金融工程(5)

• 假设某投资经理管理着一个总价值为 40 000 000 元的多样化股票投资组合并长期看 好该组合，该组合相对于沪深300指数的 β 系数为 1.22 。2012年 3月 14日，该投资经 理认为短期内大盘有下跌的风险，可能会 使投资组合遭受损失，决定进行套期保值 。
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案例 ：沪深300股指期货套期保值
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以买现货卖期货套现为例:
美
日本
元
美国
原因在于：该期货的标的资产为在日本大阪证券交易所交易的 以日元计价的日经225股价平均数，而该期货是以美元计价的， 合约规模为日经225股价平均数乘以5美元，而且该合约实行现 金结算，这样我们就无法通过无套利定价方法来定价。
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指数套利（ Index Arbitrage ）：当股指 期货的实际价格偏离理论价格时，市场就存 在着套利机会。
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注意，FRA的多方为利息支付者，即名义借 款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率上 升的风险。相应地，FRA的空方则是利息获得者， 即名义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了规 避利率下降的风险。
在远期利率协议中，远期价格就是远期利率 协议中的理论协议利率，或称为远期利率 （Forward Interest Rate），这是金融工程中最重 要的概念之一。
若式（5.11）不成立，就存在套利空间。
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对（5.11） 变形可得：
r* T* t r T t
rF
T* T
（5.12）
这是远期利率的常用计算公式，进一步变形可得
r* rF
T* T
r* T t r T t
T* T
r*
r* r
T t T* T
（5.13）
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如果即期利率期限结构在 T* T 期间是向上倾
远期利率是由一系列即期利率决定的。
假设现在时刻为 t，T 时刻到期的即期利率为 r，T*时
刻（T* T）到期的即期利率为 r *，则t时刻的T* T
期间的远期利率 rF 应满足以下等式:
erT t erF T*T er*T*t
rF T* T r* T* t r T t
（5.11）
• 假定用 2012年 4 月到期深沪300股指期货 来为该投资组合未来一个月的价值变动进 行套期保值。2012 年 3 月 14 日该股指期 货价格为 2627 点。
• 如果运用最小方差套期保值比率并以该投 资组合的 β 系数作为近似，需要卖出的期 货合约数目应等于
40000000 2627 300
F Se(rrf )(T t)
(5.7)
F Se *
(r* r*f )(T * t )
(5.8)
从上述讨论中我们可以看到，远期外汇综合协
议可以理解为约定的是未来T时刻到T*时刻的远期差 价。将 F 和 F* 代入 ERA 价值公式可得甲方的ERA 价值为
AerT t F K Aer*T*t K * F *
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2. 股指期货的最优套期保值比率
H a bG
一元线性回归方程
rH a brG
CAPM
R H rf (RM rf )
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2. 股指期货的最优套期保值比率
第四章所推导的最小方差套期保值比率适用于股
指期货：
n
HG
H G
注意这个式子与CAPM衡量股票系统性风险的β
系数的公式极为类似：
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远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率， 而即期利率是指当前时刻起一定期限的利率。
1个月即期利 1 ×2 远期利 2 ×3 远期 利 3× 4远期利
率
率
率
率
2007.9.1
2007.10.1
2007.11.11
2个月即期利 2 × 4 远 期 利
率
率
2007.12.1
2008.1.1
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远期利率如何决定？
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案例 ： ERA 定价
•根据公式（ 5.9），对于合约甲方而言，该 ERA 价值为：
e 0.0524750.25 0.008591 0.008615
1亿
182.83美元
e0.0508871 0.008865 0.008842
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远期利率协议（FRA）是买卖双方同意从未来某 一商定的时刻开始的一定时期内按协议利率借贷 一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协 议。 (案例5.3） FRA常见的做法是进行现金结算，即结算金额为 利差的贴现值。因此，FRA中的本金通常被称为 “名义本金”。
注：套利者常常通过交易一些与股指变动同步的代表 性股票进行指数套利。由计算机进行打包交易（程序 交易）
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1. 多头套期保值与空头套期保值 股指期货的标的资产是市场股票指数，因此
运用股指期货进行套期保值，管理的是股票市场 的系统性风险。
股指期货的套期保值操作中较多存在交叉套期 保值的现象，股指期货的标的资产是特定的市场 指数，而被保值对象则可以是市场中特定的股票、 股票组合或市场指数组合。
股票多头＋股指期货空头＝短期国库券多头
