2011-2012北京市怀柔区2012届九年级上学期期末考试数学试卷
2011-2012学年北京市朝阳区2012届九年级上学期期末数学试卷(含答案)
朝阳区2011～2012学年九年级第一学期期末统一考试数 学 试 卷 2012.1（考试时间120分钟 满分120分）学校 班级 姓名 考号一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形是中心对称图形的是A. B. C. D.2. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为4cm 和2cm ，圆心距O 1O 2为6cm ，则这两个圆的位置关系是 A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切3. 如图，已知△ABC 中，AB = AC ，∠ABC =70°，点I 是△ABC 的内心， 则∠BIC 的度数为A. 40°B. 70°C. 110°D. 140° 4. 抛物线1)2(2+-=x y 是由抛物线2x y =平移得到的，下列对于 抛物线2x y =的平移过程叙述正确的是A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 （第3题图）C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位5. 如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ， D 是优弧AB 上的一点 （不与点A 、B 重合），若∠AOC =50°，则∠CDB 等于A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°（第5题图）2m60mm40mm DCBAE6. 如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40mm ，焦距是60mm ，所拍摄的2m 外的 景物的宽CD 为A ．12mB ．3mC ．23m D ．34m （第6题图） 7. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A (1, 2)，B (1, 1)，C (3, 1)，将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90后得到△'''C B A ，则点A 旋转到点'A 所经过的路线长为A ．π25B ．π45 C ．π25D ． 52（第7题图） 8. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是A. B. C. D.二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. 如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，且AD ＝3，将△ABD 绕点A 旋转到△ACE 的位置，连接DE ，则DE 的长为 .（第9题图） （第10题图） （第11题图）10. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R 的值是 .y5O x y5Ox QBAC Pxy-3-4-2-1-2-3-412344-1321O B A C Dy 5O y 5O x11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB =AD =4，BC =6，以点A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是 ． 12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，… 这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定11a =，23a =，36a =，410a =，…；11b =，24b =，39b =，416b =，…；1112y a b =+，2222y a b =+，3332y a b =+，4442y a b =+，…，那么，按此规定，=6y ，n y ＝ （用含n的式子表示，n 为正整数）．三、解答题（共13个小题，共72 分） 13.（本小题满分5分）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.14.（本小题满分5分）如图，已知4=AC ，求AB 和BC 的长.15.（本小题满分5分）如图，□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上， 连接CE ，与AD 相交于点F . （1）求证：△EBC ∽△CDF ；（2）若BC ＝8，CD ＝3，AE ＝1，求AF 的长．16.（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△'''C B A 是以 坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1）， B ′（6，2）. （1）若点A （25，3），则A ′的坐标为 ； （2）若△ABC 的面积为m ，则△A ′B ′C ′的面积＝ .14916图②图①1063117.（本小题满分5分）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，其中图象与 x 轴交于点A （－1,0），与y 轴交于点C （0，－5），且经过点 D （3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成2()y a x h k =-+的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的另一个交点B 的坐标.18. （本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2011年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布. 为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料. 第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份. 求发放宣传材料份数的周平均增长率.19. （本小题满分5分）如图，CD 与AB 是⊙O 内两条相交的弦，且AB 为⊙O 的直径， CE ⊥AB 于点E ，CE=5，连接AC 、BD . （1）若135sin =D ，则cos A = ；（2）在（1）的条件下，求BE 的长．20. （本小题满分5分）小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD 的高度（如图②）.她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米，参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈）.图① 图②βαF E CO AE21.（本小题满分5分）已知抛物线4)1(21-+++=m x m x y 与x对称轴为x =－1． （1）求m 的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线b kx y +=2过点B P （－2m ，－3m ），根据图象回答：当x 取 什么值时，1y ≥2y .22. （本小题满分6分）某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y （个）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？23.（本小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 为BC 边上一点， 以O 为圆心，OB 为半径作半圆与AB 边和BC 边分别 交于点D 、点E ，连接CD ，且CD =CA ，BD =56， tan ∠ADC =2．（1）求证：CD 是半圆O 的切线； （2）求半圆O 的直径； （3）求AD 的长.BCA已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =22，点D 、E 在BC 边上（均不与点B 、C 重合，点D 始终在点E 左侧），且∠DAE ＝45°．（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上 ， ； （2）设BE ＝m ，CD ＝n ，求m 与n 的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围； （3）如图②，当BE ＝CD 时，求DE 的长；（4）求证：无论BE 与CD 是否相等，都有DE 2=BD 2+CE 2.图① 图② 备用图已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OB=21OC ，tan ∠ACO =61，顶点为D ． （1）求点A 的坐标．（2）求直线CD 与x 轴的交点E 的坐标.（3）在此抛物线上是否存在一点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点M （2，y ）是此抛物线上一点，点N 是直线AM 上方的抛物线上一动点，当点N 运动到什么位置时，四边形ABMN 的面积S 最大? 请求出此时S 的最大值和点N 的坐标．（5）点P 为此抛物线对称轴上一动点，若以点P 为圆心的圆与（4）中的直线AM 及x轴同时相切，则此时点P 的坐标为 . 备用图① 备用图②18.朝阳区2011～2012学年九年级第一学期期末统一考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. 3 10. 6 11.π4 12. 78，n n +22（每空2分）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13.（本小题满分5分）解： 2322232⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=原式，……………………………………………3分 21=. ……………………………………………………………………5分14.（本小题满分5分） 解：作CD ⊥AB 于点D ， 在Rt △ACD 中，∵∠A ＝30°，∴∠ACD ＝90°－∠A ＝60°，221==AC CD ，32cos =⋅=A AC AD . ……………………………………………………………3分在Rt △CDB 中，∵∠DCB ＝∠ACB －∠ACD ＝45°， ∴2==CD BD ，2245sin =︒=CDBC . …………………………………………………………………4分∴322+=+=BD AD AB .…………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△EAF ∽△EBC ，△EAF ∽△CDF . ……………………………………………2分 ∴△EBC ∽△CDF . …………………………………………………………………3分（2）解：∵△EAF ∽△EBC ，∴BC AF EB EA =，即8311AF=+. 解得2=AF . …………………………………………………………………………5分16. （本小题满分4分） （1）（5，6）；…………………………………………………………………………………2分 （2） 4m . ……………………………………………………………………………………4分17. （本小题满分5分） 解：（1）由题意，有⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==+-.839,5,0c b a c c b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . …………………………………2分（2）9)2(2--=x y ，顶点坐标为（2，－9），B （5，0）. …………………………5分18. （本小题满分5分）解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为x ，由题意，有.363)1(3002=+x …………………………………………………………………3分 解得 1.01=x ，1.22-=x . …………………………………………………………4分 ∵1.2-=x <0，不符合题意，舍去，∴%101.0==x . ……………………………………………………………………5分 答：这两次发放材料数的平均增长率为10%.19. （本小题满分5分） （1）1312. …………………………………………………………………………………2分 （2）解：如图，连接BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴由（1）知AC ＝13， 12=AE ，1312cos =A . 在Rt △ACB 中，ABACA =cos ， ∴12169=AB . ………………………………………………………………………4分 ∴1225=-=AE AB BE . …………………………………………………………5分A20.（本小题满分5分）解：∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .在Rt △CFG 中，.35cos =⋅=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分 答：这座教学楼的高度约为10.3米.21.（本小题满分5分） 解：（1）由题意，有121-=+-m ，解得m ＝1. ……………………………………………………………2分 （2）如图1；…………………3分图1 图2（3）如图2，x ≤－2或x ≥1. ……………………………………………………………5分22.（本小题满分6分）解：（1）由题意，有 )60(2100--=x y ，即2202+-=x y ；………………………………………………………………………2分 （2）由题意，有 )2202)(50(+--=x x w ，即1100032022-+-=x x w ；…………………………………………………………4分 （3）∵抛物线1100032022-+-=x x w 的开口向下，在对称轴80=x 的左侧，w 随x 的增大而增大.由题意可知7060≤≤x ，………………………………………………………………5分 ∴当70=x 时，w 最大为1600. ………………………………………………………6分 因此，当每个书包的销售价为70元时，该超市可以获得每周销售的最大利润1600元.BPA23.（本小题满分6分） （1）证明：如图，连接OD ，∵OD ＝OB ，∴∠1＝∠2. ∵CA ＝CD ，∴∠ADC ＝∠A . 在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠1＝90°. ∴∠ADC ＋∠2＝90°. ∴∠CDO ＝90°. ∵OD 为半圆O 的半径，∴CD 为半圆O 的切线. ………………………………………………………………2分 （2）解：如图，连接DE .∵BE 为半圆O 的直径， ∴∠EDB ＝90°. ∴∠1＋∠3＝90°. ∴∠ADC ＝∠3. ∴23tan ==∠EDBD. ∴53=ED . ∴1522=+=DE BD EB . ………………………………………………………4分（3）解：作CF ⊥AD 于点F ，∴AF ＝DF .设x DF =，∵2tan =∠ADC ，∴CF ＝2x . ∵∠1＋∠FCB ＝90°， ∴ADC FCB ∠=∠.∴2tan =∠FCB . ∴FB ＝4x . ∴BD ＝3 x ＝56. 解得52=x .∴AD ＝2DF ＝2x ＝54. ……………………………………………………………6分24.（本小题满分8分）解：（1）△ADE ∽△BAE ，△ADE ∽△CDA ，△BAE ∽△CDA ；（写出任意两对即可） （2）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝22，由（1）知 △BAE ∽△CDA ，∴CA BECD BA =. ∴22m n =. ∴nm 4= （222<<n ）. ……………………………………4分（3）由（2）只BE·CD ＝4，∴BE ＝CD ＝2.∴BD ＝BC －CD ＝222-.∴DE ＝BE －BD ＝224-.………………………………………………………5分 （4）如图，依题意，可以将△AEC 绕点A 顺时针旋转90°至△AFB 的位置，则FB ＝CE ，AF ＝AE ，∠1＝∠2， ∴∠FBD ＝90°.∴22222CE BD FB BD DF +=+=. (6)∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°， ∴∠F AD ＝∠DAE . 又∵AD ＝AD ，AF ＝AE ， ∴△AFD ≌△AED .∴DE ＝DF . ………………………………………………………………………7分 ∴222CE BD DE +=. …………………………………………………………8分25.（本小题满分8分）解：（1）根据题意，得C （0,6）.在Rt △AOC 中，61tan =∠ACO ，OC ＝6， ∴OA ＝1. ∴A （－1,0）. ……………………………………………………………1分 （2）∵OC OB 21=，∴OB ＝3. ∴B （3,0）. 由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-.0639,06b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.4,2b a ∴6422++-=x x y .∴D （1,8）. ……………………………………………………………………2分 可求得直线CD 的解析式为62+=x y .∴E （－3,0）. ……………………………………………………………………3分 （3）假设存在以点A 、C 、F 、E 为顶点的平行四边形，则F 1（2,6），F 2（－2,6），F 3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线6422++-=x x y 上，∴F （2,6）. ………………………………………………………………………4分（4）如图，作NQ ∥y 轴交AM 于点Q ，设N （m , 6422++-m m ）.当x ＝2时，y ＝6，∴M （2,6）. 可求得直线AM 的解析式为22+=x y . ∴Q （m ，2m ＋2）.∴NQ ＝422)22(64222++-=+-++-m m m m m . ∵AMN ABM S S S ∆∆+=，其中126421=⨯⨯=∆ABM S ， ∴当AMN S ∆最大时，S 值最大. ∵MNQ ANQ AMN S S S ∆∆∆+=)422(3212++-⨯⨯=m m , 6332++-=m m ,427)21(32+--=m . ∴当21=m 时，AMN S ∆的最大值为427.∴S 的最大值为475.……………………………………………………………………6分当21=m 时，2156422=++-m m .∴N （21，215）. ……………………………………………………………………7分（5）P 1（1，15-），P 2（1，15--）. …………………………………………8分说明：写成P 1（1，154+），P 2（1，154--）不扣分.。
