第04章 弯曲内力
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材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
材料力学第四版刘鸿文编第04章弯曲内力
FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab
l
M图
+
FB
B
(4)内力图特征
在集中力作用的地方，
剪力图有突变，外力F向
下，剪力图向下变，变化
值=F 值；弯矩图有折角。
a l
F
[例6] 求梁的内力方程并画出内力图。
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS(x1)FA
M(x1)F1x
1 2
qax
1
F S (x 2 )F q (x 2 a )q2aq(x2 a)
M (x2)F2x 1 2q(x2a)2 12qa2x12q(x2a)2
A x1 B x2
a
F qa 2
FS
qa
2
+
M
q
C 2a
(2)根据方程画内力图
FS
(x1)
qa 2
q2aq(x2a)
FS(x2)
极值点： 令FS(x2)0
即：q2aq(x2a)0
得：
x
0
3 2
a
M 0 85qa2
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
取一微段dx， 进行平衡分析。
q(x)
Fy 0 ,
FS(x) q(x)dxF S(x)dF S(x)0
a
2 qa qa 1 qa
3
3
MO0,FA2a1 2q2aM0,
q
材料力学弯曲内力
m1 A
2
2 M2
M 2 8kN.m
FA
Fs2
3－3截面
3
M3 3 Fs3
Fy 0; Fs3 FB 0
B
Fs3 3kN
FB
m3 0; M 3 FB 2 0
M 3 6kN.m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
M 3 10kN.m
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
4 4 2m
P 23
M2 2D3 M3 Fs2 Fs3
FA
FB
由2、3 截面的内力计算可得如下结论：
⑴ 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；
M左 M右
⑵ 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左
Ⅰ
B
A
ⅠFs M
a l
FAy
将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力
偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力 偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。
⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为
正，反之为负；
⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的
Fs (x2) M / l a x2 l
Mb / l
M (x2) M(l x2) / l a x2 l
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
例题8
y
q
简支梁受均布载荷作用
A xC
FAY
l
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
工程力学04-2章弯曲内力
RB = 5qa 2
qa = 2
a
(2)作剪力图,弯矩图
QA = RA
qa / 2
C
qa
3qa 2
QD = qa
qa QC = 0 : x = a 2 MC = 8 MB = Pa = qa2
2
M
qa 8
2
qa2
Q max = 3qa 2
M max = qa2
q A RA Q C
qa
2a a
Байду номын сангаас
2
上次课主要内容回顾
1.梁的内力: 1.梁的内力:弯矩和剪力 梁的内力
m A a l RA Q M RA M RB Q P1 P2 RB
m
P1
P2 B
2.内力符号规定: 内力符号规定:
剪力符号: 剪力符号: 剪力符号 +Q
-Q
弯矩符号: 弯矩符号: 弯矩符号 +M
-M
3.梁内力的简便求法: 梁内力的简便求法:
确定M(x) 确定M(x),Q(x),q(x)的联系,正确,方便画出内力图. q(x)的联系,正确,方便画出内力图.
1. 微分关系
y A x l dx q(x) B x
取典型微段
q(x) c
M(x) Q(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
dx
q(x)在 dx上看成是均布 q(x) 在 dx 上看成是均布 , 上看成是均布, 所有力按正向画出. 所有力按正向画出.
