高中数学人教B版必修二学案：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

合集下载

人教B版高一数学必修二2.1.2《平面直角坐标系中的基本公式》ppt课件

两个坐标的差
即两个变量
Δx=x2－x1 Δy=y2－y1
d x2 y2
两点间的距离公式：
d(p1,p2)= | P1P2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2
特别的：
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2 | P1P2 || y2 y1 |
标系，用坐标表示有关的量。
| AB |2 a2 | CD |2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
坐标法 | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2 代数c2 运算
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 )
-2
B
1
2
3x
| AB || x2 x1 |
问题3：O,A两点间距离公式d(O,A)
|x|
y
A(x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OA | x2 y2
数形结合
一.两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y y2
y1 P1(x1,y1)
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 ) | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | 运A第C算三|结2步果:|把翻BD代译|数2成
因此，平行四边形四条边的平方和等于两几条何对关角系线。
的平方和。
四.中点坐标公式
线段AB中点P的坐标

高中数学人教B版必修2配套课件：2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

第二章 2.1.2
平面直角坐标系中的基本公式
第二章
平面解析几何初步
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
第二章
2.1 2.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
课前自主预习
[ 解析]
(1)∵|AB|＝－7＋32＋22＝ 20，
|BC|＝ 1＋32＋6＋22＝ 80， |AC|＝ 1＋72＋62＝ 100＝10， ∴|AB|2＋|BC|2＝|AC|2， ∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形． (2)∵△ABC为直角三角形，∴其外心为斜边AC的中点，
1－7 6＋0 其坐标为， 2 ，即(－3,3)． 2
第二章
2.1 2.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[正解]
(4,3)或(－2，－1)或(0，－5)
①当(1,1)与(2，－
1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；②当 (1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为 ( － 2 ，－ 1) ；③当 (2 ，－ 1) 与 ( － 1 ，－ 3) 为一条对角线的
.又设C(x0，y0)，则M为AC的中点，
x0＝7 ，∴ y0＝0
.∴C点坐标为(7,0)．
第二章
2.1 2.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[ 点评]
若给出平行四边形 ABCD 四点中三个 A、 B、 C ，
则 D 点是惟一的，如果该题不指出哪三个点，求第四个点坐标，则第四个点坐标不惟一．

高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标

2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。

(完整版)2013新人教B版必修二2.1.2《平面直角坐标系中的基本公式》

则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值.
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，
∵ (| PA| | PB |)min | A' B | 13
即函数y= x2 1 x2 4x 8
的最小值为 13
2y
B(2, 2)
1
A(0, 1)
-1
12
x
O P(x, 0)
由特殊得到一般的结论
1、公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
d(A, B) AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
题型分类举例与练习【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
d(A, B) (4)2 72 65
〖课堂检测1〗
第二步：进行有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
合作探究（二）：中点公式
2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB 的中点，计算公式如下
x x1 x2 2
y y1 y2 2
y
B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1) M(x,y)
x O
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D点的坐标为(x,y).
y D (x,y)
x 2 3 5
则2
2
y2 02
22
解得 x=0 ∴D(0,4)
M
C(5,2)
O
A(-3,0)
x
B(2,-2)
y=4
〖课堂检测3〗 1、求线段AB的中点：（1) A（3，4） , B（-3,2）（2) A (-8,-3) , B (5,-3)

人教高中数学B版必修2 平面直角坐标系中的基本公式精讲精析

第二章直线与方程2·1 平面直角坐标系中的基本公式2·1·1.数轴上的基本公式数轴的定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系.向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量向量的表示：（1）几何法：用有向线段表示有向线段：规定了起点、方向、长度的线段.（2）代数法：用字母表示向量的坐标或数量表示为AB=a向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，可以自由移动.（2）有向线段：起点、大小和方向三个要素，向量的有关概念1.向量的长度（模）：向量的长度表示：表示向量的大小，也叫做的长（或模）.记作 .两个特殊向量：零向量：长度为零的向量（没有确定方向）.表示：0|0|0=，单位向量：长度为1个单位长度的向量.向量的关系与坐标：相等向量：长度相等且方向相同的向量.表示：AB=CD或ba=等长同向依轴上点的坐标定义.OB= x2,OA= x1，有：对数轴上任意三点A,B,C,都具有关系：2·1·2.平面直角坐标系中的基本公式两点的距离公式：在数轴上，设点A的坐标为，点B的坐标为，则AB=－.1x2x2x1x,,AB||a a||a数轴上两点A，B的距离为d（A，B）==计算A，B两点之间的距离公式d（A，B）==初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值. 现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离.如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，QP2＝N1N2＝｜y2－y1｜.由勾股定理，可得P1P2＝P1Q2＋QP2＝｜x2－x1｜2＋｜y2－y1｜2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2由此得到平面内P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式中点公式：已知A(x1,y1)、B（x2,y2）,设点M(x,y)是线段AB的中点.过点A、B、M分别向x轴、y轴座垂线AA1、AA2，BB1、BB2，MM1、MM2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1),B1(x2，0)、B2(0,y2),M1(x,0)、M2(0,y).因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，则 A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以 x-x1=x2-x,y-y1=y2-y.即222121yyyxxx+=+=，这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.1. 求平面上两点A（1，-2），B（3，5）之间的距离.【解析】()()53251322=++-=AB2.有一线段AB，它的中点坐标是（4，2），端点A坐标是（-2，3），求另一端点的坐标.AB12xx-),(11yx),(22yxAB212212)()(yyxx-+-【解析】设另一端点B坐标为()y x,，由中点坐标公式可知232,224yx+=+-=解之得1,10= =yx所以端点坐标为()1,10.。

