《二次根式加减》课件1
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《二次根式的加减》_完美课件
第三步的依据是：合并同类项．
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例2 计算：
讲授新课
（1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）=（ 5）2 -（ 3）2
= 5-3= 2 ．
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
（2）先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
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讲授新课
例2 计算： （1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减
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讲授新课
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
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讲授新课
算式 8+ 18与算式 3 2- 2 有什么相同点与不同
点？ 请化简算式
8+
18 ，并说出每一步化简的理由.
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人教版初三数学上册第二十一章《二次根式的加减》优秀课件
练习
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3
5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 2
4 9 2 3 5
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x吨 列火车共运多少？2x _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
13
2 4 2
2
5 2
3
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
例1计算： （1） 12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
1. 12 2. 80
2 3
2 10 3 9 4 b 2 ab 3
8ab 2b 2ab
a 2b
6b
《二次根式的加减》课件1
这几个二次根式就叫做同类二次根式。 2可、直下接面根哪据些分根配式律是进最行简加二减次运根算式。，哪些不是？不是最简二次根式的，把它化简成最简二次根式。
几观个察二 下次列根式式子化各成是什__么__运__算___?__以后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 。
（4）
（）
若二式次子 根式加减和运算的步是骤同: 类二次根式，求x的值。
1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1） 50与 0.5 1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
(只能合并被开方数相同的二次根式）
（是 ）
如果所给的二次根式不是最简二次根式，
判断:下列计算是否正确?为什么?
判断几个二次根式是
（2） 12与 18 （不是 ） 同类二次根式的方法
几个二次根式化成___________以后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 。 同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
二同次类根 二式次加根减式运的算定的义基：本几方个法二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
同二类次二 根次式根加式减的运定算义的：基几本个方二法次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
12、判 下断面下哪列些各根组式二是次最根简式二是次否根为式同，类哪二些次不根是式？不? 是最简二次根式的，把它化简成最简二次根式。
练习
152871820 2
2 8 4 12 =1
2
3 80 20 5 3 5
练习
4 18( 98 27) 1023 3
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》说课教学课件
第十六章 二次根式
二次根式的加减
目录
学习目标
01
LEARNING OBJEC
1、了解同类二次根式的意义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
3、在探索中培养学生分析、转化、归纳、总结的能力。
02
03
重点
A KEY
二次根式加减法的运算。
难点
DIFFICUL
熟练进行二次根式加减法的运算。
学习目标
01
= (2 + 1) 3 + (2 − 1) 5
=3 3+ 5
02
练一练
1．下列各式中，与 是同类二次根式的是（
A．
B．
C．
D．
） 2．下列计算中正确的是（ ）
A． + =
C． ÷ =
B．
−
【答案】D
【详解】
【详解】
A、 9＝3，与 3不是同类二次根式；
= 14 3
1
3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
+ 3 48
+ 3 48
6× 1
+ 3 16
3
6× 1× 3
+3
3× 3
×3
16 × 3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
= 12+ 20+ 3- 5
= 4 × 3+ 4 × 5 + 3- 5
= 2 3+2 5 + 3- 5
= 2 3 + 3 +2 5 - 5
3.14 −
42 =4
52 =5
2
二次根式的加减
目录
学习目标
01
LEARNING OBJEC
1、了解同类二次根式的意义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
3、在探索中培养学生分析、转化、归纳、总结的能力。
02
03
重点
A KEY
二次根式加减法的运算。
难点
DIFFICUL
熟练进行二次根式加减法的运算。
学习目标
01
= (2 + 1) 3 + (2 − 1) 5
=3 3+ 5
02
练一练
1．下列各式中，与 是同类二次根式的是（
A．
B．
C．
D．
） 2．下列计算中正确的是（ ）
A． + =
C． ÷ =
B．
−
【答案】D
【详解】
【详解】
A、 9＝3，与 3不是同类二次根式；
= 14 3
1
3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
+ 3 48
+ 3 48
6× 1
+ 3 16
3
6× 1× 3
+3
3× 3
×3
16 × 3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
= 12+ 20+ 3- 5
= 4 × 3+ 4 × 5 + 3- 5
= 2 3+2 5 + 3- 5
= 2 3 + 3 +2 5 - 5
3.14 −
42 =4
52 =5
2
人教版八年级数学课件《二次根式的加减》
达标检测
人教版数学八年级下册
12.计算：
(1)2 20 + 45 − 8 + 32;
(2)2 12 − 27 − 6
1
；
3
(3) − 2 −
3− 2 −
3−2 ．
(1)解：原式= 4 5 + 3 5 − 2 2 + 4 2 = 7 5 + 2 2．
(2)解：原式= 2 × 2 3 − 3 3 − 6 ×
人教版数学八年级下册
复习回顾
人教版数学八年级下册
一、满足什么条件的根式是最简二次根式?
