特殊四边形的证明经典必考题

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特殊四边形知识点与例题

特别四边形一、几种特别四边形的性质：二、几种特别四边形的常用判断方法：三、各种特别四边形之间的关系四、有关中点四边形的几个结论1、任意四边形的四边中点围成的四边形是平行四边形。

2、对角线相互垂直的四边形的四边中点围成的四边形是矩形。

3、对角线相等的四边形的四边中点围成的四边形是菱形。

4、对角线相等而且相互垂直的四边形的四边中点围成的四边形是正方形。

例 1、已知，矩形 ABCD 中， AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直均分线 EF 分别交 AD 、BC 于点 E、F，垂足为 O．（1）如图 1，连接 AF 、 CE．求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长；（2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A 、C 两点同时出发，沿△ AFB 和△ CDE 各边匀速运动一周．即点P 自 A → F→ B→A 停止，点 Q 自 C→ D→ E→C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm，点 Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t 秒，当 A 、 C、P、Q 四点为极点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点 P、Q 的运动行程分别为a、b（单位： cm，ab≠ 0），已知 A 、C、 P、Q 四点为极点的四边形是平行四边形，求 a 与 b 满足的数目关系式．例 2、在矩形 ABCD 中， AB=1 ，AD= 根号 3，AF 均分∠ DAB ，过点 C 作 CE⊥ BD 于 E，延伸 AF 、EC 交于点 H ，那么以下结论：① AF=FH ；② BO=BF ；③ CA=CH ；④ BE=3ED ．此中正确结论的序号是例 3、在正方形 ABCD 中 ,对角线 AC 与 BD 订交于点 O,AF均分∠ BAC, 交 BD 于点 E,交 BC 于点 F求证：（ 1） AO+EO=AB（2） FC=2EO五、梯形中常有的添辅助线的技巧1.延伸两腰交于一点2.平移一腰作用：使梯形问题转变成三角形问题。

