.点P在椭圆上且异于A.B两点.O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为.求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|.证明直线OP的斜率k满足|k|＞．..则可求得.①的左右顶点分别为的斜率之积为∴∴椭圆的离心率为∴代入②得．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0.其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0.+∞）.有f（x）≤kx2成立.求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．=0..k≥时.g时.对于.≤从而可得求导函数可得=0.k≥时时k≥时对任意的k=x∴＜﹣（。

2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析

2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析数学（理工类）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。

题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。

但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。

整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。

本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数7=3i z i -+=（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --１．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -（２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）93．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算. 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函1. B并借助于通项公式分【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725±（Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8si n =5s i n 2B B ，所以8s i n=10B B B ，易知sin 0B ≠，∴4c o s=5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.（7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ（A ）12（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2B Q CP⋅-，且||=|A B A C，0<,>=60AB AC ，=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2A C AB A BA C λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1-（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32Vπ⨯⨯⨯⨯=18+9π3m.（11）已知集合={||+2|<3}A x R x∈，集合={|()(2)B x R x m x∈--,且=(1,)A B n-，则=m,=n.11．1-，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x∈={||5<<1}x x-,又∵=(1,)A B n-，画数轴可知=1m-，=1n.（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M 的横坐标是3，则(3)M ，所以点(,)2p E -，222=()+(06)22p p EF p -由抛物线得几何性质得=+32pMF ，∵=EF M F ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为.13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=C D x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD . （14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知.2)=sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，=45ABC ∠，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{na }是等差数列，其前n 项和为nS ，{nb }是等比数列,且1a = 1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{na }与{nb }的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y ab (>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线OP 的斜率k满足|k 【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln(+)f x x x a-的最小值为0，其中>0a.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x∈∞,有2()f x kx≤成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明=12ln(2+1)<2 21nin i--∑*()n N∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。

2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306．；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析版(新课标)

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（） A ．3 B ．6 C ．8 D ．10【解析】由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D 。

【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。

2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【解析】先安排甲组，共有122412C C ⋅=种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A 。

【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。

3．下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-。

其中的真命题为（） A ．2p ，3p B ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p【解析】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以||2z =，22(1)2z i i =--=，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，所以2p ，4p 为真命题，故选择C 。

【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。

4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C 。

2012高考新课标数学全国卷答案解析(理科)

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（） ()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)理

