机械动力学振动(二)
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
大学物理学 机械振动
大学物理学中的机械振动是指物体在受到外力作用后，产生周期性的来回振动运动的现象。
以下是关于机械振动的一些基本概念和内容：
1. 振动的基本特征
-周期性：振动是一个周期性的过程，即物体在围绕平衡位置来回振动。
-频率：振动的频率指的是单位时间内振动的周期数，通常用赫兹（Hz）表示。
-振幅：振动的振幅是物体从平衡位置最大偏离的距离。
2. 单自由度振动系统
-弹簧振子：是一种经典的单自由度振动系统，由弹簧和质点组成，受到弹簧的恢复力驱使质点振动。
-简谐振动：在没有阻尼和外力干扰的情况下，弹簧振子的振动是简谐的，即振动周期固定，频率与系统的固有频率相关。
3. 振动的参数和描述
-角频率：振动描述中常用的参数之一，表示振动的快慢程度，与频率之间有一定的关系。
-相位：描述振动状态的参数，表示振动的相对位置或状态。
-能量：振动系统具有动能和势能，能量在振动过程中不断转换，影响着振动的特性。
4. 阻尼振动和受迫振动
-阻尼振动：在振动系统中存在阻尼，会导致振动逐渐减弱，最终趋于稳定。
-受迫振动：当振动系统受到外力周期性作用时，会产生受迫振动，其频率与外力频率相同或有关。
5. 振动的应用
-工程领域：振动理论在工程领域有着广泛的应用，如建筑结构的抗震设计、机械系统的振动分析等。
-科学研究：振动理论也在物理学、工程学、生物学等领域中发挥重要作用，帮助解释和研究各种现象和问题。
以上是关于大学物理学中机械振动的一些基本内容和相关概念，希望能帮助您更好地理解这一领域的知识。
02-振动系统的力学模型及参数
7
基于以上简化及其它假设，最终复杂 结构系统为： 无弹性的质量、无质量的弹簧，以及 纯粹阻尼组成的简单力学模型（系统）。 e.g.汽车车身，前后桥为质量，悬挂及 轮胎为弹簧，所有耗能环节视为阻尼。 形成比较理想的结构振动系统。
哈尔滨工业大学 航天学院
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结构振动系统三元素（件） 机械系统或工程结构之所以产生振动， 是由于系统本身具有质量和弹性，而阻尼 则使振动受到抑制。 从能量的角度：质量存贮动能，弹性 存储势能，阻尼则消耗能量。
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（3）质量元件 质量元件在力学模型中抽象为刚体。根据 Newton 第二定律，当质量上作用有载荷时，力 与加速度存在如下关系：
F m x
m —为刚体质量，单位 kg 。
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单自由度系统 单自由度无阻尼自由振动系统 一个无质量的弹簧和一个无弹性的质 量即组成一个单自由度系统的力学模型。 （如图）该模型的参数为质量和刚度，系 统受到初始扰动后，产生振动，若在相对 较短的时间内研究其振动状态时，可认为 是一种无阻尼的自由振动。
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（2）时不变（TI）系统假设 诸多系统在工作过程是时变的（比如 大型运载火箭）。但为了分析方便，在所 取的分析时段内，对系统作固化处理，从 工程角度视为时不变系统，从面使描述振 动的微分方程简化。 形成LTI线性定常系统 。
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（3）非耦合假设 实际结构系统往往存在耦合现象，因 耦合引起的量值相对于主要分析的量值在 工程容差之内，可视为非耦合系统。从而 大简化分析（当然，专门研究耦合振动的 情况除外）。 大型运载火箭，液体贮箱流固耦合。
机械动力学与振动学讲义_1-2
& 2 = ω 2θ 2 Q Tmax = U max , θ max n max
m
© 2011 by T X WU
4
机械动力学与振动学_1~2
1
n=5
0.5
0 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
n = 10
0.5
0 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
n = 20
0.5
0 -3 -2 -1 0 1 2 3
1-5 本课程内容安排 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 概论 单自由度系统的自由振动 单自由度系统的谐激励强迫振动 单自由度系统的瞬态振动 两自由度系统 分析力学基础 多自由度系统 连续系统 振动控制 机械动力学简介
& &(t ) = −ω 2 A sin(ωt + ϕ ) = −ω 2 x (t ) x
x (t ) = Ae i (ωt +ϕ )
& (t ) = iωAe i (ωt +ϕ ) = iωx (t ) x & &(t ) = −ω 2 Ae i (ωt +ϕ ) = −ω 2 x (t ) x
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势能