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题1、（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC于点E，F、求证：AE=CF、（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I、求证：EI=FG、考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）、分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF、（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG、解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG、点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用、2、在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F、若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB、请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC 内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明、考点：平行四边形的性质、专题：探究型、分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB、证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，∴PE=EM，∴PE+PF=AE+EM=AM、∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD、∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB、图3结论：PE+PF﹣PD=AB、点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键、3、如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F、（1）若点D 是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由、考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质、专题：证明题、分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC、解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60，∴∠EDB=90﹣∠ADE=90﹣60=30，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30，∵∠ACB=60，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30，∴∠ACF=∠BAD=30，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD、（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立、理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF 中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC、点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握、此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大、4、如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度、点M从点A 以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）、（1）点N为BC边上任意一点，在点M 移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M 出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P、当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值、考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质、专题：压轴题、分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可、（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积、（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可、解答：解：（1）设：BN=a，CN=10﹣a（0≤a≤10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以，AM=1t=t（0≤t≤10），MD=10﹣t （0≤t≤10）、所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）菱形高2=（t+a）菱形高2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）菱形高2=[（10﹣t）+（10﹣a）]菱形高2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）所以，当t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分、（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0≤t≤5，因为AB=10，∠BAD=60，所以菱形高=5，AM=1t=t，BN=2t=2t、所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）菱形高2=3t5=t（0≤t≤5）、所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为、（3）当△MPN≌△ABC时，则△ABC的面积=△MPN的面积，则△MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MN∥AC，∴N在C点外，所以不重合处面积为（at﹣10）2∴重合处为S=25﹣，当S=0时，即PM在CD上，∴a=2、点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件、5、如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形、请解决下列问题：（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）、（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系、考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理、分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可、（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论、解答：解：（1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∵AH=BG，∴四边形ABGH是平行四边形，∴AB=HG，∴AB=HG=AH=BG，∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ），证明如下：∵矩形ABCD，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90，∵E、F、G、H是中点，∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH 是菱形；若选（Ⅲ），证明如下∵EF垂直平分AC，∴FA=FC，EA=EC，又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE，∴A F=FC=CE=EA，∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ，SEFGH=ab，S菱形AECF=，∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞SABGH、∵﹣ab===＞0，∴S菱形AECF＞SEFGH、∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b，即0＜b＜2a时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a=b，即b=2a 时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b，即b＞a时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH、综上所述：当O＜b＜2a时，SEFGH＜SABGH＜S菱形AECF、当b=2a时，SEFGH=SABGH＜S菱形AECF、当b＞2a时SABGH＜SEFGH＜S菱形AECF、点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点、注意第（3）题需要分类讨论，以防错解、6、在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG、（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120，请直接写出∠BDG 的度数、考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质、分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形、由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案、解答：解：（1）证明：∵AF 平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形、（2）如图，连接BM，MC，∵∠ABC=90，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90，∴四边形ECFG为正方形、∵∠BAF=∠DAF，∴BE=AB=DC，∵M为EF中点，∴∠CEM=∠ECM=45，∴∠BEM=∠DCM=135，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB=MD，∠DMC=∠BME、∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90，∴△BMD是等腰直角三角形，∴∠BDM=45；（3）∠BDG=60，延长AB、FG交于H，连接HD、∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30，∠ADC=120，∠DFA=30，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD 为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD（SAS），∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60、点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法、7、在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB 延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质、专题：几何综合题、分析：（1）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系为：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD=AF，且∠FAD为直角，得到∠BAC=∠FAD，等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，又∠ACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠D AC，变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180，可以根据∠DAF=∠BAC=90，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180，等量代换可得证、解答：解：（1）关系：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，…（2分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AD=AF，∠FAD=90，∵∠BAC=90，∠FAD=90，∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）∴∠AFC=∠ADB，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC，∵∠ADB=∠AFC，∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180，…（8分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF=90，AD=AF，又∠BAC=90，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF，即∠DAB=∠FAC，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ADB=∠AFC，在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180，则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180、点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键、8、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON、（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系、考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质、专题：代数几何综合题、分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△C BN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可、解答：（1）证明：如图1，∵正方形ABCD，∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90，∠OCB=∠OBA=45，∠DOC=90，DC∥AB，∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90，∴∠BCN+∠CPD=90，∠PCN+∠DCN=90，∴∠CPD=∠CNB，∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，∵在△DCP和△CBN中，∴△DCP≌△CBN，∴CP=BN，∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP，∴ON=OP，∠BON=∠COP，∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90，∴ON⊥OP，即ON=OP，ON⊥OP、（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴O 到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，=（4﹣x）2+x2，=4（0＜x＜4），图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=x2+（x﹣4）x=x2﹣x（x＞4），即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：、点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似、9、如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB 上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG、（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图、分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值、解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90、又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90，∴∠ADE+∠GDA=90∴DE⊥DG、（2）解：如图、（3）解：四边形CEFK为平行四边形、证明：设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD 是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90，∴∠KME+∠DEF=180，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形、（4）解：∵，∴设CE=x，CB=nx，∴CD=nx，∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，∵BC2=n2x2，∴==、点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂、10、如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点、（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质、分析：（1）根据点P 在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥P D，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案、解答：解：（1）当点P在线段AO上时，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP，∵PB=PE，∴P E=PD，过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，∵PB=PE，PN⊥BE，∴BN=NE，∵BN=DM，∴DM=NE，在Rt△PNE与Rt△PMD中，∵PD=PE，NE=DM，∴Rt△PNE≌Rt△PMD，∴∠DPM=∠EPN，∵∠MPN=90，∴∠DPE=90，故PE⊥PD，PE与PD 的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45，∵PA=PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD、（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD、（ii）当点E在BC的延长线上时，如图、∵△ADP≌△ABP，∴∠ABP=∠ADP，∴∠CDP=∠CBP，∵BP=PE，∴∠CBP=∠PEC，∴∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90，∴PE⊥PD、综合（i）（ii），PE⊥PD；（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE、点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用、巩固训练：1、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE、（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG 是等腰三角形吗？并说明理由、考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质、专题：证明题；几何综合题；探究型、分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE、利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO、所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形、解答：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD、∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90，∴AE∥CF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF、∴四边形AECF为平行四边形、（2）解：△ACG是等腰三角形、理由如下：∵AE∥FG，∴∠G=∠GAE、∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG、又OA=AC=BD=OD，∴∠ODA=∠DAO、∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，∴∠BAE=∠ADE、∴∠BAE=∠DAO，∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，∴△CAG是等腰三角形、点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL、判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件、2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90，E，F 分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB、连接DE，DF、（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长、考点：平行四边形的判定、专题：计算题；证明题、分析：（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可、（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可、解答：（1）证明：连接EF，AE、∵点E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB、又∵AD=AB，∴EF=AD、又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形、∴AF与DE互相平分、（2）解：在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，BC=4，∴AE=BC=2、又∵四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE=2、点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、3、如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF、请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形、考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定、专题：证明题；探究型、分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90，则∠BAC=360﹣90﹣60﹣60=150解答：证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴DB=AB，BE=BC、又∠DBE=60﹣∠EBA，∠ABC=60﹣∠EBA，∴∠DBE=∠ABC、∴△DBE≌△CBA、∴DE=AC、又∵AC=AF，∴AF=DE、同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD、∴四边形ADEF是平行四边形、（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90、又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60、∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150、当△ABC满足∠BAC=150时，四边形ADEF是矩形、点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定、4、已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点、（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上、设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP 的长、考点：菱形的判定；矩形的性质、专题：计算题；证明题、分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD∥EF∥BC、∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=、解答：（1）证明：设AG交MN于O，则∵A、G关于BM对称，∴AO=GO，AG⊥MN、∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF，AD∥EF∥BC、∴MO：ON=AO：OG=1：1、∴MO=NO、∴AG与MN互相平分且互相垂直、∴四边形ANGM是菱形、（2）解：连接AF，∵AD∥EF∥BC，∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC、又∵EF⊥AB，AE=BE，∴AF=BF，∴∠AFE=∠EFB、∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC、∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC、∴∠PFA=∠FBC=∠PAF、∴PA=PF、∴在Rt△P FD中，根据勾股定理得：PA=PF=，解得：PA=、点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力、对角线互相垂直平分的四边形是菱形、5、如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6、△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE 相交于点O、（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R、四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积、考点：菱形的判定与性质、专题：动点型；数形结合、分析：（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；（2）利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积为三角形BED的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可、解答：解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC=AB，∴四边形ABCE是平行四边形，（2分）又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形、（4分）（2）由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO=S△QEO（7分）∵△ECD是由△ABC平移得到的，∴ED∥AC，ED=AC=6，又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，（8分）∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=BEED=86=24、（10分）点评：考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键、6、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点、（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由、考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定、分析：（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明、（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值、（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90，判断一下△DPC是不是直角三角形就行、解答：解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP=5时，∵PA=PB=5，AD=BC，∠A=∠B=90，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PMPD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）假设△DPC为直角三角形、设PA=x，PB=10﹣x，DP=，CP=、DP2+CP2=DC216+x2+16+（10﹣x）2=102x2﹣10x+16=0x=2或x=8、故当AP=2或AP=8时，能够构成直角三角形、点评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的。

中考数学冲刺专题突破：专题一特殊四边形有关的证明及计算专题突破特殊四边形(学生版+解析版)