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中
2
2
2 6
+ 6
2
4
10 2 3 3；
3 6
2
.
4
典例解析
人教版数学八年级下册
例4.如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，
= 3 5，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
解：∵正方形ABCD的面积是125，
∴ = 125 = 5 5，
mn
的值.
2n 1 2,
解：由题意得
3m 2n 3,
解得
4
m
,
3
n 1,
2
即 mn 4 1 6 .
3
2
3
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1
二次根式的加法与减法课件
（3）3 3-2 2+ 3- 2 4 3-3 2
作业
❖ 习题9.2的1（3）（4）、2题
拓展提升
❖把二次根式 23-a与 8 分别化成最简二次根式后, 被开方式相同.
❖(1)如果a是正整数,那么符合条件的a有哪些? ❖(2)如果a是整数,那么符合条件的a有多少个?最大
值是什么?有没有最小值？
(3) 2 3
先化为最简二次根式， 把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变。
你有什么发现？
归纳总结
二次根式加减法法则：
目标2.通过具体题目的运算，得到二次根式 的加法与减法的运算步骤及注意问题.
m a n a =（m n) a
二次根式相加减，应先把各个二次根式化为最简二次根式， 然后把其中的同类二次根式分别合并（. 不是同类二次根式的不能合并）.
2、4 2- 2=43 2 3、2+ 3= 5
× （ ）为结果的系数； × 2、指数和被开方式都不变；
（ ）3、不是同类二次根式的不能合并；
× 4、3 2- 1 2=2 51 22 （ ）4、系数是带分数的要化为假分数，若
× 2
22
是一个二次根式与一个多项式的积,则
5、a 5+b 5=（aa++bb）5 5 （ ）多项式加括号.
2.字母和字母的指数有何变化？ 不改变
3.不是同类项的能否合并？
不能合并
温故知新
目标1. 类比“合并同类项”的知识， 推导二次根式的加法与减法运算法则。
2、化简下列二次根式
化成最简二次根式后，
8 __2__2__; 12 _2__3__; 被开方式相同的二次根
18 ___3 _2___; 27 _3_3___; 式
二次根式的加减(讲学练全套资料)精选教学PPT课件
聚焦中考
1． （ 2006． 衡 阳 ） 下 列 计 算 正 确 的 是 （
）
A 2 3＝ 5 B 2 3＝2 3
C 8 2 2＝0 D 5 1＝2
2． （ 2006． 枣 庄 ） 下 列 计 算 正 确 的 是 （
）
A 8 2＝ 2
B 27 12 ＝ 9 4＝1 3
C 2 52 5＝1
清晨，当欢快的小鸟把我从睡中唤醒，我推开窗户，放眼蓝蓝的天，绿绿的草，晶莹的露珠，清清爽爽的早晨，我感恩上天又给予我一个美好的一天。 入夜，夜幕中的天空繁星点点，我打开日记，用笨拙的笔描画着一天的生活感受，月光展露着温柔的笑容，四周笼罩着夜的温馨，我充满了感恩，感谢大地赋予的安宁。
朋友相聚，酒甜歌美，情浓意深，我感恩上苍，给了我这么多的好朋友，我享受着朋友的温暖，生活的香醇，如歌的友情。 走出家门，我走向自然。放眼花红草绿，我感恩大自然的无尽美好，感恩上天的无私给予，感恩大地的宽容浩博。生活的每一天，我都充满着感恩情怀，我学会了宽容，学会了承接，学会了付出，学会了感动，懂得了回报。用微笑去对待每一天，用微笑去对待世界，对待人生，对待朋友，对待困难。所以，每天，我都有一个好心情，我幸福的生活着每一天。
3