2012年北京市怀柔初三上学期期末考试数学试题
7题图6题图5题图4题图怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数 学 试 卷 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．13-的相反数是 （ ） A ．3- B ．3 C ．13-D ．132．已知，ABC △中，∠C=90°，sin ∠A 的度数是 （ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ． 90° 3．若反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限内，则k 的取值范围是 （ ） A ．2k >- B ．2k <- C ．0k > D ．0k <4．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为（ ）. A ． 8B ．6C ．4D ．105．如图，D 是ABC △边AB 上一点，则下列四个条件不．能单独判定．．．．．ABC ACD △∽△的是( ) A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC AB CD BC=D ．2AC AD AB =⋅ 6．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ( )A ．12 B ．56 C ．13 D ．237．如图，BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上两点，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是 ( )A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 ( )二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE=1，BC =3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为 ． 10．如图，点A 、B 、C 是半径为3cm 的⊙O 上三个点，且︒=∠30ABC ， 则劣弧 AC 的长 是 .11．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上， 则∠AED 的正弦值等于 ．12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填 整数之和都相等，则第99个格子中的数为 ，2012个格子中的数为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos 6060︒+︒-︒ 解:14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 解15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来．解：16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7.求cos ∠C. 解：17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：18．如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使B D B C =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，AC=8，BC=6．求DE 的长．解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米， 此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度． 解：20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．乙超市：（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=，延长AB（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB =OC 的长．证明：22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积.解：五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：ACx24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角， 旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图①图② 图③解：25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数学试题评分标准及参考答案 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号9 10 1112 答案91π55 2； －1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2sin 452cos 6060︒+︒-︒解: 原式=12+222⋅⋅分 =………………………………………………5分14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 解（1）228y x x =--=x 2－2x+1－1－8=(x －1)2 －9.………………………………………………3分(2)抛物线的顶点坐标是 (1，－9)抛物线的对称轴方程是 x =1 ……………………………4分 抛物线与x 轴交点坐标是（－2，0）（4，0）；当x ＞1 时，y 随x 的增大而增大. ………………………………5分 15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 去括号，得 4x ＋4≤5x ＋8 ……………………………… 1分 移项、合并同类项，得－x ≤4……………………………… 3分系数化为1，得 x ≥4- ……………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：………………… 5分16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C.解:方法一、作DE ⊥BC ，如图1所示，…………1分 ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，∴四边形ABED 是正方形.…………………2分 ∴DE=BE=AB =3. 又∵BC =7，∴EC =4，……………………………………3分 由勾股定理得CD =5.…………………………4分 ∴ cos ∠C=45EC CD =.…………………………5分 方法二、作AE ∥CD ，如图2所示，……………1分 ∴∠1=∠C ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形.………………2分 ∵A B=AD=3，∴EC=AD =3， 又∵BC =7，∴BE=4，……………………………………3分∵ AB ⊥BC ，由勾股定理得AE=5. ………………4分 ∴ cos ∠C= cos ∠1=45BE AE =. …………………………5分 17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， ………………………………………1分抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩… ………4分∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ……………………………………5分18．如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使B D B C =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长． 解：在ABC △中，9086C AC BC ===，，∠， 10AB ∴==．…………………2分又6BD BC ==，4A D A B B D ∴=-=． D E A B ⊥，90ADE C ∴==∠∠．又A A =∠∠，A E D ABC ∴△∽△．………………………………4分D E A DB C A C∴=． .3684=⨯=⋅=BC AC AD DE ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度．解：依题意得，90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABDE 是矩形 ，…………1分1.5.DE AB ∴== ……………2分在Rt BCD △中，sin ,CDCBD BC∠=……………3分 又∵ 20BC = ，60CBD ∠=，由BCCD=60sin∴ sin 60202CD BC =⋅︒=⨯= .……………4分1.5CE ∴= .………………………………………5分即此时风筝离地面的高度为()1.5米 .20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．乙超市：（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由．解：（1）树状图为：…………2分 （2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （甲）=64=32，…………3分 去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （乙）=62=31……………………4分 ∴我选择去甲超市购物……………………………………………………………………5分 21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB =OC 的长． （1）证明：连接OD .∵OA OD =，22.5A ∠=， 22.5ODA A ∴∠=∠=︒，45DOC ∴∠=︒ . ……………………1分∵45ACD ∠=，90ODC ∴∠=︒ ，OD CD ∴⊥ . ……………………2分又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线 .……………………3分 （2）∵直径AB =12OD AB ∴==. …………… 4分 在Rt OCD △中，sin ODC OC= ，∴sin 45OC ︒= ，∵sin 452︒=，2OC ∴= .……………………5分22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. 解：（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E .∴DCO ECO ∠=∠，且OD AC ⊥.…………………1分 ∵AC BC =，∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点.∴122AO AB ==.∵120C ∠=︒，∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒.AC∴在R t AOD △中，112OD AO ==. 即半圆的半径为1. ……………………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得：222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -=解得 x =x =舍去）∴ 1142233ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=△. …………………….4分 ∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴ 2S π=-=阴影….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：作AE y ⊥轴于E ∵42AOD S OD ==△，∴.421=⋅AE OD ∴4AE =. ………………………………………1分∵AB OB C ⊥，为OB 的中点，∴90DOC ABC OC BC OCD BCA ==︒==∠∠，，∠∠. ∴Rt Rt DOC ABC △≌△.…………………………………3分 ∴2AB OD ==. ∴A （4，2）. 将A （4，2）代入1k y x =中，得8k =. 18y x∴=． ……………4分将()42A ，和()02D ，-代入2y ax b =+，得422a b b +=⎧⎨=-⎩解之得：12a b =⎧⎨=-⎩∴22y x =-.…………………………………………………………………5分 （2）在y 轴的右侧，当12y y >时，04x <<． ………………………6分当1y ＜2y 时x ＞4. ……………………………………………………7分24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角, 旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：（1）E （4，132） ………………………………………………1分（2）︒60 …………………………………………………………………2分 （3）设x CG =，则x EG =，x FG -=6，在Rt △FGC 中，∵222CG FG CF =+，∴222)6(4x x =-+，解得 313=x ，即313=CG . ∴G （4，313）. …………………………………………………………4分（4）设以点C 为顶点的抛物线的解析式为2)4(-=x a y . 把A （0，6）代入得，2)40(6-=a . 解得， 83=a .xy (第25题)x∴此抛物线的解析式为2)4(83-=x y .……………………………………6分 ∵矩形EDCF 的对称中心为对角线FD 、CE 的交点H ，∴由题意可知H 的坐标为（7，2）. 当7=x 时，2827)47(832≠=-=y ， ∴点H 不在此抛物线上. ………………………………………………7分25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2 (2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴AB ==.设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ， 则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°. 又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆.∴CE BCOB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………4分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线AC 的解析式为132y x =-+.………………6分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式， 即：2327(3)44PAC S m ∆=--+.评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了部分解法，学生的其他解法可参照评分标准给分.。
【精品】北京市怀柔区九年级上册期末考试数学试题(有答案)