中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD沿AF所在直线折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；(2)当OD＝2时，求CP的长；(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1－S2的最值．【精典例题】2、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当∠BAC ＝60°时，求AH NC的值；(3)设HFHE＝k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．第2题图中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；①与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN①AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.(1)解：①四边形ABCD 为正方形，①①B ＝90°，在Rt①ABM 中，①AB ＝10，BM ＝23，①AM ＝AB 2＋BM 2＝47.①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝12AM ＝27； (2)证明：如解图，过点D 作DE ①AC 于点E ，①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝DC ，DE ＝12AC . ①AC 为正方形对角线，①①ACB ＝45°.①MN ①AC ，①MN ＝NC .设MN ＝NC ＝a ，AN ＝b ，①在Rt①AMN 中，由勾股定理得，AM ＝MN 2＋AN 2＝a 2＋b 2，①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝a 2＋b 22. ①AC ＝a ＋b ，①DE ＝EC ＝a ＋b 2. ①EN ＝EC －NC ＝b －a 2.DN ＝DE 2＋EN 2＝2（a 2＋b 2）2①DN ＝2NG .【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH①DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：①AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD 沿AF 所在直线折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG ①CD 交AF 于点G ，连接DG .(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．(1)证明：①GE ①CD ，①①EGF ＝①DFG .①由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，①DGF ＝①EGF ，①①DGF ＝①DFG .①GD ＝DF .①DG ＝GE ＝DF ＝EF .①四边形EFDG 为菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由：如解图①，连接DE ，交AF 于点O ，①四边形EFDG 为菱形，①GF ①DE ，OG ＝OF ＝12GF ，DF ＝EG . 又①四边形ABCD 为矩形，①①DOF ＝①ADF ＝90°，又①①OFD ＝①DF A ，①①DOF ①①ADF .①DF AF ＝FO FD ，即DF 2＝FO ·AF .①FO ＝12GF ，DF ＝EG ，①EG 2＝12GF ·AF ；图①(3)解：如解图①，过点G 作GH ①DC ，垂足为点H ，①EG 2＝12GF ·AF ，AG ＝6，EG ＝25，①20＝12GF (FG ＋6)，整理得FG 2＋6FG －40＝0，解得FG ＝4或－10(舍去)，①DF ＝GE ＝25，AF ＝10，①在Rt①ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.①GH ①DC ，AD ①DC ，①GH ①AD .①①FGH ①①F AD .①GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝410.①GH ＝855.易证四边形GECH 为矩形，①GH ＝EC ， ①BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝1255. 图①【类型】二、与函数结合的证明及计算【精典例题】1、如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动(不与点B ，D 重合)，连接OA ，作OP ①OA ，交直线BC 于点P .(1)判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由；(2)当OD ＝2时，求CP 的长；(3)设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，①AOD 的面积为S 2，求S 1－S 2的最值．解：(1)OA ＝OP .理由如下：如解图①，过点O 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N .①OM ①AB ，ON ①BC ，OM ＝ON ，①四边形MBNO 为正方形.①①MON ＝90°.①①AOM ＋①MOP ＝90°，①MOP ＋①PON ＝90°，①①AOM ＝①PON .在①AOM 和①PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧①AMO ＝①PNO MO ＝NO ①MOA ＝①NOP，①①AOM ①①PON (ASA).①OA ＝OP ；图①(2)如解图①，过点O 作OK ①CD ，垂足为K ，过点O 作ON ①BC ，垂足为N ，连接OC .①四边形ONCK 为矩形.①NC ＝OK .①OD ＝2，①NC ＝OK ＝1.①AD ＝CD ，①ADO ＝①CDO ＝45°，OD ＝OD ，①①AOD ①①COD (SAS).①OA ＝OC .①OA ＝OP ＝OC ，又①ON ①PC ，①CN ＝PN .①CP ＝2；图①(3)①①AOD ①①COD ，①S ①AOD ＝S ①COD .①S 1－S 2＝S ①OPC .设OK ＝x ，则PC ＝2x ，ON ＝CK ＝4－x .①S ①OPC ＝12×2x ×(4－x )＝－x 2＋4x . ①S 1－S 2＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.①当x ＝2时，S 1－S 2的最大值为4，无最小值.【精典例题】2、已知在①ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当①BAC ＝60°时，求AH NC的值； (3)设HF HE ＝k ，①AEH 和四边形EDNH 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．第2题图。

特殊四边形的计算与证明问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

专题14特殊四边形的计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率十年8考特殊四边形的计算与证明（大题）2013.2014.2015.2016.2017.2020.2021.2022以四边形为载体的计算与证明是北京市中考数学常考的一类解答题，要求学生理解和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=1BC，连结DE，2CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE∠AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF∠AB，OG∠EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE∠ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC 的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在∠ABC中，∠BAC=90∘，AD∠BC，垂足为D，AE∠BC，CE∠DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt∠ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．∠依题意补全图形；∠用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC上，AB∥DE，AE 平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE∠BC，AF∠CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD∠AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF∠AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE∠BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD 交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，∠ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC 于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∠BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∠CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP 交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．BC，27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE，且AE=12连结DE．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在∠ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA∠AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在∠ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。

特殊四边形的证明经典必考题

H GFEDCBAHG FEDCBA特殊的平行四边形复习探究一：中点四边形1、探究证明：（1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明；（2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明；探究二、矩形的折叠问题一、求角度例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ，的位置上，EC 交AD 于点G ．已知58EFG °，那么BEG °．例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为()．(A)60°(B)75°(C)90°(D)95°二、求线段长度例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（）（A ）34（B ）33（C ）24（D ）８三、求图形面积例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm【折叠问题练习】1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。

若CD=6，则AF=（）.A ．B ．C ．D ．8题1 题2ABCDEF2．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若cm AF 425，则AD 的长为（）．A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm3．如图，矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC上，则AC 的长是__________．题3题4 题54．如图，矩形纸片ABCD ，AB=8，BC=12，点M 在BC 边上，且CM=4，将矩形纸片折叠使点D 落在点M 处，折痕为EF ，则AE 的长为__________．5．在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE= ________.【经典练习】1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AB=6，BC=8，P 是AD 上一点，且PH ⊥AC ，PK ⊥BD ，求PH+PK 的值；KHPODCBAODCBADCBE A2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD 与点O ，∠BAC=60°，若BC=6，求此梯形的面积；3、如图，平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 与点E ，AB=8，BC=10，则ED=；EDC BAHODCBA4、如图，菱形对角线AC 、BD 交于点O ，且AC=8，BD=6，过O 做OH ⊥AB 与点H ，则OH= ；5、如图，在ABCD 中，AE 、DF 分别为∠BAD 和∠ADC 的平分线，AE 、DF 相交于点G ；（1）求证：AE ⊥DF（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF 的长；6、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 的中点；求证：四边形BCDE 是菱形GFABCDEEFDC BA7、在正方形ABCD 中，E 为对角线上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：∠CDE=∠CBE（2）延长BE 交AD 与点F ，若∠DEB=140°，求∠AFE 的度数；8、已知等腰梯形的底边长分别为2㎝和8㎝，高为4㎝，则一腰长为㎝。