=12 3 -3 3 +6 3 =（12-3+6） 3 =15 3 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） = 48 + 20 + 12 - 5 =4 3 +2 5 +2 3 - 5 =6 3 + 5
反馈练习
课本 P19 练习第 1，2 题
补充练习
计练习算2:计算：
（1） 80 20 5
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
16.3二次根式的加减(第1课时)
计算下列各式：
问题：1.什么是同类项？ 2.同类项怎样合并？
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a b
a b
a b
a （a≥0，b＞0） b
1.被开方数中不 含分母； 下列根式中，哪些是最简二次根式？ 2.被开方数中 不含开得尽方 的因数或因式
15a , 18, x 1, 5 x y , 24abc,
2 3
√
×
√
×
×
ab 3xy 2 2 2 x y, , , 6(a b ) 3 3
2
√
×
√
√
二次根式在什么条件下可以合并？
探究
如何计算 8
2 4 2 呢？
分析： 类似8a+4a=12a，我们可以 根据乘法分配律的逆用来进行运算。 解： 8 2 4 2
(8 4) 2
12 2
下列计算哪些正确，哪些不正确？ （不正确） 3 2 5
a b a b
a b a b
（不正确） （不正确）
⑷
a a b a (a b) a
1 3a 2 2a a
（正确）
a 0 （不正确）
1 ⑸ 3
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
注意:被开方数不相同的二次根式 (如 2 与 3 )不能合并
例题讲解
(2) 80 45 计算: (1) 9a 25a
解： (1) 9a 25a
(2) 80 45
3 a 5 a
4 5 3 5
(3 5) a
(4 3) 5
问题：1.什么是同类项？ 2.同类项怎样合并？
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a b
a b
a b
a （a≥0，b＞0） b
1.被开方数中不 含分母； 下列根式中，哪些是最简二次根式？ 2.被开方数中 不含开得尽方 的因数或因式
15a , 18, x 1, 5 x y , 24abc,
2 3
√
×
√
×
×
ab 3xy 2 2 2 x y, , , 6(a b ) 3 3
2
√
×
√
√
二次根式在什么条件下可以合并？
探究
如何计算 8
2 4 2 呢？
分析： 类似8a+4a=12a，我们可以 根据乘法分配律的逆用来进行运算。 解： 8 2 4 2
(8 4) 2
12 2
下列计算哪些正确，哪些不正确？ （不正确） 3 2 5
a b a b
a b a b
（不正确） （不正确）
⑷
a a b a (a b) a
1 3a 2 2a a
（正确）
a 0 （不正确）
1 ⑸ 3
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
注意:被开方数不相同的二次根式 (如 2 与 3 )不能合并
例题讲解
(2) 80 45 计算: (1) 9a 25a
解： (1) 9a 25a
(2) 80 45
3 a 5 a
4 5 3 5
(3 5) a
(4 3) 5
九年级上数学《21.3 二次根式的加减》课件
回顾旧知
抢答
化简下列二次根式。
8
18
28
1 7
12 2 27
2 2 3 2
2 7
7 7
2 3
6 3
这些最简二次根式有什么特点？
新课导入
有一个三角形,它的两边长分别为 20 和 5 ， 如果该三角形的周长为 9 5 ，你能求出第三边吗?