北京市怀柔区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用．将178800用科学记数法表示应为（）A．1.788×104B．1.788×105C．1.788×106D．1.788×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：178800用科学记数法表示应为1.788×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．若将抛物线y=﹣2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y=﹣（+3）2﹣2B．y=﹣（﹣3）2﹣2C．y=（+3）2﹣2D．y=﹣（+3）2+2【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=﹣2的顶点坐标为（0，0），先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2），所以，平移后的抛物线的解析式为y=﹣（+3）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【解答】解：如图，tanA==．故选B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC=2∠A，进而可得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠A=∠B0C=50°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是准确把握圆周角定理即可．6．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（）A．1.65米B．1.75米C．1.85米D．1.95米【分析】根据AB∥DE知△ABC∽△EDC，据此可得=，将有关数据代入计算即可．【解答】解：由题意知AB∥DE，则△ABC∽△EDC，∴=，即=，解得：ED=1.95，故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．7．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解即可．【解答】解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，∵AB=4分米，∴OC=2分米，∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，∴OE=分米，在Rt△OCE中，CE=分米，∴CD=2分米；故选：B．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与的函数关系，在这段时间里P 点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别画出函数的图象是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分解因式：33﹣62+3= 3（﹣1）2．【分析】此题是分解因式中综合性题目，应从提出3这个公因式后，再利用完全平方公式进一步因式分解．【解答】解：33﹣62+3，=3•2﹣3•2+3，=3（2﹣2+1），=3（﹣1）2．【点评】本题考查了提取公因式法与公式法因式分解，应注意找准公因式，提取公因式后因注意能否继续因式分解，此题容易分解因式不彻底．10．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比等于1：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是1：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于12：32=1：9．故答案为1：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．11．有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）：y=﹣．【分析】首先根据反比例函数的性质可得＜0，再写一个符合条件的数即可．【解答】解：∵反比例函数y=（是常数，≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着的值的增大而增大，∴＜0，∴y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=（是常数，≠0），当＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量的增大而减小；当＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量增大而增大．12．抛物线y=2（+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）．【分析】抛物线y=a（﹣h）2+，顶点坐标是（h，），直接根据抛物线y=2（+1）2+3写出顶点坐标则可．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，3）．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．13．将y=2﹣4+5化成y=a（﹣h）2+的形式y=（﹣2）2+1 ．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：∵y=2﹣4+5，∴y=2﹣4+4+1，∴y=（﹣2）2+1．故答案为y=（﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=a2+b+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（﹣h）2+；（3）交点式（与轴）：y=a（﹣1）（﹣2）．14．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米．则旗杆AB= （5+5）米．【分析】根据题意直接得出AN的长，进而得出BN的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得，EN=BF=5m，∵α为45°，∴AN=EN=5m，tan60°==，解得：BN=5，则旗杆AB=AN+BN=（5+5）m．故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．15．在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为米2．【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式即可得到结论．【解答】解：草皮种植面积==πm2，故答案为：π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，正确的识别图形是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：如图1，△OAB．求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．小明的作法如下：如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．请回答：这样做的依据是圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】由作图步骤，根据“圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得答案．【解答】解：①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，则根据圆的定义知OB 为⊙M的直径；由直径所对圆周角为直角知OC⊥AB；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；由经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线知⊙O就是所求作的圆；综上，这样做的依据是：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故答案为：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质及切线的判定和性质．三、解答题（本题共68分，第20、21题每小题5分，第26-28题每小题5分，其余每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：4sin45°﹣+（﹣1）0+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×﹣2+1+2=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AC=8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．【分析】根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】证明：∵BC=4，AC=8，CD=2，∴=，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用数形结合的思想思考问题；19．（5分）如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14．求BC的长．【分析】作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tanA的定义可计算．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tanA=，设CD=3，AD=4，∵在Rt△CDB中，∠B=45°∴tanB==1，sinB=，∵CD=3．∴BD=3，BC=•3=3．又∵AB=AD+BD=14，∴4+3=14，解得=2，∴BC=6．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．20．（6分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA．直接写出点P的坐标．【分析】（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）图中P、P′即为满足条件的点P，写出坐标即可；【解答】解：（1）∵直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．∴A （﹣1，2），y=﹣． （2）函数图象如图所示．（3）观察图象可知满足条件的点P 坐标为（0，4）或（﹣2，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y 的对应值如下表：（2）求m 的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （4）根据图象，写出当y ＜0时，的取值范围．【分析】（1）先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为y=a （+1）2+2，然后将点（1，0）代入求出a 的值，从而得解；（2）将=2代入函数解析式计算即可得解；（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（4）根据函数图象，写出轴上方部分的的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，设这个二次函数的表达式为y=a（+1）2+2，∵图象过点（1，0），∴a（1+1）2+2=0，∴a=﹣，∴这个二次函数的表达式为y=﹣（+1）2+2；（2）=2时，m=﹣（2+1）2+2=﹣；（3）函数图象如图所示；（4）y＜0时，＜﹣3或＞1．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．22．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B 作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．（1）求证：AB=BN；（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．【分析】（1）本题可连接OD，由MD切⊙O于点D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，OD∥BN，得到∠MOD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，∵MD切⊙O于点D，∴OD⊥MD，∵BN⊥MC，∴OD∥BN，∴∠ADO=∠N，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠N，∴AB=BN；（2）由（1）OD∥BN，∴∠MOD=∠B，∴cos∠MOD=cosB=，在Rt△MOD中，cos∠MOD═，∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，∴，∴MA=4.5．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．23．（5分）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使．小明的作法如下：如图①应用尺规作图作出边AD的中点M；②应用尺规作图作出MD的中点E；③连接EC，交BD于点F．所以F点就是所求作的点．请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：正确．理由如下：由做法可知M为AD的中点， E为MD的中点，∴∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，ED∥BC，∴△DEF∽△BFC∴∵AD=BC∴∴．【点评】此题考查作图问题，关键是根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答．24．（5分）已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°．若DC=a，AB=b，请写出求tan∠ADB的思路．（不用写出计算结果）【分析】作DE⊥BC于点E、AF⊥BD于点F，Rt△CDF中可得DE=CDsinC=asin70°，Rt△BDE中可得BD=2DE=2asin30°，在由AF=BF=AB=b，据此得出DF、AF的长，从而得出答案．【解答】解：如图，（1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形；（2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE的长；（3）在Rt△DEB中，由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长；（4）过A点作AF⊥BD于点F，可知△DFA和△AFB都是直角三角形；（5）在Rt△AFB中，由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；（6）由DB、BF的长，可知DF的长；（7）在Rt△DFA中，由可求tan∠ADB．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建直角三角形、熟练掌握三角函数的运用．25．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F．已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为cm，CF的长为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=CF时，BE的长度约为0.6～0.8 cm．【分析】根据题意作图测量即可，第（3）问构造直线y=与所画图象求交点即可．【解答】解：（1）根据题意作图测量可得y=1.5故答案为：1.5（2）根据题意作图得（3）根据题意，所画图象于直线y=交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．故答案为：0.6～0.8【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法和将数据条件转化为函数图象的思想．解答关键是标准作图、数形结合．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：y=﹣2+n与抛物线y=m2﹣4m﹣2m﹣3相交于点A（﹣2，7）．（1）求m、n的值；（2）过点A作AB∥轴交抛物线于点B，设抛物线与轴交于点C、D（点C在点D的左侧），求△BCD的面积；（3）点E（t，0）为轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线l和抛物线分别交于点P、Q．当点P在点Q上方时，求线段PQ的最大值．【分析】（1）把点A的坐标分别代入直线和抛物线解析式求得m、n的值即可；（2）利用抛物线解析式求得点C、D的坐标，结合抛物线的对称性和三角形的面积公式解答；（3）P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5），由两点间的距离公式和二次函数最值的求法解答．【解答】解：（1）把A（﹣2，7）代入y=﹣2+n，得7=4+n，解得n=3．把把A（﹣2，7）代入y=m2﹣4m﹣2m﹣3，得7=4m+8m﹣2m﹣3，解得m=1．综上所述，m=1，n=3；（2）由（1）知抛物线表达式为y=2﹣4﹣5令y=0得，2﹣4﹣5=0．解得1=﹣1，2=5，∴抛物线y=2﹣4﹣5与轴得两个交点C、D的坐标分别为C（﹣1，0），D（5，0）∴CD=6．∵A（﹣2，7），AB∥轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可知B（6，7）∵S△BCD=21；（3）据题意，可知P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5）∵点P在点Q上方∴﹣2＜t＜5，∴PQ=﹣t2+2t+8=﹣（ t﹣1）2+9∵a=﹣1∴PQ的最大值为9．【点评】考查了二次函数综合题，利用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积公式等知识点进行解答，另外注意二次函数图象的性质在解题过程中的应用，难度不是很大．27．（7分）在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．【分析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC 的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC=2α，∠AHB=90°，可得∠ABH=90°﹣2α，依据BA=BD，即可得到∠BDA=45°+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，再判定△ABC≌△BDE，可得BC=DE，进而得到∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，据此可得BC=DP．【解答】解：（1）如图：（2）∵∠BAC=2α，∠AHB=90°，∴∠ABH=90°﹣2α，∵BA=BD，∴∠BDA=45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，∵AB=AC，∠BAC=2α，∴∠ABC=90°﹣α，由（2）知∠ABH=90°﹣2α，∠DBP=90°﹣α﹣（90°﹣2α）=α，∴∠DBP=∠EBP=α，∴∠BDE=2α，∵AB=BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，∴∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，∴=，∴=，∴=，∴BC=DP．【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．28．（7分）在平面直角坐标系Oy中，点P的横坐标为，纵坐标为2，满足这样条件的点称为“关系点”．（1）在点A（1，2）、B（2，1）、M（，1）、N（1，）中，是“关系点”的A，M ；（2）⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；（3）点C的坐标为（3，0），若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足﹣2≤≤2．请直接写出⊙C的半径r的取值范围．【分析】（1）先判断出直线y=2上的点是“关系点”，再将点A，B，M，N的坐标代入判断即可得出结论；（2）构造直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出满足条件的点的特点，再利用三角函数和平面坐标系中两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为y，则y=2，∴点P在直线y=2上，即：直线y=2上的点称为“关系点”，当=1时，y=2×1=1，∴点A是“关系点”，当=2时，y=2×2=4≠1，∴点B不是“关系点”，当=时，y=2×=1，∴点M是“关系点”，∴点A，M是“关系点”，故答案为：A，M；（2）如图1，过点P作PG⊥轴于点G，设P（，2）∵OG2+PG2=OP2∴2+42=1∴52=1∴2=∴=∴P（，）或P（﹣，﹣）；（3）如图2，由（1）知，点P在直线y=2上，∵﹣2≤≤2，即：点（2，4）为B，（﹣2，﹣4）为A，过B作BE⊥轴于E，∴OE=2，BE=4，在Rt△BOE中，根据勾股定理得，OB==2，∴sin∠BOE===，①当⊙C与线段AB相切时，切点记作D，连接CD，∵C（3，0），∴OC=3，在Rt△COD中，sin∠COD=，∴，∴CD=，②当以点C为圆心的圆刚好过点B时，与线段的另一个交点记作F，⊙C的半径BC==，当以点C为圆心的圆刚好过点A时，⊙C的半径AC==，∵在⊙C上有且只有一个“关系点”P，∴点P和点D重合时，满足条件，点P在线段AF上时，满足条件（包括点A，不包括点F），∴t=或＜r≤．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义“关系点”的理解掌握，直线解析式的确定，圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，理解和应用新定义是解本题的关键．。