天津理科1.(2012天津,理1)i 是虚数单位,复数7i 3i-+=( ).A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-iB 7i 3i -+=(7i)(3i)(3i)(3i)--+-=22217i 3i i 9i --+-=2010i 10-=2-i. 2.(2012天津,理2)设φ∈R ,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x ∈R )为偶函数”的( ). A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,∴cos φ=±1,∴φ=k π(k ∈Z ).∴是充分而不必要条件.3.(2012天津,理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为-25时,输出x 的值为( ). A .-1 B .1 C .3D .9Cx=|1|>1不成立, ∴x=2×1+1=3.4.(2012天津,理4)函数f(x)=2x +x 3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ). A .0 B .1 C .2D .3B f'(x)=2x ln 2+3x 2,在(0,1)上f'(x)>0恒成立,∴f(x)在区间(0,1)上单调递增.又∵f(0)=20+03-2=-1<0,f(1)=21+13-2=1>0, ∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点.5.(2012天津,理5)在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为( ). A .10 B .-10 C .40 D .-40D T r+1=r 5C (2x 2)5-r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=(-1)r 25-r r 5C x 10-3r ,∴当10-3r=1时,r=3.∴(-1)325-335C =-40.6.(2012天津,理6)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=( ). A .725B .-725C .±725D .2425A 在△ABC 中,由正弦定理:b Bsin =c Csin ,∴C Bsin sin =c b,∴2B Bsin sin =85,∴cos B=45.∴cos C=cos 2B=2cos 2B-1=725.7.(2012天津,理7)已知△ABC 为等边三角形,AB =2.设点P ,Q 满足AP =λAB ,AQ =(1-λ)AC ,λ∈R.若BQ ·CP =-32,则λ=( ).A .12B C DA设AB =a ,AC =b ,则|a|=|b|=2,且<a,b>=3π.BQ =AQ -AB =(1-λ)b -a ,CP =AP -AC =λa -b .BQ ·CP =[(1-λ)b -a ]·(λa -b ) =[λ(1-λ)+1]a ·b -λa 2-(1-λ)b 2 =(λ-λ2+1)×2-4λ-4(1-λ) =-2λ2+2λ-2=-32.即(2λ-1)2=0,∴λ=12.8.(2012天津,理8)设m ,n ∈R,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( ).AB .(-∞∪∞)CD .(-∞∪,+∞)D 直线与圆相切,∴即:mn=m+n+1,设m+n=t,则mn ≤2m n 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭=2t 4,∴t+1≤2t 4,∴t 2-4t-4≥0,解得:t ≤t ≥9.(2012天津,理9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校. 18 9 共有学校150+75+25=250所,∴小学中应抽取:30×150250=18所,中学中应抽取:30×75250=9所.10.(2012天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 m 3.18+9π 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m ,3 m ,1 m 的长方体,底部为两个直径为3 m 的球.∴该几何体的体积为:V=6×3×1+2×43π×332⎛⎫ ⎪⎝⎭=18+9π(m 3). 11.(2012天津,理11)已知集合A ={x ||x 2|3}R ∈+<,集合B ={x |(x m)(x 2)0}R ∈--<,且A ∩B =(-1,n ),则m = ,n = . -1 1 A ={x ∈R||x +2|<3},∴|x +2|<3.∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.又∵B ={x ∈R|(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n 是区间(-5,1)的右端点, ∴m=-1,n=1.12.(2012天津,理12)已知抛物线的参数方程为2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M 的横坐标是3,则p= .2 由参数方程2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数),p>0,可得曲线方程为:y 2=2px(p>0). ∵|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线定义), ∴△MEF 为等边三角形,E 的横坐标为-p 2,M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为:p322-,与F 的横坐标p 2相同, ∴p322-=p 2,∴p=2.13.(2012天津,理13)如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E,与AB 相交于点F,AF=3,FB=1,EF=32,则线段CD 的长为 .43在圆中,由相交弦定理: AF·FB=EF·FC, ∴FC=AF?FB EF=2,由三角形相似,FC BD=AF AB,∴BD=FC?AB AF=83.由切割弦定理:DB 2=DC·DA, 又DA=4CD, ∴4DC 2=DB 2=649.∴DC=43.14.(2012天津,理14)已知函数y=2|x 1|x 1--的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是 .(0,1)∪(1,4) y=2|x 1|x 1--=|x 1||x 1|x 1+--=x 1,x 1,-|x 1|,x 1,+>⎧⎨+<⎩函数y=kx-2过定点(0,-2),由数形结合:k AB <k<1或1<k<k AC , ∴0<k<1或1<k<4.15.(2012天津,理15)已知函数f(x)=sin 2x 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin 2x 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭+2cos 2x-1,x ∈R .(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=sin 2x·cos 3π+cos 2x·sin 3π+sin 2x·cos 3π-cos 2x·sin 3π+cos 2x=sin 2x+cos 2x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以,f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为f(x)在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,又f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭=-1,f 8π⎛⎫ ⎪⎝⎭4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,故函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值为-1.16.(2012天津,理16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i=0,1,2,3,4), 则P(A i )=i4ii 41233C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)=22241233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥,故P(B)=P(A 3)+P(A 4)=3341233C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+44413C⎛⎫⎪⎝⎭=19.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=827,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=4081,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×827+2×4081+4×1781=14881.17.(2012天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(-12,12,0),P(0,0,2).(1)证明:易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0), 于是PC·AD=0,所以PC ⊥AD.(2)PC =(0,1,-2),CD =(2,-1,0). 设平面PCD 的法向量n =(x ,y ,z ),则n?0,n?0,PC CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即y 2z 0,2x y 0.-=⎧⎨-=⎩不妨令z =1, 可得n =(1,2,1).可取平面PAC 的法向量m =(1,0,0). 