第1章 逻辑代数基础

这种奇偶校验只能发现错误，但不能确定是哪一位出错，而且只能发现代码的 1位出错，不能发现2位或更多位出错。但由于其实现起来容易，信息传送效率也 高，而且由于2位或2位以上出错的几率相当小，所以奇偶校验码用来检测代码在 传送过程中的出错是相当有效的，被广泛应用于数字系统中。 奇偶校验码只能发现1位出错，但不能定位错误，因而也就不能纠错。汉明校验 码就是一种既能发现又能定位错误的可靠性编码，汉明校验的基础是奇偶校验， 可以看成是多重的奇偶校验码。
小数部分 0.125 × 2 0.250 × 2 0.500 × 2 1.0
整数
0 0
(自上而下读数)
1
所以有：（21.125）10 = （10101.001）2 （3）二进制数与十六进制数之间的相互转换
因为16是2的整次幂（16 = 24），因此，只要 将每位十六进制数分别用四位二进制数表示， 即可完成十六进制数向二进制数的转换；相反， 从最低位（整数）开始，每4位二进制数为一组， 依次用十六进制数表示，即可完成二进制数向 十六进制数的转换。
与模拟电路相比，数字电路具有以下几方 面的特点： （1）研究电路输入与输出信号间的因果关系， 也称逻辑关系； （2）用0和1两个数字符号分别表示数字信 号的两个离散状态，反映在电路上，通常 是高电平和低电平； （3）电路中的半导体器件一般工作在开（导 通）、关（截止）状态，对于半导体三极 管，不是工作在截止状态就是工作在饱和 状态； （4）研究数字电路的主要任务是进行逻辑分 析和设计，运用的数学工具是逻辑代数
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i
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i
(1.2)
例1.1 将二进制数101.11转换为十进制数。 解： （101.11）2 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×21 =（5.5）10 3. 十六进制（Hexadecimal） 十六进制数采用十六个数码，而且“逢十六进一”。这十六 个数码是0～9、A（对应于十进制数中的10），B（11）， C（12），D（13），E（14），F（15）。它是以十六为 基数的计数体制。 仿照式（1.1），十六进制数可表示为：
第1章
1.1
逻辑代数基础
概述 1.2 数制 1.3 码制 1.4 逻辑代数及其基本运算 1.5 逻辑函数的表示方法及其相互转换 1.6 逻辑代数的基本公式、定律和规则 1.7 逻辑函数的化简 本章小结
1.1 概述
与模拟信号不同，数字电路工作信号的 变化规律在时间上是不连续的，总是发生 在一系列离散信号的瞬间，在数值上它的 增减变化总是某个最基本数量单位的整数 倍。例如， 用一个电子电路记录信号灯闪亮的次数， 信号灯每闪亮一次，就给电子电路一个信 号，记作1，不闪亮时，没给电子电路信号， 记作0。可见，电路工作信号的变化非0即1， 发生在离散信号的瞬间，该电路的数量单 位是一个。
由于格雷码具有以上特点，因此时序电路中采用格雷码编 码时，能防止波形出现“毛刺”，并可提高工作速度。这是因 为，其它编码方法表示的数码，在递增或递减过程中可能发生 多位数码的变化。例如，8421BCD码表示的十进制数，从7 （0111）递增到8（1000）时，4位数码均发生了变化。但事 实上数字电路（如计数器）的各位输出不可能完全同时变化， 这样在变化过程中就可能出现其它代码，造成严重错误。如第 1位先变为1，然后再其它位变为0，就会出现从0111变到1111 的错误。而格雷码由于其任何两个代码（包括首尾两个）之间 仅有1位状态不同，所以用格雷码表示的数在递增或递减过程 中不易产生差错。
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ki 10i
(1.1)