C D
例:作刚架的内力图
解:(1)支反力 :( )
a
P
RAx = P , RAy = RBy = P 2
(2)作图 )
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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材料力学第4章第5章
200
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
材料力学第四章-弯曲内力
例 题 程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
工程力学4第四章弯曲内力
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
•规律： 剪力：某一截面的剪力在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力的代数和。
FS=±ΣFi左或右
•弯矩：某一截面的弯矩在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力对该截面形心的力矩 的代数和。
例2 图示简支梁及其上所受荷载。求 1-1、2-2 、3-3、4-4及5-5截面上的内力。
解 (1) 求支座反力。
由
M
FA
B
0
A FA
Me=4Fa B 1 2 3 4 5 a a a FB
F
2 Fa 4Fa 2F 3a
由
MA 0
4Fa Fa FB F 3a
(2) 求各指定截面上的内力。
x
q(x) M x
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
q(x)
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
M
qx
1. 梁段上q(x)＝0
FS x FS x c
FS图水平线
M x
M x Cx D
M图斜直线
2. 梁段上q(x)＝c
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
•规律： 剪力：某一截面的剪力在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力的代数和。
FS=±ΣFi左或右
•弯矩：某一截面的弯矩在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力对该截面形心的力矩 的代数和。
例2 图示简支梁及其上所受荷载。求 1-1、2-2 、3-3、4-4及5-5截面上的内力。
解 (1) 求支座反力。
由
M
FA
B
0
A FA
Me=4Fa B 1 2 3 4 5 a a a FB
F
2 Fa 4Fa 2F 3a
由
MA 0
4Fa Fa FB F 3a
(2) 求各指定截面上的内力。
x
q(x) M x
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
q(x)
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
M
qx
1. 梁段上q(x)＝0
FS x FS x c
FS图水平线
M x
M x Cx D
M图斜直线
2. 梁段上q(x)＝c
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
材料力学弯曲内力课件
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
23
2. 列剪力方程和弯矩方程
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx qx2 0 x l
22
3. 作剪力图和弯矩图
24
例4-5 已知:简支梁如图 。求：剪力方程，弯矩 方程，并作剪力图和 弯矩图。
RAx x
RA Fs
80 kN
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
RC
x
40 kN
x
120 kN.m
M
160 kN.m
39
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
Fs Fs
弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。
19
2、 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的
横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函 数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置 的变化规律。显示这种变化规律的图形则分 别称为剪力图和弯矩图。
研究CB梁， 受力如图
12
研究CB梁， 受力如图
MC 0
20 103 N m 3 m 2.5 m 5103 N m FBy 5 m 0
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a
FS
M L
CB : ( a x l )
M FS 1 ( x ) F A L M M 1 ( x) F A x x L
Mb L
M FS 2 ( x ) F B L M 2 ( x ) FB ( L x ) M ( L x) L
M
Ma L
讨论: 集中力偶M作用点C处：
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
A x B
l
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B FS x qx0 x l x FS(x) 2
x qx 0 x l M x qx 2 2
M M c M c M
思考：对称性与反对称性 FA F A
l/2 Fs F/2 C l/2
FB B
x F/2 x M Fl/4
FA
A
Me C l/2 l/2
Me l
FB B
Fs
x
Me/2 M
Me/2
x
结论： • 结构对称、外力对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
1m 0.5m
q=20kN/m
C
1m
D
3m
K
1m
Me=5kN· m B
MA 50kN A E FAx FAy FCx
FCy' C FCx' D
3
M
C
0
Me=5kN· m K
3
q =20kN/m C
M
C
0 20 10 3 2.5 5 10 FBy 5 0 FBy 29kN
剪力图斜率为q（常量），FS（x）斜直线。 由：