U = − mgx +
由能量守恒得 例：单摆
T=
1 1 1 k ( x + Δ ) 2 − kΔ2 = kx 2 2 2 2 1 2 1 2 & + kx T + U = mx 2 2 && & + kxx & = m& & + kx = 0 mx x x
动力学中的机械振动
动力学中的机械振动在物理学中，机械振动是指物体围绕某一平衡位置做周期性的往复运动。
而动力学则是研究物体运动的学科。
本文将探讨动力学中的机械振动以及与之相关的概念、方程和应用。
一、简谐振动简谐振动是指物体在恢复力的作用下，做频率恒定、振幅不断改变的振动。
振动的周期性表现为物体围绕平衡位置做往复运动，在物理学中有着广泛的应用。
1.1 振动的描述简谐振动可以通过以下的数学描述来表示：\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]其中，\(x(t)\)是物体在时刻\(t\)的位移，\(A\)是振幅，\(\omega\)是角频率，\(\phi\)是相位差。
这个方程说明了在简谐振动中，位移与时间的关系可以通过余弦函数来描述。
1.2 振动的特征量在简谐振动中，有几个重要的特征量需要了解：- 振幅（Amplitude）：振幅代表了振动的最大位移，是一个正数。
- 周期（Period）：周期代表了振动完成一次往复运动所需要的时间。
- 频率（Frequency）：频率是周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
- 角频率（Angular Frequency）：角频率是频率的2π倍，用来描述振动的快慢。
- 相位（Phase）：相位是刻画振动在时间轴上的位置，反映了振动的起始状态。
二、受迫振动受迫振动是指物体在外力作用下发生的振动。
外力的作用可以改变物体原来运动的频率、振幅和相位差。
2.1 受迫振动的描述受迫振动可以用下面的方程来描述：\[x(t) = X \cdot \cos(\omega t + \phi) + x_p(t)\]在这个方程中，第一项代表了自由振动的位移，第二项则代表了受迫振动的外力引起的位移。
自由振动的位移由角频率和相位差决定，而受迫振动的位移则与外力的大小和频率有关。
2.2 共振共振是指外力频率与物体自身固有振动频率相同或接近时，振幅急剧增大的现象。
共振现象在实际应用中有着重要的作用，如音叉、电子钟等都是基于共振原理工作的。
机械动力学之振动的基本理论(ppt 37页)
1
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振动理论与应用
引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似：
• 选择合适的广义坐标； • 分析运动； • 分析受力； • 选择合适的动力学定理； • 建立运动微分方程； • 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Theory of Vibration with Applications
Theoretical Mechanics
Theory of Vibration with Applications
目录
5
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• 第1章 振动的基本理论
• 1.1 振动系统
Theory of Vibration with Applications
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• 1.1 振动系统
振动系统一般可分为连续系统或离散系统。
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• 1.1 振动系统
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
• 线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的
振动。
m y ky0
m e q keq＝ F 0si n t)(
• 非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将 得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称
2
可得到加速度与位移有如下关系
x 2x
重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是 与位移相反，始终指向平衡位置。
Theory of Vibration with Applications
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• 1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
2. 用旋转矢量表示简谐振动
机械系统动力学振动特性的数值模拟与分析
机械系统动力学振动特性的数值模拟与分析一、引言机械系统的振动特性是研究机械系统动力学行为的重要内容之一。