人教B版高中数学必修二第二章2.1+平面直角坐标系中的基本公式+(人教实验B版).docx

达捷致2.1鑫达捷
达捷致平鑫达捷
达捷致面鑫达捷
达捷致直鑫达捷
达捷致角鑫达捷
达捷致坐鑫达捷
达捷致标鑫达捷
达捷致系鑫达捷
达捷致中鑫达捷
达捷致的鑫达捷
达捷致基鑫达捷
达捷致本鑫达捷
达捷致公鑫达捷
达捷致式鑫达捷
达捷致（鑫达捷
达捷致人鑫达捷
达捷致教鑫达捷
达捷致实鑫达捷
达捷致验B 鑫达捷
达捷致版鑫达捷
达捷致必鑫达捷
达捷致
修2）鑫达捷
达捷致鑫达捷
达捷致一、鑫达捷
达捷致
选鑫达捷
达捷致
择鑫达捷
达捷致
题鑫达捷
达捷致
（鑫达捷
达捷致
本鑫达捷
达捷致
题鑫达捷
达捷致
包鑫达捷
达捷致
括鑫达捷
达捷致
1鑫达捷
达捷致
0鑫达捷
达捷致
小鑫达捷
达捷致
题鑫达捷
达捷致
，鑫达捷
达捷致
每鑫达捷
达捷致
小鑫达捷
达捷致
题鑫达捷
达捷致
给鑫达捷
达捷致
出鑫达捷
达捷致
的鑫达捷
达捷致
四鑫达捷
达捷致
个鑫达捷
达捷致
选鑫达捷
达捷致
项鑫达捷
达捷致
中鑫达捷。

2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式

思考：
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请问在一个电影院里如何确定你的位置？飞行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第二章用数字或其符号来
平确定一个点或一个
面解析
物体位置的方法叫坐标方法。相关的
知识点二位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几符号和数称为点的
何坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，

人教B版高中数学必修二第二章2.1.2.docx

高中数学学习材料唐玲出品2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会坐标法的思想．1．若平面上两点A 、B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离公式为d (A ，B)＝|AB|＝____________________________________________________________．特别地，原点O(0,0)与任一点A(x ，y)的距离为d (O ，A)＝__________．2．中点公式设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)为A 线段AB 中点，则x ＝________，y ＝________．一、选择题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．已知线段AB 的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x ＋y 等于( )A ．5B ．－1C ．1D ．－53．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定4．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．2105．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝56．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．⎝⎛⎭⎫225，0 D ．⎝⎛⎭⎫0，225 二、填空题7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x ，y)到原点的距离是________．8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．9．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为_________________________________________________________________．三、解答题10．已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐标．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式答案知识梳理1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 22．x 1＋x 22 y 1＋y 22作业设计1．A [由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8．]2．D 3．B4．C [设A(a,0)，B(0，b)，则a 2＝2，b 2＝－1，解得a ＝4，b ＝－2，∴|AB|＝25．]5．B [设到A 、B 距离相等的点P(x ，y)，则由|PA|＝|PB|得，4x －2y ＝5．]6．B[(如图) A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 坐标为(1,0)．]7．17解析由题意知⎩⎨⎧ 1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴d ＝42＋12＝17．8．(2,10)或(－10,10)解析设M(x ，y)，则|y|＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10．9．2 6解析 |BD|＝12|BC|＝2，|AD|＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB|＝22＋(25)2＝26．10．(1)证明 |AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°．(2)解因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为(6＋02，1－72)，即(3，－3)． 11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m ，n)，则|AB|＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE|＝c ＋m 2－m 2＝c 2，所以|DE|＝12|AB|．即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA ′|＋|PB|≥|A ′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得|A ′B|＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝2，|AB|＋|AD|≥|BD|＝2，∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。