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案2

DSE 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一. 解答题1．（1）如图①, ▱ABCD的对角线AC, BD交于点O, 直线EF过点O, 分别交AD, BC于点E, F．求证: AE=CF.（2）如图②, 将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠, 点A落在点A1处, 点B落在点B1处, 设FB1交CD于点G, A1B1分别交CD, DE于点H, I．求证：EI=FG.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）. 718351分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形, 可得AD∥BC, OA=OC, 又由平行线的性质, 可得∠1=∠2, 继而利用ASA, 即可证得△AOE≌△COF, 则可证得AE=CF.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质, 易得A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 继而可证得△A1IE≌△CGF, 即可证得EI=FG．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明: （1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, OA=OC,∴∠1=∠2,在△AOE和△COF中,, ∴△AOE≌△COF（ASA）, ∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, ∠B=∠D, 由（1）得AE=CF,由折叠的性质可得: AE=A1E, ∠A1=∠A, ∠B1=∠B,∴A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 又∵∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∵∠5=∠3, ∠4=∠6, ∴∠5=∠6, 在△A1IE与△CGF中,, ∴△A1IE≌△CGF（AAS）, ∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中, 注意掌握折叠前后图形的对应关系, 注意数形结合思想的应用．2. 在△ABC中, AB=AC, 点P为△ABC所在平面内一点, 过点P分别作PE∥AC交AB于点E, PF∥AB交BC于点D, 交AC于点F. 若点P在BC边上（如图1）, 此时PD=0, 可得结论: PD+PE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内（如图2）, △ABC外（如图3）时, 上述结论是否成立？若成立, 请给予证明；若不成立, PD, PE, PF与AB之间又有怎样的数量关系, 请写出你的猜想, 不需要证明．考点：平行四边形的性质. 718351专题：探究型.分析：在图2中, 因为四边形PEAF为平行四边形, 所以PE=AF, 又三角形FDC为等腰三角形, 所以FD=PF+PD=FC, 即PE+PD+PF=AC=AB, 在图3中, PE=AF可证, FD=PF﹣PD=CF, 即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解: 图2结论: PD+PE+PF=AB.证明: 过点P作MN∥BC分别交AB, AC于M, N两点,∵PE∥AC, PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC, PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE=PF, ∠EPM=∠ANM=∠C,∵AB=AC,∴∠EMP=∠B,∴∠EMP=∠EPM,∴PE=EM,∴PE+PF=AE+EM=AM.∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD.∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.图3结论：PE+PF﹣PD=AB.图3结论: PE+PF﹣PD=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质, 难易程度适中, 读懂信息, 把握规律是解题的关键．3. 如图, △ABC是等边三角形, 点D是边BC上的一点, 以AD为边作等边△ADE, 过点C作CF∥DE交AB于点F.（1）若点D是BC边的中点（如图①）, 求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B.C外如图②）, 那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立, 请给出证明；若不成立, 请说明理由.考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质. 718351专题：证明题.分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形, D是BC的中点, ED∥CF, 求证△ABD≌△CAF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC, 结合∠ACB=60°, 得出∠ACF=∠BAD, 求证△ABD≌△CAF, 得出ED=CF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形, 即可证明EF=DC．（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC.（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明: ∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点,∴AD⊥BC, 且∠BAD= ∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE, ∠ADE=60°,∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°, ∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°,∴∠ACF=∠BAD=30°, 在△ABD和△CAF中,，∴△ABD≌△CAF（ASA）, ∴AD=CF, ∵AD=ED,∴ED=CF, 又∵ED∥CF, ∴四边形EDCF是平行四边形, ∴EF=CD．（2）解: △AEF和△ABC的面积比为: 1: 4；（3）解: 成立.理由如下: ∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF, ∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA,在△ABD和△CAF中,∴△ABD≌△CAF（AAS）,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多, 综合性较强, 难度较大．4. 如图, 在菱形ABCD中, AB=10, ∠BAD=60度. 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）.（1）点N为BC边上任意一点, 在点M移动过程中, 线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 在什么时刻, 梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动, 过点M作MP∥AB, 交BC于点P．当△MPN≌△ABC时, 设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S, 求出用t表示S的关系式, 井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质. 718351专题：压轴题.分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分, 那么分成的两个梯形的面积相等, 而两个梯形的高相等, 只需上下底的和相等即可.（2）易得菱形的高, 那么用t表示出梯形的面积, 用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半, 求得不重合部分的面积, 让菱形面积的一半减去即可．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可.（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解: （1）设: BN=a, CN=10﹣a（0≤a≤10）因为, 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动, 点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以, AM=1×t=t（0≤t≤10）, MD=10﹣t（0≤t≤10）.所以, 梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,即t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）所以, 当t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）时, 可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 设点N移动的时间为t, 可知0≤t≤5,因为AB=10, ∠BAD=60°, 所以菱形高=5 ,AM=1×t=t, BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5 ×= t（0≤t≤5）.所以当t=5时, 梯形ABNM的面积最大, 其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时,则△ABC的面积=△MPN的面积, 则△MPN的面积为菱形面积的一半为25 ；因为要全等必有MN∥AC,∴N在C点外, 所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25 ﹣,当S=0时, 即PM在CD上,∴a=2.∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质, 注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5. 如图, 在下列矩形ABCD中, 已知: AB=a, BC=b（a＜b）, 假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形, 现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题:命题（Ⅰ）: 图①中, 若AH=BG=AB, 则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）: 图②中, 若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点, 则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中, 若EF垂直平分对角线AC, 变BC于点E, 交AD于点F, 交AC于点O, 则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题:（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个, 并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的, 但不全等的内接菱形）.（3）试探究比较图①, ②, ③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理. 718351分析：（1）①先证明是平行四边形, 再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形, 再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线, 在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交, 连接四个交点即可．（3）分别表示出三个菱形的面积, 根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系, 分a＞2b, a=2b和a＜2b三种情况讨论．（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论.（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．解答：解: （1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下:∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∵AH=BG,∴四边形ABGH是平行四边形,∴AB=HG,∴AB=HG=AH=BG,∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ）, 证明如下:∵矩形ABCD,∴AB=CD, AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∵E、F、G、H是中点,∴AE=BE=CG=DG, AH=HD=BF=FC,∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形；若选（Ⅲ）, 证明如下∵EF垂直平分AC,∴FA=FC, EA=EC,又∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中,，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE,∴AF=FC=CE=EA,∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示: AH=CF, EG垂直平分对角线FH, 四边形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ,SEFGH= ab,S菱形AECF= ,∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞SABGH.