人教A版数学必修4全册(基础版)

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高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法

正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形．二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。

人教版高中数学必修1课件全册

因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)， x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”
{ 例题、不等式组
2x-1>0 3x-6 0
的解集为A，U＝R，试求A及CUA，并把它们
分别表示在数轴上。
A={x|1/2<x<2}，CuA={x|x≤1/2,x≥2}
思考:
1、CUA在U中的补集是什么？
A
2、U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z}, B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA＝＿B＿＿， CUB＝＿＿A＿＿。
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3} ={x|-1<x<3}
-1 1 2 3
并集的运算性质：
(1) A A A (2) A A (3) A B B A (4) A A B, B A B, A B A B (5) A B则A B B
注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。
6、已知A {x | x 2 3x 2 0},B {x | x 2 ax a 1 0}若A B A,求实数a的值.

人教A版高中数学必修1全册课后习题(附解析)

结合全新各地模拟考试相关题目人教A版高中数学必修1全册课后习题（附解析）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念与几种常见的数集课后巩固1.设集合A={2,4,5},B={2,4,6},若x∈A,且x∉B,则x的值为()A.2B.4C.5D.62.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14B.-5C.D.是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a=AA中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.下列对象能构成集合的是()A.高一年级全体较胖的学生B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点较胖”与“很大”的标准不明确,所以A、C不能构成集合;对于B,由于sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故选D.5.(多选题)下列关系正确的有()A.∈RB.∉RC.|-3|∈ND.|-|∈Q中,∈R,正确;B中,∉R,错误;C中,|-3|∈N,正确;D中,|-|∈Q,错误,所以正确的个数是两个,故选A,C.6.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A中的元素.10.已知集合A中含有3个元素:x,,1,B中含有3个元素:x2,x+y,0,若A=B,则x2 017+y2 018=.A=B,∴解得则x2 017+y2 018=(-1)2 017+02 018=-1.11.设x,y,z是非零实数,若a=,则以a的值为元素的集合中元素的个数是.x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有一个是正数另两个是负数或有两个是正数另一个是负数时,a=0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素.12.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)证明:若a∈A,则1-∈A;(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.3∈A,∴=-∈A,∴∈A,∴=3∈A,∴A=.a∈A,∴∈A,∴=1-∈A.A只有一个元素,记A={a},则a=,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.第2课时集合的表示课后巩固1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是()A.0∈AB.-4∉AC.4∈AD.2∈AA={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的交点组成的集合是()A.{2,4}B.{x=2,y=4}C.(2,4)D.{(x,y)|x=2且y=4}解得∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为(2,4),∴组成的集合是{(x,y)|x=2且y=4}.3.集合用描述法可表示为()A. B.C. D.3,,即,从中发现规律,x=,n∈N*,故可用描述法表示为.4.已知集合A=m y=∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.集合A=m y=∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.(一题多空题)设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=,集合A用列举法表示为.4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.6.用列举法表示下列集合:(1)方程组的解集;(2)不大于10的非负奇数集;(3)A=.由故方程组的解集为{(2,1)}.(2)不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.(3)由式子可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.7.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.绝对值不大于3的整数可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈Z};(3)∵x=|x|,∴x≥0.∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可表示为{0,1,2,3,4};(4){-2}.(特别注意x∈Z这一约束条件)8.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.能力提升1.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈Q,则()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任意一个a=2m(m∈Z),b=2n+1(n∈Z),则a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1.因为m+n∈Z,与集合Q中的元素特征x=2k+1(k∈Z)相符合,所以a+b∈Q,故选B.2.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为.A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},所以B={(1,1)},只有一个元素.3.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.(x,y)xy≥0,-2≤x≤,-1≤y≤4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.当A中恰有一个元素时,若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=;若a≠0,则令Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.当A中有两个元素时,则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.综上,a≤时,A中至少有一个元素.(2)当A中没有元素时,则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=.综上,a=0或a≥时,A中至多有一个元素.1.2集合间的基本关系课后巩固1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D.2.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x+5=5}B.{x∈R|x+5>5}C.{x∈R|x2=0}D.{x∈R|x2+x+1=0}分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},∵x2+x+1=0无解,∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.3.(多选题)下列命题中,错误的是()A.空集没有子集B.任何集合至少有两个子集C.空集是任何集合的真子集D.若⌀⫋A,则A≠⌀错,空集是任何集合的子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.4.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的a的值是()A.-1B.0C.1D.-1或1B⊆A,∴∴a=-1.5.满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A.2B.3C.4D.8满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A为:{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.6.设集合M={y|y=x2+1},N={x|y=x2+1},能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是()M={y|y=x2+1}={y|y≥1},N={x|y=x2+1}=R,∴M⫋N,对应的Venn图是D.7.集合{x|1<x<6,x∈N*}的非空真子集的个数为.{x|1<x<6,x∈N*}={2,3,4,5},有4个元素,故有非空真子集24-2=14(个).8.下列各组中的两个集合相等的所有序号是.①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};③P={x|x2-x=0},Q=x x=,n∈Z.中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,Q={0,1},所以P=Q.9.集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是.B=⌀,即2a-1<a-1,即a<0时,满足B⊆A.若B≠⌀,即a-1≤2a-1,即a≥0时,要使B⊆A,则满足解得0≤a≤1.综上:a≤1.≤110.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.能力提升1.M={x|6x2-5x+1=0},P={x|ax=1},若P⊆M,则a的取值集合为()A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}{x|6x2-5x+1=0}=,P={x|ax=1}.∵P⊆M,∴P=⌀或P=或P=, ∴相应地,有a=0或a=3或a=2.∴a的取值集合为{0,2,3}.2.已知集合A=x x=(2k+1),k∈Z,B=x x=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为.A,k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时,x=(4n-2+1)=,n∈Z, 即集合A=x x=,n∈Z,由B=x x=,k∈Z,可知A=B.3.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围.(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数.(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.当m+1>2m-1即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,需可得2≤m≤3.综上,m≤3时有B⊆A.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以A的非空真子集个数为:28-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.②若B≠⌀,则要满足条件:解得m>4.综上,有m<2或m>4.1.3集合的基本运算第1课时并集和交集课后巩固1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}4.集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()A.0B.1C.2D.4A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴∴a=4.故选D.5.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.6.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=,求A∪B.A∩B=,∴-∈A且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.7.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).能力提升1.设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(1,3)A∪B=A,∴B⊆A,当B=⌀时,2a>a+3,解得a>3;当B≠⌀时,且a≤3,解得1≤a≤3.综上,a≥1.∴实数a的取值范围是[1,+∞).2.(一题多空题)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2},且集合A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则a=,b=.B∪C={x|-3<x≤4},∴A⫋(B∪C).∴A∩(B∪C)=A,由题意{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}.∴a=-1,b=2.第2课时补集及其应用课后提升1.已知全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},则A=()A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{2,4}D.⌀全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},∴A={2,4}.2.已知集合A={x|-1<x-3≤2},B={x|3≤x<4},则∁A B=()A.(2,3)∪(4,5)B.(2,3]∪(4,5]C.(2,3)∪[4,5]D.(2,3]∪[4,5]{x|2<x≤5},因为B={x|3≤x<4},所以∁A B=(2,3)∪[4,5].3.若全集U={1,2,3,4,5},且∁U A={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有()A.3个B.4个C.7个D.8个A={1,2,3},所以A={4,5},其真子集有22-1=3个,故选A.U4.设全集U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合(∁U A)∩B=()A.{x|3<x≤6}B.{x|3<x<6}C.{x|3≤x<6}D.{x|3≤x≤6}U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合∁U A={x|x>3},所以(∁U A)∩B={x|3<x≤6}.5.已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为()A.{3}B.{7}C.{3,7}D.{1,3,5},知A∪B={1,3,5},如图所示阴影区域表示的集合为∁U(A∪B)={7}.6.已知集合U={2,3,a2+2a-3},A={2,3},∁U A={5},则实数a的值为.5∈U,故得a2+2a-3=5,即a2+2a-8=0,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.当a=2时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.所以a=-4或a=2.7.(一题多空题)设集合U=-2,,2,3,A={x|2x2-5x+2=0},B=3a,,若∁U A=B,则a=,b=.A={x|2x2-5x+2=0}=,2,∁U A=B,故B={-2,3},则3a=3,=-2,所以a=1,b=-2.-28.已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(∁U B);(4)B∩(∁U A);(5)(∁U A)∩(∁U B).①.(1)A∩B={x|0≤x<5}.(2)A∪B={x|-5<x<7}.图①(3)如图②.图②∁U B={x|x<0,或x≥7},∴A∪(∁U B)={x|x<5,或x≥7}.(4)如图③.图③∁U A={x|x≤-5,或x≥5},B∩(∁U A)={x|5≤x<7}.(5)(方法一)∵∁U B={x|x<0,或x≥7},∁U A={x|x≤-5,或x≥5},∴如图④.图④(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-5,或x≥7}.(方法二)(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={x|x≤-5,或x≥7}.9.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁R A)=R,B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.A={x|1≤x≤2},∴∁R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(∁R A)=R,A∪(∁R A)=R,可得A⊆B.而B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},∴{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.能力提升1.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)∩(∁U B)={1,5},则下列结论正确的是()A.3∉A,且3∉BB.3∉B,但3∈AC.3∉A B.3∈A,且3∈BA∩B={2},故2∈B,且2∈A,(∁U A)∩B={4},所以4∈B但4∉A,(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={1,5},故1∉A,1∉B且5∉A,5∉B,所以3∉B,但3∈A.2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中的元素个数为()A.1B.2C.3D.4A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5},故选B.3.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示为由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则∁U M表示的6位字符串为;(2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是.由已知得,∁U M={1,4,5},则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B={1,3,6},而A={1,3},B⊆U,则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.(2)44.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}.(1)当m=1时,求(∁R B)∩A;(2)若(∁U A)∩B=⌀,求实数m的取值.x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.故A={-1,2}.(1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0,解得x=-1或x=0.故B={-1,0},∁R B={x|x≠-1,且x≠0}.所以(∁R B)∩A={2}.(2)由(∁U A)∩B=⌀可知,B⊆A.方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}.此时满足B⊆A.②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素.又因为B⊆A,且A={-1,2},所以A=B.故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解,由根与系数之间的关系可得解得m=-1.综上,m的取值为2或-1.1.4充分条件与必要条件课后巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.3.的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当x=1,y=7时,满足但不能满足故为必要不充分条件.4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.5.已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≠0,不一定有ab≠0,如b=0时;但是ab≠0则一定需a≠0.6.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?∵q⇒s,s⇒r⇒q,∴s是q的充分也是必要条件.(2)∵q⇒s⇒r⇒p,∴p是q的必要条件.7.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.能力提升1.已知条件p:x>1,条件q:≤1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≤1,得-1≤0,≤0,即x≥1或x<0.所以由p能推出q,反之不成立.故p是q的充分不必要条件.2.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.:因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因为a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.1.5全称量词与存在量词课后巩固1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.32.命题“∃x∈R,使得x+1<0”的否定是()A.∀x∈R,均有x+1<0B.∀x∈R,均有x+1≥0C.∃x∈R,使得x+1≥0D.∃x∈R,使得x+1=03.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p为()A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.4.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是()A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x3>0C.任一无理数的平方必是无理数D.存在一个负数x,使>2A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是()A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>3x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为.,所以命题可改写为“∃x<0,(1+x)(1-9x)>0”.x<0,(1+x)(1-9x)>07.已知命题p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,则实数m的最大值是.p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,所以“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,故m≤5.8.用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,并判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.改写后命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题.(2)改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题.如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.能力提升1.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于()A.∃x∈R,使得x3+1>0成立B.∃x∈R,使得x3+1≤0成立C.∀x∈R,使得x3+1>0成立D.∀x∈R,使得x3+1≤0成立x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,则根据存在量词命题的定义可知命题等价为∃x∈R,使得x3+1>0成立.2.命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.,命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x轴有公共点, 又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.-∞,-1]∪[1,+∞)3.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,当a=0时,-3<0成立;当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.综上所述,-3≤a<-1.所以实数a的取值范围是[-3,-1).。