于是cos <m,n>=m?n |m||n |,从而sin所以二面角A-PC-D(3)设点E 的坐标为(0,0,h),其中h ∈[0,2],由此得BE =11,-,h 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由CD =(2,-1,0),故cos <BE ,CD >=BE?CD |BE||CD |=3所以cos 30°解得,即.解法二:(1)证明:由PA ⊥平面ABCD,可得PA ⊥AD,又由AD ⊥AC,PA ∩AC=A,故AD ⊥平面PAC.又PC ⊂平面PAC,所以PC ⊥AD.(2)如图,作AH ⊥PC 于点H,连接DH. 由PC ⊥AD,PC ⊥AH,可得PC ⊥平面ADH.因此DH ⊥PC,从而∠AHD 为二面角A-PC-D 的平面角. 在Rt △PAC 中,PA=2,AC=1,由此得由(1)知AD ⊥AH,故在Rt △DAH中因此sin ∠AHD=AD DH所以二面角A-PC-D(3)如图,因为∠ADC<45°,故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交,设交点为F,连接BE,EF.故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角.由于BF ∥CD,故∠AFB=∠ADC.在Rt △DAC 中sin ∠故sin ∠在△AFB 中,由BFFAB sin ∠=AB AFB sin ∠,AB sin ∠FAB=sin 135°可得由余弦定理,BF 2=AB 2+AF 2-2AB·AF·cos ∠FAB, 可得AF=12.设AE=h.在Rt △EAF 中在Rt △BAE 中在△EBF 中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得cos 30°=222BE BF EF 2BE?BF +-.可解得.所以.18.(2012天津,理18)已知{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,且a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,S 4-b 4=10. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n =a n b 1+a n -1b 2+…+a 1b n ,n ∈N *,证明T n +12=-2a n +10b n (n ∈N *).(1)解:设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由a 1=b 1=2,得a 4=2+3d,b 4=2q 3,S 4=8+6d.由条件,得方程组3323d 2q 27,86d 2q 10.⎧++=⎨+-=⎩解得d 3,q 2.=⎧⎨=⎩ 所以a n =3n -1,b n =2n ,n ∈N *. (2)证明:(方法一)由(1)得T n =2a n +22a n-1+23a n-2+…+2n a 1,① 2T n =22a n +23a n-1+…+2n a 2+2n+1a 1.② 由②-①,得T n =-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n +2n+2=n 112(12)12---+2n+2-6n+2=10×2n -6n-10.而-2a n +10b n -12=-2(3n-1)+10×2n -12=10×2n -6n-10,故 T n +12=-2a n +10b n ,n ∈N *. (方法二:数学归纳法)①当n=1时,T 1+12=a 1b 1+12=16,-2a 1+10b 1=16,故等式成立; ②假设当n=k 时等式成立,即T k +12=-2a k +10b k ,则当n=k+1时有: T k+1=a k+1b 1+a k b 2+a k-1b 3+…+a 1b k+1 =a k+1b 1+q(a k b 1+a k-1b 2+…+a 1b k ) =a k+1b 1+qT k=a k+1b 1+q(-2a k +10b k -12) =2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24 =-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立. 由①和②,可知对任意n ∈N *,T n +12=-2a n +10b n 成立.19.(2012天津,理19)设椭圆22x a+22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足(1)解:设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意,有202x a +202y b=1① 由A(-a,0),B(a,0),得k AP =00y x a+,k BP =00y x a-.由k AP ·k BP =-12,可得20x =a 2-220y ,代入①并整理得(a 2-2b 2)20y =0.由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=222a b a -=12,所以椭圆的离心率(2)证明:(方法一)依题意,直线OP 的方程为y=kx,设点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得00220022y kx ,x y 1,ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0并整理得2x =22222a b k a b +.② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 220x =a 2.整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.而x 0≠0,于是x 0=22a 1k -+,代入②,整理得(1+k 2)2=4k 22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+4.由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.所以(方法二)依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有202x a +2202k x b=1.因为a>b>0,kx 0≠0,所以202x a +2202k x a<1,即(1+k 2)20x <a 2.③ 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0,于是x 0=22a 1k -+.代入③,得(1+k 2)2224a (1k )+<a 2,解得k 2>3,所以20.(2012天津,理20)已知函数f(x)=x-ln (x+a)的最小值为0,其中a>0. (1)求a 的值;(2)若对任意的x ∈[0,+∞),有f(x)≤kx 2成立,求实数k 的最小值;(3)证明ni 122i 1=∑--ln (2n+1)<2(n ∈N *).(1)解:f(x)的定义域为(-a,+∞).f'(x)=1-1x a+=x a 1x a+-+.由f'(x)=0,得x=1-a>-a.当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:因此,f(x)在x=1-a 处取得最小值,故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.(2)解:当k ≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln 2>0,故k ≤0不合题意.当k>0时,令g(x)=f(x)-kx 2,即g(x)=x-ln (x+1)-kx 2.g'(x)=x x 1+-2kx=x[2kx-(12k)]x 1--+.令g'(x)=0,得x 1=0,x 2=12k 2k->-1.①当k ≥12时,12k 2k-≤0,g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx 2在[0,+∞)上恒成立,故k ≥12符合题意.②当0<k<12时,12k 2k->0,对于x ∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭,g'(x)>0,故g(x)在12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.因此当取x 0∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭时,g(x 0)>g(0)=0,即f(x 0)≤k 20x 不成立. 故0<k<12不合题意.综上,k 的最小值为12. (3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln 3<2=右边,所以不等式成立.当n ≥2时,n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭=n i 1221212i 1ln i =⎡⎤⎛⎫∑-+ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ =n i 122i 1=∑--n i 1=∑[ln (2i+1)-ln (2i-1)] =n i 122i 1=∑--ln (2n+1).在(2)中取k=12,得f(x)≤2x 2(x ≥0),从而 f 2222i 1(2i 1)⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭<2(2i 3)(2i 1)--(i ∈N *,i ≥2), 所以有ni 122i 1=∑--ln (2n+1)=n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭=f(2)+n i 22f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭<2-ln 3+n i 22(2i 3)(2i 1)=∑-- =2-ln 3+n i 2112i 32i 1=⎛⎫∑- ⎪--⎝⎭=2-ln 3+1-12n 1-<2. 综上,n i 122i 1=∑--ln (2n+1)<2,n ∈N *.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科) 解析版