∵﹣ab= = = ＞0,∴S菱形AECF＞SEFGH.∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b, 即0＜b＜2a时, S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a= b, 即b=2a时, S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b, 即b＞a时, S菱形ABGH＜S菱形EFGH．综上所述:当O＜b＜2a时, SEFGH＜SABGH＜S菱形AECF.当b=2a时, SEFGH=SABGH＜S菱形AECF．当b＞2a时SABGH＜SEFGH＜S菱形AECF.点评：本题主要考查了菱形的判定与性质, 三角形中位线定理, 全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论, 以防错解．6. 在平行四边形ABCD中, ∠BAD的平分线交直线BC于点E, 交直线DC的延长线于点F, 以EC.CF为邻边作平行四边形ECFG.（1）如图1, 证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2, 若∠ABC=90°, M是EF的中点, 求∠BDM的度数；（3）如图3, 若∠ABC=120°, 请直接写出∠BDG的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质. 718351分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC, AB∥CD, 再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE, 根据等角对等边可得CE=CF, 再有条件四边形ECFG是平行四边形, 可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形, 再证明△BME≌△DMC可得DM=BM, ∠DMC=∠BME, 再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC, 求证四边形CEGF是平行四边形, 再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB, 求证△BEG≌△DCG, 然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形. 由AD ∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.（3）分别连接GB.GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解: （1）证明: ∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF, ∠BAF=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,又∵四边形ECFG是平行四边形,∴四边形ECFG为菱形.（2）如图, 连接BM, MC,∵∠ABC=90°, 四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形,又由（1）可知四边形ECFG为菱形,∠ECF=90°,∴四边形ECFG为正方形.∵∠BAF=∠DAF,∴BE=AB=DC,∵M为EF中点,∴∠CEM=∠ECM=45°,∴∠BEM=∠DCM=135°,在△BME和△DMC中,∵，∴△BME≌△DMC（SAS）,∴MB=MD,∠DMC=∠BME.∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,∴△BMD是等腰直角三角形,∴∠BDM=45°；（3）∠BDG=60°,延长AB.FG交于H, 连接HD.∵AD∥GF, AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形,∵∠ABC=120°, AF平分∠BAD,∴∠DAF=30°, ∠ADC=120°, ∠DFA=30°,∴△DAF为等腰三角形,∴AD=DF,∴平行四边形AHFD为菱形,∴△ADH, △DHF为全等的等边三角形,∴DH=DF, ∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE, CE=CF, CF=BH,∴BH=GF,在△BHD与△GFD中,∵，∴△BHD≌△GFD（SAS）,∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.点评：此题主要考查平行四边形的判定方法, 全等三角形的判定与性质, 等边三角形的判定与性质, 菱形的判定与性质等知识点, 应用时要认真领会它们之间的联系与区别, 同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7. 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 若点D在线段BC上, 以AD为边长作正方形ADEF, 如图1, 易证: ∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上, 其他条件不变, 写出∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系, 并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上, 其他条件不变, 直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351专题：几何综合题.分析：（1）∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系为: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, 理由为: 由四边形ADEF为正方形, 得到AD=AF, 且∠FAD为直角, 得到∠BAC=∠FAD, 等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF, 再由AB=AC, AD=AF, 利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等, 根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 又∠ACB为三角形ACD的外角, 利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC, 变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°, 可以根据∠DAF=∠BAC=90°, 等号两边都减去∠BAF, 可得出∠DAB=∠FAC, 再由AD=AF, AB=AC, 利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等, 由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 根据三角形ADC的内角和为180°, 等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC 的内角和为180°，等量代换可得证.（2）∠AFC、∠ACB.∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC.∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．解答：解: （1）关系: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, …（2分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴AD=AF, ∠FAD=90°,∵∠BAC=90°, ∠FAD=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD, 即∠BAD=∠CAF, …（3分）在△ABD和△ACF中,，∴△ABD≌△ACF（SAS）, …（4分）∴∠AFC=∠ADB,∵∠ACB是△ACD的一个外角,∴∠ACB=∠ADB+∠DAC, …（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC,∵∠ADB=∠AFC,∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC.∠ACB.∠DAC满足的关系式为: ∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°, …（8分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴∠DAF=90°, AD=AF,又∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF, 即∠DAB=∠FAC,在△ABD和△ACF中,∴△ABD≌△ACF（SAS）,∴∠ADB=∠AFC,在△ADC中, ∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°,则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°.则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．点评：此题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定与性质, 三角形的内角和定理, 以及三角形的外角性质, 熟练掌握判定及性质是解本题的关键．8. 已知四边形ABCD是正方形, O为正方形对角线的交点, 一动点P从B开始, 沿射线BC运动, 连接DP, 作CN⊥DP于点M, 且交直线AB于点N, 连接OP, ON. （当P在线段BC上时, 如图1: 当P在BC的延长线上时, 如图2）（1）请从图1, 图2中任选一图证明下面结论: ①BN=CP；②OP=ON, 且OP⊥ON；（2）设AB=4, BP=x, 试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质. 718351专题：代数几何综合题.分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC, ∠DCB=∠CBN=90°, 求出∠CPD=∠DCN=∠CNB, 证△DCP ≌△CBN, 求出CP=BN, 证△OBN≌△OCP, 推出ON=OP, ∠BON=∠COP, 求出∠PON=∠COB即可；（2）同法可证图2时, OP=ON, OP⊥ON, 图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP, 代入求出即可；图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN, 代入求出即可．（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可.（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．解答：（1）证明: 如图1,∵正方形ABCD,∴OC=OB, DC=BC, ∠DCB=∠CBA=90°, ∠OCB=∠OBA=45°, ∠DOC=90°, DC∥AB,∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°,∴∠BCN+∠CPD=90°, ∠PCN+∠DCN=90°,∴∠CPD=∠CNB,∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD,∵在△DCP和△CBN中∴△DCP≌△CBN,∴CP=BN,∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP,∴ON=OP, ∠BON=∠COP,∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°,∴ON⊥OP,即ON=OP, ON⊥OP．（2）解: ∵AB=4, 四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2,图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,= ×（4﹣x）×2+ ×x×2,=4（0＜x＜4）,图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x= x2﹣x（x＞4）,即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：.即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: ．即以O、P、B.N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．点评：本题考查了正方形性质, 全等三角形的性质和判定, 分段函数等知识点的应用, 解（1）小题的关键是能运用性质进行推理, 解（2）的关键是求出符合条件的所有情况, 本题具有一定的代表性, 是一道比较好的题目, 注意：证明过程类似．9. 