人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)

（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.

高一数学人教A版必修4课件：第三章三角恒等变换

理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解令sin x－cos x＝t，则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]，又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~

高中数学必修4全册课件ppt人教版

跟踪训练 3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积； (2)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．
解：(1)扇形的圆心角为 75×1π80＝51π2，扇形半径为 15 cm. ∴扇形的面积 S＝12|α|·r2＝12×51π2×152＝3785π(cm2)．
长及扇形面积． (1)43π；(2)165°. 【解】 (1)l＝|α|·r＝43π×10＝430π(cm)， S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2030π(cm2)．
(2)165°＝1π80×165 rad＝1112π rad. ∴l＝|α|·r＝ 1112π×10＝565π(cm)， S＝12l·r＝12×565π×10＝2675π(cm2)．
③yx叫做 α 的正切，记作 tan α ，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余
【名师点评】 (1)弧长公式 l＝|α|·r 与扇形面积公式 S＝12 |α|·r2＝12l·r 在应用公式时，圆心角 α 的单位必须是弧度． (2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得)．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
l
注：“弧度”不是弧长，它是一
a
个比值。值有正负。

人教版高中数学选择性必修第一册全册考试复习必刷检测卷(基础版)(考试版)

高二数学人教版选择性必修第一册全册考试复习必刷检测卷(基础版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．（2021·石家庄市第十五中学高二月考）给出下列命题：①若{,,}a b c 可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，0d ≠，则{,,}a b d 也可作为空间的一个基底；②已知向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN ，不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{,,}a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2021·怀仁市大地学校高中部高二月考）已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且ka b +与2a b -互相平行，则k 的值为（）A ．-2B ．43C ．53D ．753．（2021·南城县第二中学高二月考）两条平行直线3x +4y -10=0与ax +8y +11=0之间的距离为（）A ．315B ．3110C ．235D ．23104．（2021·铁岭市清河高级中学高二月考）已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()1,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．122C ．8D ．135．（2021·铁岭市清河高级中学高二月考）已知双曲线2212y x m-=，直线l 过其上焦点2F ，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB 4=，1F 为双曲线下焦点，1ABF 的周长为18，则m 值为（）A ．8B ．9C ．10D ．2546．（2021·长春市第二中学高二月考（理））己知椭圆()222110x y b b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，32MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．337．（2021·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知6,4,8AC AB BD ===，则CD 的长为（）A ．17B ．7C ．217D ．98．（2021·四川省绵阳南山中学高二月考）已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A ．321+B ．42+2C ．43+1D ．432+二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件第一章 1.2 空间向量基本定理

∴ ⟨,⟩ =

(

+

+ ) −
⋅
⋅
||||

−

=

,

⋅=

×

=

∴异面直线与所成的角为 .

,||

,

=

(

+

−

)

=

.

C级学科素养创新练
8.已知向量，，可以构成空间向量的一个基底，则这三个向量中哪一个向量
C
[解析]对于A,若,,不全为0,则向量,,共面,与题意矛盾,故A正确;对于B,向量,,
两两共面,但向量,,不共面,故B正确;对于C,向量,,不共面,则不存在实数,,使得
= + ,故C错误;对于D,若向量 + , − , + 共面,则
= ,

∴ = = ( + + ) = + + .故选B.
3.[北师大版教材习题]在平行六面体 − ′′′′中，已知，，′为三条
不共面的线段，若′ = + 2 + 3′,则 + + 的值为() B
2
∠1 = ∠1 = ∠ = 60∘ ，则线段1 的长为____.
[解析]如图， = + + ，
∴ |
|
= ( + +

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第四章指数函数与对数函数对数运算性质与换底公式的应用

（2）已知,,是不等于1的正数，且 = =

解设 = = = ,由题意得， > 0,且 ≠ 1.
∵ ,,是不等于1的正数，
∴ lg = lg ,lg = lg ,lg = lg ,
∴ = log , = log , = log ,
∴
1

1

1

1

= log , = log , = log .
1

1

∵ + + = 0,∴ log + log + log = 0,
即log () = 0,∴ = 1.
1
，

1

1

+ + = 0,求的值.
规律方法有附加条件的求值问题的解题策略
2
[解析] =

=

=

.故答案为 .

