机械振动学

第一章 单自由度系统的振动
引言
为什么要研究单自由度系统的振动？
1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。
2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度
系统的振动理论就可以得到满意的结果。 3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自
由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 0
aent
u1
n = 10rad/s, = 4% u0 = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s
u2
u3
t3
u4
t4
t5
u, m
u5
t1
t2
ae
nt
Td
1
Td
def
2
s1,2 n n 2 1
应用初始条件
得到通解
u(t ) e
nt
(a1 cos d t a2 sin d t )
u (0) u0 u (0) u0
(阻尼振动频率)
d n 1 2
u (t ) e
或：
nt
u0 nu0 sin d t u0 cos d t d
1
s1,2 n
特征方程有一对相等实根，故通解：
u(t ) (a1 a2t )e
nt
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.02 0.01
m=10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/m u0 =0.02m, du(0)/dt =0.0 m/s u0 =0.02m, du(0)/dt =-0.5 m/s u0 =0.02m, du(0)/dt =-1.0 m/s
f (t )
m
m
f (t )
u
mu(t ) k [u(t ) s ] cu(t ) mg f (t )
mg k s
mu(t ) cu(t ) k u(t ) f (t )（单自由度系统振动方程的一般形式）
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
d

2
n 1 2

Tn 1 2
自由振动曲线(欠阻尼)
2 t, s
3
4
阻尼振动周期
有阻尼单自由度系统的自由振动
④ 引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 0
aent
n = 10rad/s, = 4% u0 = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n为振动 频率的简谐振动，并且永无休止； 初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能， 有初始速度即注入了动能。
•
无阻尼单自由度系统的自由振动
3 简谐振动的特征
(1) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足： (t T u
n
) u(t )
u1 (t ) u2 (t )
u(t )
无阻尼单自由度系统的自由振动
u1
t
u2
一个拍
u
A
t
B C
t
拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.
无阻尼单自由度系统的自由振动
例：升降机笼的质量为 m ，由钢丝绳牵挂以等速度 v0 向下运动。 钢丝绳的 刚度系数为 k ，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然 停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。 v0 解: u 0
振动周期，单位：秒（s）
u(t ) a sin(nt )
m Tn 2 n k
无阻尼单自由度系统的固有周期
2
无阻尼单自由度系统的自由振动
固有频率
n fn 2
fn
表示单位时间内重复振动的次数.
无阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系
u, m
0.00 -0.01 -0.02 0.0 1.0 1.5 2.0 t, s 图 质量块对初始条件的临界阻尼响应 0.5
结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(3)欠阻尼情况 (0 1)
s1,2 n in 1
2
0 1
振动系统的组成
弹簧的等效刚度系数
u2
f A
k1
u1
B f
u2
f
A
ke
B
u1
f
k2
f1 k1 (u1 u2 )
f2 k2 (u1 u2 )
f f1 f2 (k1 k2 )(u1 u2 ) f ke (u1 u2 )
ke k1 k2
振动系统的组成
系统类似的性态。
引言
k
ke
m x

m x x

m x
y
振wenku.baidu.com系统的组成
m
简化 机床 混凝土 基础 弹性衬垫
k
c
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
m
k
振动系统
惯性元件
m
c
阻尼元件
c

弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载 运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量 和吸收外界的能量。
运动微分方程 ② 能量方法： 系统的固有频率
Tmax Vmax
③ 等效质量和等效刚度法：
系统的固有频率
T
V
④ 静变形法：
等效质量 meq 等效刚度 keq
n
keq meq
equivalent 的前两个字母
第一章：单自由度系统的振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
(t ) x
m
Fm
Fm mx(t )
振动系统的组成
3 阻尼元件 1 . 阻尼元件的意义和性质
x (t ) Fd
c
Fd c x
阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位： N s/m
单自由度系统的振动方程
k
c
s
k
c
u
k (u s ) cu
o
m
mg
u(t ) a sin(nt )
求导
u (t ) n a cos(nt ) n a sin(nt ) 2
求导
2 2 u(t ) n a sin(nt ) n a sin(nt )