如图, 四边形ABCD是正方形, 点E, K分别在BC, AB上, 点G在BA的延长线上, 且CE=BK=AG. （1）求证: ①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图: 以线段DE, DG为边作出正方形DEFG（要求: 只保留作图痕迹, 不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF, 猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形, 并证明你的猜想:（4）当时, 请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图. 718351分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等, 再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F, 得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形, 然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值.（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA, ∠DCE=∠DAG=90°.又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴DE=DG,∠EDC=∠GDA,又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG.（2）解: 如图.（3）解: 四边形CEFK为平行四边形.证明: 设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG,∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD是平行四边形,∴CK=DG=EF, CK∥DG,∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°,∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CEFK为平行四边形.（4）解: ∵,∴设CE=x, CB=nx,∴CD=nx,∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2,点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图, 解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论, 此题较复杂．10. 如图, 点P是正方形ABCD对角线AC上一动点, 点E在射线BC上, 且PB=PE, 连接PD, O为AC中点. （1）如图1, 当点P在线段AO上时, 试猜想PE与PD的数量关系和位置关系, 不用说明理由；（2）如图2, 当点P在线段OC上时, （1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3, 当点P在AC的延长线上时, 请你在图3中画出相应的图形（尺规作图, 保留作图痕迹, 不写作法）, 并判断（1）中的猜想是否成立？若成立, 请直接写出结论；若不成立, 请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351分析：（1）根据点P在线段AO上时, 利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD, PE=PD；（2）利用三角形全等得出, BP=PD, 由PB=PE, 得出PE=PD, 要证PE⊥PD；从三方面分析, 当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时, 当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 当点E在BC的延长线上时, 分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上, 利用垂直平分线的性质只要以P为圆心, PB为半径画弧即可得出E点位置, 利用（2）中证明思路即可得出答案．（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案.（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．解答：解: （1）当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中,∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,过点P做PM⊥CD, 于点M, 作PN⊥BC, 于点N,∵PB=PE, PN⊥BE,∴DM=NE,在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE, NE=DM,∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EPN,∵∠MPN=90°,∴∠DPE=90°,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD, PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形, AC为对角线,∴BA=DA, ∠BAP=∠DAP=45°,∵PA=PA,∴△BAP≌△DAP（SAS）,∴PB=PD,又∵PB=PE,∴PE=PD.（i）当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 此时, PE⊥PD.（ii）当点E在BC的延长线上时, 如图．∵△ADP≌△ABP,∴∠ABP=∠ADP,∴∠CDP=∠CBP,∵BP=PE,∴∠CBP=∠PEC,∴∠PEC=∠PDC,∵∠1=∠2,∴∠DPE=∠DCE=90°,∴PE⊥PD.综合（i）（ii）, PE⊥PD；（3）同理即可得出: PE⊥PD, PD=PE.点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识, 此题涉及到分类讨论思想, 这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．巩固训练:1．如图, 矩形ABCD的对角线交于点O, AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E, F, 连接AF, CE．（1）求证: 四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G, 则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质. 718351专题：证明题；几何综合题；探究型.分析：（1）根据矩形的性质可知: AB=CD, ∠ABE=∠CDF, ∠AEB=∠CFD=90°, 得到△ABE≌△CDF, 所以AE∥CF, AE=CF, 可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG, 得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD, 得到∠BAG=∠DAG, 从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G, 可得△CAG是等腰三角形．（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE. 利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO. 所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形.（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明: ∵矩形ABCD,∴AB∥CD, AB=CD.∴∠ABE=∠CDF, 又∠AEB=∠CFD=90°,∴AE∥CF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∴四边形AECF为平行四边形.（2）解: △ACG是等腰三角形.理由如下: ∵AE∥FG,∴∠G=∠GAE.∵AG平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG.又OA= AC= BD=OD,∴∠ODA=∠DAO.∵∠BAE与∠ABE互余, ∠ADB与∠ABD互余,∴∠BAE=∠ADE.∴∠BAE=∠DAO,∴∠EAG=∠CAG, ∴∠CAG=∠G,∴△CAG是等腰三角形.∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定, 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等, 先根据已知条件或求证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件, 再去证什么条件．2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, E, F分别是BC, AC的中点, 延长BA到点D, 使AD= AB. 连接DE, DF. （1）求证: AF与DE互相平分；（2）若BC=4, 求DF的长．考点：平行四边形的判定. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）连接EF、AE, 证四边形AEFD是平行四边形即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质: 平行四边形的对边相等，求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明: 连接EF, AE.∵点E, F分别为BC, AC的中点,∴EF∥AB, EF= AB.又∵AD= AB,∴EF=AD.又∵EF∥AD,∴四边形AEFD是平行四边形.∴AF与DE互相平分.（2）解: 在Rt△ABC中,∵E为BC的中点, BC=4,∴AE= BC=2.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴DF=AE=2.点评：本题考查了平行四边形的判定, 有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3. 如图, 以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD.△BCE、△ACF.请回答下列问题:（1）求证: 四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定. 718351专题：证明题；探究型.分析：1.本题可根据三角形全等证得DE=AF, AD=EF, 即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形, 必须让∠FAD=90°, 则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2.要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明: （1）∵等边△ABD.△BCE、△ACF,∴DB=AB, BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA, ∠ABC=60°﹣∠EBA,∴∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△CBA. ∴DE=AC.又∵AC=AF, ∴AF=DE．同理可证: △ABC≌△FCE, 证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形.（2）假设四边形ABCD是矩形, ∵四边形ADEF是矩形, ∴∠DAF=90°.又∵等边△ABD.△BCE、△ACF, ∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°.当△ABC满足∠BAC=150°时, 四边形ADEF是矩形．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.4. 已知: 如图, 矩形ABCD中, AB=2, AD=3, E、F分别是AB.CD的中点.（1）在边AD上取一点M, 使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上. 设BM与EF相交于点N, 求证: 四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点, ∠PFB=3∠FBC, 求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）设AG交MN于O, 由题意易得AO=GO, AG⊥MN, 要证四边形ANGM是菱形, 还需证明OM=ON, 又可证明AD∥EF∥BC. ∴MO: ON=AO: OG=1: 1, ∴MO=NO；（2）连接AF, 由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF, ∴PA=PF, ∴PA= , 求得PA= ．（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA= ，求得PA= .（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明: 设AG交MN于O, 则∵A.G关于BM对称,∴AO=GO, AG⊥MN.∵E、F分别是矩形ABCD中AB.CD的中点,∴AE=BE, AE∥DF且AE=DF, AD∥EF∥BC．∴MO: ON=AO: OG=1: 1.∴MO=NO.∴AG与MN互相平分且互相垂直.∴四边形ANGM是菱形.（2）解: 连接AF,∵AD∥EF∥BC,∴∠PAF=∠AFE, ∠EFB=∠FBC.又∵EF⊥AB, AE=BE,∴AF=BF,∴∠AFE=∠EFB.∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC.∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC. ∴∠PFA=∠FBC=∠PAF.∴PA=PF.∴在Rt△PFD中, 根据勾股定理得: PA=PF= ,解得：PA= .。