2.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算
方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到
十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即 = ⇔ = log ,

= − = − ( − ) = − ( − ) = + − ,
规律方法将已知和要求的都用同底的对数表示是解决这类问题的关键.（1）将已知
条件化为同底的对数,用字母表示一些对数式的值;（2）要求的对数式运用换底公式化
为与（1）中同底的对数;（3）将（2）中对数的真数用（1）中对数式的真数表示;（4）

(人教A版)高中数学必修1(全册)课时同步作业汇总

(人教A版 )高中数学必修1 (全册 )课时同步作业汇总活页作业(一) 集合的含义(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．以下几组对象可以构成集合的是( )A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．世|界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人解析：A 、B 、C 中标准不明确 ,应选D. 答案：D2．下面有四个语句： ①集合N *中最|小的数是0； ②－a ∉N ,那么a ∈N ；③a ∈N ,b ∈N ,那么a ＋b 的最|小值是2； ④x 2＋1＝2x 的解集中含有两个元素．其中正确语句的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是不含0的自然数 ,所以①错误；取a ＝ 2 ,那么－2∉N ,2∉N ,所以②错误；对于③ ,当a ＝b ＝0时 ,a ＋b 取得最|小值是0 ,而不是2 ,所以③错误；对于④ ,解集中只含有元素1 ,故④错误．答案：A3．集合A 含有三个元素2,4,6 ,且当a ∈A 时 ,有6－a ∈A ,那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4D ．0解析：假设a ＝2∈A ,那么6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ,那么6－a ＝2∈A ；假设a ＝6∈A ,那么6－a ＝0∉A .应选B.答案：B4．假设集合M 中的三个元素a ,b ,c 是△ABC 的三边长 ,那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由集合中元素的互异性可知△ABC 的三边长满足a ≠b ≠c .应选D. 答案：D5．设a ,b ∈R ,集合A 中含有0 ,b ,ba三个元素 ,集合B 中含有1 ,a ,a ＋b 三个元素 ,且集合A 与集合B 相等 ,那么a ＋2b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．不确定解析：由题意知a ＋b ＝0 ,∴b a＝－1 ,∴a ＝－1 ,b ＝1 ,∴a ＋2b ＝1.答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合A中只含有1 ,a2两个元素 ,那么实数a不能取的值为________．解析：由a2≠1 ,得a≠±1.答案：±17．假设集合P含有两个元素1,2 ,集合Q含有两个元素1 ,a2 ,且P ,Q相等 ,那么a ＝________.解析：由于P ,Q相等 ,故a2＝2 ,从而a＝± 2.答案：± 28．集合P中元素x满足：x∈N ,且2＜x＜a ,又集合P中恰有三个元素 ,那么整数a ＝________.解析：∵x∈N ,且2＜x＜a ,∴结合数轴可得a＝6.答案：6三、解答题(每题10分 ,共20分)9．假设所有形如3a＋2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6－22是不是集合A中的元素．解：∵3a＋2b(a∈Z ,b∈Z)中 ,令a＝2 ,b＝－2 ,可得6－2 2 ,∴6－22是集合A中的元素．10．设集合A中含有三个元素3 ,x ,x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)假设－2∈A ,求实数x.解：(1)由集合中元素的互异性可知 ,x≠3 ,且x≠x2－2x ,x2－2x≠3.解得x≠3 ,且x≠0 ,且x≠－1.(2)∵－2∈A ,∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1 ,∴x＝－2.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．2a∈A ,a2－a∈A ,假设A只含这两个元素 ,那么以下说法中正确的选项是( ) A．a可取全体实数B．a可取除去0以外的所有实数C．a可取除去3以外的所有实数D ．a 可取除去0和3以外的所有实数解析：∵2a ∈A ,a 2－a ∈A ,∴2a ≠a 2－a .∴a (a －3)≠0.∴a ≠0且a ≠3.应选D. 答案：D2．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1 ,假设t ∈A ,那么t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于等于1解析：∵y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1 ,∴y ＝0或1.∵t ∈A ,∴t ＝0或1. 答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A 是由m －1,3m ,m 2－1三个元素组成的集合 ,且3∈A ,那么实数m 的值为________．解析：由m －1＝3 ,得m ＝4 ,此时3m ＝12 ,m 2－1＝15 ,故m ＝4符合题意；由3m ＝3 ,得m ＝1 ,此时m －1＝m 2－1＝0 ,故舍去；由m 2－1＝3 ,得m ＝±2 ,经检验m ＝±2符合题意．故填4或±2.答案：4或±24．假设a ,b ∈R 且a ≠0 ,b ≠0 ,那么|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ＞0 ,b ＞0时 ,|a |a ＋|b |b＝2；当ab ＜0时 ,|a |a ＋|b |b ＝0；当a ＜0 ,b ＜0时 ,|a |a＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0 ,－2.即集合中元素的个数为3. 答案：3三、解答题(每题10分 ,共20分)5．集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成 ,其中k ∈R ,假设A 中的元素只有一个 ,求k 的值．解：由题意知A 中元素即方程kx 2－3x ＋2＝0(k ∈R )的解．假设k ＝0 ,那么x ＝23 ,知A 中只有一个元素 ,符合题意；假设k ≠0 ,那么方程为一元二次方程．当Δ＝9－8k ＝0 ,即k ＝98时 ,方程kx 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数解 ,此时A 中只有一个元素．综上所述 ,k ＝0或98.6．集合A 中的元素全为实数 ,且满足：假设a ∈A ,那么1＋a1－a ∈A .(1)假设a ＝2 ,求出A 中其他所有元素． (2)0是不是集合A 中的元素 ?请说明理由．解：(1)由2∈A ,得1＋21－2＝－3∈A .又由－3∈A, 得1－31＋3＝－12∈A .再由－12∈A ,得1－121＋12＝13∈A .由13∈A ,得1＋131－13＝2∈A . 故A 中除2外 ,其他所有元素为－3 ,－12 ,13.(2)0不是集合A 中的元素．理由如下：假设0∈A ,那么1＋01－0＝1∈A ,而当1∈A 时 ,1＋a1－a不存在 ,故0不是集合A 中的元素．活页作业(二) 集合的表示(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3} ,那么有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．2∈A解析：∵0∈N 且－3＜0＜ 3 ,∴0∈A . 答案：B2．集合M ＝{y |y ＝x 2} ,用自然语言描述M 应为( ) A ．函数y ＝x 2的函数值组成的集合B．函数y＝x2的自变量的值组成的集合C．函数y＝x2的图象上的点组成的集合D．以上说法都不对解析：从描述法表示的集合来看 ,代表元素是函数值 ,即集合M表示函数y＝x2的函数值组成的集合．答案：A3．集合{－2,1}等于( )A．{(x－1)(x＋2)＝0} B．{y|y＝x＋1 ,x∈Z}C．{x|(x＋1)(x－2)＝0} D．{x|(x－1)(x＋2)＝0}解析：选项A是含有一个一元二次方程的集合 ,选项B是函数y＝x＋1 ,x∈Z的函数值组成的集合 ,有无数多个元素 ,选项C是方程(x＋1)(x－2)＝0的解的集合为{－1,2} ,选项D是方程(x－1)(x＋2)＝0的解的集合为{1 ,－2}．应选D.答案：D4．假设1∈{x ,x2} ,那么x＝( )A．1 B．－1C．0或1 D．0或1或－1解析：∵1∈{x ,x2} ,∴x＝1或x2＝1 ,∴xx＝1 ,那么x＝x2＝1 ,不符合集合中元素的互异性．答案：B5．以下集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)} ,N＝{(2,3)}B．M＝{3,2} ,N＝{2,3}C．M＝{(x ,y)|x＋y＝1} ,N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2} ,N＝{(1,2)}解析：A中M、N都为点集 ,元素为点的坐标 ,顺序不同表示的点不同；C中M、N分别表示点集和数集；D中M为数集 ,N为点集 ,应选B.答案：B二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合A＝{x|x2＝a ,x∈R} ,那么实数a的取值范围是________．解析：当x∈R时 ,a＝x2≥0.答案：a≥07．集合A＝{－1,0,1} ,集合B＝{y|y＝|x| ,x∈A} ,那么B＝____________.解析：∵|－1|＝1 ,|0|＝0 ,|1|＝1 ,∴B＝{0,1}．答案：{0,1}8．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫125－x ∈N x ∈N ,那么用列举法表示为__________________．解析：根据题意 ,5－x 应该是12的因数 ,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12 ,从而可得到对应xx ∈N ,所以x 的值为4,3,2,1.答案：{4,3,2,1}三、解答题(每题10分 ,共20分) 9．用另一种方法表示以下集合． (1){绝|对值不大于2的整数}； (2){能被3整除 ,且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x | ,x ＜5 ,且x ∈Z }； (4){(x ,y )|x ＋y ＝6 ,x ∈N *,y ∈N *}； (5){－3 ,－1,1,3,5}．解：(1){－2 ,－1,0,1,2}． (2){3,6,9}．(3)∵x ＝|x | ,∴x ∵x ∈Z ,且x ＜5 , ∴x ＝0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5) ,(2,4) ,(3,3) ,(4,2) ,(5,1)}． (5){x |x ＝2k －1 ,－1≤k ≤3 ,k ∈Z }．10．集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0 ,x ∈R } ,假设A 中至|多有一个元素 ,求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时 ,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43；当a ≠0时 ,关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根 , ∴Δ＝9＋16a ≤0 ,即a ≤－916. 综上 ,所求实数a 的取值范围是a ＝0或a ≤－916.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．设x ＝13－52 ,y ＝3＋2π ,集合M ＝{m |m ＝a ＋2b ,a ∈Q ,b ∈Q } ,那么x ,y 与集合M 的关系是( )A ．x ∈M ,y ∈MB ．x ∈M ,y ∉MC ．x ∉M ,y ∈MD ．x ∉M ,y ∉M 解析：x ＝13－52＝3＋523－523＋52＝－341－2×541∈M ,y ∉M .应选B. 答案：B2．用描述法表示如下图阴影局部的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A ．{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B ．{(x ,y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C ．{(x ,y )|－2≤x ≤0且－2≤y ＜0}D ．{(x ,y )|－2≤x ≤0或－2≤y ≤0}解析：阴影局部为点集 ,且包括边界上的点 ,所以－2≤x ≤0且－2≤y ≤0. 