高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案新人教B版必修2

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式示范教案整体设计教学分析教材首先把数轴上的基本公式、距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，再把二维的问题转化为一维问题来处理．等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题．应向学生指出，中点公式是中心对称的坐标表示，应多做练习，让学生掌握中点公式的应用．这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题．通过直线上的距离公式，求解含绝对值符号的方程．新课标只要求学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出即可，而且，这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义．不妨在学习椭圆方程和双曲线方程时重温此题．如果点在坐标平面上，让学生写出点的轨迹方程．值得注意的是对于平面内两点间距离公式的教学，第一，应向学生指出，距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；第二，贯彻算法思想(机械化计算)．这是按步骤计算(一点都马虎不得)，是学好数学的基本功.三维目标1．掌握平面内两点间距离公式和中点公式，提高学生推理和类比能力．2．能够利用平面内两点间距离公式和中点公式解决有关问题；掌握坐标法解决几何问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：平面内两点间距离公式和中点公式及其应用．教学难点：平面内两点间距离公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.上一节我们学习了直线坐标系中的两点间距离公式，本节我们把这个公式推广到平面直角坐标系中，教师点出课题．设计2.已知平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离|AB|呢？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)回顾平面直角坐标系中点的坐标的意义．(2)已知点A(x，y)，试求d(O，A)．(3)如何求任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的距离呢？(4)已知两点的坐标，用两点距离公式计算两点之间的距离，写出步骤．(5)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，试推导中点公式．讨论结果：(1)在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系．如下图所示，有序数对(x，y)与点P对应，这时(x，y)称作点P的坐标，并记为P(x，y)，x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标．(2)如下图所示．从点A(x，y)作x轴的垂线段AA1，垂足为A1，这时，同学们只要想到勾股定理，会马上写出计算d(O，A)的公式：d(O，A)＝x2＋y2.(3)如下图所示，从点A和点B分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2和BB1、BB2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1)、B1(x2,0)、B2(0，y2)．其中直线BB1和AA2相交于点C.在直角△ACB中，|AC|＝|A1B1|＝|x2－x1|，|BC|＝|A2B2|＝|y2－y1|.由勾股定理，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到计算A(x1，y1)、B(x2，y2)两点的距离公式：d(A，B)＝2－x12＋2－y12.(4)步骤是：①给两点的坐标赋值：x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？；②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1；③计算d＝Δx2＋Δy2；④给出两点的距离d.通过以上步骤，对任意两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离．(5)如下图所示：过点A、B、M分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2、BB1、BB2、MM1、MM2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1)，B1(x2,0)、B2(0，y2)，M1(x,0)、M2(0，y)．因为M 是线段AB 的中点，所以点M 1和点M 2分别是A 1B 1和A 2B 2的中点，则A 1M 1＝M 1B 1，A 2M 2＝M 2B 2.所以x －x 1＝x 2－x ，y －y 1＝y 2－y ，即x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．应用示例思路1例1已知A(2，－4)，B(－2,3)，求d(A ，B)．解：x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝－4，y 2＝3，Δx ＝x 2－x 1＝－2－2＝－4，Δy ＝y 2－y 1＝3－(－4)＝7，d(A ，B)＝Δx 2＋Δy 2＝－2＋72＝65.变式训练1．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b 等于( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－3解析：由题意，得＋2＋－2＝5，解得b ＝－3或5.答案：C2．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证△AB C 是等腰三角形．证明：因为d(A ，B)＝－2＋－2＝8，d(A ，C)＝－2＋－2＝42＋－2＝20，d(B ，C)＝－2＋－2＝22＋－2＝20，所以|AC|＝|BC|.又A 、B 、C 不共线，所以△ABC 是等腰三角形．例2已知ABCD ，求证：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．分析：如果在ABCD 所在的平面上建立直角坐标系，写出点A 、B 、C 、D 的坐标，则由距离公式就能证明题中结论是否成立，由于点的坐标与坐标系有关，所以我们建立的坐标系，要尽量使点的坐标容易表示出来．证明：取A 为坐标原点、AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系xOy.如下图依据平行四边形的性质可设点A 、B 、C 、D 的坐标为A(0,0)，B(a,0)，C(b ，c)，D(b－a ，c)．所以AB 2＝a 2，AD 2＝(b －a)2＋c 2，AC 2＝b 2＋c 2，BD 2＝(b －2a)2＋c 2.得AC 2＋BD 2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab)，AB 2＋AD 2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，所以AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．点评：本例证明了一个重要的定理：平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和．从中我们看到，几何问题可以转化为代数问题，通过一步步地计算来解决．这种解决问题的方法叫做坐标法，同学们在整章的学习中，都将体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力．变式训练已知：△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(与B ，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．证明：作AO⊥BC，垂足为O.以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如下图．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b)(c －d)，即－(d －b)(b ＋d)＝(d －b)(c －d)，又d －b≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c.所以|AB|＝|AC|，所以，△ABC 为等腰三角形．思路2例3已知的三个顶点A(－3,0)，B(2，－2)，C(5,2)，求顶点D 的坐标(如下图)．解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同，设点D 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋22＝－3＋52＝1，y －22＝0＋22＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4所以点D 的坐标为(0,4)．变式训练1．已知平行四边形ABCD 的三个顶点是A(3，－2)，B(5,2)，C(－1,4)，求它的第四个顶点D 的坐标．分析：由于平行四边形是中心对称图形，利用中点坐标公式即可求得D 点的坐标．解：∵对角线AC ，BD 互相平分，∴AC，BD 的中点重合．设第四个顶点为D 1(x 1，y 1)，由中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋52＝3－12，y 1＋22＝4－22.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－3，y 1＝0.即点D的坐标为(－3,0)．2．点P(x ，y)满足：－2＋－2＋－2＋－2＝－2＋－2，那么点P 的轨迹形状为______．解析：设A(1,2)，B(3,4)，则有|PA|＋|PB|＝|AB|，所以点P 的轨迹是线段AB ，故填线段．答案：线段3．点A(a ，b)关于点M(m ，n)的对称点的坐标是______．解析：设点A(a ，b)关于点M(m ，n)的对称点为A′(x，y)，则x ＋a ＝2m ，y ＋b ＝2n ，整理，得x ＝2m －a ，y ＝2n －b.答案：(2m －a,2n －b)知能训练1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形答案：B2．已知点A(－1,3)，B(2,4)，点P 在x 轴上，且|PA|＝|PB|，则点P 的坐标是______．解析：设P(x,0)，则＋2＋9＝－2＋16，解得x ＝53. 答案：533．若A(a ，b)，B(b ，a)，则|AB|＝______. 答案：2|a －b|4．判断A(－1，－1)，B(0,1)，C(1,3)三点是否共线，并说明理由．解：|AB|＝－1－2＋－1－2＝5；|BC|＝－2＋－2＝5；|AC|＝－1－2＋－1－2＝25；则|AC|＝|AB|＋|BC|，所以三点共线．5．已知点P(x ，y)，求：①关于y 轴的对称点；②关于x 轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y ＝x 的对称点；⑤关于直线y ＝－x 的对称点．答案：①(－x ，y) ②(x，－y) ③(－x ，－y) ④(y，x) ⑤(－y ，－x) 拓展提升已知点A(2,5)，B(4，－7)，(1)求|PA|＋|PB|的最小值；(2)求||QA|－|QB||的最大值．分析：借助于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别利用对称确定取最小值时点P 和Q 的位置．解：(1)如下图，点A 关于y 轴的对称点是A′(－2,5)，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，由三角形的知识得|PA′|＋|PB|≥|A′B|，又|A′B|＝－2－2＋＋2＝65，即|PA|＋|PB|的最小值是6 5.(2)如下图，点A 关于x 轴的对称点是A″(2，－5)，则||QA|－|QB||＝||QA ″|－|QB||，由三角形的知识得||QA″|－|QB||≤|A″B|，又|A″B|＝－2＋－5＋2＝22，所以||QA|－|QB||的最大值为2 2.课堂小结本节课学习了：平面直角坐标系中的两点间距离公式和中点公式、坐标法及其应用．作业本节练习B 1,2,3题.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、类比、证明，这样更有利于学生掌握知识，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习．备课资料备选习题1．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．证明：建立直角坐标系，如下图，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)设D(a,0)，D(b，c)，则由平行四边形的性质的点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2＝|BC|2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，所以，|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明：如下图取线段BC所在的直线为x轴，点D为原点(O)，建立直角坐标系，设点A的坐标为(b，c)，点C的坐标为(a,0)，则点B的坐标为(－a,0)，可得：|AB|2＝(a－b)2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|OC|2＝a2.所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．点评：上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数结果“翻译”成几何关系．。