北京市怀柔区2012年中考一模数学试题
怀柔区2012年中考模拟练习（一）2012.5.9一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．31 B ． 31- C ． 3- D ． 3 2．在学雷锋活动中，我市青少年积极报名争当“助人为乐志愿者”，仅一个月时间就有107000人报名,将107000用科学记数法表示为 A ．4107.10⨯B ．51007.1⨯C ．60.10710⨯D ．61.0710⨯3．.不等式8－2x ＞0的解集在数轴上表示正确的是4．下列计算正确的是A ．(a 2)3＝a 6B ．a 2＋a 2＝a 4C ．(3a )·(2a )2＝6a D ．3a －a ＝3 5．某运动队为女队员购买某品牌运动鞋11双，其中各种尺码如下表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是A ．25， 25B ．24.5， 25C ．25， 24.5D ．24.5，24.5 6. 将右图所示的Rt △ABC 绕直角边AB 旋转一周，所得几何体的主视图为A ．B ．C ．D ．7．从1、2、3、4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能 被3整除的概率是 A ．31B ．14C ．61 D ．112A.B.C. D.（第15题图）8. 如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点 P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：a 3－4a ＝ ． 10．函数21y x =+ 中自变量x 的取值范围是 .11.如图，小华在地面上放置一个平面镜E ，来测量铁塔AB 的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端A ．已知小华 的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB 的高度是 米．12.一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第n 个数是 . （用含字母n 的代数式表示，n 为正整数）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 132cos 45-︒-0201211()2--． 解：14. 化简：24422x xx x++--. 解：15. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AM ∥BC ，E 是CD 中点， D 是 AM 上一点. 求证：BE ＝EM . 证明：16．已知a 2－5a+1=0，求421a a+的值. 解：17．已知一次函数2y x =+与反比例函数ky x=交于P 、Q 两点，其中一次函数2y x =+的图象经过点(k ，5)．(1)求反比例函数的解析式；(2)设点Q 在第三象限内，求点Q 的坐标；(3)设直线2y x =+与x 轴交于点B ，O 为坐标原点，直接写出△BOQ 的面积= . 解：18．列方程或方程组解应用题： 某市在道路改造过程中，需要铺设一条污水管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. 求甲、乙工程队每天各铺设多少米？ 解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上， AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°，∠E =45°，∠A =60°，AC= 求CD 长． 解：20．我们都知道主动吸烟和被动吸烟都危害着人类的健康．为此，联合国规定每年的5月31日为“世界无烟日”．为配合今年的“世界无烟日”宣传活动，我区某校九年级二班的同学们在城区内开展了以“我支持的戒烟方式”为主题的问卷调查活动，征求居民的意见，并将调查结果分析整理后，制成了如下统计图：(1)求九年级二班的同学们一共随机调查了多少人？ (2)根据以上信息，请你把统计图补充完整；(3)如果城区有2万人，那么请你根据以上调查结果，估计城区大约有多少人支持“强制戒烟”这种戒烟方式？（4）为了青少年的健康，针对你们学校实际提出一条你认为最有效的戒烟措施. 解:戒烟戒烟戒烟 戒烟21．已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的半圆与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ， 垂足为点E ．（1）求证：点D 是AB 的中点； （2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（3）若⊙O 的直径为18，cosB =31，求DE 的长．（1）证明：22. 如图①，将一张直角三角形纸片ABC ∆折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕，CBE ∆为等腰三角形；再继续将纸片沿CBE ∆的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.图① 图② 图③（1）如图②，在正方形网格中，能否仿照前面的方法把ABC ∆折叠成“叠加矩形”，如果能，请在图②中画出折痕及叠加矩形；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜ABC ∆，使其顶点A 在格点上，且ABC ∆折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=.（1）a 取何整数值时，关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是整数；（2）若抛物线y=2(1)(1)20a x a x --++=的对称轴为x =－1，顶点为M ，当k 为何值时，一次函数13y kx k =+的图象必过点M. 解：B24．探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..25. 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O C D B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；（3）连接OA ，AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得OBP △与OAB △相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．怀柔区2012年中考模拟练习（一）数学试题评分标准及参考答案 2012.5.9一、选择题：（本题共32分，每小题4分）13．解：原式= 212--………………………4分 = 3-．…………………………………5分14. 原式= 24422x xx x +---……………………………2分 = 2442x x x -+-………………………………3分= 2(2)2x x --………………………………4分= 2.x -…………………………………5分 15. 证明： E 是CD 中点，∴EC DE = ............................. .................................1分AM ∥BC ， ∴1M ∠=∠.......................... .....................2分在 ………………….3分BCE ∆≌MDE ∆（AAS ）............ ............4分 ∴EM BE =............................... .............................5分16．解：由已知a 2－3a+1=0知a≠0，将已知等式两边同除以a 得a －5+a1=0， ∴a+a1=5.………………………………………………2分所以241a a +=a 2+21a………………………………………3分 =（a+a1）2－2………………………………4分=52－2=23.…………………………………5分17． 解：（1）因一次函数2y x =+的图象经过点(k ，5)， 所以得52k =+，解得3k = 所以反比例函数的表达式为3y x=………………………2分 （2）依题意, 列方程组23y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得13x y =⎧⎨=⎩ 或31x y =-⎧⎨=-⎩故第三象限的交点Q 的坐标为（－3，－1）………………4分（3）△BOQ 面积为1……………………………………………5分18．解：设乙工程队每天能铺设x 米；则甲工程队每天能铺设)20(+x 米-----------1分依题意，得．xx 25020350=+ ----------------------------3分 解得．50=x ----------------------------4分经检验，50=x 是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队每天能铺设70米；乙工程队每天能铺设50米。
怀柔区2010-2011学年度第一学期初三期末数学答案
怀柔区2010——2011年学年度第一学期期末统一练习初三数学试题参考答案及评分标准二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．2 10. ABC ADE ∠=∠或 ACB AED ∠=∠或AB ACAD AE=11．4； 12．(3,0)． 三．解答题（本题共39分）1213.解:原式＝ ………………………………………………4分1=. …………………………………………………………………5分14．解：1442+++=x x y ……………………………………………………………1分 1)2(2++=x ………………………………………………………………………3分∴542++=x x y 的顶点坐标为)1,2(-．……………………………………………5分 15．（本小题满分5分）解: ∵BC 是⊙Ｏ的直径，AC 切⊙Ｏ于点C ，90ACB ∴∠=︒ . ……………………1分在Rt ABC △中，sin BCA AB= ,……………………2分∵sin A =54，AB =15，∴ 4155BC = ，12BC ∴=. ........................3分 ∴由勾股定理得，9AC =. ........................4分 ∴△ABC 的周长为15 +12 + 9 = 36 . (5)分16．（本小题满分4分）解: （1）令0x =，则3+=y ，∴二次函数342+-=x x y 的图象与y 轴的交点坐标为（0, 3）. ………………2分令0y =，则0342=+-=x x y ，求得121,3x x ==∴二次函数342+-=x x y 的图象与x 轴的交点坐标为(1,0)和(3,0) ………4分A17. （本小题满分5分）解：依题意得，90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABDE 是矩形 ，…………1分1.5.DE AB ∴== ……………2分在Rt BCD △中，sin ,CDCBD BC∠=……………3分 又∵ 20BC = ，60CBD ∠=o，∴ 3sin 60201032CD BC =⋅︒=⨯= . ……………4分 103 1.5CE ∴=+ .……………………5分即此时风筝离地面的高度为()103 1.5+米 .18．(本题满分5分)解：（1）设AB=x ，则AD=x 202x 204-=- …………….1分S=AB ×AD=x(20-x)=-x 2+20x ……………………………….2分（2）当a2b x -==()101220=-⨯- ， ……………….……４分 此时S 值最大, 最大值S=-102+20×10=-100+200=100……………………………………..5分答：图形ABCD 的最大面积为100平方米.19．(本题满分5分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E …………………………1分在Rt △ABE 中,∠BAE=ο60, ∴∠ABE=ο30 ∴AE ＝21ＡＢ31032021=⨯= …………2分∴BE ()()303103202222=-=-=AE AB…………………………………………3分∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ο45, ∴EF ＝BE ＝30 …………4分 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈13………………………………………5分答：AF 的长度约为13米．(19题图)20．(本题满分5分)解：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，90ACB ∴∠=o ．又2BAC B ∠=∠，30B ∴∠=o ，60BAC ∠=o ．……………………………..２分又OA OC =，所以OAC △是等边三角形，由6AC =，知6OA =．……………………………………４分 ∵ＰＡ是⊙Ｏ的切线，90OAP ∴∠=o ． 在Rt OAP △中，6OA =，60AOC ∠=o，所以，tan 6063PA OA ==o．…………………………５分 21．（本题共6分）解：（1）∵ 图像过点A(－1，6)，861m -=-．…………………………1分 ∴m －8－1=6 ∴m=2 …………….…………………2分 （2）分别过点A ．B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D ．E ，由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴△CBE ∽△CAD ，∴CB BECA AD =．…………………………4分 ∵AB ＝2BC ，∴13CB CA = ∴136BE=，∴BE ＝2． ……………………………５分 即点B 的纵坐标为2当y ＝2时，x ＝－3，易知：直线AB 为y ＝2x ＋8，∴C(－4，0) ………………………………６分 22．（本题满分7分）解：（1）x ＝1；（1，3）………………………２分 （2）………………………4分画图……………………………………………………6分（3）因为在对称轴x ＝1右侧，y 随x 的增大而减小，又x 1＞x 2＞1，所以y 1＜y 2．………………………7分x … －1 0 1 2 3 … y…－1232－1…BCPO A-5-4-3-2-1O 12345xy-1123．（本题共７分）（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∴ AB ⊥CD ，∠BCD=∠CAB ……………………………………1分∵AO=C0 ∴∠CAB=∠ACO …………………………………2分ACO BCD ∴∠=∠. ………………………………3分 (2)解：设⊙O 的半径为R ,则8OE R =-.∵AB ⊥CD ，1122CE CD ∴==. …………………………………4分 在Rt △OCE 中，∵ 222OC CE OE =+，22212(8)R R ∴=+-．解得，13R =．∴⊙O 的直径为26cm. ………………………………………６分四、解答题（本题共6分） 24. 解：(1)（4，0），（0，3）； ……………………………………………….….2分(2) 2，6； ·························································································· 3分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ． 由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =t 43, S=283t ． ································ 4分 当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4．由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． 由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4．S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21（8-t ）（6-t 43）-)4(23-t =t t 3832+-． ················································································ 5分(4) 有最大值． 当0＜t ≤4时，∵ 抛物线S=283t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6；当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S ＜6．综上所述，当t=4时，S 有最大值6． ························································ 6分25．