答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{(x ,y )|y ＝2x ＋1} ,B ＝{(x ,y )|y ＝x ＋3} ,a ∈A 且a ∈B ,那么a 为________．解析：∵a ∈A 且a ∈B ,∴a 是方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋1 y ＝x ＋3的解．解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 y ＝5 ∴a为(2,5)．答案：(2,5)4．A ＝{1,2,3} ,B ＝{1,2} ,定义集合间的运算A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2 ,x 1∈A ,x 2∈B } ,那么集合A ＋B 中元素的最|大值是________．解析：当x 1＝1 ,x 2＝1或2时 ,x ＝2或3；当x 1＝2 ,x 2＝1或2时 ,x ＝3或4；当x 1＝3 ,x 2＝1或2时 ,x ＝4或5.∴集合A ＋B 中元素的最|大值是5.答案：5三、解答题(每题10分 ,共20分)5．集合A ＝{(x ,y )|2x －y ＋m ＞0} ,B ＝{(x ,y )|x ＋y －n ≤0} ,假设点P (2,3)∈A ,且P (2,3)∉B ,试求m ,n 的取值范围．解：∵点P ∈A ,∴2×2－3＋m ＞0.∴m ＞－1. ∵点P ∉B ,∴2＋3－n ＞0.∴n ＜5.∴所求m ,n 的取值范围分别是{m |m ＞－1} ,{n |n ＜5}．6．集合P ＝{x |x ＝2k ,k ∈Z } ,M ＝{x |x ＝2k ＋1 ,k ∈Z } ,a ∈P ,b ∈M ,设c ＝a ＋b ,那么c 与集合M 有什么关系 ?解：∵a ∈P ,b ∈M ,c ＝a ＋b , 设a ＝2k 1 ,k 1∈Z ,b ＝2k 2＋1 ,k 2∈Z , ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1. 又k 1＋k 2∈Z , ∴c ∈M .活页作业(三) 集合间的根本关系(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分) 1．以下关系中 ,表示正确的选项是( ) A ．1∈{0,1} B ．1{0,1} C ．1⊆{0,1}D ．{1}∈{0,1}解析：、⊆表示集合之间的关系 ,故B 、C 错误；∈表示元素与集合之间的关系 ,故D 错误．答案：A2．假设x ,y ∈R ,A ＝{(x ,y )|y ＝x } ,B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xy ⎪⎪⎪y x ＝1 ,那么A ,B 的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：集合A 表示函数y ＝x 图象上所有点组成的集合 ,集合B 中要求x ≠0 ,所以集合B 表示除点(0,0)以外的y ＝x 图象上的点组成的集合 ,A B 成立．答案：B3．全集U ＝R ,那么正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：∵M＝{－1,0,1} ,N＝{0 ,－1} ,∴N M.应选B.答案：B4．集合A＝{x|0≤x＜3 ,x∈N}的真子集的个数是( )A．16 B．8C．7 D．4解析：易知集合A＝{0,1,2} ,∴A的真子集为∅ ,{0} ,{1} ,{2} ,{0,1} ,{0,2} ,{1,2} ,共有7个．答案：C5．设A＝{x|1＜x＜2} ,B＝{x|x＜a} ,假设A⊆B ,那么a的取值范围是( )A．a≤2B．a≤1C．a≥1D．a≥2解析：如图 ,在数轴上表示出两集合 ,只要a≥2 ,就满足A⊆B.答案：D二、填空题(每题5分 ,共15分)6.右图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系 ,那么A ,B ,C ,D ,E分别代表的图形的集合为______________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形} ,集合B＝{梯形} ,集合C ＝{平行四边形} ,集合D＝{菱形} ,集合E＝{正方形}．答案：A＝{四边形} ,B＝{梯形} ,C＝{平行四边形} ,D＝{菱形} ,E＝{正方形}7．设集合M＝{(x ,y)|x＋y＜0 ,xy＞0}和P＝{(x ,y)|x＜0 ,y＜0} ,那么M与P的关系为________．解析：∵xy＞0 ,∴x ,y同号．又x＋y＜0 ,∴x＜0 ,y＜0 ,即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点 ,故M＝P.答案：M＝P8．集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x≥m} ,假设A⊆B ,那么实数m的取值范围为_________________________________．解析：集合A ,B 在数轴上的表示如下图．由图可知 ,假设A ⊆B ,那么m ≤－2. 答案：m ≤－2三、解答题(每题10分 ,共20分)9．集合A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2 ,x ,y ∈N } ,试写出A 的所有子集．解：∵A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2 ,x ,y ∈N } , ∴A ＝{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}． ∴A 的子集有：∅ ,{(0,2)} ,{(1,1)} ,{(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1)} ,{(0,2) ,(2,0)} ,{(1,1) ,(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}．10．集合A ＝{x |1<ax <2} ,B ＝{x |－2<x ＜2} ,求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．解：B ＝{x |－2＜x ＜2}． (1)当a ＝0时 ,A ＝∅ ,显然A ⊆B . (2)当a ＞0时 ,A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2a . ∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－2 2a ≤2 解得a ≥1.(3)当a <0时 ,A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a<x <1a .∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤22a ≥－2 解得a ≤－1.综上可知 , a ＝0 ,或a ≥1 ,或a ≤－1时 ,A ⊆B .一、选择题(每题5分 ,共10分)1．集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0 ,x ∈R } ,B ＝{x |0＜x ＜5 ,x ∈N } ,那么满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为集合A ＝{1,2} ,B ＝{1,2,3,4} ,所以当满足A ⊆C ⊆B 时 ,集合C 可以为{1,2} ,{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,2,3,4} ,故满足条件的集合C 有4个．答案：D2．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x ＝m ＋16 m ∈Z,N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2－13 n ∈Z ,那么集合M ,N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．N M解析：设n ＝2m 或2m ＋1 ,m ∈Z , 那么有N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2m 2－13或x ＝2m ＋12－13m ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝m －13或x ＝m ＋16 m ∈Z . 又∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x ＝m ＋16 m ∈Z ,∴M N .答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．假设A ＝{1,2} ,B ＝{x |x ⊆A } ,那么B ＝________.解析：∵x ⊆A ,∴x ＝∅ ,{1} ,{2} ,{1,2} ,∴B ＝{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}．答案：{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}4．集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0 ,a ∈R } ,假设集合A 有且仅有2个子集 ,那么a 的取值构成的集合为________________．解析：∵集合A 有且仅有2个子集 ,∴A 仅有一个元素 ,即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时 ,方程化为2x ＝0 , ∴x ＝0 ,此时A ＝{0} ,符合题意．当a ≠0时 ,Δ＝22－4·a ·a ＝0 ,即a 2＝1 ,∴a ＝±1. 此时A ＝{－1} ,或A ＝{1} ,符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1. 答案：{0,1 ,－1}三、解答题(每题10分 ,共20分)5．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝0 x ∈Z ,B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0} ,假设B ⊆A ,求实数a 的值．解：由题意得A ＝{0 ,－4}．(1)当B ＝∅时 ,方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解 , ∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0. ∴a ＜－1. (2)当BA (B ≠∅)时 ,那么B ＝{0}或B ＝{－4} ,即方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0只有一解 , ∴Δ＝8a ＋8＝0. ∴aB ＝{0}满足条件．(3)当B ＝A 时 ,方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 有两实根0 ,－4 ,∴⎩⎨⎧16－8a ＋1＋a 2－1＝0 a 2－1＝0.∴a ＝1.综上可知 ,a ≤－1 ,或a ＝1.6．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6} ,B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时 ,求A 的非空真子集的个数； (2)假设A ⊇B ,求m 的取值范围．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ,∴A ＝{－2 ,－1,0,1,2,3,4,5} ,即A 中含有8个元素．∴A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)． (2)①当m ≤－2时 ,B ＝∅⊆A ；②当m ＞－2时 ,B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1} , 因此 ,要B ⊆A ,那么只要⎩⎨⎧m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述 ,m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．活页作业(四)并集、交集(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2} ,N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3} ,那么M ∩N ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由题意 ,得M ＝{－2 ,－1,0,1} ,N ＝{－1,0,1,2,3} ,∴M ∩N ＝{－1,0,1}．答案：B2．假设集合M ＝{x |－2≤x ＜2} ,N ＝{0,1,2} ,那么M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1,2}D ．{0,1}解析：M ＝{x |－2≤x ＜2} ,N ＝{0,1,2} ,那么M ∩N ＝{0,1} ,应选D. 答案：D3．以下各组集合 ,符合Venn 图所示情况的是( )A ．M ＝{4,5,6,8} ,N ＝{4,5,6,7,8}B ．M ＝{x |0＜x ＜2} ,N ＝{x |x ＜3}C ．M ＝{2,5,6,7,8} ,N ＝{4,5,6,8}D ．