高数一基础知识

高数（一）的预备知识
第一部份 代数部份 （一）、基础知识：
1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。

2．绝对值：a
a a ⎧=⎨-⎩
00a a ≥∠
3．乘法公式
（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2
a 3-
b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
a 3+
b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)
4.一元二次方程
（1）标准形式：a 2+bx+c=0
(2)解的判定：22
40,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩
有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根
（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x
2
+px+q=0
设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；
1212p
q x x x x +=-⎧⎨
⋅=⎩
（4）十字相乘法： （二）指数和对数
1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n
n a a x x -⎧≠=⎪
⎨=⎪
⎩
则 2．根式与分数指数：
（1
）
1
n
a
= （2
）
m n
a
=
3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;
(1)x y x y a a a +⋅=
(2)()m n m n a a ⋅=
(3)x y x y a a a -÷=
(4)()n n n a b a b ⋅=⋅
4．对数：设,x
a N X N =则称为以a 为底的对数,
记作：log a
n
=X, lnX ，lgX;
5．对数的性质
(1)log a M ·N=log a M+log a N
(2) log log log a a M
M N N
=-
(3)
log log x
a a N x N
=⋅
(4)换底公式：
log log log a b a N
N b
=
（5）
log ln ,aN
x
a
N e
x =⇒=
（三）不等式
1．不等式组的解法：
（1）分别解出两个不等式，例2153241X X
X X -<-⎧⎨->-⎩
（2）求交集
2、绝对值不等式
（1）;
X a a X a ≤⇒-≤≤
（2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或
3、1元2次不等式的解法：
（1）标准形式：2
00ax bx c ++≥≤（或）
（2）解法：0
0122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程
判解：
0a a ⎧⎪
⎨⎪∆⎩
①若与不等式同号，解取根外；
②若与不等式异号，解取根内；
③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2
560;x x -+≥ （2）2
320;x x -+＜ （四）函数
1、正、反比例函数：y kx = ， 1
y x
=
2、1元2次函数：2
y ax bx c =++ （a ≠0）
顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a
=- ； 最值：244ac b y a -=；
图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下；
3、幂函数：
n y x = （n=1,2,3）；
4、指数函数：x y a = （x
e ）；
5、对数函数：y=ln x
第二部分 三角
（一）角的概念 1、正角、负角
2、角度与弧度的关系：0
180π= 0
1180
π
=
3、几种特殊的角 度 030 045 060 090 0180 0270
弧度
6π 4π 3π 2
π π
32
π 222a b c += sin b a c =
cos a a c = tan a=b a cot a=a b
5、任意角的三角函数
sin y r α=
cos α=x r tan α=y
x
cot α=x y sec α=1cos α csc α=1sin α
6、三角函数符号
7．特殊角的三角函数值：
00 300 450
600
900
1800
2700
sin α 0 1/2
/2
2
1 0 -1 cos α 1
2
2
1/2
-1
0 tan α 0
/3 1
∞
∞
cot α
∞
1
/3 0
∞
(二)三角变换 1．倒数关系
sin α·csc α=1
tan α·cot α=1
sec α·cos α=1
sec α=
1
cos α
csc α=
1sin α
cot α=
1
tan α
2. 平方关系的
22sin cos 1αα+=
22tan 1s ee αα+=
22cot 1csc αα+=；
3．诱导公式：
（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。

（2）余函数的：900±α，2700±α的三角函数值等于角X 余函极值；符号采用把α当作锐角时，原角所在象限函数的符号。

（三）两角和与两角差的三角函公式sin 22sin cos ααα=⋅
22222cos cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- αβ↑=
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβ
+=⋅++=⋅-⋅
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin ββ
αβαβαβαβαβαβ
↓--=-⋅-=-⋅以代 （四）半角公式
sin
2
2α
α==（五）反三角函数 arc sinX
主值,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦； arc cosX 主值
[]0,π arc tanX
主值,22ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
； arc cotX 主值
()0,π；
（六）几种基本函数的图象（用五点式作草图）
1．Y=sinX
(T=2 π )
2. y=cosX
(T=2 π )
3. y=tanX
(T=π )
（恒增）
4． y=cotX
(T=π )
(恒减)
第三部分 （平面解析几何） 1． 直线方程
（1） 点斜式：设直线过点（X 0，Y 0），且斜底为K ，则有：00()y y k x x -=- （2） 两点式：设直线过点（X 0，Y 0）（X 2，Y 2），则有：11
2121
y y x x y y x x --=--
2． 两条直线平行与垂直的条件： （1） 若平行：K 1=K 2；
（2） 若垂直：K 1·K 2=—1即互为负倒数。

3． 圆锥曲线：
（1） 圆：设圆心为（X 0，Y 0），半径为r,则有002
2
2
()()x x y y r -+-=
000,0x y ↓==
则有
222x y r +=
（2） 椭圆
10中心在原点，关于X 轴对称
2222
1x y a b
+=，关系：222
,,,b c a a b c +=
20
中心原点，关于y 轴对称：22
221
x y b a
+=
30椭圆的面积 s = 2,(a b
ab s a ππ=−−−
→=若圆) (3)双曲线：22222
221,,,,,,,,x y a b c a b c a b
+=+=
（4）抛物线 10 y 2=2px
20 y 2= - 2px 30 x 2= - 2py
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