（本题共７分）（1）解法一：设抛物线的解析式为y ＝ a (x ＋3 )(x － 4)因为B （0，4）在抛物线上，所以4 ＝ a ( 0 ＋ 3 ) ( 0 － 4 )解得31-=a 所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333y x x x x =-+-=-++ 解法二：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，依题意得：c ＝4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以 所求的抛物线的解析式为211433y x x =-++ …………………3分（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，2222345AB AO BO =+=+=所以AD ＝AB ＝ 5，AC ＝AD ＋CD ＝3 ＋ 4 ＝ 7，CD ＝ AC － AD ＝ 7 – 5 ＝ 2因为BD 垂直平分PQ ，所以PD ＝QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB ＝∠QDB 因为AD ＝AB ，所以∠ABD ＝∠ADB ，∠ABD ＝∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD ＝∠CBA ．∠CDQ ＝∠CAB ，所以△CDQ ∽△CABDQ CD AB CA = 即210,577DQ DQ ==所以AP ＝AD – DP ＝AD – DQ ＝5 –107＝257，2525177t =÷=所以t 的值是257……………………………………………………………………..５分（3）答：对称轴上存在一点M ，使MQ ＋MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-= 所以A （－ 3，0），C （4，0）两点关于直线12x =对称 连接AQ 交直线12x =于点M ，则MQ ＋MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，所以∠QED ＝∠BOA ＝90° DQ ∥AB ，∠BAO ＝∠QDE ， △DQE ∽△ABOQE DQ DEBO AB AO == 即 107453QE DE ==所以QE ＝87，DE ＝67，所以OE ＝OD ＋DE ＝2＋67＝207，所以Q （207，87）设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则2087730k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 由此得 8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………….. ６分所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+联立128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由此得128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 所以M 128(,)241则：在对称轴上存在点M 128(,)241，使MQ ＋MC 的值最小． ························· 7分说明：本试卷部分解答题只给出了一种解法，其他解法参照评分标准相应给分.。
怀柔二模数学试卷答案
怀柔区2012年中考模拟练习(二)数学试卷评分标准及参考答案 2012.6.813．解：原式=1232+⨯+ ………………………………4分 =4+ ………………………………………………5分14．解：由①得x ≥－2．………………………………… 1分由②得x ＜3．……………………………………2分 不等式组的解集在数轴上表示如下：···································3分 ···············································4分 所以原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2． ········································5分 15．证明：如图， ∵ AB=CD ，∴ AB +BC=CD +BC ， 即 AC=DB ．………………………………1分 在△AEC 和△DFB 中， 分 ∴ △AEC ≌△DFB ． ·································································· 4分 ∴ AE = DF ． ··············································································· 5分16解： 原式=y x y y x y x y x y x x -+++-⋅-2))(()(22………………………………2分= y x y y x x-+-2)(2= )()(2y x y x -+． ························································· 3分当21=y x 时，x y 2=. ············································································· 4分 原式=)2()2(2x x x x -+=－6. ············································································ 5分17． 解：．解：（1）∵点P （1,1）是一次函数b kx y +=和反比例函数xky 2=图象的交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=211k b k ------------------------------------------------------1分 解得：⎩⎨⎧-==12b k ------------------------------------------------------2分C B E A FD G50∴一次函数解析式为12-=x y ，反比例函数解析式为xy 1=------------------3分 （2） 点A 的坐标为 (1，0) 或．(2，0) -----------------------------------5分18．列方程或方程组解应用题：解：设观看NBA 比赛的观众有x 人，现场观看110米栏比赛的观众有（2x+2000）人，........1分 依题意，列方程，得：x ＋(2x ＋2000)=38000................................................3分 解得：x=12000, ........................................…………………………………4分 ∴2x+2000=26000. ................………………………………………….5分答：观看NBA 比赛的观众大约有12000人，观看110米栏比赛的观众大约有26000人.本题还可以列二元一次方程组来解. 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解: ∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12， ∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分 ∴ AC =AE+CE =24.∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒,∴ BC=12, cos30AB AC =⋅︒= ……………………2分 ∵ DE AC ⊥， DE=5， ∴四边形ABCD 的面积=1122AB BC AC DE ⋅+⋅=60.………………3分 在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD13==．………4分∴sin ∠DAC=513．……………… ………………………………………………5分 20.（1）证明：连结O C .………………1分∵ CDAC =，120A C D ︒∠=， ∴ 30A D ︒∠=∠=.…………………………2分 ∵ OCOA =,∴ 230A ︒∠=∠=. ∴ 290O C D A C D ︒∠=∠-∠=. ∴ C D 是O ⊙的切线. ………………………………3分（2）解:∵∠A=30o ， ∴ 1260A ︒∠=∠=. ∴ 2602360O B CS π⨯==扇形23π. ……………………4分 在Rt △OCD 中,tan 60CD OC =⋅︒=∴Rt 11222OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯=∴ 图中阴影部分的面积为-3223π. ……………5分21. 解：(1)-------2分 -----4分(2) 全体学生家庭月人均用水量为1505164323502421103000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯9040=（吨）. -------------------------- -5分答：全校学生家庭月用水量约为 9040吨. 22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)…………………2分方法一、 方法二、方法三、 方法四、（2） ……5分方法一、 方法二、五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）由题意可知，△=()222-1-4(-1)m m ＞0， 解得m ＜54.…………………1分 又抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，当m=1时，2=+y x x .当m=－1时，2=-3.y x x …………………………………………2分 ∴只有m=1或m=－1……………………………………………3分 （2）∵抛物线顶点在第三象限，∴只有m=1符合题意，抛物线的解析式为2=+y x x .…………………………………………4分（3）∵点M ()11,x y 与N ()12,x k y +在抛物线2=+y x x 上，∴2111=+y x x ，2211=(+)++y x k x k∵,21y y =∴()221111+=+++.x x x k x k整理，得()12++1=0k x k∵点M 、N 不重合，∴k ≠0.∴2x 1 =－k －1.…………………………………………………………6分∴21116+6+5-+1x x k k ⋅=()2+116-3(k+1)+5-4+1k k k ⋅=6.………………7分 24. 解：（1）过A 点作AM BC ⊥，垂足为M ，交DE 于N 点，则BM=12BC=3，∵DE ∥BC ，∴AN DE ⊥.在Rt △ABM 中,4AM ==，------------------------------1分 ∵DE BC ∥,∴ADE △∽△ABC-,∴AMAN AB AD =, ∴45y x =, ∴54x y = (05).x <<-------------------------------2分（2）∵A DE '△由ADE △折叠得到，∴AD ＝A D ',AE ＝A E ',∵由（1）可得ADE △是等腰三角形，∴AD A D AE A E ''===,∴四边形ADA E '是菱形，------------------------------3分 ∴AC ∥DA ', ∴BDA A '∠=∠. 又∵BDA ABC '∠≠∠，BDA C '∠≠∠ ∴只有当BD A D '=时，BDA '∆∽BAC ∆. ∴当BD A D '=，即5-x x =时,∴25=x . ∴当25=x 时，BDA '∆∽BAC ∆.--------------------------------4分（3）第一种情况：当BDA '∠＝90°, ∵BDA A '∠=∠ ,而A ∠≠90°， ∴BDA '∠≠90°.-----------------------------------------------………………………5分 第二种情况：当BA D '∠=90°，∵四边形ADA E '是菱形，∴点A '必在DE 垂直平分线上，即直线AM 上，∵45x AN A N y '===，4AM =，∴845A M x '=-，在Rt △BA M '中2222283(4)5BA BM MA x ''=+=+-，在Rt △BA D '中22222(5)A B BD DA x x ''=-=--，∴22228(5)3(4)5x x x --=+-，解得3235=x ，x=0（舍去）.---------------------------------6分第三种情况：当A BD '∠=90°， ∵ Rt △BA M '～ Rt △ABM ,∴AM BM AB BA =', ∴415'=BA 在Rt △DBA '中,2'2'2DA BA DB =+,2216225)5(x x =+-, 解得:12532x =. ------…………………7分NA 'x25．解：(1) ∵抛物线对称轴为x=4，且在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 );………………………1分设抛物线解析式为：y=a(x－h)2+k，D(0，397)，∴解得，93=a，3=k.∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3，或y=93x2－9316x+937……………2分（2）∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时，PA+PD取得最小值，……………………3分∴DB与对称轴的交点即为所求点P.设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴BOBMDOPM=，∴3373397=⨯=PM，∴点P的坐标为(4，33)………………………4分（3）由⑴可知，C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，…………………………………………………5分如果AB=AQ，由对称性可知Q(－2，33)………………………6分②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，3-)，………………………………………7分经检验，点(10，33)与(－2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，33)或(－2，33)或(4，3-)．…………………………8分。
2011-2012北京市东城区2012届九年级上学期期末考试数学试卷印
A E DCBA东城区2011—2012学年第一学期期末统一检测一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是A ．（2，1）B ．（-2，-1）C ．（-2，1）D ．（2，-1）2．下列图形中，是中心对称图形的是A B C D3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD =5，BD =10，DE =4， 则BC 的值为A.8B.9C.10D.12 4.下列事件中，属于必然事件的是A. 随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上B. 打开电视任选一频道，正在播放北京新闻C. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D. 某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖 5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 的 度数为 A ．116° B ．58° C ．42° D ．32° 6．已知x =1是方程x 2+bx +b -3=0的一个根，那么此方程的另一个根为A. -2B. -1C. 1D. 2 7. 如图，直径AB 为6的半圆O ，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积为A .6πB .5πC .4π D.3πQ PNMOCBAOCAB8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数24y bx bac =+-与反比例函数2c by x-=在同一坐标系内的图象大致为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知关于x 的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ． 10. 将抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为 ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转．当12OA OB =时, OPOQ的值为 ；当1OA OB n =时，OPOQ的值为 .(用含n 的式子表示) 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程： .22410x x --=DCBA 14．已知排水管的截面为如图所示的圆O ,半径为10，圆心O 到水面的距离是6，求水面宽AB .15D 在边AB 上，满足且∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.16．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴ 画出ABC △；⑵ 画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的11AB C △，并求出1CC 的长..17. 2(1) 求该二次函数的解析式；(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m取何值时，12?y y18．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，请你计算AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD PA ，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若CD =2AD ，⊙O 的直径为10，求线段AC 的长.21. 在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 . （1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
2012-2013怀柔初三期末考试数学试题参考答案