M ＝{x |x ＜3} ,N ＝{x |0＜x ＜2}解析：因为{4,5,6,8}⊆{4,5,6,7,8} ,即M ⊆N ,所以选项A 错误．又因{x |0＜x ＜2}⊆{x |x ＜3} ,所以选项B 错误 ,选项C 显然错误 ,选项D 正确．答案：D4．设集合A ＝{1,2} ,那么满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．4D ．8解析：∵A ＝{1,2} ,且A ∪B ＝{1,2,3} ,∴B ＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．答案：C5．设集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤10} ,B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0} ,那么图中阴影表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}解析：∵A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,B ＝{－3,2} ,∴图中阴影表示的集合为A ∩B ＝{2}．答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合M ＝{x |－3＜x ≤5} ,N ＝{x |－5＜x ＜－2 ,或x ＞5} ,那么M ∪N ＝____________ ,M ∩N ＝__________________.解析：借助数轴可知：M ∪N ＝{x |x ＞－5} ,M ∩N ＝{x |－3＜x ＜－2}．答案：{x |x ＞－5} {x |－3＜x ＜－2}7．集合A ＝{(x ,y )|y ＝x 2,x ∈R } ,B ＝{(x ,y )|y ＝x ,x ∈R } ,那么A ∩B 中的元素个数为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0 或⎩⎨⎧x ＝1y ＝1.答案：28．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2} ,B ＝{x |x ＜a } ,假设A ∩B ≠∅ ,那么a 的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知 ,a ＞－1.答案：a ＞－1三、解答题(每题10分 ,共20分)9．集合A ＝{1,3,5} ,B ＝{1,2 ,x 2－1} ,假设A ∪B ＝{1,2,3,5} ,求x 及A ∩B . 解：∵B ⊆(A ∪B ) , ∴x 2－1∈(A ∪B )．∴x 2－1＝3或x 2－1＝5 ,解得x ＝±2或x ＝± 6. 假设x 2－1＝3 ,那么A ∩B ＝{1,3}；假设x 2－1＝5 ,那么A ∩B ＝{1,5}．10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0} ,B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0} ,假设A ∪B ＝A ,求实数a 的取值范围．解：A ＝{1,2} ,∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A .集合B 有两种情况：B ＝∅或B ≠∅. (1)B ＝∅时 ,方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根 , ∴Δ＝16－4a ＜0.∴a ＞4. (2)B ≠∅时 ,当Δ＝0时 ,a ＝4 ,B ＝{2}⊆A 满足条件；当Δ＞0时 ,假设1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根 , 由根与系数的关系知1＋2＝3≠4 ,矛盾 ,∴a ＝4. 综上 ,a 的取值范围是a ≥4.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．集合A ＝{1,2} ,B ＝{x |mx －1＝0} ,假设A ∩B ＝B ,那么符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1 12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 0 12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 －12解析：当m ＝0时 ,B ＝∅ ,A ∩B ＝B ；当m ≠0时 ,x ＝1m ,要使A ∩B ＝B ,那么1m ＝1或1m＝2 ,即m ＝1或m ＝12,选C.答案：C2．定义集合{x |a ≤x ≤b }的 "长度〞是b －a .m ,n ∈R ,集合M ＝xm ≤x ≤m ＋23 ,N ＝xn－34≤x ≤n ,且集合M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,那么集合M ∩N 的 "长度〞的最|小值是( )A.23B.12C.512D ．13解析：集合M ,N 的 "长度〞分别为23 ,34 ,又M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,如图 ,由图可知M ∩N 的 "长度〞的最|小值为53－54＝512.答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{1,3 ,m } ,B ＝{1 ,m } ,A ∪B ＝A ,那么m ＝________.解析：由A ∪B ＝A 得B ⊆A ,所以有m ＝3或m ＝m .由m ＝m 得m ＝0或1 ,经检验 ,m ＝1时 ,B ＝{1,1}矛盾 ,m ＝0或3时符合题意．答案：0或34．设集合A ＝{5 ,a ＋1} ,集合B ＝{a ,b }．假设A ∩B ＝{2} ,那么A ∪B ＝______________. 解析：∵A ∩B ＝{2} ,∴2∈A .故a ＋1＝2 ,a ＝1 ,即A ＝{5,2}；又2∈B ,∴b ＝2 ,即B ＝{1,2}．∴A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}三、解答题(每题10分 ,共20分)5．A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3} ,B ＝{x |x ＜－1或x ＞5} ,假设A ∩B ＝∅ ,求a 的取值范围．解：A ∩B ＝∅ ,A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}． (1)假设A ＝∅ ,有2a ＞a ＋3 ,∴a ＞3. (2)假设A ≠∅ ,如下图．那么有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1a ＋3≤5 2a ≤a ＋3解得－12≤a ≤2.综上所述 ,a 的取值范围是－12≤a ≤2或a ＞3.6．集合M ＝{x |2x －4＝0} ,N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时 ,求M ∩N ,M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时 ,求实数m 的值．解：由得M ＝{2}． (1)当m ＝2时 ,N ＝{1,2}． ∴M ∩N ＝{2} ,M ∪N ＝{1,2}． (2)假设M ∩N ＝M ,那么M ⊆N , ∴2∈N . ∴4－6＋m ＝0. ∴m ＝2.活页作业(五) 补集及集合运算的综合应用(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．全集U ＝{0,1,2} ,且∁U A ＝{2} ,那么A 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．∅D ．{0,1}解析：∵∁U A ＝{2} ,∴A ＝{0,1}．答案：D2．A ＝{x |x ＋1＞0} ,B ＝{－2 ,－1,0,1} ,那么(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2 ,－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1} 解析：解不等式求出集合A ,进而得∁R A ,再由集合交集的定义求解．因为集合A ＝{x |x ＞－1} ,所以∁R A ＝{x |x ≤－1}．那么(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2 ,－1,0,1} ＝{－2 ,－1}．答案：A3．如下图 ,U 是全集 ,A ,B 是U 的子集 ,那么图中阴影局部表示的集合是( )A．A∩B B．B∩(∁U A)C．A∪B D．A∩(∁U B)解析：阴影局部在B中且在A的外部 ,由补集与交集的定义可知阴影局部可表示为B∩(∁U A)．答案：B4．设集合M＝{x|x＝3k ,k∈Z} ,P＝{x|x＝3k＋1 ,k∈Z} ,Q＝{x|x＝3k－1 ,k∈Z} ,那么∁Z(P∪Q)＝( )A．M B．PC．Q D．∅解析：x＝3k ,k∈Z表示被3整除的整数；x＝3k＋1 ,k∈Z表示被3整除余1的整数；x＝3k－1表示被3整除余2的整数 ,所以∁Z(P∪Q)＝M.答案：A5．集合A＝{x|x<a} ,B＝{x|1<x<2} ,且A∪(∁R B)＝R,那么实数a的取值范围是( ) A．a≤1B．a<1C．a≥2D．a>2解析：如下图 ,假设能保证并集为R ,那么只需实数a在数2的右边 ,注意等号的选取．选C.答案：C二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合U＝{2,3,6,8} ,A＝{2,3} ,B＝{2,6,8} ,那么(∁U A)∩B＝________.解析：(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}7．设全集U＝R ,集合A＝{x|x≥0} ,B＝{y|y≥1} ,那么∁U A与∁U B的包含关系是______________．解析：∵∁U A＝{x|x<0} ,∁U B＝{y|y<1} ,∴∁U A∁U B.如图．答案：∁U A∁U B8．设全集S＝{1,2,3,4} ,且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0} ,假设∁S A＝{2,3} ,那么m＝________.解析：因为S＝{1,2,3,4} ,∁S A＝{2,3} ,所以A＝{1,4} ,即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根 ,由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4三、解答题(每题10分 ,共20分)9．全集U＝{2,3 ,a2－2a－3} ,A＝{2 ,|a－7|} ,∁U A＝{5} ,求a的值．解：由|a－7|＝3 ,得a＝4或a＝10.当a＝4时 ,a2－2a－3＝5 ,当a＝10时 ,a2－2a－3＝77∉U ,所以a＝4.10．集合A＝{x|3≤x＜7} ,B＝{x|2＜x＜10} ,C＝{x|x＜a}．(1)求(∁R A)∩B；(2)假设A⊆C ,求a的取值范围．解：(1)∵A＝{x|3≤x＜7} ,∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(2)∵C＝{x|x＜a} ,且A⊆C ,如下图 ,∴a≥7.∴a的取值范围是{a|a≥7}．一、选择题(每题5分 ,共10分)1．全集U＝R,集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x＜－2或x＞4} ,那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}解析：∵∁U A＝{x|x＜－2或x＞3} ,∁U B＝{x|－2≤x≤4} ,如图 ,∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}．应选A.答案：A2．设A ,B ,I均为非空集合 ,且满足A⊆B⊆I ,那么以下各式中错误的选项是( ) A．(∁I A)∪B＝I B．(∁I A)∪(∁I B)＝IC．A∩(∁I B)＝∅D．(∁I A)∩(∁I B)＝∁I B解析：方法一符合题意的Venn图 ,如图．观察可知选项A ,C ,D 均正确 ,(∁I A )∪(∁I B )＝∁I A ,应选项B 错误．方法二运用特例法 ,如A ＝{1,2,3} ,B ＝{1,2,3,4} ,I ＝{1,2,3,4,5}．逐个检验只有选项B 错误．答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．全集U ＝R ,A ＝{x |x ＜－3 ,或x ≥2} ,B ＝{x |－1＜x ＜5} ,那么集合C ＝{x |－1＜x ＜2}＝______________.(用A ,B 或其补集表示)解析：如下图 ,由图可知C ⊆∁U A ,且C ⊆B ,∴C ＝B ∩(∁U A )．答案：B ∩(∁U A )4．某班共50人 ,参加A 项比赛的共有30人 ,参加B 项比赛的共有33人 ,且A ,B 两项都不参加的人数比A ,B 都参加的人数的13多1人 ,那么只参加A 项不参加B 项的有____人．解析：如下图 ,设A ,B 两项都参加的有x 人 ,那么仅参加A 项的共(30－x )人 ,仅参加B 项的共(33－x )人 ,A ,B 两项都不参加的共⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1人 ,根据题意得x ＋(30－x )＋(33－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1＝50 ,解得x ＝21 ,所以只参加A 项不参加B 项的共有30－21＝9(人)．