速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？
引入
c c c 2mn 2 mk Cc
阻尼比 临界阻尼系数
st
def
特征方程
代入
s 2n s 0
2 2 n
u(t ) ue
特征根
s1,2 n n 2 1
有阻尼单自由度系统的自由振动
(1) 过阻尼情况 ( 1)
s1,2 n n 2 1
s1 2 1 n


s2 2 1 n


特征方程有一对互异实根，故通解为：
u (t ) a1e
( 2 1)n t
a2 e
( 2 1)n t
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.020 0.015
m=10 kg, k=1000 N/m u0 =0.02m, du(0)/dt =0m/s
第一章：单自由度系统的振动
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念
•会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
1. 固有频率概念的引出
k
mu(t ) ku(t ) 0
(ms2 k )u 0
u(t ) uest
m
图 无阻尼单自由度系统
ms k 0
阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。
阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定
理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通 过实验来确定。
阻尼既有有用的一面也有有害的一面：
有用的一面：消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性
有害的一面：增加运动阻力，降低运动速度
有阻尼单自由度系统的自由振动
振动系统的组成
1. 弹性元件 弹性元件的意义和性质
F
f ( x)
x
F

o
线性范围
x
F f ( x)
当 时
x 较小
F kx
弹簧的刚度系数，单位： N/m
振动系统的组成
弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点： 通常假定弹簧是无质量的；
假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
自由振动：
u (t ) u0 cos nt
n
u0
sin nt
无阻尼单自由度系统的自由振动
自由振动：
u(t ) a sin(nt )
振幅 频率 初相位
振幅：
u0 a u n
2 0
2
简谐运动的三要素
• • 简谐运动三要素
nu0 初相位： arctan 0 u
=1.05 =1.3 =1.5
u, m
0.010 0.005 0.000 0.0
1.0 1.5 2.0 t, s 图 质量块对初始位移的过阻尼响应
0.5
结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 临界阻尼情况 ( 1)
s1,2 n n 2 1
nt
欠阻尼系统的 自由振动响应
u(t ) ae
sin(d t )
有阻尼单自由度系统的自由振动
3. 欠阻尼振动特性：
u(t ) ae
nt
sin(d t )
ae
nt
① 振幅按指数规律
衰减；
② 自由振动为非周期振动；
③ 自由振动具有等时性，即相邻两个 正（负）峰值之间的时间间隔均为:
1.自由运动微分方程的建立
k
c
o
ku
cu
m
u
牛顿第二定律： 自由运动方程：
u
m
mu cu ku
mu cu ku 0
有阻尼单自由度系统的自由振动
2 特征根
c k u u u0 m m
2 u 2nu n u 0
mu cu ku 0
u1 (t ) a1 sin(1t 1 ) u2 (t ) a2 sin(2t 2 )
设频率比为有理数
1 2
1 m 2 n
T2 m T1 n
u(t T0 ) u1 (t T0 ) u2 (t T0 )
记mT1 nT2 T0
u1 (t mT1 ) u2 (t nT2 )
n
k m
0
u0 v0
u0
m k
k
（振幅）
a
2 u0
(
n
)
2
m
k
v0
v0
(钢丝绳最大动张力)
v0
Td ka v0 mk
（钢丝绳总张力的最大值）
k0
T mg v0 mk
m
v0
无阻尼单自由度系统的自由振动
4 求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法
① 微分方程法：
2
s1,2
k i in m
k n m
固有频率 单位：rad/s
特征方程
natrual 的第一个字母
k n m
对固有频率的正确理解：
① 固有频率仅取决于系统的刚度和质量；
固有频率
② 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
u3
f
A
u2 k2 u3
A B
u1 k1 u1
f
C C
f
f
ke
1 u1 u2 f / k1
2 u2 u3 f / k2
1 1 1 2 f k1 k 2
1 f ke
1 1 1 ke k1 k2
振动系统的组成
2. 惯性元件 1 . 惯性元件的意义和性质
位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零
加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？
加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反
无阻尼单自由度系统的自由振动
② 两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约） 时，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；
u 合成信号： (t ) u1 (t ) u2 (t )
无阻尼单自由度系统的自由振动
2 初始扰动引起的自由振动
运动方程： 特征根：
mu(t ) ku(t ) 0
s1,2 in
通解：
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt
u(0) u0 , u(0) u0
a1 u0 , a2
n
u0