怀柔区2012—2013学年度第一学期初三期末质量检测数学试卷答案及评分参考二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：12小题3个答案正确给4分，2个给3分，1个给2分. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13． 解：=1-2×22-3+22……………………………………………………………4分=1-2-3+22=2-2 ……………………………………………………………………5分14．解：)(2222y x yxy x y x -⋅+-+)()(22y x y x y x -⋅-+=……………………………………………………………1分2x y x y+=-． ……………………………………………………………3分 当30x y -=时，3x y =． ……………………………………………………………4分原式677322y y y y yy+===-． ……………………………………………………………5分15． 解：由(2,0)A -，得 2O A =．∵点(2,)B n 在第一象限内，4AOB S ∆=．∴142O A n ⋅=．∴4n =． ··············································································· 1分∴点B 的坐标是(2,4)． 设该反比例函数的解析式为(0)a y a x=≠．…………………………………2分将点B 的坐标代入，得 42a =， ∴8a =．∴反比例函数的解析式为：8y x=．·································································· 3分设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．将点A ，B 的坐标分别代入，得 20,2 4.k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ················································· 4分解得 1,2.k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为2y x =+． ··································································· 5分16． 解：(1)∵反比例函数y ＝ kx的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点（2，2）∴代入得2=4a+2-1…………………………………1分解得a=41.…………………………………2分(2) 反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点,理由如下：∵反比例函数y ＝ k x的图象过点（2，2）∴代入得2=2k ，解得k=4. ……………………………3分由(1)可知二次函数的解析式分别为y ＝41x 2＋x －1计算可得二次函数y ＝41x 2＋x －1的顶点坐标为（-2，-2）………………………4分∵x=-2时，y=24-=-2. ………………………5分∴反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点. 17． (1)证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠BAC ＝∠ACB ＝60°．∠ACF ＝120°． ∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE ＝60°．∴ ∠BAC ＝∠ACE ． ………………………1分 又∵ ∠ADB ＝∠CDE ，………………………2分 ∴ △ABD ∽△CED ． ………………………3分 （2）解：作BM ⊥AC 于点M ，AC ＝AB ＝6． ∴ AM ＝CM ＝3，BM ＝AB·sin60°＝∵ AD ＝2CD ，∴ CD ＝2，AD ＝4，MD ＝1． 在Rt △BDM 中，BD＝． ………………………4分F·18题图ABC OD 由（1）△ABD ∽△CED得，B D A D E DC D=，2ED=，∴ ED＝ BE ＝BD ＋ED ＝………………………5分18． 解：∵AB 是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°. …………………………1分 在Rt △ABC 中，AB=6， AC= 2，∴BC=AB 2－AC 2 =62－22= 4 2 …………2分 ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DAC=∠BCD ∴AD ⌒=DB⌒， ∴AD=BD …………3分 ∴在Rt △ABD 中，AD=BD= 22AB=3 2 …………4分∴四边形ADBC 的面积=S △ABC+S △ABD=12 AC·BC+12 AD·BD=12 ×2×4 2 +12×(3 2 )2=9+4 2 …………5分 四、解答题（本题共20分， 每小题5分）19. 解：过P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，………………1分 则AB=AB+BD,∴∠A=60。
北京市各区2012年初三第一学期期末试题按难度分类(二)中等题
中题（朝阳）7. △ABC其中A (1, 2)，B (1, 1)，C (3, 1)，将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90后得到△'''C B A ，则点A 旋转到点'A 所经过的路线长为 A ．π25 B ．π45 C．π25D ． （第7题图） （东城）16．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴ 画出ABC △；⑵ 画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的11AB C △，并求出1CC 的长..(通县)12．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到DEF △．如果8cm AB =，6cm,4cm BE DH ==， 则图中阴影部分面积为 2cm ．（东城）8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数24y b x b a c =+-与反比例函数2c by x-=在同一坐标系内的图象大致为（丰台）8．如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿A →B 的方向，以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自点A 出发沿A →D →C 的方向以每秒2cm 的速度运动，当点N 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为x （秒），△AMN 的面积为y （cm 2），则下列图象中能反映y 与x 之间的函数关系的是A B C D(房山)8、根据图1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图2．若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ．则以下结论： ①x ＜0 时，②△OPQ 的面积为定值． ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大．④MQ=2PM ．⑤∠POQ 可以等于90°．其中正确结论是（ ）A 、①②④B 、②④⑤C 、③④⑤D 、②③⑤NMA B CDQ PNMOCBA2 (2) 当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3) 若A （m ,y 1）,B (m +2, y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12?y y >（朝阳）9. 如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，且AD ＝3，将△ABD 绕点A 旋转到△ACE 的位置，连接DE ，则DE 的长为 .（东城）12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转．当12OA OB =时, OP OQ 的值为 ；当1OA OB n=时，OP OQ 的值为 .(用含n 的式子表示)（丰台）14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形” ．已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =3．（1）如图1，四边形CDEF 是△ABC 的内接正方形，则正方形CDEF 的边长a 1是 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中△EDA 的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长a 2= ；继续在图2中的△HGA 中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n 个内接正方形的边长a n = ．（n 为正整数）(丰台）17．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，联结BD ，过点C 作CE ⊥BD 于交AB 于点E ，垂足为点H ，若AD =2，AB =4，求sin ∠BCE ．图1 图2 GI H F AB CDE F AB CD EHA ED(通县)20．把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D 在BC 上，连结BE 、AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．（西城北）11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4 ．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转α角（0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于° ，△DEG的面积为 ．（朝阳）10. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R 的值是 .（海淀）8. 已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 中点, 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A , 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬 行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA 剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( )A B C D (大兴)12. 如图所示，长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做 无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为12A A A →→， 由12A A 翻滚到时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边2A C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时所经过的路径总长度为 cm.O B(A )C ABO A B(A )C O A B (A )C O A B (A )C C (A )B A O B A(大兴)17.已知：如图，将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，点B落在点Q处，折痕为EF，PQ与BC交于点G．求证：△PCG∽△ED P.（朝阳）11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是．（海淀）12．用两个全等的含30︒角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30︒角的顶点, 按先A后B 的顺序交替摆放A、B两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为; 若摆放这个图案共用两种卡片(2n+1)张( n为正整数), 则这个图案中阴影部分的面积之和为. (结果保留π )……A种B种(大兴)21.作图题（要求用直尺和圆规作图，不写出作法，只保留作图痕迹，不要求写出证明过程）.已知：圆.求作：一条线段，使它把已知圆分成面积相等的两部分．(石景山)12．如图，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（4，0）两点，OA=3，点P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是．:如图,AD平分BAC∠,ACDE//,且cmAB5=,求DE的长.（怀柔）21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=，延长到点C ，使得∠ACD =45°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB =OC 的长． 证明：(房山)21、如图，在△ABC 中，∠A=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点，连接OD ．已知BD=2，AD=3． 求：（1）tanC ； （2）图中两部分阴影面积的和．（西城北）12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．(房山)24.探究 ： (1) 在图1中，已知点E ，F 分别为线段AB ，CD 的中点． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________；②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________；（2）若已知线段AB 的端点坐标为A (1，3)， B (5，1) 则线段AB 的中点D 的坐标为 ； (3)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d )， 则线段AB 的中点D 的坐标为 .（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）． 归纳 ： 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A (a ，b )，B (c ，d )， AB 中点为D (x ，y ) 时， x =_________，y =___________．（不必证明）●运用 ： 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数xy 3=的图象交点为A ，B ．①求出交点A ，B 的坐标；②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，第24题图2第24题图1AC请利用上面的结论求出顶点P 的坐标． 解：①23．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是()a ,2（a ＞0），半径为2，函数x y =的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为2.（1）试判断y 轴与圆的位置关系，并说明理由.（2）求a 的值.（平谷）13．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA =4点P 是 半圆弧AC 的中点，联结BP ，线段BP 把图形 APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分， 则这两部分面积之差的绝对值是________.（顺义）22．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，2=OB ，︒=∠30B ，点C 是弦AB 上一动点（不与点A 、B 重合），连结CO 并延长交⊙O 于点D ，连结AD ． （1）求弦AB 的长；（2）当︒=∠20D 时，求BOD ∠的度数；（3）当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、O 、C 为顶点的三角形相似？（顺义）19．如图，AB 为⊙O 的弦，C 、D 分别是OA 、OB延长线上的点，且CD ∥AB ，CD 交⊙O 于点E 、F ，若3=OA ，2=AC ． （1）求OD 的长；B第24题图3D OCBA（2）若55sin =C ，求弦EF 的长．(通县)19．已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，E 是AB 上除O 外的一点，AC 与DE 交于点F ．①AD DC =；②DE ⊥AB ；③AF=DF ．请你写出以①、②、③中的任意两个条件，推出第三个（结论）的一个正确命题．并加以证明．(大兴)22.已知:如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB=AC=13，BC=24PA ∥BC ，割线PBD 过圆心，交⊙O 于另一个点D ，联结CD．⑴求证：PA 是⊙O 的切线； ⑵求⊙O 的半径及CD 的长．（顺义）23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠ACD=21∠AOC ，AD ⊥CD 于点D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB=10，AD ＝2，求AC 的长．（丰台）20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线； (2）若AC = 6，tan B =43，求⊙O 的半径．（东城）20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD PA ⊥DOCB ABD C B AD .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若CD =2AD ，⊙O 的直径为10，求线段AC 的长.（西城南）24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点. （1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2， 求AM 的长；（1） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).（东城）15．