提示 根据三角形的周长公式 C = a＋ b＋ c 求解。
？
a 20
答：35 秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ， PQ的距离为 5 7 cm 。
例题
计算
8 3 6 8 6 3 6
8 6 3 6
注意
4 3 3 2
（1）加减与乘除的混合运算，先乘除， 后加减，使难点分散。 （2）在运算中，对于各根式不一定要先 化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的 目的，但最后结果一定要化简。
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科 学精神。 经过探索二次根式的重要结论，发展 学生观察、分析、发现问题的能力。
教学重难点
二次根式化简为最简二次根式以及二 次根式的判定。
二次根式的加减、乘除、乘方等运算 规律。 由整式运算知识迁移到含二次根式的 运算。
我们可以这样来计算
一化
二找
三合并
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
抢答
化简下列二次根式。
8
18
28
1 7
12 2 27
2 2 3 2
2 7
7 7
2 3
6 3
这些最简二次根式有什么特点？
新课导入
有一个三角形,它的两边长分别为 20 和 5 ， 如果该三角形的周长为 9 5 ，你能求出第三边吗?
提示 根据三角形的周长公式 C = a＋ b＋ c 求解。
？
a 20
答：35 秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ， PQ的距离为 5 7 cm 。
例题
计算
8 3 6 8 6 3 6
8 6 3 6
注意
4 3 3 2
（1）加减与乘除的混合运算，先乘除， 后加减，使难点分散。 （2）在运算中，对于各根式不一定要先 化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的 目的，但最后结果一定要化简。
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科 学精神。 经过探索二次根式的重要结论，发展 学生观察、分析、发现问题的能力。
教学重难点
二次根式化简为最简二次根式以及二 次根式的判定。
二次根式的加减、乘除、乘方等运算 规律。 由整式运算知识迁移到含二次根式的 运算。
我们可以这样来计算
一化
二找
三合并
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
16.3.1 二次根式的加减 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
三、巩固练习 教材第 13 页练习第 1，2 题． 【答案】第 1 题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相 等；(3)正确． 1 第 2 题：(1)－4 7；(2)3 5；(3)10 2－3 3；(4)3 6＋4 2.
四、课堂小结
本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化 成最简二次根式，再把相同被开方数的最简二次根式进行合并．
16.3
二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
理解并掌握二次根式加减的方法，并能用二次根式加减法法则 进行二次根式的加减运算．
重点 理解并掌握二次根式加减计算的方法． 难点 二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式．
一、复习导入
(学生活动) 1．计算：
(1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a.
2．教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项 ，合并同类项就是字母连同指数不变，系数相加减．
二、新课教授 (学生活动) 1．类比计算，说明理由． (1) 2＋2 2；(2)3 8－2 8＋4 8； (3)3 2＋ 8；(4)2 3－3 3＋ 12. 2．教师点评： (1) 2＋2 2＝(1＋2) 2＝3 2； (2)3 8－2 8＋4 8＝(3－2＋4) 8＝5 8＝10 2； (3)虽然表面上 2与 8的被开方数不同， 不能当作被开方数相同， 但 8 可化为 2 2，3 2＋ 8＝3 2＋2 2＝(3＋2) 2＝5 2；
16 (2) ＝________， 4 81 (3) ＝________， 49 (4) 36 ＝________， 64
冀教版八年级数学上册15.3《二次根式的加减运算》课件
第十五章 二次根式
15.3 二次根式的加减运算
学习目标
1．了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法，能正 确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算. 2．通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想. 3．通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充 分参与到数学学习的过程中来，使他们体会到成功的乐趣。
回顾复习
口答：
探究新知
学生活动一 【一起探究】
计算:Biblioteka 探究新知二次根式加减运算的方法： 1.先将每个二次根式化成最简二次根式. 2.再将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
巩固练习
巩固练习
回顾反思
1. 同类二次根式 2. 二次根式加减法的步骤
15.3 二次根式的加减运算
学习目标
1．了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法，能正 确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算. 2．通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想. 3．通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充 分参与到数学学习的过程中来，使他们体会到成功的乐趣。
回顾复习
口答：
探究新知
学生活动一 【一起探究】
计算:Biblioteka 探究新知二次根式加减运算的方法： 1.先将每个二次根式化成最简二次根式. 2.再将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
巩固练习
巩固练习
回顾反思
1. 同类二次根式 2. 二次根式加减法的步骤
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解： R r S
s
18
8
2
3 2
2 2
R-r
答：圆环的宽度 d为
2
cm.