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6()C 8()D 10【解析】要使A y x ∈-,当5=x 时，y 可是1，2，3，4.当4=x 时，y 可是1，2，3.当3=x 时，y 可是1，2.当2=x 时，y 可是1，综上共有10个，选D.【答案】D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】先安排老师有222=A 种方法，在安排学生有624=C ，所以共有12种安排方案，选A. 【答案】A（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.【答案】C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 【答案】C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.【答案】D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A 为最大值，B 为最小值，选C. 【答案】C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.【答案】B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.【答案】C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4cos()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 【答案】A（10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）【解析】排除法，因为022ln 1)2(<-=f ，排除A.02ln 12121ln 1)21(<=+=-e f ，排除C,D ，选B.【答案】B（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）()A ()B()C()D 【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC的距离d ==,SC 为球O的直径⇒点S 到面ABC的距离为23d =此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=⨯==另：1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.【答案】A（12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（） ()A 1ln2- （B ）ln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+【解析】函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -, 【答案】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知向量,a b r r 夹角为45︒，且1,2a a b =-=r r r ；则_____b =r【解析】因为102=-，所以10)2(2=-，即104=+•-，所以1045cos 4402=-+b b，整理得06222=--b b ，解得23=b 或2-=b （舍去）.【答案】32(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z 2-=得z x y 2121-=，平移直线x y 21=，由图象可知当直线经过点)0,3(D 时，直线z x y 2121-=的截距最小，此时z 最大为32=-=y x z ，当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-31y x y x ，解得⎩⎨⎧==21y x ，即)2,1(B ，此时3412-=-=-=y x z ，所以33≤≤-z ，即z 的取值范围是]3,3[-. 【答案】]3,3[-（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=.【答案】83（16）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为【解析】由12)1(1-=-++n a a n nn 得，12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n a n a a n n n n n n 12)12()1(++--+-=n n a n n ，即1212)1(2++--=++n n a a n n n ）（，也有3212)1(13+++--=+++n n a a n n n ）（，两式相加得44)1(2321++--=++++++n a a a a n n n n n ，设k 为整数，则10`164)14(4)1(21444342414+=+++--=++++++++k k a a a a k k k k k ，于是1830)10`16()(14443424141460=+=+++=∑∑=++++=k a a a aS K k k k k K【答案】1830三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c . 【解析】（1）由正弦定理得：cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C +--=⇔-=+sin cos 3sin sin sin()sin 13sin cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 342S bc A bc ==⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 解得：2b c ==（l fx lby ）18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩（2）（i ）X 可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X60 70 80 P0.10.20.7600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯= 222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯= （ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得：应购进17枝（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 （1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小. 【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =，则122a C O =，1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =点A 到准线l的距离d FA FB ===122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=圆F 的方程为22(1)8x y +-=（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2pF点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=得：3,)2pA，直线3:022p p p m y x x -=+⇔+=222233x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6p P直线:06p n y x x p -=⇔-= 坐标原点到,m n距离的比值为:326=.（lfx lby ）（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值. 【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()xg x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞（2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔> 当x e =时，max ()2eF x =当1,a e b e =-=时，(1)a b +的最大值为2e请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：（1）CD BC =；（2）BCD GBD ∆∆: 【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒=//CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= （2）//BC GF BG FC BD ⇒==//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆:（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标卷)解析版(1)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标卷)解析版(1)绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6 ()C 8()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C=种（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2pz i= 3:p z 的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34【解析】选C22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+-- 1:2p z =，22:2pz i=，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形221332()224c PFF F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}na 为等比数列，472aa +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5()C -5()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,na a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,na a a 的和()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,na a a 中最大的数和最小的数 ()D A和B 分别是12,,...,na a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18 【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线xy162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4()D 8【解析】选C设222:(0)C xy a a -=>交xy162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224aa a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