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足且∠ACD =∠ABC ，若AC= 2，AD = 1，求DB 的长.（海淀）21. 如图，AB 是⊙O 的直径， 点C 在⊙O 上，CE ⊥ AB 于E , CD 平分∠ECB , 交过 点B 的射线于D , 交AB 于F , 且BC=BD . （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE =9, CE =12, 求BF 的长.(石景山)22． 如图， △ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠AOD =∠C ． （1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若32cos12==C AE ，，求OD 的长．（平谷）23. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ． (1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)当AB ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．（燕山）23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，在AC 的延长线上取点P ，使∠CBP ＝21∠A ． （1）判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径为1，tan ∠CBP ＝0.5，求BC 和BP 的长．（朝阳）14. 如图，已知4=AC ，求AB 和BC 的长.（朝阳）15. 如图，□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F . （1）求证：△EBC ∽△CDF ；（2）若BC ＝8，CD ＝3，AE ＝1，求AF 的长．（海淀） 16. 如图, 在正方形网格中，△ABC 的顶点和O 点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC 关于点O 对称的△A ′B ′C ′；（2）在图2中以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍(只需画出一种即可). 解:（顺义）12．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为 ．（顺义）8．如图，将抛物线221x y -=平移后经过原点O 和A BPCNM O·点)0,6(A ，平移后的抛物线的顶点为点B ，对称轴与抛物线221x y -=相交于点C ，则图中直线BC 与两条抛物线围成的阴影部分的面积为 A ．221 B ．12 C ．227 D ．15（平谷）22. 如图，Rt △OAB 中，∠OA B ＝90°，O 为坐标原点， 边OA 在x 轴上，OA ＝AB ＝1个单位长度．把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移1个单位长度后得△11AA B ． （1）求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式； （2）若（1）中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于 点D ，求点D 、C 的坐标．（燕山）24. 已知：如图，正方形纸片ABCD 的边长是4，点M 、N 分别在两边AB 和CD上（其中点N 不与点C 重合），沿直线MN 折叠该纸片，点B 恰好落在AD 边上点E 处． （1）设AE ＝x ，四边形AMND 的面积为 S ，求 S 关于x 的函数解析式，并指明该函数的定义域；（2）当AM 为何值时，四边形AMND 的面积最大？最大值是多少？ （3）点M 能是AB 边上任意一点吗？请求出AM 的取值范围．（朝阳）16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ′（6，2）.（1）若点A （25，3），则A ′的坐标为 ；（2）若△ABC 的面积为m ，则△A ′B ′C ′的面积＝ . （海淀）17．已知关于x 的方程(k -2)x 2＋2(k -2)x ＋k ＋1=0（朝阳）17. 二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，其中图象与E C C M NAD·x 轴交于点A （－1,0），与y 轴交于点C （0，－5），且经过点 D （3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成2()y a x h k =-+的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的另一个交点B 的坐标.（平谷）25.已知关于x 的二次函数2y ax bx c =++(a >0)的图象经过点C (0,1)，且与x轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）. （1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当01a <<时，求12S S -的值. 解：(通县)22．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A B ，两点，开口向下的抛物线经过点A B ，，且其顶点P 在⊙C 上． （1）求ACB ∠的大小；（2）写出A B ，两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（丰台）22．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O 处，两条直角边与抛物线2(0)y ax a =<交于A 、B 两点． （1）如图1，当2OA OB ==时，则a = ；（2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O 旋转到如图2所示的位置时，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，测得1OC =，求出此时点A 的坐标；（3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O 旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段A B 总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标．(石景山)21．如图，抛物线与x 轴交于A (1，0)，B （3-，0）两点，与y 轴交于点C (0，3)．(1)求此抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点D ，使得以点A 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形，求点D 的坐标． （朝阳）21. 已知抛物线4)1(21-+++=m x m x y 与x 轴交于A 、B两点（点A 在点B 左侧），且对称轴为x =－1． （1）求m 的值；（2）画出这条抛物线； （2）若直线b kx y +=2过点B P （－2m ，－3m ），根据图象回答：当x 取 什么值时，1y ≥2y .(石景山)24．已知函数232+-=x mx y （m （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过 （2）若一次函数1+=x y 交点的坐标．y（西城北）18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ．（1）若AD =10，4sin 5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值； （2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan2α的值（用sin α和cos α的值表示）．（西城北）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．（怀柔）24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角， 旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③(石景山)23．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转30°，得到△A ′B ′C ．联结A ′A 、B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′ 和θA A 'C BB '30︒B 'A 'CB A S △BC B′．（1）直接写出S △ACA ′ ︰S △BC B′ 的值 ；（2）如图2，当旋转角为θ（0°＜θ＜180°）时，S △ACA ′ 与S △BC B′ 的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含θ的代数式表示）．图1 图220．(石景山)某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数：10500y x =-+（2050x <<）．（1）当x=45元时，y= 袋；当y=200袋时，x= 元；（2）设这种干果每月获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少?（丰台）21．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：（1）若日销售量y （件）是售价x （元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式； （2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W （元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（朝阳）22. 某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y （个）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？（东城）22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
北京市怀柔区九年级数学上学期期末质量检测试题
怀柔区2012—2013学年度第一学期九年级期末质量检测数学试卷学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．3的相反数是（）A. －3B. 3C.31- D.312．中国旅游研究院最近发布报告称，2012年中国出境旅游人数8200万人次，8200万用科学计数法表示为( )A.82×106B.8.2×106C.8.2×107D. 8.2×1083.把抛物线2y x=-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式（）A．2(1)3y x=--+ B．2(1)3y x=-++ C．2(1)3y x=--- D．2(1)3y x=-+-．4．如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．65．在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则cosB的值为（）A．12B．22C3D36．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝12CE D．∠AOC＝60°7．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是( )A．92B．94C．95D．328. 如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD、AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）6题图5题图4题图O x y 4 4 O x y 4 4 B ． O x y 4 4C ． O xy 4 4D ． OBA C DA BE二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：x 3﹣x= ．10．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则BAC ∠= .11. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a -3b 0.(填＞、＜或＝)12.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 方向运动，设运动时间为t(秒)(0≤t＜3)，连结EF ，当t 值为________秒时，△BEF 是直角三角形． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：8345sin 2201310+--︒-⎪⎭⎫⎝⎛14．已知30x y -=，求)(2222y x yxy x yx -⋅+-+的值． 15．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点(2,0)A -，与反比例函数在第一象限内的图象交于点(2,)B n ，连结BO ，若S 4AOB ∆=．求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式.16．已知反比例函数y ＝ k x的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点A （2，2） (1)求a 的值；(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，请说明理由.17.如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于8题图10题图 O x y -2 11题图 FE O A CB 12题图点E．(1)求证：△ABD∽△CED;(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．18．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.某学生参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45︒方向，然后沿北偏东60︒方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B 之间的距离．20．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)如图②，连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G ．若2,52==ADAB,求线段BC和EG的长．21．小赵投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月内销售单价不变，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x=-+．(1)设小赵每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求出最大利润.(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元，那么如何制定销售单价才可以实现这一目标？19题图20题图①20题图②·18题图A BCODADEB FC17题图24题图①24题图②O A BMNPOA B MNP CD EF22. 操作与实践： (1)在图①中，以线段m 为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上.（画出所有符合条件的菱形）（4分）(2)在图②中，平移a 、b 、c 中的两条线段，使它们与线段n 构成以n 为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）（1分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的顶点为M （2，－1），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 的坐标为（3，0）. (1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D ，且直线CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P ，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P 的坐标.24.已知，如图①，∠MON=60°，点A 、B 为射线OM 、ON 上的动点（点A 、B 不与点O 重合），且AB=34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP=BP ，∠APB=120°.(1)求AP 的长；(2)求证：点P 在∠MON 的平分线上；(3)如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP的边AO ，OB ，BP ，PA 的中点，连接CD ，DE ，EF ， FC ，OP. ①当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 的周长；②若四边形CDEF 的周长用t 表示，请直接．．写出t 的取值范围．25. 已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中， OC=3,BC=2,取AB 的中点M ，连结MC ，把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO. (1)直接写出点D 的坐标；(2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第 一象限内的该抛物线上移动，过点P 作PQ ⊥x 轴于点 Q ，连结OP.①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似，试 求出点P 的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ，使得TB TO 的值最大.若存在，求出T 点坐标；若不存在，请说明理由.22题图①22题图②怀柔区2012—2013学年度第一学期初三期末质量检测 数学试卷答案及评分参考注：12小题3个答案正确给4分，2个给3分，1个给2分.