反馈练习
(1) 18 8
2
(4)下列计算正确的是（ Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
3 1 D. a a a 2 2
3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二 次根式,再把同类二次根式分别合并.
同类二次根式合并： 把根号外系数或字母相加减,根指 数和被开方数不变 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如
2与 3 )不能合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变, 总结二次根式加减运算的步骤
20 2 5
BC BD 2 CD2 22 12 5
所需钢材的长度为： AB BC AC BD 2 5 5 5 2 答：大约需要13.7m的钢材.
3 5 7 13.7
练习3： 如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度 d(两圆半径之差).
是同类二次根式,求m、n 的值.
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 列火车共运多少？2x +3x=5x吨 _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
1 3
2 2
2 3 3
1.在下列各组根式中，是同类二次根 式的是（ B ）
A.
2 , 12
2
B.
2,
1 2
C. 4ab , ab D. a 1 , a 1 2. 与 12 是同类二次根式的是(
D )
1 A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 27 3.如果最简二次根式m n 2 2 与 m n
(2) 75 27 8 3 1 6 3 (3) 48 6 3
计算:
15
2
2
8 7 18
4 8 2
1
2
1 32 12 4 3 48, 27
1 1 5 0.5 2 75 3 8
(3)10 2 3 3
1 (4)3 6 2 4
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 2 与 3 )不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
8 3 8 3;
F F
2
33
4 9 4 9;
2 2 2 2
T
练习 判断:下列计算是否正确?为什么?
8 18 5 2 7.5
5dm
18dm
8dm
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约 需要多少米钢材（精确到0.1米）? B
2m 解： 根据勾股定理得：
2 2 2
A
2
D 4m 1m C
AB AD BD 4 2
2 4 3
x 1 9x 6 2x 4 x
2 计算： 5
(1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243) (4)(5 75 4 12) (5 108 3 27)
3.细心算一算 1 2 (1)( 8 2 0.25) ( 1 50 72) 8 3 4 1 4 (2)( 80 1 ) ( 3 45) 5 5 5
解：
3 3 5
问题：
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？ 7.5dm
8 18
2 2 3 2（化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律） 5 2 18 3 2 5
21.3
二次根式的加减（一）
复习回顾
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； 分母不含根号； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
1
2 3 5;
F
22
3
2 2 2;
F
8 18 4 9 2 3 5 2
F
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 3 2 2 2） 3 3 3） （ （
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1 2 12 6 20x 3 3 4 32 2 3 12 33 145 3 1 3 5 1..2 12x 6 2 x 48 52 x 3 x2 2 x x 2. 9 3 3 3 3 4 x
b 3 3 (3)2a 3ab ( 27a 2ab a) 6 4
2
课堂小结
1.同类二次根式的定义?
2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式?
合并同类二次根式与合并同类项类似.
1．同类二次根式是相对于一组二次根式而言的．判 断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要把这几 个二次根式化为最简二次根式，然后再看它们的被开 方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式 就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根式．如: 2 8 50 等.
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
2 3
1 2
48
4 3
32
4 2
18 3 2
45
3 5
50 5 2
1 1 3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次 根式前面的因式及符号无关．
2 2
4 2
3 5
2 3 3
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 2， 2 2， 2， 2 3 15 3 2 (2) 3,5 3,6 3,17 3, 3 13
(3) 2 , 8 ,5 18 , 32 ,
1 2
几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
2.计算：
先化简,后合并
(1) 4 7
(2)2 5 5
(1)2 7 6 7
(2) 80 20 5
(3) 18 ( 98 27 )
1 ( 4)( 24 0.5 ) ( 6) 8
2 4 2
2
5
2
3
8 18 4 2
例1计算： （1）12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？
二次根式的加减实质是 合并同类二次根式．
整式的加减的实质是合 并同类项．
2
3
1
12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
s
18
8
2
3 2
2 2
R-r
答：圆环的宽度 d为
2
cm.