特殊平行四边形：证明题

特殊平行四边形之证明题题型一：菱形的证明1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A. DE 是△ABC 的中位线B. AA '是BC 边上的中线C. AA '是BC 边上的高D. AA '是△ABC 的角平分线2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG = ；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是．ABDEA 'ADGCBFEA B C DEF D ′5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形．6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE .7.1）求证：△ABE ≌△ACE2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△．（1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．CDEMABFNDBC AENMOCBAD A 'C '（第19题）D '8．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．（1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN的数量关系，并证明你的结论．10．如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ．（1）点D 是△ABC 的________心；（2）求证：四边形DECF 为菱形．11、如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE(1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)AQ DE BPCOB CA DM N12、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．13、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．14、如图8，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．15、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。

在特殊四边形中的证明题(精选)

1、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠D=∠EAF，∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，即DF=AE，在△AEF和△DFC中，AE=DF ∠EAF=∠D AF=DC ，∴△AEF≌△DFC（SAS）．2、在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗？；（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，则四边形AECF的周长为，面积为．解：（1）AC，EF互相平分．证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA．又∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD．∴∠BAE=∠DAE=1 2 ∠BAD，∠BCF=∠DCF=1 2 ∠BCD，∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAE=∠BCF．又∵∠DAE=∠BEA，∴∠BEA=∠BCF，∴AE∥CF．又∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）∵∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∠B=60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB=BE=AE=4．又BE=2CE，∴CE=2，∴平行四边形AECF周长为：（2+4）×2=12．过点A作AH⊥BE于H，则BH=1 2 BE=2，∴AH= AB2-BH2 = 42-22 = 12 =2 3 ，∴S平行四边形AECF=CE•AH=2×2 3 =4 3 ．3、已知：如图，BD为ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．求证：DE=DF证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠OBF=∠ODE∵O为BD的中点∴OB=OD在△BOF和△DOE中，∠OBF=∠ODE OB=OE ∠BOF=∠DOE ∴△BOF≌△DOE∴OF=OE∵EF⊥BD于点O∴DE=DF．4、已知：如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于点E、F，求证：AE=CF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠E=∠F，∠EBO=∠FDO．又∵OB=OD，∴△EBO≌△FDO．∴BE=DF．又∵AB=CD，∴BE-AB=DF-CD．即AE=CF．5、如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB=2OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，OA=OC．∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．∵CE=DC，在平行四边形ABCD中，CD=AB，∴AB=CE．∴在△ABF和△ECF中，∠BAF=∠CEF AB=CE ∠ABF=∠ECF ，∴△ABF≌△ECF，∴BF=CF．∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF．。

特殊四边形证明必考题

特殊的平行四边形复习探究一：中点四边形(2)如图，四边形ABCD勺对角线为AC BD,且ACL BD,点E、F、H分别为边AB BC CD AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么的图形，并证明;探究二、矩形的折叠问题、求角度例1、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C, D分别落在C，D的位置上，EC交AD于点G .已知EFG 58°，那么BEG _______________ ° .例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC BD为折痕，则/CBD的度数为().(A)60 °(B)75 °(C)90 °(D)95 °二、求线段长度例3、如图，四边形ABCE为矩形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF.若CD= 6,则AF等于()3 .如图，矩形纸片 ABCD AB=2点E 在折痕为AF 。

若CD=6则AF=（2. 如图，在矩形纸片ABCD 中, AB=8cm 把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE25交DC 于点F ,若AF -%m ，则AD 的长为（）.4 A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm(A ) 4._3 ( B ) 3.3 (C ) 4.2 (D)8三、求图形面积例4、如图，将长为 20cm 宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（2 A. 34cm .36cm 2 C. 38cm 2 2D . 40cm【折叠问题练习】1.如图，四边形 ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCDff 叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处, D. 8B C.「题题2题3题5 4•如图，矩形纸片ABCD AB=8 BC=12点M 在BC 边上，且CM=4将矩形纸片折叠使点D 落在点M 处，折痕为EF ,则AE 的长为 ___________ . 5 •在矩形纸片ABC ［中, AD=4cm AB=10cm 按如图的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF,贝卩DE= _______【经典练习】1、如图，在矩形 ABC ［中, AC BD 相交于点0, AB=6 BC=8 P 是AD 上一点，且PH L AC, PKL B ［求 PH+PK 勺值；2、如图，梯形 ABCD 中, AD// BC , AB=C ［ AC L BD 与点 0,Z BAC=60，若 BC=/6，求此梯形的面积；3、 _______________________________________________________________________________ 如图，平行四边形 ABCD 中, BE 平分/ ABC 交AD 与点E, AB=8 BC=10 J 则ED= _________ ;4、如图，菱形对角线AC BD 交于点0,且AC=8 BD=6过0做OHLAB 与点H,则0H ______ ;5、如图，在jABCD 中，AE DF 分别为/ BAD 和/ADC 的平分线，AE 、DF 相交于点G;题4A D中占.I 八、、7求证：四边形BCDE是菱形7、在正方形ABCD中E为对角线上一点，连接EB ED,(1)求证：/ CDE M CBE(2)延长BE交AD与点F,若/ DEB=140，求/ AFE的度数;8、已知等腰梯形的底边长分别为2 cm和8 cm,高为4 cm,则一腰长为_____ cm09、已知菱形的两条对角线长分别为12 cm和6 cm,那么这个菱形的面积为______________ cm210、矩形一个角的平分线分矩形一边为 1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为______11、下列说法正确的是( )A. 一组对边相等的四边形是平行四边形B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形12、平行四边形两个邻角的角平分线所成的角是（）A •锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定13、A ABC中，AD是角平分线，DE// AC, DF// AB求证：四边形AEDF是菱形。

特殊四边形证明题(正方形)