(全国卷)理科数学解析版( 2012高考)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-ca ，所以842==c a ，448222=-=-=c ab ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C. 【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2 BC D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A. 【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) -3 （B ）-9 (C) 9 (D)3【解析】因为33c o s s i n =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032c o s s i n 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)s i n )(c o s s i n (c o s s i n c o s 2c os 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A.【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3s i n (2c o s 3s i n π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62nn C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1AA ===设棱长为1，则,1AB +=BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且1160=∠=∠CAA BAA 所以21=∙=∙=∙，所以3==，2== ，2)-()(11=+∙+=∙BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos =⨯=∙=BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。

天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试卷解读一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x 的值为（）x=x=x35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）=，）==6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，BcosB=．sinB==×，=．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）B，进而根据数量积的定义求出再根据﹣，，λ﹣法的三角形法则求出﹣8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y 2﹣1+][1+，][2+2=1≤=2+2，）或22二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．=，∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×人，选取中学×10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．下部为两个半径均为的球体，体积×•（11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=1．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=2．，．再由（x=2p，．（﹣+6p=9++3p13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC 的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．1=，）x=故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．y=y=三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．））sin2x+[[][+cos2x sin+sin2x cos﹣sin2x+T==[[]））（[，最小值为﹣=）是关键，属于中16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．，去参加乙游戏的人数的概率个人中，每个人去参加甲游戏的概率为=，0 2 417．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•＜，得出关于（﹣，=，=，于是•）解：=，=的一个法向量为=，则即，则以=的一个法向量为=，＜的正弦值为，由此得，﹣=＜，解得．AH=DH==AHD==．所以二面角正弦值为CD=ADC=，故．，=BE==，h=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．得方程组，解得，+219．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．，则的斜率之积为，则，利用，可求得，从而可，∴的左右顶点分别为的斜率之积为，∴并整理得∴椭圆的离心率为，∴得20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．，，分类讨论：≥时，，时，对于，得x 从而可得，求导函数可得=，时，时，，对于时，时对任意的的最小值为时，k=xln3+﹣（。