反馈练习
(1) 18 8
2
(4)下列计算正确的是（ Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
3 1 D. a a a 2 2
3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二 次根式,再把同类二次根式分别合并.
同类二次根式合并： 把根号外系数或字母相加减,根指 数和被开方数不变 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如
2与 3 )不能合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变, 总结二次根式加减运算的步骤
20 2 5
BC BD 2 CD2 22 12 5
所需钢材的长度为： AB BC AC BD 2 5 5 5 2 答：大约需要13.7m的钢材.
3 5 7 13.7
练习3： 如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度 d(两圆半径之差).
是同类二次根式,求m、n 的值.
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 列火车共运多少？2x +3x=5x吨 _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
1 3
2 2
2 3 3
1.在下列各组根式中，是同类二次根 式的是（ B ）
A.
2 , 12
2
B.
2,
1 2
C. 4ab , ab D. a 1 , a 1 2. 与 12 是同类二次根式的是(
D )
1 A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 27 3.如果最简二次根式m n 2 2 与 m n
(2) 75 27 8 3 1 6 3 (3) 48 6 3
计算:
15
2
2
8 7 18
4 8 2
1
2
1 32 12 4 3 48, 27
1 1 5 0.5 2 75 3 8
(3)10 2 3 3
1 (4)3 6 2 4
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 2 与 3 )不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
8 3 8 3;
F F
2
33
4 9 4 9;
2 2 2 2
T
练习 判断:下列计算是否正确?为什么?
8 18 5 2 7.5
5dm
18dm
8dm
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约 需要多少米钢材（精确到0.1米）? B
2m 解： 根据勾股定理得：
2 2 2
A
2
D 4m 1m C
AB AD BD 4 2
2 4 3
x 1 9x 6 2x 4 x
2 计算： 5
(1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243) (4)(5 75 4 12) (5 108 3 27)
3.细心算一算 1 2 (1)( 8 2 0.25) ( 1 50 72) 8 3 4 1 4 (2)( 80 1 ) ( 3 45) 5 5 5
解：
3 3 5
问题：
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？ 7.5dm
8 18
2 2 3 2（化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律） 5 2 18 3 2 5
21.3
二次根式的加减（一）
复习回顾
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； 分母不含根号； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
1
2 3 5;
F
22
3
2 2 2;
F
8 18 4 9 2 3 5 2
F
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 3 2 2 2） 3 3 3） （ （
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1 2 12 6 20x 3 3 4 32 2 3 12 33 145 3 1 3 5 1..2 12x 6 2 x 48 52 x 3 x2 2 x x 2. 9 3 3 3 3 4 x
b 3 3 (3)2a 3ab ( 27a 2ab a) 6 4
2
课堂小结
1.同类二次根式的定义?
2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式?
合并同类二次根式与合并同类项类似.
1．同类二次根式是相对于一组二次根式而言的．判 断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要把这几 个二次根式化为最简二次根式，然后再看它们的被开 方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式 就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根式．如: 2 8 50 等.
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
2 3
1 2
48
4 3
32
4 2
18 3 2
45
3 5
50 5 2
1 1 3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次 根式前面的因式及符号无关．
2 2
4 2
3 5
2 3 3
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 2， 2 2， 2， 2 3 15 3 2 (2) 3,5 3,6 3,17 3, 3 13
(3) 2 , 8 ,5 18 , 32 ,
1 2
几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
2.计算：
先化简,后合并
(1) 4 7
(2)2 5 5
(1)2 7 6 7
(2) 80 20 5
(3) 18 ( 98 27 )
1 ( 4)( 24 0.5 ) ( 6) 8
2 4 2
2
5
2
3
8 18 4 2
例1计算： （1）12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？
二次根式的加减实质是 合并同类二次根式．
整式的加减的实质是合 并同类项．
2
3
1
12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3