以正方形为背景的特殊四边形的证明题1.如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE AG⊥于F．⊥于E，BF AG （1）求证：ABF△；△≌DAE（2）求证：DE EF FB=+．2.如图，在正方形ABCD中，CE DFCE=cm，求DF的长．⊥．若103.如图，在正方形ABCD中，MN GH=．⊥．求证：MN HG4.如图，在正方形ABCD的边CD上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF．求证：DF BG=．⊥，DE BG5.如图，M、N分别是正方形ABCD两边AD、DC的中点，CM与BM交于点P．求证：PA PB=．6.如图，已知四边形ABCD是正方形，F、E分别为BC、CD上的点，且EF BF DE=+，⊥，垂足为M．AM EF（1）求证：AM AB=；（2）连AF，连AE，求FAE∠的度数．7. 如图，在正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒．求证：BE DF EF +=．8. 如图，分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ．求证：BG EC =，BG EC ⊥．9. 如图，分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ．求证：AEG ABC S S =△△．10.如图，分别以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC中点．求证：2DG BN=，BM DG⊥．11.如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，满足BE ED DC=+，如果M是AD的中点．求证：2EBC ABM∠=∠．12.如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是线段CE的中点．求证：12DAE BAF∠=∠．13.如图，已知：在正方形ABCD中，AC、BD交于O点，EA平分BAC∠交BD于F点．求证：12FO EC=．14.如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG DE⊥交BD于F．求证：EF//DC．15.如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG EB⊥交EB于G，AG交BD于F．（1）说明OE OF=的道理；（2）在（1）中，若E为AC延长线上，AG EB⊥交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE OF=”还成立吗？请说明理由．16.如图，在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG AD=，若EG与DF的交点为H．求证：AH与正方形的边长相等．17.如图，以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG BC=．求证：BG CD=．18.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD延长线上的一点，且AE AF AC==，EF交BC于G，交AC于K，交CD于H．求证：EG GC CH HF===．19.如图，在正方形ABCD的对角线BD上，取BE AB=，若过E作BD的垂线EF交CD于F．求证：CF ED=．20.如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，过P引PE BC⊥交BC于E，过P作⊥于F，联结AP并延长交EF于点H．PF CD求证：AH EF⊥．21.如图，过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使=，以AF、AC为邻边作菱形CAFE．AF AC求证：AE及AF三等分BAC∠．22.如图，从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行于BD，使BE BD=，若BE、CD的交点为F．求证：DE DF=．23.如图，在正方形ABCD中，M为AB边上的任意点，MN DM∠．⊥，BN平分CBF 求证：MD MN=．24.如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．（1）若AG AE=，证明：AF AH=；（2）若45FAH+=；∠=︒，证明：AG AE FH（3）若Rt GBF△的周长为1，求矩形EPHD的面积；25.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD⊥交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG CG=；（2）将图①中BEF△绕B点逆时针旋转45︒，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中BEF△绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？图①图②图③26. 如同，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ．（1）12EF AC AB +=；（2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与点1A 运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动。

四边形证明题专题练习

四边形证明题专题练习1．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．求证：四边形AEDF 是菱形．2．已知：E 、F 是ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形.3．已知：在ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线．求证：四边形AFCE 是平行四边形.A B C EDFDE FD A BCE4．已知：在ABCD 中，AM=CN ．求证：四边形MBND 是平行四边形．5．已知：ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 、P 、Q 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点．求证：四边形MNPQ 是平行四边形．6．四边形AEFD 和四边形EBCF 都是平行四边形．求证：四边形ABCD 是平行四边形．A BM N A D CN D MOP Q AB E F D7．已知：矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求对角线的长．8．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO 、OC 的中点，•求证：四边形BFDE 是平行四边形．9．已知：如图ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，DE ∥AC ，DF ∥AB ．求证：四边形AEDF 是菱形.A B CO D10．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ．求证：BE =CF ．11．如图，在ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AO=2，OB=1．求证：四边形ABCD 是菱形.12．如图，在ABCD 的两条对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．ABEFOACODACFEO13．点E 、F 、M 、N 分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE=BF=CM=DN ，试判断四边形EFMN 是什么图形？并证明你的结论．14．已知：如图，E 、F 是平行四边形ABCD ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF ．求证：（1）△ADF ≌△CBE ；（2）EB ∥DF ．15．如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC ，求证：四边形ABCD 是矩形．AB C D E F M N16．如图，E 是正方形ABCD 的边AD 的中点，F 是DC 上的一点，且DF=41CD ．求证：EF ⊥BE ．17．如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，BC DE //， AB EF //，且F 是BC 的中点．求证：CF DE =．18．如图，点E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．求证：AE=FG ．A P GFEDCBF EDCBAF19．如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，试说明四边形AFCE 是菱形．20．如图，已知ABCD 中，E 为AD 中点，CE 的延长线交BA 延长线于F ．求证：A 是BF 的中点．21．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点， E 、F 分别是BM 、CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ．(2）四边形MENF 是什么图形？请证明你的结论．FENMD CB AABCDOEFA BCE DF22．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB 、CD 的长．23.如图，水库大坝横截面为梯形，∠B=30°，∠C=45°,坝顶AD=6m ，CD=210m ，那么坝底BC 的长（结果保留小数点后一位）以及横截面面积（结果保留整数）分别是多少？24.已知菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAD=120°，求∠ABD 的度数。

特殊四边形的证明题

题型一：矩形1.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

（1）求证：BD =CD ；（2）如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

2.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证： PA =PQ ．3.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．4.如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 在AB 延长线上，∠BCE=60°，求∠ADE.A BCDE F AC BD PQA B C DE5.已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED.求证:AE 平分∠BAD.（第23题）6.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．7.在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB 、BC分别相交于点M ，N 时，观察或测量BM 与CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

题型二：菱形8.将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．B DE A B C DE F D ′9.如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a .（1）求∠ABC 的度数；（2）求对角线AC 的长；（3）求菱形ABCD 的面积。

特殊平行四边形证明过关

特殊平行四边形证明过关1、如图19－2－22所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，CG ⊥AB 于G ，交AD 于F ，DE ⊥AB 于E ，那么四边形CDEF 是菱形吗？说说你的理由.2、在□ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE=BF ，四边形AFCE 是平行四边形吗？说说你的理由。

DA BCEF3、已知：四边形ABCD 是平行四边形，AF ＝CE ，AF 、CE 分别是∠BAD 、∠BCD 的角平分线求证：四边形BEDF 是平行四边形DABCF E4、如图，△ABC 中，点O 是AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ， (1)求证：OE=OF ； (2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论。

5、如图，已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。

求证：四边形BFDE 是平行四边形6、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 在直线AB 上，且AE=AB=•BF ，•连结CE ，DF 分别交AD ，BC 于点M ，N ．（1）求证：四边形DMNC 是平行四边形；（2）若要使四边形DMNC 为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．7、已知，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F 。

求证：四边形AEDF 是菱形。

EFDABC8.已知：如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F 。

求证：四边形CEDF 是正方形。

9、如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 和AD 上的点。

已知CE ⊥BF ，垂足为点M 。

求证：⑴∠EBM=∠ECB ；⑵EB=AF 。

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