通过精确的数值模拟和分析，可以预测机械系统的振动特性，有助于改善机械结构的设计和性能。
二、振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近摆动的运动形式。
机械系统的振动通常分为自由振动和强迫振动两种。
自由振动是指机械系统在无外部力的情况下进行振动。
而强迫振动是在外部作用力下引起的振动。
机械系统振动特性主要包括振幅、频率、周期等参数。
三、数值模拟方法数值模拟方法是研究机械系统振动特性的常用工具之一。
常用的数值模拟方法包括有限元法、边界元法和离散元法等。
其中，有限元法是最常用的数值模拟方法之一。
通过有限元法可以将机械系统离散成若干个小单元，然后利用数值计算方法求解机械系统的振动特性。
四、有限元法的数值模拟与分析有限元法是将连续变化的机械系统离散化为有限个单元，每个单元内的振动特性可以通过求解微分方程得到。
在有限元法的数值模拟中，需要进行网格划分、求解线性代数方程组等步骤。
通过数值模拟与分析，可以得到机械系统的振动模态、频率响应等信息。
五、边界元法的数值模拟与分析边界元法是一种利用场问题的边界条件进行求解的数值模拟方法。
在边界元法中，机械系统的振动特性可以通过求解边界上的积分方程得到。
边界元法可以有效地考虑机械系统的边界条件，并在计算效率上具有一定的优势。
六、离散元法的数值模拟与分析离散元法是一种离散化物体内部和物体与物体之间相互作用的数值模拟方法。
在离散元法中，物体通过节点和单元进行离散，然后通过求解运动方程和相互作用力来模拟机械系统的振动行为。
离散元法可以考虑机械系统的接触和碰撞等非线性行为。
七、数值模拟案例分析以某机械系统为例，使用有限元法进行数值模拟和分析。
首先，对机械系统进行几何建模和网格划分。
其次，根据机械系统的材料参数和力学特性，建立运动方程和边界条件。
然后，通过数值求解，得到机械系统的振动模态和频率响应。
机械振动——简谐运动的基本概念2
两边对时间求导，得
1 dv 1 dx m ⋅ 2v + k ⋅ 2 x =0 2 dt 2 dt
即
m⋅v
d 2x + k ⋅ xv = 0 dt 2 d 2x k + x=0 dt 2 m
令ω ＝
2
k ，则 m d 2x +ω2x = 0 2 dt
其解为
x = A′ cos(ωt + ϕ )
代入守恒方程可得 A=A’ 例 2．劲度系数为 k、原长为 l、质量为 m 的匀质弹簧，一端固定，另一端系一 质量为 M 的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。
v A＝ x + 0 ω
2 0
2
二、能量平均值 定义：一个随时间变化的物理量 f(t)，在时间 T 内的平均值定义为
114
机械振动——简谐振动的基本概念
f =
1 f (t )dt T∫ 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ∫ 2 mA ω sin (ωt + ϕ )dt = 4 mA ω = 4 kA T 0 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ∫ 2 kA cos (ωt + ϕ )dt = 4 kA = 4 mA ω T 0
113
机械振动——简谐振动的基本概念
简谐运动的能量
第2章振动分析基础第1节
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
若系统有阻尼，振动位移与激振 力之间的相位差随频率比的增加 而逐渐增大，不会发生突然的变 化，但在共振点前后变化较大。 系统阻尼越小，共振点附近相位 差随频率的变化越大。 振动测试中，常应用共振点前 后响应与激振力之间的相 位差发生较大变化这个事实作为 确定共振点的一个指标。
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机械动力学
Harbin Institute of Technology
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机械动力学
由于阻尼耗散的能量与振幅的平方成正比， 故P点常称为半功率点，半功率点公式提供了一 种确定系统阻尼比的实用方法， 由以上分析可见，当阻尼大时，带宽△。就 宽，过共振时振辐变化平缓，振幅较小，反之 ，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较 陡，振幅就大。所以，品质因数Q反映了系统阻 尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机床系 统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。
2
固有频率 有阻尼固有角频率 Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
Harbin Institute of Technology
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机械动力学
1、临界阻尼振动系统
临界阻尼
阻尼比