2012年普通高等学校招生全国统一考试天津卷理科数学(2012年天津市高考理科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试天津理科1.i 是虚数单位，复数7i 3i-+＝( ).A ．2＋iB ．2﹣iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣iB 7i 3i -+＝(7i)(3i)(3i)(3i)--+-＝22217i 3i i 9i --+-＝2010i 10-＝2﹣i. 2.设φ∈R ，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ).A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A φ＝0时，f(x)＝cos x ，f(﹣x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝kπ(k ∈Z ).∴是充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为﹣25时，输出x 的值为( ). A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．9 C x ＝|﹣25|>1，x1＝4;x ＝|4|>1，x 1＝1;x ＝|1|>1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3.4.函数f(x)＝2x ＋x 3﹣2在区间(0，1)内的零点个数是( ). A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B f'(x)＝2x ln 2＋3x 2，在(0，1)上f'(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(0，1)上单调递增.又∵f(0)＝20＋03﹣2＝﹣1<0，f(1)＝21＋13﹣2＝1>0， ∴f(x)在区间(0，1)上存在一个零点. 5.在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为( ).A ．10B ．﹣10C ．40D ．﹣40D T r ＋1＝r 5C (2x 2)5﹣r r1x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(﹣1)r 25﹣r r 5C x 10﹣3r ，∴当10﹣3r ＝1时，r ＝3.∴(﹣1)325﹣335C ＝﹣40.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ). A ．725B ．﹣725C ．±725D ．2425A 在△ABC 中，由正弦定理：b Bsin ＝c Csin ，∴C Bsin sin ＝c b，∴2B Bsin sin ＝85，∴cos B ＝45.∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B ﹣1＝725.7.已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1﹣λ)AC ，λ∈R.若BQ ·CP ＝﹣32，则λ＝( ).A ．12B C D A设AB ＝a ，AC ＝b ，则|a|＝|b|＝2，且<a ，b>＝3π.BQ ＝AQ ﹣AB ＝(1﹣λ)b ﹣a ，CP ＝AP ﹣AC ＝λa ﹣B ． BQ ·CP ＝[(1﹣λ)b ﹣a ]·(λa ﹣b )＝[λ(1﹣λ)＋1]a ·b ﹣λa 2﹣(1﹣λ)b 2 ＝(λ﹣λ2＋1)×2﹣4λ﹣4(1﹣λ) ＝﹣2λ2＋2λ﹣2＝﹣32.即(2λ﹣1)2＝0，∴λ＝12.8.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y ﹣2＝0与圆(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ).A ．[11B ．(﹣∞，1∪[1∞)C ．[2﹣2＋D ．(﹣∞，2﹣∪[2＋∞) D 直线与圆相切，1，∴|m ＋n| 即：mn ＝m ＋n ＋1，设m ＋n ＝t ，则mn ≤2m n 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2t 4，∴t ＋1≤2t 4，∴t 2﹣4t ﹣4≥0，解得：t ≤2﹣t ≥2＋9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校.18 9 共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：30×150250＝18所，中学中应抽取：30×75250＝9所.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为__________m 3.18＋9π 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6m ，3m ，1m 的长方体，底部为两个直径为3m 的球.∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×43π×332⎛⎫ ⎪⎝⎭＝18＋9π(m 3).11.已知集合A ＝{x ||x 2|3}R ∈+<，集合B ＝{x |(x m)(x 2)0}R ∈--<，且A ∩B ＝(﹣1，n )，则m ＝__________，n ＝__________.﹣1 1 A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，∴|x ＋2|<3.∴﹣3<x ＋2<3，∴﹣5<x<1.又∵B ＝{x ∈R|(x ﹣m )(x ﹣2)<0}，且A ∩B ＝(﹣1，n )，∴﹣1是方程(x ﹣m)(x ﹣2)＝0的根，n 是区间(﹣5，1)的右端点， ∴m ＝﹣1，n ＝1.12.已知抛物线的参数方程为2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，其中p>0，焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M 的横坐标是3，则p ＝__________.2 由参数方程2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，p>0，可得曲线方程为：y 2＝2px(p>0). ∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为﹣p 2，M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为：p322-，与F 的横坐标p 2相同， ∴p322-＝p 2，∴p ＝2.13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为__________.43在圆中，由相交弦定理：AF·FB ＝EF·FC ， ∴FC ＝AF?FB EF＝2，由三角形相似，FC BD ＝AF AB，∴BD ＝FC?AB AF＝83.由切割弦定理：DB 2＝DC·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649.∴DC ＝43.14.已知函数y ＝2|x 1|x 1--的图象与函数y ＝kx ﹣2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________.