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反过来，投资者同样也可以利用短期国库券的 多头和股指期货的多头创建一个合成的股票组合 （Synthetic Equity Position），达到将原有的短期国 库券转化为股票组合的目的。
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3. 改变投资组合的系统性风险暴露
投资者可以利用股指期货，根据自身的预期和特
“程序交易”（ Program Trading ）
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若实际的期货价格高于理论价格，即G Se(rq)(T ， t) 投资者可以通过买入该股票指数的成分股并卖出相应 的股指期货，期货到期卖出股票交割股指期货进行套 利；
若实际的期货价格低于理论价格，即 G Se(rq)(T ， t) 则投资者可以卖空该股票指数的成分股，买入相应的 股指期货，期货到期买回股票交割股指期货进行套利。
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股指期货交易特殊性 ： （1）现金结算交割； （2）股指期货的合约规模不是固定的，而是按照 开立股指期货头寸时的价格点数乘以每个指数点 所代表的金额。
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股价指数可以近似地看作是支付已知收益率的资 产 ,在无套利的市场条件下 :
F Se(rq)(T t)
(3.7)
注意式（3.7）的例外：在CME交易的以美元 标价的日经225指数期货无法使用式（3.7）进行 定价。
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现金结算：ERA 约定的是未来 T 到 T* 时刻的远 期升贴水WK。买卖双方在T时刻用本币按照真实升贴水 幅度W与WK 的差异结算外币升贴水变化带来的损益。
在任意时刻，合理的升贴水幅度为WF=F*-F 对于甲方而言， 任意t时刻ERA的价值为
PVt A WK W PVt A K* K F* F PVt A F K K* F* AerT t F K Aer*T *t K* F*
f ASerf (T t) AKer(T t) AK e* r* (T*t) ASerf * (T*t) Aer(T t)[Se(rrf )(T t) K ] Aer* (T*t)[K * Se ] (r* rf * )(T* t)
（5.6)
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远期汇率就是令合约价值为零的协议价格 ，因此
在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一 单位原货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简 称为外币，把第二货币简称为本币。
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远期外汇综合协议的定价
远期外汇综合协议多头的现金流为： T时刻：A 单位外币减 AK本币 T*时刻：AK*本币减 A单位外币
这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的 价值f 。
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普通的远期外汇协议是在当前时刻由买卖双 方确定未来某一时刻按约定的远期汇率买卖一定 金额的某种外汇。
我们采用支付已知收益率资产远期合约的定 价公式为直接远期外汇协议定价。
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可以得到直接远期外汇协议的远期价值为
f Serf (T t ) Ker (T t)
（5.4）
远期汇率为
F Se(rrf )(T t)
• 同时，美元对日元的即期汇率为 0.0085 美 元/日元。本金 1 亿日元的 3 个月 ×1 年 ERA 的 3 个月合同远期汇率为 0.008615 美元/日元，1 年合同远期汇率为 0.008865 美元/日元。
• 请问该合约理论上的远期汇率、远期差价
和远期价值等于多少？
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案例 ： ERA 定价
（5.5）
式（5.5）就是国际金融领域著名的利率平价关系。
若 rf r, 外汇远期贴水；
若 rf r, 外汇远期升水。
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远期外汇综合协议的概念
远期外汇综合协议是指从未来某个时点起 算的远期外汇协议，即当前约定未来某个时点 的远期汇率，其实质是远期的远期。
交割方式：实物交割 现金结算
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实际中，实物交割是，双方在当前t时刻约定买 方在结算日T时刻按照协议中规定的结算日远期汇率 K用第二货币（本币）向卖方买入一定名义金额A的 原货币（外币），然后在到期日T*时刻再按合同中 规定的到期日远期汇率K*把一定名义金额（在这里 假定也为A）的原货币出售给卖方。Fra bibliotek1.22
61.92
62份
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当前文所述的两个条件满足时，运用β系数进行的股 指期货套期保值往往可以使投资者的整体投资组合 的系统性风险为零。
假设某投资者希望将其原有组合中的部分股票 转化为短期国库券，她可以利用股指期货而无需出 售股票达到这一效果：保留该部分股票，同时根据β 系数出售与该部分股票价值相对应的股指期货空头， 就可以创建一个合成的短期国库券（Synthetic TBill）。
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股票指数，是运用统计学中的指数方法编制而成 的、反映股市中总体股价或某类股票价格变动和 走势情况的一种相对指标。 如DJIA 、S＆P500、 中国沪深300指数。