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机械动力学
例： 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整 的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的 阻尼。
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机械振动的类型和特性
机械振动的类型和特性机械振动是指物体在固有平衡位置附近发生周期性的往复运动。
在机械工程领域中，机械振动广泛应用于各种工程设备和结构的设计和分析中，因此了解机械振动的类型和特性对于工程师和设计师至关重要。
本文将讨论机械振动的类型和特性，并介绍其在机械工程中的应用。
一、机械振动的类型1.自由振动：自由振动是指物体在无外力作用下，受到初始位移或初始速度的作用而发生的振动。
在自由振动中，物体将以自身的固有频率进行振动。
常见的自由振动包括钟摆的摆动和弹簧的振动。
2.受迫振动：受迫振动是指物体在外界周期性力的作用下发生的振动。
外界力可以是恒定频率的周期性力，也可以是可变频率的力。
在受迫振动中，物体将以外界力的频率进行振动。
例如，当一个弹簧振子被一个周期性外力驱动时，将发生受迫振动。
3.强迫振动：强迫振动是指外界周期性力对振动系统进行强制振动。
外界力的频率可以是振动系统的固有频率的倍数，也可以是其倍频。
在强迫振动中，外界力将强制振动系统按照特定频率振动，与振动系统的固有频率相互作用。
例如，一台发动机的活塞在运转时，由于连杆和曲柄的作用，将使得活塞强迫振动。
二、机械振动的特性1.频率：频率是指振动中每个周期内发生的完整振动次数。
频率通常用赫兹（Hz）表示，1Hz等于每秒一次完整的振动。
振动的频率是其固有特性之一，不同物体具有不同的固有频率。
2.振幅：振幅指的是振动过程中物体离开平衡位置的最大位移距离。
振动系统的振幅大小与外力的大小和频率有关。
3.相位：相位是指振动物体的位置状态相对于某一标准位置的关系。
它描述了振动物体的位置或状态相对于某一参考点或标准位置的提前或滞后情况。
4.阻尼：阻尼是指振动系统受到的阻碍振动能量传递和减弱振幅的现象。
阻尼分为无阻尼、欠阻尼和过阻尼等类型，阻尼对振动特性和振幅都有重要影响。
三、机械振动在机械工程中的应用机械振动在机械工程中具有广泛的应用，以下是一些典型的应用举例：1.动力学分析：机械振动的特性对于动力学分析至关重要。
机械振动知识点总结
机械振动知识点总结机械振动的研究旨在分析和控制系统的振动特性，以提高系统的性能、减少系统的动态负荷、延长系统的使用寿命，并确保系统在工作过程中的稳定性和安全性。
本文将对机械振动的基本知识点进行总结，包括机械振动的分类、振动系统的建模分析、振动的控制和减振、以及振动的监测与诊断等内容。
一、机械振动的分类1. 根据振动形式的不同，机械振动可分为以下几类：（1）自由振动：系统在没有外部激励的情况下发生的振动，系统内部能量交换导致振幅逐渐减小直至停止，如钟摆的摆动。
（2）受迫振动：系统受到外部激励作用而发生的振动，外部激励可以是周期性的或非周期性的，如机械系统受到周期性力的作用而发生的振动。
（3）共振：当受迫振动的频率与系统的固有频率相近或一致时，系统的振幅将迅速增大，甚至造成系统破坏的现象。
2. 根据振动的传播方式，机械振动可分为以下几类：（1）固体振动：振动是在固体介质中传播的，如机械结构的振动。
（2）流体振动：振动是通过流体介质（如液体或气体）传播的，如管道中的水波振动。
（3）弹性振动：振动是由于材料的弹性变形而产生的，如弹簧振子的振动。
二、振动系统的建模分析1. 振动系统的建模方法（1）单自由度振动系统的建模：利用牛顿第二定律，可以建立单自由度振动系统的等效质点模型，然后通过能量方法或拉氏方程等方法，可以求解系统的振动特性。
（2）多自由度振动系统的建模：对于多自由度振动系统，可以利用连续系统的离散化方法，将系统离散化为多个质点的集合，并建立相应的动力学模型，然后求解系统的振动特性。
2. 振动系统的分析方法（1）频域分析：通过对系统的动力学方程进行傅里叶变换，可以将系统的运动响应转换到频域中进行分析，得到系统的频率响应特性。
（2）时域分析：通过对系统的动力学方程进行积分，可以得到系统的时域响应，包括系统的位移、速度、加速度等随时间的变化规律。
（3）模态分析：通过对系统的模态方程进行求解，可以得到系统的固有频率和振型，以及相应的阻尼比和阻尼比比例。
《机械动力学与振动》课程教学大纲
《机械动力学与振动》课程教学大纲课程名称：机械动力学与振动课程代码：EM357学分/学时：3学分/51学时开课学期：春季学期适用专业：机械工程、热能与动力工程、核工程、航空宇航科学、建筑环境与设备及相关专业先修课程：高等数学、理论力学、线性代数后续课程：开课单位：机械与动力工程学院一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献，专业人才培养目标中的知识、能力和素质见附表）课程性质：机械动力学与振动是机械工程、热能动力工程、核科学与工程、航空航天工程等专业的一门重要专业基础课，是机械、能源动力类专业必修主干课。