其中ki为第i位的系数，可取0，1，2，3…9；10i为第i位的权； 10为进位基数，N为十进制数。 其中ki为第i位的系数，可取0，1，2，3…9；10i为第i位的权； 10为进位基数，N为十进制数。 例如： （505.6）10 = 5×102 + 0×101 + 5×100 + 6×101 2. 二进制（Binary） 二进制ຫໍສະໝຸດ Baidu中只有0、1两个数字符号，所以进位原则是 “逢二进一”，各位的权为2i，ki为第i位的系数，设某二 进制数有n位整数，m位小数，则任何一个二进制数均可表 示为：
由表1.2可以看出循环码有以下特点： （1）相邻代码之间仅有一位取值不同； （2）每一位二进制码无固定的权值，属无权 码；
1.3.2 可靠性编码 代码在产生和传输过程中，难免发生错误，为减少错误发 生，或者在发生错误时能迅速地发现和纠正，在工程应用中 普遍采用了可靠性编码。利用该技术编出的代码叫可靠性代 码，格雷码和奇偶校验码是其中最常用的两种。 1. 格雷码 格雷码有多种编码形式，但所有格雷码都有两个显著的特 点：一是相邻性，二是循环性。相邻性是指任意两个相邻的 代码间仅有1位的状态不同；循环性是指首尾的两个代码也具 有相邻性。因此，格雷码也称循环码。表1-3列出了典型的格 雷码与十进制码及二进制码的对于关系。
1.3 码制和常用代码
在数字电路中，常常用一定位数的二进制数码表示不 同的事物或信息，这些数码称为代码。编制代码时要 遵循一定的规则，这些规则叫做码制。 常用的码制有二—十进制码和格雷码。 1. 二—十进制码（BCD码） 二—十进制码又称BCD（Binary Coded Decimal）码， 它是用4位二进制数组成一组 代码表示0～9十个十进制数。由于编制代码时遵循的规 则不同，同是二—十进制代码可有多种不同的码制。 表1.2列出了几种常见的BCD代码。
2. 奇偶校验码 数码在传输、处理过程中，难免发生一些错误，即有的1错 成0，有的0错成1。奇偶校验码是一中能够检验出这种差错的 可靠性编码。 奇偶校验码由信息位和校验位两部分组成，信息位是要传 输的原始信息，校验位是根据规定算法求得并添加在信息位后 的冗余位。奇偶校验码分奇校验和偶校验两种。以奇校验为例， 校验位产生的规则是：若信息位中有奇数个1，校验位为0， 若信息位中有偶数个1，校验位为1。偶校验正好相反。也就 是说，通过调节校验位的0或1使传输出去的代码中1的个数恒 为奇数或偶数。 接收方对收到的加有校验位的代码进行校验。信息位和校 验位中1的个数的奇偶性符合约定的规则，则认为信息没有发 生差错，否则可以确定信息已经出错。 表1-4所列为8421BCD码的奇校验码和偶校验码。
下表列出了数字电路和模拟电路的主要区别
1.2 数制
1.2.1 数制 数制即计数体制，它是按照一定规则表示数值大 小的计数方法。日常生活中最常用的计数体制是十进 制，数字电路中常用的是二进制。 1. 十进制（Decimal） 十进制是我们最常使用的数制。在十进制中，共 有0～9十个数码，所以低位向相邻高位进位原则是 “逢十进一”，故为十进制；同一数字符号在不同的 数位代表的数值不同。设某十进制数有n位整数，m 位小数，则任何十进制数均可表示为：
b. 小数部分：可采用乘2取整法，即用2去乘所要转换的 十进制小数，并得到一个新的小数，然后再用2去乘 这个小数，如此一直进行到小数为0或达到转换所要 求的精度为止。最后取整的顺序与整数部分取余数顺 序正好相反。 例1.3 将（21.125）10转换成二进制 解：整数部分 2 21 余数 2 10 1 2 5 0 2 2 1 （自下而上读数） 2 1 0 0 1
1.3.3 字符码