(0 x a )
(a x l )
(a x l )
x
A
x a
F
C
B
b
Fb AC段 ：FS ( x) (0 x a ) l Fb M ( x) x (0 x a ) l
CB段 ：FS ( x ) Fa M ( x) (l x ) l Fa l (a x l )
2
q( x)
M ( x)
M ( x) dM ( x)
d FS ( x) q ( x) dx
FS (x)
FS ( x) dFS (x)
二.简易法作剪力图和弯矩图 1、梁上无分布荷载作用：q（x）=0
由： dFS ( x) q( x) FS ( x) C (常量)
dx
FS
C>0
Fa / l
l
Pa / l
Fb / l
FS
(a x l )
Pb / l
讨论：a.集中力F作用点C处：
M
Pab / l
FS FS c FS c P
剪力发生突变，突变量为F
[例]用作出受集中力偶简支梁的内力图
A C
FA
M
B b
FB
M F A FB L AC : (0 x a )
剪力图斜率为零，FS（x）图为 平行于x轴的直线。 由：
d M ( x) FS ( x) C M ( x) Cx D dx
C<0
弯矩图斜率为常量C，M（x）图为 斜直线。 M 2、梁上作用有均布荷载q（x）=C
C>0
C<0
由：
dFS ( x) q( x) C FS ( x) Cx D dx
梁的内力
(1)求支反力 FA l Fb
a
１ １
b
A
FA
B
FA
FB
x
M
l
M
FS
FB
Fa l Fb FS FA l
Fb l
(2)1-1面上的内力
F
剪力
弯矩
M FA x Fbx M l
FA
x
FS
FB
剪力FS的符号规定 左上右下为正 弯矩M的符号规定 FS
㈩
㈠
FS FS
Fs2
FS 3 FS 2 RA qa qa / 4
Fs3
3qa FS 4 qa RB 4
M 3 2aRA qa a 3qa /22
2
,
5qa M4 4
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4 横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§4-3 梁的内力方程
剪力图和弯矩图
1. 剪力和弯矩方程 一般情况下：FS=FS（x） 剪力方程 M=M（x） 弯矩方程 2. 剪力图和弯矩图： 以x轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面 上的剪力FS、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。 表示FS、M沿梁轴线变化情况。
D
3m
K
1m
Me=5kN· m B
解： 整体分析梁的受力如图。 q =20kN/m F MA C A FAx D E K FAy
Me=5kN· m B FBy
未知支反力： 4个 整体独立平衡方程：3个 关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论 AC段或CB段均有 MC 0
F=50kN A E
内力
2—2 2F -Fa
FS M
2、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷 载集度为q0，试求截面C上的内力。 y q0l/2 q0 A FA a B C l x FB
解：先求支反力
第4章
弯曲内力
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
一. 弯曲的概念 1.工程实例 桥梁，屋梁，车轴都 是最常见梁的例子。 2.定义 当作用在杆件上的载荷和 支反力都垂直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由 直线变成了曲线，此变形 称为弯曲变形。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
1.吊车梁
2.桥梁
3.跳板
滑动铰支座 固定铰支座 固 定 端
二、梁的分类
1.按支座情况分为： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
2.按支座数目分为： 静定梁 超静定梁
3.按跨数分为： 单跨梁 多跨梁
跨
——梁在两支座间的部分
跨长——梁在两支座间的长度
例 试求梁AB的支反力。 F=50kN q=20kN/m A E
1m
0.5m
C
1m
作剪力图和弯矩图 A
ql l B FS
FS x qx
qx 2 M x 2
FS,max ql
ql2 8
x ql2 2
x 注意：
l/2
M max
ql 2
2
M 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在 弯曲时梁的受拉侧)。
q
A B
[例]简支梁受均布荷载,求 内力方程并画内力图
FB
3F
S3
M4
FS4
4C4
4
FS4 FB 2 F M 4 FB a 0 M 4 2 Fa (顺 )
F
FA=3F 1 2 A1 2 1—1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3—3 2F Fa 4—4 2F -2Fa
内力
2—2 2F -Fa
FS
㈩
㈠
上压下拉(上凹下凸)为正
C
Fs1
Fs4
[例]求梁1-1、2-2、3-3和44截面上的剪力和弯矩。 解： （1）求支座反力 5 由 M B 0得 RA qa 4 7 由 M A 0得 RB qa 4 （2）求剪力与弯矩 FS 1 R A 5qa / 4
M 2 M 1 R A a 5qa 2 / 5
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA 截面1—1 F 1 C1
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 FA 2 F MC2 0 M 2 F a 0 S2 M 2 Fa ( 顺 )
带有中间铰的梁的受力特点： MA F A E FAx FAy FCx FCy' C FCx'
q =20kN/m
C FCy D K
Me=5kN· m B FBy
CB梁段上的荷载会传递到梁的AC段，称为副梁；
AC段上的荷载不会传递到梁的CB段，称为基本 梁(或主梁)。
§4-2
一. 梁的剪力与弯矩 F
FCy
FBy
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
F F
0.5m
x
0 0 0
FAx 0
FAy 50 20 3 29 0
y
M
FAy 81kN
A
M A 50 103 1 5 103 20 103 4 3 0 M A 96.5kN m