教学目标：机械动力学与振动是研究机械系统的运动、振动和受力之间的关系的科学，通过本课程的学习，掌握与机械动力学和振动有关的基本理论和分析方法，具备对复杂机械系统建立动力学模型的能力，进行动力学与振动相关分析的能力及从事相关科学研究工作和相关专业技术工作的能力，也为相关工程管理工作提供重要的理论基础。
（A4.1, A5.1, A5.2, A5.3，B2，B4，C2）通过本课程教学，不仅使学生在机械动力学和振动特别是机械系统在外力作用下的响应及应用方面树立正确的概念，同时培养学生科学抽象、逻辑思维能力，进一步强化实践是检验理论的唯一标准的认识观。
具体来说，1、能够利用牛顿/欧拉方程和拉格朗日方程建立弹性体系统进行动力学方程；[A3, A4.1, A4.2,A5.1]2、能够对振动系统的自由振动和受迫振动进行求解，了解提高抗振性能所利用的基本原则和主要途径[A5.1, A5.4]3、能够运用常用的振动基本公式、图表和计算软件（如matlab）等进行一般振动特性分析和计算。
[A5.2，A5.1, A5.4]4、具备对工程中的传动机构动力学，机器人动力学、惯性力系的平衡、振动传递、隔振、动力吸振及旋转不平衡等问题进行建模和分析的能力[A5.1,A5.3, A5.4, B2, B4]5、掌握模态法对多自由度系统的求解及特征根和特征向量的物理意义[A5.1]6、强化理论来源于实践，实践是检验理论的唯一标准的认识观。
机械动力学与振动
机械动力学与振动机械动力学与振动是机械工程领域中的重要分支，它研究了力学系统在受到外力作用下的运动规律和振动特性。
此领域的研究对于设计和优化各种机械系统以及解决振动问题具有重要意义。
本文将介绍机械动力学与振动的基本概念、原理和应用。
第一节：机械动力学基本概念机械动力学是研究物体在受到外力作用下的运动规律的学科。
它涵盖了力、质量、加速度等基本概念，并通过牛顿定律来描述和分析物体的运动。
在机械工程中，我们常常需要研究力的传递、力的分析以及物体的受力情况，以便设计出性能优良的机械系统。
第二节：机械动力学的原理机械动力学的核心原理是牛顿定律。
牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
这个定律为我们分析和解决力学问题提供了重要的工具。
通过牛顿第二定律，我们可以计算物体的加速度、速度和位移，并进一步研究运动过程中的各种力学现象。
第三节：振动的基本概念振动是机械系统中常见的现象，它是指物体在作用力的作用下以某种固定的频率在某一平衡位置附近来回摆动的运动形式。
振动现象广泛存在于各个领域，如机械系统、电子设备和建筑结构等。
研究振动可以帮助我们了解和控制系统的动态特性，从而改善系统性能和防止振动破坏。
第四节：振动的原因和影响振动的原因可能是外力的作用，也可能是系统本身的固有特性。
外力引起的振动通常是由于机械系统受到不平衡力的影响，如发动机的震动和风的吹拂。
而系统本身的固有特性引起的振动则取决于系统的刚度和阻尼等物理特性。
振动对于机械系统来说可能是有益的，比如产生机械波，但也有可能是有害的，如疲劳破坏和噪音产生。
第五节：振动的控制和应用在机械工程中，控制振动是一个重要的课题。
通过使用减振器、调节系统的刚度和阻尼等手段，可以有效地控制系统的振动，提高系统的稳定性和工作效率。
同时，振动也被广泛应用于各种工程领域，如振动筛分、振动检测和振动传感器等。
这些应用使得我们能够更好地了解和利用振动现象。
机械动力学(振动学)理论知识总结
机械动力学理论知识点总结机械振动：指物体在其稳定的平衡位置所做的往复运动；固有振动：无激励时，系统所有可能的运动的集合；自由振动：没有外部激励，或者外部激励出去后，系统自身的振动；自激振动：系统有其本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动；参数振动：激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动；简谐振动：物体与位移成正比的恢复力作用下，在其平衡位置附近，按照正弦规律做往复的运动；阻尼:系统中存在的各种阻力:干摩擦力，润滑表面阻力，液体或者气体等介质的阻力、材料内部的阻力。
瑞利法：利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法；耦联:两个质点的运动不是独立的、他们彼此受另一个质点的影响。
弹性耦联：表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中，就称这些坐标之间存在弹性耦联；惯性耦联：当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间存在惯性耦联；解耦：就是用数学方法将两种运动分离开来处理题赏用解帮方法就是忽略或简化对所研究问题影响较小的种运动，只分析主要的运动。
拍振:同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的条件是两个简谐分量的顿率相差很小。
对于两自由度无阻尼的自由振动，即它们的主振动是简谐振动，所以当两个固有频率相差很小的时候可能出现拍振。
响应谱:系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图。