人教B版高中数学必修二第二章2.1+平面直角坐标系中的基本公式+(人教实验B版)

三、计算题
15．解：以AB为x轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，
，
，[来源:学科网ZXXK]
，
16．解：（1）设AB的中点为M(x，y)，得线段AB的中点坐标为M(－2，－3)，
AB两点的距离d(A，B)=.
（2）设CD的中点为N(x，y)，得线段CD的中点坐标为N(，)，
C，D两点的距离d(C，D)=.
答题纸
得分：[来源:学科网ZXXK]
一、选择题
题号
1
2
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11．12．13.14.
三、计算题
15.
16.
17.
[来源:Z&xx&]
18.
[来源:]
2.1平面直角坐标系中的基本公式（人教实验B版必修2）[来源:学#科#网Z#X#X#K]
答案
一、选择题
15．用坐标法证明：如果四边形是长方形，则对平面上任意一点，等式成立.
16．求下列两点的距离及线段中点的坐标.
（1）A(－1，－2)，B(－3，－4)；
（2）C(－2，1)，D(5，2).
17．在轴和轴上各求一点，使这点到点和到点的距离相等.
18．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
2.1平面直角坐标系中的基本公式（人教实验B版必修2）
2.以A(1,0)、B(3,1)、C(4,－1)为顶点的三角形一定是（）
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
3.点M(4,3)关于点N(5,－3)的对称点是（）
A.(4,－3)B.

数学知识点新人教B版必修二2.1.2《平面直角坐标系中的基本公式》word学案-总结

课题：2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学习目标：1.掌握两点之间距离公式、中点公式及其应用2.培养归纳推理能力和运算能力3.养成良好的学习习惯重点：两点之间距离公式、中点公式难点：掌握两点之间距离公式、中点公式应用使用说明及学法指导：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。

2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。

3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。

一．教材助读1 直角坐标系2 直角坐标系中两点的距离公式3 中点公式二．预习自测（自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）一、选择题1．直角坐标平面上连结点(－2,5)和点M的线段中点是(1,0)，那么点M坐标为()A．(－4,5)B．(4，－5)C．(4,5) D．(－4，－5)2．以A(1,5)、B(5,1)、C(－9，－9)为顶点的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形3．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是() 我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一．学始于疑---我思考、我收获学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

二．质疑探究---质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究（二）知识综合应用探究例1已知A(2,-4)，B(-2,3)，求d(A,B).规律方法总结：例2已知A(1,2 )，B(3,4)，C(5,0),求证∆ABC是等腰三角形. 规律方法总结：例3已知 ABCD,求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).规律方法总结：例4已知 ABCD的三个顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D的坐标。

三．当堂检测—有效训练、反馈矫正1.(1)求下列各点关于原点的中心对称点。

高中数学人教B版必修二同步教案：平面直角坐标系中的基本公式

第1页共1页人教B 版数学必修2：平面直角坐标系中的基本公式教学目标：1、复习平面直角坐标系.
2、掌握两点之间距离公式、中点公式及其应用
教学重点：掌握两点之间距离公式、中点公式及其应用
教学过程：
（一）1、提问
1）、在X 轴上有A 、B 两点，那么线段AB 的距离是多少？
2）、在Y 轴上有A 、B 两点，那么线段AB 的距离是多少？
3）、如果点A 在X 轴上，点B 在任意位置，怎样求AB 的距离？
4）、如果点A 在Y 轴上，点B 在任意位置，怎样求AB 的距离？
5）、如果点A 、点B 都在任意位置，怎样求AB 的距离？
2、引导学生推出两点间距离公式
3、让学生开阔思维自己列举出实际生活中两点间距离公式的应用
（注：两点间距离公式是一个基础内容，主要应用勾股定理原理和数轴上两点距离公式推出，完全可以引导学生字主学习。

）
（二）1）、在X 轴上有A )0,(1x 、B )0,(2x 两点，那么线段AB 的中点坐标是多少？
2）、在Y 轴上有A ),0(1y 、B ),0(2y 两点，那么线段AB 的中点坐标是多少？
3）、如果点A 在X 轴上，点B 在任意位置，怎样求AB 的中点坐标？
4）、如果点A 在Y 轴上，点B 在任意位置，怎样求AB 的中点坐标？
5）、如果点A 、点B 都在任意位置，怎样求AB 的中点坐标？
(三)例子见课本
课堂练习：教材第78页练习A 、B
小结：（略）
课后作业：教材第79页习题2-1A ：3、4、7、8。