故填9.答案：9三、解答题(每题10分 ,共20分)5．设全集是实数集R ,A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0} ,B ＝{x |x 2＋a ＜0}． (1)当a ＝－4时 ,求A ∩B 和A ∪B ；(2)假设(∁R A )∩B ＝B ,求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤3,当a ＝－4时 ,B ＝{x |－2＜x ＜2} ,∴A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ＜2 ,A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜12 或x ＞3 ,当(∁R A )∩B ＝B 时 ,B ⊆∁R A .①当B ＝∅ ,即a ≥0时 ,满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅ ,即a ＜0时 ,B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }．要使B ⊆∁R A ,需－a ≤12 ,解得－14≤a ＜0.综上可得 ,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥－14.6．设全集I ＝R ,集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0} ,N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ,集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ,a ∈R } ,假设B ∪A ＝A ,求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3} ,N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}． ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2} , ∵B ∪A ＝A ,∴B ⊆A . ∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时 ,a －1>5－a ,∴a >3；当B ＝{2}时 ,⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2解得a ＝3.综上所述 ,所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．活页作业(六) 函数的概念(时间：30分钟总分值：60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1．设f：x→x2是集合A到集合B的函数 ,如果集合B＝{1} ,那么集合A不可能是( ) A．{1} B．{－1}C．{－1,1} D．{－1,0}解析：假设集合A＝{－1,0} ,那么0∈A ,但02＝0∉B.应选D.答案：D2．各个图形中 ,不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )解析：因垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至|多有一个交点．应选A.答案：A3．假设函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2} ,值域为N＝{y|0≤y≤2} ,那么函数y＝f(x)的图象可能是( )解析：选项A ,定义域为{x|－2≤x≤0} ,不正确．选项C ,当x在(－2,2]取值时 ,y 有两个值和x对应 ,不符合函数的概念．选项D ,值域为[0,1] ,不正确 ,选项B正确．答案：B二、填空题(每题4分 ,共8分)4．假设(2m ,m＋1)表示一个开区间 ,那么m的取值范围是________．解析：由2m＜m＋1 ,解得m＜1.答案：(－∞ ,1)5．函数y＝f(x)的图象如下图 ,那么f(x)的定义域是________________；其中只与x 的一个值对应的y值的范围是________________．解析：观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] 三、解答题6．(本小题总分值10分)求以下函数的定义域． (1)y ＝2x ＋1＋3－4x . (2)y ＝1|x ＋2|－1.解：由得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－12 3－4x ≥0⇒x ≤34∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1234. (2)由得 ,|x ＋2|－1≠0 , ∴|xx ≠－3 ,x ≠－1.∴函数的定义域为(－∞ ,－3)∪(－3 ,－1)∪(－1 ,＋∞)．一、选择题(每题5分 ,共10分)1．四个函数：(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 3；(3)y ＝x 2－1； (4)y ＝1x.其中定义域相同的函数有( )A ．(1) ,(2)和(3)B ．(1)和(2)C ．(2)和(3)D ．(2) ,(3)和(4)解析：(1) ,(2)和(3)中函数的定义域均为R ,而(4)函数的定义域为{x |x ≠0}．答案：A2．函数f (x )＝－1 ,那么f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．不确定解析：∵f (x )＝－1 ,∴f (2)＝－1. 答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{1,2,3} ,B ＝{4,5} ,那么从A 到B 的函数f (x )有________个．解析：抓住函数的 "取元任意性 ,取值唯一性〞 ,利用列表方法确定函数的个数.f (1) 4 4 4 4 5 5 5 5 f (2) 4 4 5 5 4 4 5 5 f (3)45454545由表可知 ,这样的函数有8个 ,故填8. 答案：8 4．函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域为________．(并用区间表示)解析：要使函数解析式有意义 ,需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥06－2x ≥0 6－2x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤3x ≠52⇒－2≤x ≤3 ,且x ≠52.∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3三、解答题5．(本小题总分值10分)将长为a 的铁丝折成矩形 ,求矩形面积y 关于边长x 的解析式 ,并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ,那么另一边长为12(a －2x ) ,所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a 2 0＜12a －2x ＜a2解得0＜x ＜a2,即函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 a 2.活页作业(七) 函数概念的综合应用(时间：30分钟总分值：60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1．函数f (x )＝x ＋1x,那么f (1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：f (1)＝1＋11＝2.答案：B2．以下各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1 ,x ∈Z 与y ＝2x －1 ,x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同 ,B 、D 中两函数对应关系不同 ,C 中定义域与对应关系都相同．答案：C3．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1 ,＋∞) B ．[0 ,＋∞) C ．(－∞ ,0]D ．(－∞ ,－1]解析：∵x ＋1≥0 ,∴y ＝x ＋1 ≥0. 答案：B二、填空题(每题4分 ,共8分) 4．函数y ＝x ＋1x的定义域为________．解析：要使函数式有意义 ,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ≠0 ,所以函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}．答案：{x |x ≥－1且x ≠0}5．函数f (x )＝2x －3 ,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5} ,那么函数的值域为__________________．解析：函数的定义域为{1,2,3,4,5}．故当x ＝1,2,3,4,5时 ,y ＝－1,1,3,5,7 ,即函数的值域为{－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7} 三、解答题6．(本小题总分值10分)假设f (x )＝ax 2－ 2 ,且f (f (2))＝－ 2 ,求a 的值．解：因为f (2)＝a (2)2－2＝2a － 2 ,所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－ 2.于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0 ,所以a＝22或a ＝0.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．以下函数中 ,值域为(0 ,＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝x 的值域为[0 ,＋∞)； C 中y ＝16x的值域为(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞)；D 中y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34的值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34 ＋∞；B 中函数的值域为(0 ,＋∞) ,应选B. 答案：B2．假设函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ,那么a 的值是( )A ．－1或3B ．－1C ．3D ．不存在解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0 a －3≠0得a ＝－1.答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．函数f (x )＝x －1.假设f (a )＝3 ,那么实数a ＝________. 解析：因为f (a )＝a －1＝3 ,所以a －1＝9 ,即a ＝10. 答案：104．给出定义：假设m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数) ,那么m 叫做离实数x 最|近的整数 ,记作{x } ,即{x }＝m .在此根底上给出以下关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个结论．①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ,值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1212. 那么其中正确的序号是________．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－－12＝－12－(－1)＝12 ,①正确； f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4 ,②错误； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14－－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ,③正确； y ＝f (x )的定义域为R ,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1212 ,④错误．答案：①③ 三、解答题5．(本小题总分值10分)函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值．(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋ f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017的值．