耦合是指两个或两个以上的体系或两种运动形式间通过相互作用而彼此影响以至联合起来的现象。
瑞利能量法：适用于求系统的基频，他的出发点是假设振型和利用能量守恒条件；里兹法：里兹法对近似振型给出更合理的假设，从而算出的基频值进一步下降，并且可得到系统较低的前几阶固有频率，及相应的主振型。
邓克来法：是求多圆盘的横向振动基频近似值的一种方法，当其他各阶的固有频率远远高于基频时，利用此法估计基频较方便。
基频为实际值的下限。
邓克来法和瑞利能量法可以确定基频的范围。
更高更妙的物理：专题12 机械振动二三事
专题12 机械振动二三事广义地说，振动不仅存在于所有的物理现象中，在化学、生物学、气象学等许多自然科学分支中都会涉和各种各样的振动，各种不同本质的振动会有各自不同的特点，但又具有其共同性—振动是一种往复性的变化。
物体位置的往复变化即为机械振动。
在这个专题中，我们将探究机械振动中的一些有趣的规律，这些规律中的很多都适用于其他的振动。
我们知道，简谐运动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动总可以分解成几个简谐运动，一切振动都是若干个简谐运动合成的结果。
弹簧振子、单摆（数学摆）、复摆（物理摆）、扭摆、沉浮子⋅⋅⋅⋅⋅⋅的小幅振动都是简谐运动。
简谐运动发生的动力学原因是受到一个与位移x 大小成正比（线性）而方向相反的回复力：F kx =-，这是振动系统做谐振的充要条件。
通常我们以此为据认定物体的振动是否属于简谐运动。
【例1】质点以角速度ω沿半径为R 的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简谐运动。
【分析与解】如图所示，将质量为m 的质点P 的运动正交分解为沿水平（x 轴）与竖直（y 轴）直径的两个分运动，质点P 在水平直径上的投影P '的运动即质点P 在x 方向的分运动。
显然，质点P 沿圆周运动一个周期，P '沿x 轴向直径以O 为中心往复运动完成一个全振动。
我们将质点做匀速圆周运动的合外力（即向心力n F ）分解为x F 与y F 两个分力，x F 即是P '做振动的回复力，它的方向总是指向平衡位置O 而与P '对O 的位移x 相反。
以位移方向为正，容易得到22x x F m R m x R ωω=-⋅=-⋅。
m 、ω均确定，我们令2k m ω=，有x F kx =-，可见，P '的运动是简谐运动。
从上面的讨论中可知，一个匀速圆周运动可以正交分解成两个简谐运动，每个简谐运动的振幅A R =，周期22m T k ππω==，圆频率k mω=。
机械振动_CH2
第2章二自由度系统的振动（单自由度问题向多自由度问题的过渡）12二自由度系统，其运动需要两个独立坐标描述。
u k 21k 如图是一汽车的简化模型，车轮及悬架简化成刚度为k 1 和k 2 的两个弹簧，车体简化成为刚性杆。
车体相对于随体坐标系的振动有沿u 方向的上下运动，也有沿ϑ方向的俯仰运动，一般这两种运动同时发生。
这样，系统的运动就要用两个独立坐标u 和ϑ来描述，这就是一个二自由度系统。
平面内刚性杆的运动描述需两个自由度32.1 系统运动微分方程t 1u 2u 1k k 23k c 12c 3c m 1m 2f 1( )t ( )f 2u 1u 2u 2k 3u k 11c u 11m 1m 2( )f 1tt ( )2f k 2( )u -1u 2u -( )2k u 12u -( )2c 2u 1( )u -2c u 12u c 32⎩⎨⎧+−−−−−−=+−−−−−−=)()()()()()(22312223122221212112121111t f u c u u c u k u u k u m t f u u c u c u u k u k u m 变量耦合的运动方程组考察图示的二自由度系统:4⎩⎨⎧===++00)0(,)0()()()()(u u u u f Ku u C u M t t t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2010212010212121322221213222212121)0()0(,)0()0(00uu u uu u u u f f u u k k k k k k uuc c c c c c u um m 矩阵描述：质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；位移向量，激励力向量。
基本特征a. 描述系统特性的M、K和C 不再是三个常数，而是三个矩阵;b. 系统中两质量块的运动是相互关联的，这反映在方程中矩阵K 和C的非对角元素不为零（更广义的M非对角元素亦不为零）。
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m&& + kx (t ) = 0 x
（C=0, F(t)=0） ）
k m
2 &&(t ) + ω n x (t ) = 0 x
式中 ω n =
其通解: 其通解 x(t)=Asin( ω n t+φ)
ω n 是系统自由振动的角频率 是系统自由振动的角频率,
fn =
ωn 1 = 2π 2π
也称为系统无阻尼固有频率 单位:Hz 或1/s 单位
k m
A 振动幅值 φ 初相角
(由初始条件确定 由初始条件确定) 由初始条件确定