人教B版高中数学必修二《 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式》_1

年级
学科
主题
直角坐标系基本公式
主备教师
课型
新授课
课时
1
时间
导学教师
教学目标
1.理解掌握面直角坐标系中的基本公式：两点间距离公式和中点坐标公式
2.公式的灵活应用。
教学重、
难点
两点间距离公式和中点坐标公式的应用
导学方法
问题引导法
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
导学教师复备
回顾旧知，引出新课
由前面的基础知识得到新内容。
2.公式的灵活应用。
板书设计
平面直角坐标系中的基本公式
一、回顾旧知：
二、新知探索：
三、例题精讲：
例1
例2
四、课堂检测
本课作业
1．若点与点的距离为5，则．
2．若，点是的垂直平分线上一点，则 ___________．
3．若，则 _____．
4．直线上的两点的横坐标分别为，则两点间的距离为____________；直线上的两点的纵坐标分别为，则两点间的距离为．
5．已知点，在轴上找一点使得，并求出的值．
6．已知点与间的距离为，求的值．
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
在实际教学中，因为这几个公式特征很明显，利于学生记忆和应用，所以教学效果还是不错的。但是如果变换了问题情境，部分学生就显得无所适从，放着现成的公式不知如何下手，所以要注意培养学生的分析问题的能力。
[思路探索]利用两点间距离公式，求参数a
解：∵d(A，B)＝7 ，
∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7 )2，
∴a＝10或a＝－4.
引出平面直角坐标系中的距离公式和中点公式等。

高中数学人教B版必修二学案：2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

平面直角坐标系中的基本公式[ 学习目标 ] 1.经过数轴上两点的距离公式的探究,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式 .2.经过对两点的距离公式的推导过程的探究,领会算法 .3.进一步领会“坐标法”的基本思想 ,逐渐学会用“坐标法”解决有关问题.[ 知识链接 ]1.在直角坐标系中,A(1,0), B(3,0) 两点的距离为2；C(0,－ 1),D(0,3)两点的距离为 4.2.在直角三角形ABC 中,B＝ 90°,AB＝ 3,BC ＝4,则 AC＝ 5.[ 预习导引 ]1.两点间距离公式两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A,B)＝x2－ x12＋ y2－ y12；当 AB 垂直于 y 轴时 ,d(A,B)＝|x2－x1 |；当 AB 垂直于 x 轴时 ,d(A,B)＝|y2－y1 |；22当 B 为原点时 ,d(A,B)＝ x1＋ y1.2.坐标法(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时 ,常常在平面上成立坐标系 ,以坐标系为桥梁 ,将几何问题转变为代数问题 ,经过代数运算研究几何图形的性质 ,这类方法称为坐标法 .注意在成立坐标系时 ,能够成立直线坐标系、直角坐标系等.(2)坐标法解决问题的基本步骤以下：第一步 ,依据题中条件 ,成立适合的坐标系 ,用坐标表示有关的量；第二步 ,进行有关代数运算；第三步 ,把代数结果翻译成几何关系 .3.中点坐标公式已知 A(x1,y1),B(x2,y2),设点 M (x,y)是线段 AB 的中点 ,则中点坐标公式为x1＋ x2， y1＋ y2.22重点一两点的距离公式的应用例 1已知△ ABC三个极点的坐标分别为A(－ a,0),B( a,0), C(0, 3a).求证：△ ABC 是等边三角形.证明由两点的距离公式得 |AB |＝ a ＋ a 2＋ 0－ 0 2＝ 2|a|, |BC |＝ 0－ a 2＋ 3a － 0 2＝ 2|a|, |CA |＝0＋ a 2＋ 3a － 0 2＝ 2|a|.∴|AB|＝ |BC|＝ |CA|,故△ABC 是等边三角形 .规律方法1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时 ,若已知点的坐标 ,一般转变为两点的距离求解 .2.依据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等 , 在进行判断时 ,必定要得出最后结果,比方一个三角形是等腰直角三角形,若我们只经过两边长相等判断它是等腰三角形则是不正确的.追踪操练 1 本例若改为：已知A(－ 1,－ 1),B(3,5),C(5,3),试判断△ ABC 的形状 .解 d(A,B)＝ [3 －－ 1 ]2＋ [5－－ 1 ]2＝42＋ 62＝ 52＝2 13,d(A,C)＝[5－－ 1 ] 2＋ [3－－ 1 ] 2＝62＋ 42＝ 52＝2 13,d(B,C)＝5－ 3 2＋ 3－ 5 2＝ 22＋22＝ 8＝ 2 2.