(1)解：∵f (x )＝x 21＋x2 ,∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)解：由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1 ,∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1 ,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1 ,f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1 ,… ,f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝2 016.活页作业(八) 函数的表示法(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．小明骑车上学 ,开始时匀速行驶 ,途中因交通堵塞停留了一段时间 ,后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最|好的图象是( )解析：方法一：出发时距学校最|远 ,先排除A ,中途堵塞停留 ,距离不变 ,再排除D ,堵塞停留后比原来骑得快 ,因此排除B ,选C.方法二：由小明的运动规律知 ,小明距学校的距离应逐渐减小 ,由于小明先是匀速运动 ,故前段是直线段 ,途中停留时距离不变 ,后段加速 ,直线段比前段下降得快 ,故应选C.答案：C 2．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ,那么f (x )＝( )A.x ＋1x －1B ．1－x 1＋x C.1＋x1－xD ．2x x ＋1解析：设t ＝1－x 1＋x ,那么x ＝1－t 1＋t ,f (t )＝1－t 1＋t ,即f (x )＝1－x1＋x .答案：B3．函数f (x )是一次函数 ,2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1 ,那么f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) ,那么⎩⎨⎧22k ＋b －3k ＋b ＝52b －－k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3 b ＝－2∴f (x )＝3x －2. 答案：B4．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3 ,且f (m )＝6 ,那么m 等于( )A ．－14B.14C.32D ．－32解析：设12x －1＝m ,那么x ＝2m ＋2 ,∴f (m )＝2(2m ＋2)＋3＝4m ＋7＝6 ,∴m ＝－14.答案：A5．函数f (2x ＋1)＝3x ＋2 ,且f (a )＝2 ,那么a 的值等于( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．－1解析：由f (2x ＋1)＝3x ＋2 ,令2x ＋1＝t , ∴x ＝t －12.∴f (t )＝3·t －12＋2.∴f (x )＝3x －12＋2.∴f (a )＝3a －12＋2＝2.∴a ＝1.答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．如图 ,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0) ,(1,2) ,(3,1) ,那么f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．解析：∵f (3)＝1 ,1f 3＝1 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.答案：27．函数f (x ) ,g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321那么f (g (1))＝____________．解析：∵g (1)＝3 ,∴f (g (1))＝f (3)＝1. 又∵x ,f (g (x )) ,g (f (x ))的对应值表为x 1 2 3 f (g (x ))131g (f (x ))3 1 3∴f (g (x ))＞g (f (x ))答案：1 28．假设f (x )是一次函数 ,f (f (x ))＝4x －1 ,那么f (x )＝______.解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) ,那么f (f (x ))＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4 kb ＋b ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎨⎧k ＝－2b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：2x －13或－2x ＋1三、解答题(每题10分 ,共20分) 9．下表表示函数y ＝f (x ).x0＜x ＜5 5≤x ＜1010≤x ＜1515≤x ≤20y ＝f (x )－46810(1)写出函数的定义域、值域； (2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合．解：(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]．函数的值域为{－4,6,8,10}．(2)由于当5≤x ＜10时 ,f (x )＝6 ,因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤xx ∈Z ,故x ∈{5,6}．10．函数f (x )＝g (x )＋h (x ) ,g (x )关于x 2成正比 ,h (x )关于x 成反比 ,且g (1)＝2 ,h (1)＝－3 ,求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1≠0) ,h (x )＝k 2x(k 2≠0) , 由于g (1)＝2 ,h (1)＝－3 , 所以k 1＝2 ,k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x,定义域是(0 ,＋∞)． (2)由(1)得f (4)＝2×42－34＝612.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,那么y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：正方形边长为x4 ,而(2y )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42,∴y 2＝x 232.∴y ＝x 42＝28x .答案：C2．以下函数中 ,不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：对于A ,f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ,f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ,f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ,f (2x )＝－2x ＝2f (x )．答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．观察以下图形和所给表格中的数据后答复以下问题：梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长58111417…当梯形个数为．解析：由表格可推算出两变量的关系 ,或由图形观察周长与梯形个数关系为l ＝3n ＋2(n ∈N *)．答案：l ＝3n ＋2(n ∈N *)4．R 上的函数f (x )满足：(1)f (0)＝1；(2)对任意实数x ,y ,有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1) ,那么f (x )＝________.解析：因为对任意实数x ,y ,有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1) ,所以令y ＝x ,有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1) ,即f (0)＝f (x )－x (x ＋1) ,又f (0)＝1 ,所以f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1 ,即f (x )＝x 2＋x ＋1.答案：x 2＋x ＋1三、解答题(每题10分 ,共20分)5．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象 ,并根据图象答复以下问题： (1)比拟f (0) ,f (1) ,f (3)的大小；(2)假设x 1<x 2<1 ,比拟f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．解：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ,列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y…－5343－5…连线 ,描点 ,得函数图象如图：(1)根据图象 ,容易发现f (0)＝3 ,f (1)＝4 ,f (3)＝0 ,所以f (3)＜f (0)＜f (1)． (2)根据图象 ,容易发现当x 1＜x 2＜1时 ,有f (x 1)＜f (x 2)．(3)根据图象 ,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点 ,开口向下的抛物线 ,因此 ,函数值域为(－∞ ,4]．6．函数f (x )＝xax ＋b(a ,b 为常数 ,且a ≠0)满足f (2)＝1 ,方程f (x )＝x 有唯一解 ,求函数f (x )的解析式 ,并求f (f (－3))的值．解：由f (x )＝x ,得xax ＋b＝x , 即ax 2＋(b －1)x ＝0.因为方程f (x )＝x 有唯一解 , 所以Δ＝(b －1)2＝0 ,即b ＝1. 又f (2)＝1 , 所以22a ＋1＝1 ,a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2x x ＋2.所以f (f (－3))＝f (6)＝128＝32.活页作业(九) 分段函数、映射(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．集合M ＝{x |0≤x ≤6} ,P ＝{y |0≤y ≤3} ,那么以下对应关系中 ,不能构成M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x解析：由映射定义判断 ,选项C 中 ,x ＝6时 ,y ＝6∉P . 答案：C2．在给定映射f ：A →B ,即f ：(x ,y )→(2x ＋y ,xy )(x ,y ∈R )的条件下 ,与B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 －16对应的A 中元素是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 －136 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 －12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫136 －16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －13或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23 14 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝16 xy ＝－16 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23.应选B.答案：B3．以下图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＜0x －1 x ≥0的图象的是( )解析：由于f (0)＝0－1＝－1 ,所以函数图象过点(0 ,－1)；当x ＜0时 ,y ＝x 2,那么函数图象是开口向上的抛物线y ＝x 2在y 轴左侧的局部．因此只有图象C 符合．答案：C4．f (x )＝⎩⎨⎧ x －5x ≥6f x ＋2x <6那么f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．f (x )＝⎩⎨⎧2xx ＞0f x ＋1x ≤0那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：B二、填空题(每题5分 ,共15分)6．函数f (x )的图象如下图 ,那么f (x )的解析式是____________________．解析：由图可知 ,图象是由两条线段组成．当－1≤x ＜0时 ,设f (x )＝ax ＋b ,将(－1,0) ,(0,1)代入解析式 ,那么⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0 b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时 ,设f (x )＝kx ,将(1 ,－1)代入 ,那么k ＝－1 ,∴f (x )＝－x .。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第2章二次函数与一元二次方程、不等式