[1-26]
若记初始位移 x (0) = x 0 则因
& 初始速度 x(0) = v0
x (t ) = ASin (ω n t + ϕ ) & x (t ) = ω n ACon (ω n t + ϕ )
当t=0时 x(0) = ASinϕ = x 0 ; ASinϕ = x 0 时
c 衰减系数） （衰减系数） 2m k 2 wn = m （固有频率） 固有频率）
2 && + 2αx + wn x = 0 & x
方程特征方程 通解
2 s 2 + 2αs + wn = 0
x = B1e
s1 t
+ B2 e
s2t
其中: 其中
2 s1 = −α + (α 2 − ω n ) 2 s 2 = −α − (α 2 − ω n )
. 二. 动力学模型的建立
举例说明: 南京工学院(东南大学 为无锡机床厂外园磨床作振动分析: 东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动分析 举例说明 南京工学院 东南大学 为无锡机床厂外园磨床作振动分析
[1-23]
§2—2 单自由度系统
[1-24]
一. 自由振动 自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分重要的一 自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数 因此是在理论上十分重要的一 种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些”固有特 种振动形式 系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些” 系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些 固有参数” 反映了系统内部结构的所有信息 是研究强迫振动的基础. 反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础 性”或”固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息 是研究强迫振动的基础 1. 单自由度自由振动概述 当外界对系统没有持续的激励 即F(t)=0 但系统仍可以在初速度或 初位移的作用下发生振动,称为自由振动 初位移的作用下发生振动 称为自由振动 其运动微分方程为: x & 其运动微分方程为 m&& + cx + kx = 0 二阶常系数齐次微分方程, 二阶常系数齐次微分方程 方程还可 其中 α =
& x (0) = ω n ACon ϕ = v0 ; ACon ϕ =
得
2 A = ( x0 + (
ωn
v0Байду номын сангаас
v0
ωn
)2 )
ϕ = tg −1
v0 ω n x0
分析： 单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示 可用谐波函数表示, 分析：● 单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数 可用谐波函数表示 故称简谐振动 ●自由振动的角频率即为 ω n =
S1 , S 2 B1 , B2
为特征方程的二个特征根 为积分常数,由初始条件定 为积分常数 由初始条件定
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系统的运动情况随α(衰减系数 不同值 分五种情况： 系统的运动情况随 衰减系数)不同值 分五种情况： 衰减系数 不同值,分五种情况 (1) α=0 (无阻尼情况 无阻尼情况) 无阻尼情况 α＞0 (正阻尼情况 ＞ 正阻尼情况 正阻尼情况) (2)α＜ ＜ (3)α＞ ＞ (4) α=
dt (T + U ) = 0
[1-27]
(1) 用能量的观点研究振动有时很方便 例只需计算系统固有频率时,可避免写微分方 用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时 可避免写微分方 例只需计算系统固有频率时
式中: 式中 T 为系统中运动质量所具有的动能 U 为系统的弹性势能或重力势能 由(2--1)式,有： T + U = T + U 式有
ω n (弱阻尼情况 弱阻尼情况) 弱阻尼情况 强阻尼情况) 强阻尼情况 ω n (强阻尼情况 ω n (临界阻尼情况 临界阻尼情况) 临界阻尼情况
(5) α＜0 (负阻尼情况 负阻尼情况) ＜ 负阻尼情况 首先从无阻尼情况(最简单 最简单)介绍 首先从无阻尼情况 最简单 介绍 2. 无阻尼系统的自由振动 运动方程为 或
因此 扭转刚度 ： ●从能量角度：不消耗能量, 以势能方式贮存能量 从能量角度：不消耗能量 以势能方式贮存能量. ●等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代 等效弹簧的刚度 等效刚度：复杂弹性元件组合形式 可用等效弹簧取代 表示(等于组合弹簧的刚度 等于组合弹簧的刚度) 用等效刚度 表示 等于组合弹簧的刚度 并联弹簧： 并联弹簧： 串联弹簧： 串联弹簧： 比各组成弹簧”硬” 比各组成弹簧” 比各组成弹簧” 比各组成弹簧”软” 共位移 共力