因此 |AB|＝ |AC|≠|BC|,且明显三边长不知足勾股定理 ,因此△ABC 为等腰三角形 ,重点二中点公式的应用例 2已知平行四边形 ABCD 的两个极点坐标分别为A(4,2), B(5,7),对角线交点为 E(－ 3,4),求此外两极点 C 、D 的坐标 .解设 C 点坐标为 (x 1,y 1),则由 E 为 AC 的中点得：4＋ x－ 3＝1，2x 1＝－ 10，得设 D 点坐标为 (x 2 22＋ yy ＝ 6.,y ),则由 E 为 BD 的中点得4＝112，－ 3＝ 5＋ x 2，2 x 2＝－ 11，7＋ y得y ＝ 1，4＝22，2故 C 点坐标为 (－ 10,6),D 点坐标为 (－ 11,1).规律方法1.此题是用平行四边形对角线相互均分这一性质 ,依照中点公式列方程组求点的坐标 .2.中点公式常用于求与线段中点 ,三角形的中线 ,平行四边形的对角线等有关的问题 ,解题时一般先依据几何观点 ,提炼出点之间的 “ 中点关系 ”,而后用中点公式列方程或方程组求解.追踪操练 2已知平行四边形 ABCD 的三个极点坐标分别为 A(0,0),B(2,0), D(1,3), 求极点 C 的坐标 .解∵平行四边形的对角线相互均分 ,∴平行四边形对角线的中点坐标同样.设 C 点坐标为 C( x,y),则0＋ x 2＋ 1 32 ＝2 ＝2， 0＋ y 0＋3 32 ＝2 ＝ 2， x ＝3，∴即 C(3,3).y ＝ 3.重点三坐标法的应用例 3已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求一点P,使 |PA|2＋ |PB|2 ＋ |PC|2 最小 ,并求此最小值 .解以 BC 所在直线为 x 轴 ,BC 的垂直均分线为 y 轴 ,成立直角坐标系如图 .3a则 A 0， 2 a ,B － 2，0 ,C 2， 0a设 P(x,y)则 |PA|2 ＋ |PB |2＋ |PC|2＝ x 2＋ y － 23a 2＋ x ＋a2 2＋ y 2＋ x －a22＋ y 2＝ 3x 2＋3y2－ 3ay ＋ 5a 42＝ 3x 2＋ 3 y － 63a 2＋ a 2≥ a 2,3当且仅当 x ＝0,y ＝ 6 a 时 ,等号成立 ,∴所求最小值为 a 2,此时 P 点坐标为 P 0， 63a是正△ABC 的中心 .规律方法(1)也能够 B 为原点 ,BC 所在直线为x 轴成立直角坐标系 ,计算也不复杂 .(2) 配方法求最值是重要方法 ,应掌握好 .(3) 选择适合坐标系的原则是 “ 避繁就简 ” .追踪操练 3已知△ ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为M,成立适合的直角坐标系 .证明：1AM ＝ 2BC.证明以下图 ,以 Rt △ABC 的直角边 AB 所在直线为x 轴 ,AC 所在直线为 y 轴 ,成立直角坐标系,设 B 、C 两点的坐标分别为(b,0)、 (0,c),b c∵点 M 是 BC 的中点 ,故点 M 的坐标为 2，2 .由两点的距离公式 ,得|BC |＝ 0－ b 2＋ c － 0 2＝b 2＋c 2,|AM |＝b － 0 2＋ c－0 2＝ 1 b 2＋ c 2,2 2 21∴AM ＝ 2BC.1.已知 A(－8,－ 3),B(5,－ 3),则线段 AB 的中点坐标为( )33A. 2，2B. － 2，－ 3C. －3，3 D. 3，－ 322答案 B分析由中点坐标公式能够求得 .2.已知 A(1,2), B(a,6),且 |AB |＝5,则 a 的值为 () A.4 B.－4 或 2 C.－ 2D.－2 或 4答案 D分析a － 1 2＋ 6－ 2 2＝ 5,解得 a ＝－ 2 或 4.3.已知线段 AB 的中点在座标原点 ,且 A(x,2),B(3,y),则 x ＋y 等于 ()A.5B.－ 1C.1D.－ 5答案 D分析易知 x ＝－ 3,y ＝－ 2,∴x ＋ y ＝－ 5.4.以 A(5,5), B(1,4), C(4,1)为极点的三角形是 ()A. 直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案B5.点 A(2,3), B(5,4) 之间的距离为 ________.答案10分析|AB|＝5－2 2＋ 4－3 2＝9＋ 1＝ 10.1.A,B 两点的距离与 A,B 两点的次序没关,即 d(A,B)＝d(B,A).公式中坐标的次序也能够同时调换,即 d(A,B)＝ x 2－ x 1 2＋ y 2－ y 1 2＝x 1－ x 2 2＋ y 1－ y 22.2.在平面直角坐标系内,若已知点 A(x 1,y 1 ),B( x 2,y 2),线段 AB 的中点 M 的坐标为 (x,y), 则有x ＋ x12x ＝2 ，y ＋ y12.y ＝2关于 A,B,M 三点 ,只要知道此中两点的坐标 ,即可求出其他一点的坐标 .3.坐标法应用的注意点：一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系成立在适合的地点上,注意利用图形的几何性质 .(1)要使尽可能多的已知点、直线落在座标轴上；(2)假如图形中有相互垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性 ,可将图形的对称中心作为原点 ,将图形的对称轴作为坐标轴 .事实上 ,成立不一样的直角坐标系 ,有关点的坐标不一样,但不影响最后的结果.。