字符码是对字母、符号等编码的代码。目前使用比较广泛的是ASCII码， 它是美国信息交换标准码（American Standard Code for Information Interchange）的简称。ASCII码用7位二进制数编码，可以表示27（128个） 字符，其中95个可打印字符，33个不可打印和显示的控制字符。如表1-5所 列。 由表可以看出，数字和英文字母都是按顺序排列的，只要知道其中一个 数字或字母的ASCII码，就可以求出其它数字或字母的ASCII码。具体特点为： 数字0～9的ASCII码表示成十六进制数为30H～39H，即任一数字字符的 ASCII码等于该数字值加上+30H；字母的ASCII玛中，小写字母a～z的 ASCII 码表示成十六进制数为61H～7AH，而大写字母A～Z的ASCII码表示成十六 进制数为41H～5AH，同一字母的大小写其ASCII码不同，且小写字母的 ASCII码比大写字母的ASCII码大20H。 为了使用更多的字符，大部分系统采用扩充的ASCII码。扩充ASCII码用8 位二进制数编码。共可表示256（28 = 256）个符号。其中编码范围在 00000000～01111111之间编码所对应的符号与标准ASCII码相同，而 10000000～11111111之间的编码定义了另外128个图形符号。
例1.4 将二进制数(11010111010)2转换成十六 进制数。 解： （110 1011 1010）2 6 B A 故：(11010111010)2 = （6BA）16 例1.5 将十六进制数(5CE)16转换成二进制数。 解： （5 C E） 101 1100 1110 故：(5CE)16 = （10111001110）2
1.4.1 基本逻辑运算
Y= A· B
式中“· ”表示A和B的与运算，读作 “与”，也叫作逻辑乘。在不致引起混淆的 前提下，“· ”可省略。图1.1（b）所示是与 逻辑符号。对于与逻辑关系，变量A、B称作 输入变量，变量Y称作输出变量（或逻辑函 数）。
有时，为了更清晰、全面地描述事物的逻辑关系， 常把条件和结果对应关系的各种可能全部求出 并列出表格，称这种表格为真值表。图1-1（a） 所示与逻辑关系的真值表如表1-7所列。 2. 或运算 图1-2（a）表示一个简单的或逻辑电路，当 开关A和B中至少有一个闭合时,灯泡Y就会亮。由 此可总结出另一种逻辑关系：“当一件事情的几 个 条件中只要有一个条件得到满足，这件事就会发 生”，这种关系称为或逻辑。
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(1.3)
例1.2 将十六进制数4E6转换为十进制数。 解: (4E6)16 = 4×162 + 14×161 + 6×160 = (1254)10 4. 不同进制数的相互转换 (1) 二、十六进制数转换为十进制数 二进制、十六进制数转换成十进制数，只要根据 式（1.2）、（1.3）将它们的各位分别按权展 开，各项相加即可。如例1.1和例1.2所示。 （2）十进制数转换成二进制 a. 整数部分：可采用除2取余法，即用2不断去 除十进制数，直到最后商为0。将所得到的余 数以最后一个余数为最高位，依次排列便得到 相应的二进制数。
1.4 逻辑代数及其基本运算
逻辑代数是一种描述事物因果关系（也称 逻辑关系）的数学方法，又叫布尔（英国 数学家）代数。逻辑代数的基本运算有与、 或、非三种。
1. 与运算 图1-1（a）表示一个简单的与逻辑电路，只有当 开关A和B全部闭合时，灯泡Y才会亮，若有一个或两 个开关断开，灯泡Y都不会亮。从这个电路可以总结 出这样的逻辑关系：“只有当一件事（灯亮）的几个 条件（开关A与B都接通）全部具备时，这件事才发 生”，这种关系称为与逻辑。若用二值逻辑0和1 来表示，设A、B为1表示开关闭合、为0表示开关断开， Y为1表示灯亮、为0表示灯灭（把这一过程称为状态 赋值），则可得到与运算的表达式：
在同上的状态赋值条件下，或运算的表达式和 真值表分别如式（1.6）和表1-8所列。 Y= A + B （1.6） 式中符号“+”表示A和B的或运算，读作或，也 叫作逻辑加。图1-2（b）所示是或逻辑符号 。
3. 非运算 在图8.3（a）所示的开关电路中，当开 关A闭 合时，灯泡Y不亮；只有当开关A断开时，灯泡 Y才会亮。由此可总结出第三种逻辑关系，即 “一件事情的发生是以其相反的条件为依据”。 这种逻辑关系称为非逻辑。非运算的表达式和 真值表分别如式（8.6）和表8.6所列。 （8.6） 上式中，字母上方的“—”表示非运算， 读作非或反。