3.能量法： 能量法： 能量法
直接得结果. 也可用能量法写系统微分方程) 程,直接得结果 (也可用能量法写系统微分方程 直接得结果 也可用能量法写系统微分方程 在无阻尼又无外作用力时,系统的动量 和势能U是守恒的 系统的动量T和势能 是守恒的.即 在无阻尼又无外作用力时 系统的动量 和势能 是守恒的 即 T+U=恒量 (2--1) 恒量 对上式时间取一次导数： 对上式时间取一次导数： （2--2） ） d
l3P δ = 3EI
l 杆长 E 材料弹性模量 I 抗弯截面惯性矩
3EI l3
设
k=
则 P=kδ
k= 3EI l 3 的线性弹簧
因此悬臂梁相当一个刚度为
[1-20]
●角振动系统：弹簧为扭转弹簧 M=kθ M 外力矩 θ转角 k刚度 角振动系统： 转角 刚度 扭振系统
θ=
ML GJ
G轴材料剪切模量 J 轴截面极惯性矩 M扭矩 轴材料剪切模量 扭矩
[1-1]
机械动力学
[1-18]
第二章
振动分析基础
§2－1 概述 － 振动分析的研究思路： 振动分析的研究思路：
一· 动力学模型 任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析 要作简化,在简化的基础上 为了便于分析,要作简化 ● 任何实际的振动系统是无限复杂的 为了便于分析 要作简化 在简化的基础上 ● ● ● ● ● 建立 动力学模型 模型由三种理想化元件组成：质量m 阻尼 弹性 阻尼c 弹性k 模型由三种理想化元件组成：质量 系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、 系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件 实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、 实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理 对其分布规律作离散化处理 动力学模型采用的正确与否要由实践检验 动力学模型分三类： 集中参数模型(常微分方程 常微分方程) 动力学模型分三类： a 集中参数模型 常微分方程 b 有限元模型 (常微分方程 常微分方程) 常微分方程 c 连续弹性体模型 (偏微分方程 偏微分方程) 偏微分方程
确定弹性元件组合方式是”并联”还是”串联”关键看是”共位移”还是” 确定弹性元件组合方式是”并联”还是”串联”关键看是”共位移”还是”共 力”
[1-21]
见下例： 两弹簧共位移(x) 并联 见下例： 例1 a. 两弹簧共位移 b. 两弹簧共力 两弹簧共力(Fs) 串联 例2 确定阶梯轴的等效扭转刚度 共力矩M， 解 共力矩 ， 为串联 GJ 由扭振 M = ⋅θ
L
L L 1 = 1 + 2 k eq G1 J 1 G2 J 2
例1 (a) (b) 例2
2．阻尼元件: 2．阻尼元件: 只有阻尼 无惯性,弹性 (理想元件) 无惯性,弹性 (理想元件 理想元件) 振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一, ● 振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一 也是最活跃的研究方向之一 & ● 阻尼力 Fd = f (x) 是振动速度 x 的函数 & 对线性阻尼器
[1-19]
1·弹性元件：只有弹性,无惯性、阻尼 (理想化元件 弹性元件：只有弹性 无惯性 无惯性、 理想化元件) 弹性元件 理想化元件 弹簧所受外力F 是位移x的函数 的函数： ●弹簧所受外力 x是位移 的函数：Fx =f(x) 在线性范围内F 对弹簧的线性化处理) ●在线性范围内 x =kx (对弹簧的线性化处理 对弹簧的线性化处理 ●通常假定弹簧没有质量 若： 弹簧质量相对小,可忽略 弹簧质量相对小 可忽略 弹簧质量相对较大,一定要处理 弹簧质量相对较大 一定要处理 ●实际工程结构中许多构件 在一定范围内所受作用力 与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理 可作线性弹性元件处理. 与变形是线性关系 可作线性弹性元件处理 根据材力P与变形 与变形δ的关系 例 图示悬臂梁 根据材力 与变形 的关系
1 1 2 2
任意选两个瞬时位置1和 机械能总和应相等 任意选两个瞬时位置 和2机械能总和应相等 对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置,此时速度最大 对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置 此时速度最大 , 动能
T1 = Tmax
此时
U1 = 0
再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置,此时速度为 再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置 此时速度为0, T 2 = 0 此时速度为 而势能 U = U （2--3） ） 有 : T = U 或T =U