人教B版高中数学必修二2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式一、选择题1．直角坐标平面上连结点(－2,5)和点M的线段中点是(1,0)，那么点M坐标为() A．(－4,5)B．(4，－5)C．(4,5) D．(－4，－5)[答案] B2．以A(1,5)、B(5,1)、C(－9，－9)为顶点的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形[答案] B[解析]根据两点的距离公式，|AB|＝(1－5)2＋(5－1)2＝42，|AC|＝(1＋9)2＋(5＋9)2＝296，|BC|＝(5＋9)2＋(1＋9)2＝296，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，∴△ABC为等腰三角形．3．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是() A．4 B.13C.15D.17[答案] D[解析]由题意，得－2＋x＝2×1，5－3＝2y，∴x＝4，y＝1，∴|PO|＝42＋12＝17.4．已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC、BC的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标是()A ．(－3，－7)B ．(－3，－7)或(2，－5)C ．(3，－5)D ．(2，－7)或(－3，－5)[答案] D[解析] 设C (x ，y )，显然AC 、BC 的中点不同在一条坐标轴上．若AC 的中点在x 轴上，BC 中点在y 轴上，则有y ＋7＝0，－2＋x ＝0，即C (2，－7)；若AC 中点在y 轴上，BC 中点在x 轴上，则有3＋x ＝0,5＋y ＝0，即C (－3，－5)．5．设A (3,4)，在x 轴上有一点P (x,0)，使得|P A |＝5，则x 等于( )A ．0B ．6C ．0或6D ．0或－6 [答案] C[解析] 由|P A |＝5，得(x －3)2＋(0－4)2＝25，解得x ＝6或x ＝0.6．已知菱形的三个顶点分别为(a ，b )、(－b ，a )、(0,0)，则它的第四个顶点是( )A ．(2a ，b )B ．(a －b ，a ＋b )C ．(a ＋b ，b －a )D ．(a －b ，b －a )[答案] B[解析] 令A (a ，b )、B (－b ，a )、C (0,0)，因为三条线段AB 、AC 、BC 中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC |＝|BC |＝a 2＋b 2，得AB为对角线．设D (x 0，y 0)，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧ a －b 2＝x 0＋02b ＋a 2＝y 0＋02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a －b y 0＝a ＋b . 7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB ＝60km ，AE ＝CD ＝30km ，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P 1、P 2、P 3、P 4是AC 的五等分点，则转播台应建在()A ．P 1处B ．P 2处C ．P 3处D ．P 4处[答案] A [解析] 以AB 为x 轴，AE 为y 轴建立直角坐标系，则A (0,0)、B (60,0)、C (30,30)、D (30,60)、E (0,30)，设点P (x ，y )，则f (x ，y )＝|AP |2＋|BP |2＋|CP |2＋|DP |2＋|EP |2＝x 2＋y 2＋(x －60)2＋y 2＋(x －30)2＋(y －30)2＋(x －30)2＋(y －60)2＋x 2＋(y －30)2＝5x 2＋5y 2－240x ＋240y ＋10800＝5(x －24)2＋5(y －24)2＋5040.当x ＝y ＝24时，f (x ，y )有最小值，此时点P 的坐标为(24,24)，与点P 1重合．故选A.8．已知点P 1(3，－5)，P 2(－1，－2)，在直线P 1P 2上有一点P ，且|P 1P |＝15，则P 点坐标为( )A ．(－9，－4)B ．(－14,15)C ．(－9,4)或(15，－14)D ．(－9,4)或(－14,15)[答案] C[解析] 由已知得点P 在P 1P 2的延长线上或P 2P 1的延长线上，故有两解，排除选项A 、B ，选项C 、D 中有共同点(－9,4)，只需验证另外一点P 是否适合|P 1P |＝15.若P (15，－14)，则|P 1P |＝(15－3)2＋(－14＋5)2＝122＋92＝15，故选C.二、填空题9．设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M (－1，2)，则|PQ |等于__________．[答案] 2 5[解析] 设P (a,0)，Q (0，b )，由中点坐标公式得⎩⎨⎧ a ＋02＝－10＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4， ∴|PQ |＝a 2＋b 2＝20＝2 5.10．已知△ABC 的三个顶点A (－2，－1)、B (1,3)、C (2,2)，则△ABC 的重心坐标为__________．[答案] ⎝⎛⎭⎫13，4311．已知△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点分别为P (3，－2)、Q (1,6)、R (－4,2)，则顶点A 的坐标为________．[答案] (－2，－6)[解析] 设A (x 0，y 0)，则由P 是AB 的中点得B (6－x 0，－4－y 0)．由Q 是BC 的中点得C (x 0－4,16＋y 0)．∵R 是CA 的中点，∴－4＝x 0＋x 0－42，2＝y 0＋16＋y 02，∵x 0＝－2，y 0＝－6，∴A (－2，－6)．三、解答题12．已知平行四边形的三个顶点A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求第四个顶点D 的坐标．[解析] 若构成的平行四边形为ABCD 1，即AC 为一条对角线，设D 1(x ，y )，则由AC 中点⎝⎛⎭⎫12，52也是BD 1中点，∴D 1(2,2)．同理可得，以AB 为对角线的平行四边形ACBD 2，则D 2(－6,0)；以BC 为对角线的平行四边形ACD 3B ，则D 3(4,6)，∴第四个顶点D 的坐标为：(2,2)或(－6,0)或(4,6)．13．求证：A (2，－5)、B (6,1)、C (5，－12)不能成为三角形的三个顶点． [解析] 由|AB |＝213，|AC |＝3132，|BC |＝132满足|BC |＋|AC |＝|AB |，故A 、B 、C 三点在同一条直线上，构不成三角形．14．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．[解析] 以两条对角线的交点为原点O 、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系．(如图所示)设A (－a,0)，B (0，－b )，C (c,0)，D (0，d )，则CD 的中点E ⎝⎛⎭⎫c 2，d 2，AB 的中点H ⎝⎛⎭⎫－a 2，－b 2，又圆心G 到四个顶点的距离相等，故圆心G 的横坐标等于AC 中点的横坐标，圆心G 的纵坐标等于BD 中点的纵坐标，即圆心G ⎝⎛⎭⎫c －a 2，d －b 2，∴|OE |2＝c 2＋d 24，|GH|2＝c2＋d24，∴|OE|＝|GH|，结论成立．15．已知三角形ABC的顶点A(－7,0)、B(2，－3)、C(5,6)．判断此三角形形状，并求其面积．[解析]|AB|＝(2＋7)2＋(－3)2＝310，|BC|＝(5－2)2＋(6＋3)2＝310，|AC|＝(5＋7)2＋62＝65，∴|AB|＝|BC|且|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.∴△ABC为等腰直角三角形．∴S△ABC＝12|AB|·|BC|＝12·310·310＝45.16．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(9)与到点B(－15)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(3)的距离是它到点B(－9)的距离的2倍．[解析](1)设该点为M(x)，根据题意，有d(A，M)＝|x－9|，d(M，B)＝|－15－x|，∴|x－9|＝|－15－x|，∴x－9＝15＋x(显然不成立)，或x－9＝－15－x，∴x＝－3.故该点坐标为－3.(2)设该点为N(x)，则d(A，N)＝|x－3|，d(N，B)＝|－9－x|，根据题意有|x－3|＝2|9＋x|，∴x－3＝18＋2x，或x－3＝－18－2x.解得x＝－21，或x＝－5.故该点坐标是－21或－5.。