(0，1)∪(1，4) y ＝2|x 1|x 1--＝|x 1||x 1|x 1+--＝x 1,x 1,-|x 1|,x 1,+>⎧⎨+<⎩ 函数y ＝kx ﹣2过定点(0，﹣2)，由数形结合：k AB <k<1或1<k<k AC ， ∴0<k<1或1<k<4.15.已知函数f(x)＝sin 2x 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 2x 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2cos 2x ﹣1，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解：(1)f(x)＝sin 2x·cos 3π＋cos 2x·sin 3π＋sin 2x·cos 3π﹣cos 2x·sin 3π＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x 2x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以，f(x)的最小正周期T ＝22π＝π.(2)因为f(x)在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，又f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝﹣1，f 8π⎛⎫ ⎪⎝⎭f4π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，故函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1.16.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P(A i )＝i4ii 41233C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)＝22241233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P(B)＝P(A 3)＋P(A 4)＝3341233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋44413C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A 2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A 0)＋P(A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.17.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD;(2)求二面角A ﹣PC ﹣D 的正弦值;(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长. 解法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B(﹣12，12，0)，P(0，0，2).(1)证明：易得PC ＝(0，1，﹣2)，AD ＝(2，0，0)，于是PC ·AD ＝0，所以PC ⊥AD ．(2)PC ＝(0，1，﹣2)，CD ＝(2，﹣1，0). 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n?0,n?0,PC CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即y 2z 0,2x y 0.-=⎧⎨-=⎩不妨令z ＝1，可得n ＝(1，2，1).可取平面P AC 的法向量m ＝(1，0，0). 于是cos <m ，n>＝m?n |m||n |从而sin <m ，n>所以二面角A ﹣PC ﹣D(3)设点E 的坐标为(0，0，h)，其中h ∈[0，2]，由此得BE ＝11,-,h 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由CD ＝(2，﹣1，0)，故 cos <BE ，CD >＝BE?CD |BE||CD |＝3cos 30h，即AE .解法二：(1)证明：由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，PA∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ．又PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD ．(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH.由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH.因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角. 在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH由(1)知AD ⊥AH ，故在Rt △DAH中，DH.因此sin ∠AHD ＝AD DH所以二面角A ﹣PC ﹣D(3)如图，因为∠ADC<45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF.故∠EBF或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角.由于BF ∥CD ，故∠AFB ＝∠ADC ．在Rt △DAC 中，CD sin ∠ADCsin ∠AFB在△AFB 中，由BFFAB sin ∠＝AB AFB sin ∠，AB sin ∠FAB ＝sin 135BF 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2﹣2AB·AF·cos ∠FAB ，可得AF ＝12.设AE ＝h.在Rt △EAF 中，EF在Rt △BAE 中，BE在△EBF 中，因为EF<BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得cos 30°＝222BE BF EF 2BE?BF+-.可解得h .所以AE .18.已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4﹣b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n ＝a n b 1＋a n ﹣1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明T n ＋12＝﹣2a n ＋10b n (n ∈N *).(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6D ．由条件，得方程组3323d 2q 27,86d 2q 10.⎧++=⎨+-=⎩解得d 3,q 2.=⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n ﹣1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：(方法一)由(1)得T n ＝2a n ＋22a n ﹣1＋23a n ﹣2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n ﹣1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.