注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二
次不等式.
2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+
3
<0就不是一元二次不等式.

3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.
(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;
(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解
综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当a=-1时,原不等式的解集为⌀;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}.
图③
规律方法
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式训练3 若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
解方程(x+m)[x-(3m+1)]=0 的根为 x1=-m,x2=3m+1.
1
1
当 m=- 时,不等式的解集为 | ≠ ;
4
4
1
当 m<- 时,不等式的解集为{x|x<3m+1,或 x>-m}.
4
角度3.不等式的恒成立问题
【例4】 (1)已知关于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范
围.
解当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令f(x)=kx2+2kx-(k+2),
数根x1=x2=
二次项系数转化为
正数,再套用此结论
ax2+bx+c>0(a>0)的
解集

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第一章充分条件与必要条件-第1课时充分条件与必要条件

是菱形,则这个四边形的对角线互相平分
__________________________________.
[解析]命题“菱形的对角线互相平分”,将其改写成“若,则”的形式为若一个四边形是
菱形,则这个四边形的对角线互相平分.
12.把下列命题改写成“若,则”的形式,并判断命题的真假.
（1）奇数不能被2整除；
出反例.
证明因为//,所以∠ = ∠.因为∠ = ∠,所以∠ = ∠,所以//,所
以∠ = ∠,所以由①②得到③为真命题.
因为//,所以∠ = ∠.又因为∠ = ∠,所以//.所以∠ = ∠,所以
∠ = ∠.所以由①③得到②为真命题.
[解析]命题：若 + > ,则 > 且 > ,则条件： + > ,结论： > 且 > .
充分
10.在判断定理中,条件是结论的______条件.
[解析] 定理都是由条件推出结论成立的,故条件是结论的充分条件.
若一个四边形
11.已知命题“菱形的对角线互相平分”,将其改写成“若,则”的形式为_______________
(, ) > ”的充分必要条件.
14.若, ∈ ,则“ > 1, > 1”的充分不必要条件是() D
A. > 1且 + > 2B. > 1且( − 1)( − 1) > 0
C. + > 2且( − 1)( − 1) > 0D. + > 3且( − 1)( − 1) > 0
A.正方形
B.正方形的四条边
C.四条边
3.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( B

人教版A版高中数学必修一配套全册完整课件

答案
3.设集合 A＝{x|x≤ 13}，a＝ 11，那么( D )
A.a A
B.a∉A
C.{a}∈A
D.{a} A
1 23 45
答案
1 23 45
4.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，
那么(∁IM)∩(∁IN)等于( A ) A.∅
B.{d}
C.{b，e}
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}.画出Venn图(如图)，
第一章集合与函数概念
习题课
集合
学习目标
1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握； 2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究点点落实
1.集合元素的三个特性：_确__定__性___，_互__异__性___，__无__序__性__. 2.元素与集合有且只有两种关系：__∈______，__∉______. 3. 已经学过的集合表示方法有 _列__举__法___ ， _描__述__法___ ， _V_e_n_n_图___ ， _常__用__数__集__字__母__代__号___.
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第一章集合与函数概念
章末复习课
学习目标
1.构建知识网络，理解其内在联系； 2.盘点重要技能，提炼操作要点； 3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.

人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】

人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】一、直线与方程1. 直线的斜率定义：直线斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

计算公式：k = (y2 y1) / (x2 x1)性质：斜率k与直线倾斜角度的关系为k = tan(θ)，其中θ为直线与x轴正方向的夹角。

2. 直线的截距定义：直线截距是指直线与y轴的交点的纵坐标。

计算公式：b = y kx，其中k为直线斜率，x为直线与x轴的交点的横坐标，y为直线与y轴的交点的纵坐标。

3. 直线方程点斜式：y y1 = k(x x1)，其中k为直线斜率，(x1, y1)为直线上的一点。

斜截式：y = kx + b，其中k为直线斜率，b为直线截距。

一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B 不同时为0。

4. 两条直线的位置关系平行：两条直线的斜率相等。

垂直：两条直线的斜率互为负倒数。

相交：两条直线的斜率不相等。

二、圆与方程1. 圆的定义定义：圆是平面上所有与一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。

2. 圆的标准方程方程：(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r 为半径。

3. 圆的一般方程方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

4. 圆与直线的位置关系相离：直线与圆没有交点。

相切：直线与圆有且仅有一个交点。

相交：直线与圆有两个交点。

三、椭圆与方程1. 椭圆的定义定义：椭圆是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。

2. 椭圆的标准方程方程：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆中心坐标，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。

3. 椭圆的一般方程方程：Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E 为常数，且A、B不同时为0。

【数学】2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(人教A版必修4)1

【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑，上课认真，笔记认真，小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩，上课没事儿还调皮气老师，笔记有时让人看不懂，但一考试就挺好…… 小B
目录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。第一个记忆周期是 5分钟第二个记忆周期是30分钟第三个记忆周期是12小时这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步获取并理解你要学习的内容
（一）理解并获取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。想要理解，建议至少把书翻三遍。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天第五个记忆周期是 2天第六个记忆周期是 4 天第七个记忆周期是 7天第八个记忆周期是15天这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。

2019新人教A版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)【可编辑全文】

2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结（复习必背）第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++（3）数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=（其中x +y =1）（4）与a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ，y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

10.1.2 事件的关系和运算(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)

件A, B,C, A B ?C(或A B C )发生当且仅当A, B,C中至少一个发生,
A B C(或ABC)发生当且仅当A, B,C同时发生,等等.
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 如图10.1 9,由甲、乙两个元件组成一个并联电路, 每个元件可能正常或失效. 设事件A “甲元件正常”, B “乙元件正常”. (1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间; (2) 用集合的形式表示事件A, B以及它们的对立事件; (3) 用集合的形式表示事件A B和事件A B, 并说明它们的含义及关系.
借助集合与集合的关系和运算, 你能发现这些事件之间的联系吗?
环节二：观察分析，感知概念
事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法．下面我们按照这一思路展开研究．
1. 用集合的形式表示事件C1 “点数为1”和事件G “点数为奇数”, 它们分别是C1 {1}和G {1, 3, 5}. 显然, 如果事件C1发生,那么事件G 一定发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示, 就是{1} {1, 3, 5}, 即C1 G, 这时我们说事件G包含事件C1.
即E1 E2 D1, 这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件. 一般地, 事件A与事件B至少有一个发生, 这样的一个事件中的样本点
或者在事件A中, 或者在事件B中,
我们称这个事件为事件A与事件B的
并事件(或和事件), 记作A B(或A B).
A
B
可以用图10.1 5中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(1) 所有的试验结果如图10.1 10所示,用数组 1 2