人教B版高中数学必修2教学案：2.1.2平面直角坐标系中的基本公式(教师版)

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式【学习要求】1．理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．【学法指导】通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．两点间的距离公式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离表示为d(P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2；(x －a )2＋(y －b )2的几何意义是：两点P 1(x ，y)，P 2(a ，b) 的距离．2．中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点M(x ，y)是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道数轴上的两点A 、B 的距离|AB|＝|x A －x B |，那么如果已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，如何求P 1，P 2的距离d(P 1P 2)呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两点间的距离公式问题1 在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有怎样的对应关系？有序实数对(x ，y)与点P 对应时x ，y 分别叫做什么？答：具有一一对应关系．有序实数对(x ，y)与点P 对应时，(x ，y)叫做点P 的坐标．其中x 叫做点P 的横坐标，y 叫做点P 的纵坐标．问题2 在x 轴上，已知点P 1(x 1,0)和P 2(x 2,0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？答： |P 1P 2|＝|x 1－x 2|.问题3 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？答： |P 1P 2|＝|y 1－y 2|.问题4 如图，已知x 轴上一点P 1(x 0,0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？答: |P 1P 2|＝x 20＋y 20.问题5 在平面直角坐标系中，已知点A(x ，y) ，原点O 和点A 的距离d(O ，A)等于什么？答: 如下图，当点A 不在坐标轴上时，从点A(x ，y)作x 轴的垂线段AA1，垂足为A 1，再运用勾股定理得d(O ，A)＝x 2＋y 2 .问题6 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，如何利用上述方法求点P 1和P 2的距离？答: 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，如图，在Rt △P 1QP 2中，由勾股定理知，|P 1P 2|2＝|P 1Q|2＋|QP 2|2，所以d(P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.小结:两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式d(P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝2－x 12＋2－y 12. 例1 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC 是等腰三角形．证明: 因为d(A ，B)＝(3－1)2＋(4－2)2＝8， d(A ，C)＝(5－1)2＋(0－2)2＝20， d(C ，B)＝(5－3)2＋(0－4)2＝20，即|AC|＝|BC|. 又可验证A ，B ，C 不共线，所以△ABC 是等腰三角形．小结:本题是用代数的方法证明几何问题，这就是解析法. 具体来说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．跟踪训练1 已知点A(－3,4)，B(2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d(P ，A)＝d(P ，B)，并求出d(P ，A)．解: 设P(x,0)，由题意得d(P ，A)＝(x ＋3)2＋(0－4)2＝x 2＋6x ＋25， d(P ，B)＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7 由d(P ，A)＝d(P ，B)，即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95，故P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，0， d(P ，A)＝⎝⎛⎭⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明: 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b ，c)，由平行四边形的性质知点C 的坐标为(a ＋b ，c)，因为|AB|2＝a 2，|CD|2＝a 2，|AD|2＝b 2＋c 2，|BC|2＝b 2＋c 2，|AC|2＝(a ＋b)2＋c 2，|BD|2＝(b －a)2＋c 2. 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．小结: 用解析法证几何题的注意事项：(1)首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；(2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；(3)另外，在证题过程中要不失一般性．跟踪训练2 求函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值．解: ∵函数的解析式可化为y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2.令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在x 轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取最小值．∵A 关于x 轴的对称点为A ′(0，－1)，∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A ′B|＝(2－0)2＋(2＋1)2＝4＋9＝13.即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值为13.探究点二中点公式问题已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)是线段AB 的中点，如何用A ，B 点的坐标表示M 点的坐标？答: 如图，过点A ，B ，M 分别向x 轴，y 轴作垂线AA 1，AA 2，BB 1，BB 2，MM 1，MM 2，垂足分别为A 1(x 1，0)，A 2(0，y 1)，B 1(x 2，0)，B 2(0，y 2)，M 1(x,0)，M 2(0，y)．因为M 是线段AB 的中点，所以点M 1和点M 2分别是A 1B 1和A 2B 2的中点，即A 1M 1＝M 1B 1，A 2M 2＝M 2B 2.所以x －x 1＝x 2－x ，y －y 1＝y 2－y. 即x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．例3 已知▱ABCD 的三个顶点A(－3,0)，B(2，－2)，C(5,2)，求顶点D 的坐标(如图所示)．解: 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－3＋52＝1y －22＝0＋22＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝4.所以点D 的坐标为(0,4)，小结: 利用解析法解决几何中的问题，要充分利用几何性质．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．证明: 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C(0,0)．设A(a,0)，B(0，b)，则斜边的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2. |OM|＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM|＝a 24＋⎝⎛⎭⎫b 2－b 2＝12a 2＋b 2， |MA|＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋b 24＝12a 2＋b 2. |MA|＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋b 24＝12a 2＋b 2. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A ，B)等于( ) A ．5 2 B ．513 C ．517 D ．5 5 解析: d(A ，B)＝(2＋3)2＋(15－5)2 ＝52＋102＝5 5. 2．已知两点A(a ，b)，B(c ，d)，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则 ( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．结论都不正确解析: 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，得：a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即d(O ，A)＝d(O ，B)．所以A 、B 到原点O 的距离相等，故选项A 、B 、C 都错，故选D.3．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D 的坐标．解: 分以下三种情况(如图所示)．(1)构成▱ABCD 1(以AC 为对角线)．设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x 12，52＝3＋y 12.∴x 1＝2，y 1＝2，即D 1(2,2)．(2)以BC 为对角线构成▱ACD 2B ，同理得D 2(4,6)．(3)以AB 为对角线构成▱ACBD 3，同理得D 3(－6,0)．课堂小结：1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．。