② 由②﹣①，得T n ＝﹣2(3n ﹣1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝n 112(12)12---＋2n ＋2﹣6n ＋2＝10×2n ﹣6n ﹣10. 而﹣2a n ＋10b n ﹣12＝﹣2(3n ﹣1)＋10×2n ﹣12＝10×2n ﹣6n ﹣10，故 T n ＋12＝﹣2a n ＋10b n ，n ∈N *. (方法二：数学归纳法)①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，﹣2a 1＋10b 1＝16，故等式成立;②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝﹣2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有： T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k ﹣1b 3＋…＋a 1b k ＋1 ＝a k ＋1b 1＋q(a k b 1＋a k ﹣1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q(﹣2a k ＋10b k ﹣12) ＝2a k ＋1﹣4(a k ＋1﹣3)＋10b k ＋1﹣24 ＝﹣2a k ＋1＋10b k ＋1﹣12，即T k ＋1＋12＝﹣2a k ＋1＋10b k ＋1，因此n ＝k ＋1时等式也成立.由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝﹣2a n ＋10b n 成立.19.设椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为﹣12，求椭圆的离心率;(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP 的斜率k 满足(1)解：设点P 的坐标为(x 0，y 0).由题意，有202x a ＋202y b＝1① 由A(﹣a ，0)，B(a ，0)，得k AP ＝00y x a+，k BP ＝00y x a-.由k AP ·k BP ＝﹣12，可得20x ＝a 2﹣220y ，代入①并整理得(a 2﹣2b 2)20y ＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝222a b a -＝12，所以椭圆的离心率e(2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0).由条件得00220022y kx ,x y 1,ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0并整理得20x ＝22222a b k a b +.② 由|AP|＝|OA|，A(﹣a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a)2＋k 220x ＝a 2.整理得(1＋k 2)20x ＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝22a 1k -+，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋4.由a>b>0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3.所以(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有202x a ＋2202k x b ＝1.因为a>b>0，kx 0≠0，所以202x a ＋2202k x a <1，即(1＋k 2)20x <a 2.③ 由|AP|＝|OA|，A(﹣a ，0)，得(x 0＋a)2＋k 220x ＝a 2，整理得(1＋k 2)20x ＋2ax 0＝0，于是x 0＝22a 1k -+.代入③，得(1＋k 2)2224a (1k )+<a 2，解得k 2>3，所以20.已知函数f(x)＝x ﹣ln (x ＋a)的最小值为0，其中a>0. (1)求a 的值;(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx 2成立，求实数k 的最小值;(3)证明ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1)<2(n ∈N *).(1)解：f(x)的定义域为(﹣a ，＋∞).f'(x)＝1﹣1x a+＝x a 1x a+-+.由f'(x)＝0，得x ＝1﹣a>﹣A ．当x 变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)在x ＝1﹣a 处取得最小值，故由题意f(1﹣a)＝1﹣a ＝0，所以a ＝1.(2)解：当k ≤0时，取x ＝1，有f(1)＝1﹣ln 2>0，故k ≤0不合题意.当k>0时，令g(x)＝f(x)﹣kx 2，即g(x)＝x ﹣ln (x ＋1)﹣kx 2.g'(x)＝x x 1+﹣2kx ＝x[2kx-(12k)]x 1--+.令g'(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12k 2k->﹣1.①当k ≥12时，12k 2k-≤0，g'(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立，故k ≥12符合题意.②当0<k<12时，12k 2k->0，对于x ∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，g'(x)>0，故g(x)在12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.因此当取x 0∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，g(x 0)>g(0)＝0，即f(x 0)≤k 20x 不成立. 故0<k<12不合题意.综上，k 的最小值为12.(3)证明：当n ＝1时，不等式左边＝2﹣ln 3<2＝右边，所以不等式成立.当n ≥2时，n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭＝n i 1221212i 1ln i =⎡⎤⎛⎫∑-+ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ ＝ni 122i 1=∑-﹣n i 1=∑[ln (2i ＋1)﹣ln (2i ﹣1)] ＝ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1). 在(2)中取k ＝12，得f(x)≤2x 2(x ≥0)，从而f 2222i 1(2i 1)⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭<2(2i 3)(2i 1)--(i ∈N *，i ≥2)，所以有ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1)＝n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭＝f(2)＋n i 22f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭<2﹣ln 3＋ni 22(2i 3)(2i 1)=∑-- ＝2﹣ln 3＋n i 2112i 32i 1=⎛⎫∑-⎪--⎝⎭＝2﹣ln 3＋1﹣12n 1-<2.综上，ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1)<2，n ∈N *.。