三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13． 解：=1-2×22-3+22……………………………………………………………4分 =1-2-3+22=2-2 ……………………………………………………………………5分14．解：)(2222y x yxy x yx -⋅+-+ )()(22y x y x yx -⋅-+=……………………………………………………………1分 2x yx y+=-． ……………………………………………………………3分 当30x y -=时，3x y =． ……………………………………………………………4分原式677322y y y y y y +===-． ……………………………………………………………5分15． 解：由(2,0)A -，得 2OA =．∵点(2,)B n 在第一象限内，4AOB S ∆=．∴142OA n ⋅=．∴4n =． ······················ 1分 ∴点B 的坐标是(2,4)． 设该反比例函数的解析式为(0)ay a x=≠． …………………………………2分 将点B 的坐标代入，得 42a=， ∴8a =． ∴反比例函数的解析式为：8y x=． ·················· 3分设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．将点A ，B 的坐标分别代入，得 20,2 4.k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ············· 4分解得 1,2.k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为2y x =+． ·················· 5分 16． 解：(1)∵反比例函数y ＝ k x的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点（2，2）∴代入得2=4a+2-1…………………………………1分解得a=41.…………………………………2分 (2) 反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点,理由如下：∵反比例函数y ＝ kx的图象过点（2，2）∴代入得2=2k，解得k=4. ……………………………3分 由(1)可知二次函数的解析式分别为y ＝41x 2＋x －1计算可得二次函数y ＝41x 2＋x －1的顶点坐标为（-2，-2）………………………4分∵x=-2时，y=24-=-2. ………………………5分∴反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点. 17． (1)证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°．∴ ∠BAC＝∠ACE． ………………………1分 又∵ ∠ADB＝∠CDE，………………………2分 ∴ △ABD∽△CED． ………………………3分 （2）解：作BM⊥AC 于点M ，AC ＝AB ＝6． ∴ AM ＝CM ＝3，BM＝AB·sin60°＝∵ AD ＝2CD ，∴ CD ＝2，AD ＝4，MD ＝1．在Rt△BDM 中，BD． ………………………4分· 18题图ABC OD 由（1）△ABD∽△CED 得，BD AD ED CD=272=， ∴ ED 7，∴ BE ＝BD ＋ED ＝37分18． 解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. …………………………1分 在Rt△ABC 中，AB=6， AC= 2，∴BC=AB 2－AC 2=62－22= 4 2 …………2分 ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DAC=∠B CD ∴AD ⌒=DB ⌒， ∴AD=BD…………3分∴在Rt△ABD 中，AD=BD= 22AB=3 2 …………4分∴四边形ADBC 的面积=S△ABC+S△ABD=12 AC·BC+12 AD·BD=12 ×2×4 2 +12×(3 2 )2=9+4 2 …………5分 四、解答题（本题共20分， 每小题5分）19. 解：过P 作PD⊥AB，垂足为D ，………………1分 则AB=AB+BD,∴∠A=60。
2011-2012北京市东城区2012届九年级上学期期末考试数学试卷
E DCBA东城区2011—2012学年第一学期期末统一检测初三数学试题 2012.1学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是A ．（2，1）B ．（-2，-1）C ．（-2，1）D ．（2，-1）2．下列图形中，是中心对称图形的是A B C D 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD =5，BD =10，DE =4， 则BC 的值为A.8B.9C.10D.12 4.下列事件中，属于必然事件的是A. 随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上B. 打开电视任选一频道，正在播放北京新闻C. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D. 某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖Q PNMOCBAA OCAB5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 的度数为A ．116°B ．58°C ．42°D ．32°6．已知x =1是方程x 2+bx +b -3=0的一个根，那么此方程的另一个根为A. -2B. -1C. 1D. 2 7. 如图，直径AB 为6的半圆O ，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B到了点B '，则图中阴影部分的面积为A .6πB .5πC .4πD .3π8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数2cby x-=在同一坐标系内的图象大致为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知关于x 的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ． 10. 将抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为 ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转．当12OA OB =时,OP OQ 的值为 ；当1OA OB n =时，OPOQ的值为 .(用含n 的式子表示)三、解答题（本题共30分，每小题5分）DCBA 13．解方程： .14．已知排水管的截面为如图所示的圆O ,半径为10，圆心O 到水面的距离是6，求水面宽AB .15D 在边AB 上，满足且∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，求16．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴ 画出ABC △；⑵ 画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的11AB C △，并求出1CC 的长..22410x x --=17.2 (1) 求该二次函数的解析式；(2) 当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3) 若A （m ,y 1）,B (m +2, y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12?y y >18．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A 、标杆顶端F 、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC =1米，CD =5米，请你根据所给出的数据求树高ED .四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m 2，请你计算AB 的长度（可利用的围墙长度超过6m ）．20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC平分∠P AE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若CD =2AD ，⊙O 的直径为10，求线段AC 的长.21. 在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 . （1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.图1FE DCBA图2ABCDEF图3ABCDEF22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
北京市怀柔区中考数学二模试题
怀柔区 2012—2013 学年度九年级二模数学试卷学校姓名准考据号考 1．本试卷共 8 页，共五道大题， 25 道小题，满分 120 分。
考试时间 120 分钟。
生 2．仔细填写第 1、5 页密封线内的学校、姓名和准考据号。
须 3．考生一律用黑色笔迹署名笔（作图题除外）在试卷上按题意和要求作答。
知 4. 笔迹要工整，卷面要整齐。
一、选择题 （此题共 32 分，每题4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个 ．．是切合题意的．1． 3 的倒数是（ ）A. －3B.3C.1D.1332．土星的直径约为 119300 千米， 119300 用科学记数法表示为 ()A.1.193 ×10 5B.11.93 ×10 4C.1.193 ×10 6D.11.9 3×10 63. 下边的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（C ）4． 甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的均匀数均为 9.5 环，方差 ( 单位：环 2)挨次分别为0.035 、 0.015 、 0.025 、 0.027.则这四人中成绩发挥最稳固的是( )A. 甲B. 乙C.丙D. 丁5．甲箱装有 40 个红球和 10 个黑球，乙箱装有 60 个红球、 40 个黑球和 50 个白球．这些球除了颜色外没有其余差别． 搅匀两箱中的球， 从箱中分别随意摸出一个球．以下说法正确的是（）．（ A ）从甲箱摸到黑 球的概率较大 （ B ）从乙箱摸到黑球的概率较大（ C ）从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等（ D ）没法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率6．如图， 在△ ABC 中，∠C ＝90°． 若 BD ∥AE ， ∠DBC ＝20°， 则∠ CAE 的度数是（ ）A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°7．以下函数中，其图象与 x 轴有两个交点的是（）A. y2( x 23) 22013B.y2( x23) 220136 题图55C. y2( x 23)2 2013D.y2 (x 23) 22013558. 如图，等边△ ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 M N 在△ ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以1 厘米 / 秒的速度向 B 点运 （运 开始 ，点M 与C点 A 重合，点 N 抵达点 B 运 止） ， 点 M 、 N 分 作 QAB 的垂 ，与△ ABC 的其余 交于 P 、 Q 两点 . 段 PMN 运 的 t 秒, 四 形 MNQP 的面 S 厘米 2．表示 S 与 t 的函数关系的 象大概是A MN B二、填空 （本 共 16 分，每小 4 分）D9．若分式a2， a 的 .a 3O10．一个 的底面半径 6 ㎝， 面睁开 扇形的 心角 120°，B的母 cm.A11. 如 ，⊙O 的直径 CD ⊥AB ，∠ AOC=50°， ∠ CDB=°.C12. 如 12 1，是由方向 一 齐心、等距 成的点的地点 。
北京市怀柔区九年级(上)期末数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）
1. 已知∠A 为锐角，且 sinA=12，那么∠A 等于（ ）
A. 15∘
B. 30∘
C. 45∘
2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=50°，则∠BOC 的度数为
（）
A. 40∘
B. 50∘
C. 80∘
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x，0），B（x，y），若线段 AB 上存在一点 Q 满足 QAQB=12，则称点 Q 是线段 AB 的“倍分点”． 1 若点 A（1，0），AB=3，点 Q 是线段 AB 的“倍分点”． ①求点 Q 的坐标； ②若点 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′，当点 B 在第一象限时，求 QA′QB； 2⊙T 的圆心 T（0，t），半径为 2，点 Q 在直线 y=33x 上，⊙T 上存在点 B， 使 点 Q 是线段 AB 的“倍分点”，直接写出 t 的取值范围．
21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5．求证：∠DEC=90°．
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22. 下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成 的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．
根据小东设计的尺规作图过程，
1 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） 2完成下面的证明． 证
明：∵CD=AC，
∴CD=
．
∴∠
=∠
．
又∵∠
=∠
，
∴△PAC∽△ABC（
）（填推理的依据）．
北京市怀柔区九年级上期末质量检测数学试题含答案
1 / 14–3–2–112345–4cba dEDCB A 怀柔区—第一学期初三期末质量检测数 学 试 卷 .1考生须知1. 本试卷共8页，三道大题,29道小题；满分120分。
考试时间120分钟。
2. 认真填写第1、5页密封线内的学校、姓名、考号。
3. 考生将选择题答案一律填在选择题答案表内。
4. 考生一律用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔、碳素笔在试卷上按题意和要求作答。
5.字迹要工整,卷面要整洁。
一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.9月15日22时04分09秒 “天宫二号”在酒泉卫星发射中心成功发射，为祖国的航天历史打开新的历程.“天宫二号”全长10.4米，总重量达8600公斤，将8600用科学记数法表示应为(A)86×102 (B)8.6×103 (C)86×103 (D)0.86×1032.实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是(A)a (B)b(C)c(D)d3.已知56(0)x y y =≠，那么下列比例式中正确的是(A)56x y= (B)65x y= (C) 56x y =(D)65x y= 4.已知△ABC ∽△C B A '''∆，如果它们的相似比为3∶2，那么它们的面积比应是 (A)3:2 (B) 2:3 (C)4:9 (D)9:45.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若AE ＝3，EC ＝6，则ADAB的值为 (A)12(B)13 (C)14(D)166.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这 个骰子一次，则掷得面朝上的点数为偶数的概率是2 / 14(A)14(B)16(C)12 (D)137.将抛物线2=-y x +1向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为 (A)2y=-(x+2) (B)2y=-(x-2) (C)2y=-x -1 (D)2y=-x +3 8. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA 的值为 (A)34(B) 43 (C)35(D) 459.象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2,2），它是抛物线)0(2≠=a ax y 上的一个点，那么下面哪个棋子在该抛物线上 (A)帥 (B)卒 (C)炮 (D)仕10.在17月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 (A)1月份 (B)2月份 (C)5月份 (D)7月份二、填空题(本题共18分，每小题3分)11.分解因式：23a b b -= ．12.请写出一个开口向下，且经过（0,3）的抛物线的表达式 ．CBA O y/元x/月份每千克成本每千克售价12345678910123456789第10题图第9题图3 / 1413.农业部门引进一批新麦种,在播种前做了五次发芽试验, 目的是想了解一粒这样的麦种发芽情况,实验统计数据如下: 实验的麦种数/粒 500 500 500 500 500发芽的麦种数/粒 492 487 491 493 489 发芽率/%98.4097.4098.2098.6097.80估计在与实验条件相同的情况下,种一粒这样的麦种发芽的概率约为 .14.已知扇形的圆心角是1200，半径是6，则它的面积是 . 15.有两棵树，一棵高15米，另一棵高7米，两树 相距6米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树 的树梢.问小鸟至少飞行 米．16. 阅读下面材料：在数学课上，老师给同学们布置了一道尺规作图题：(改编)2. 阅读下面材料：数学课上，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小丽的作法如下：如图，以点O 为圆心，以OM 长为半径作⊙O ， ⊙O 与y 轴交于P 1、P 2两点，则点P 1、P 2即为所求. 已知：如图，正比例函数和反比例函数的 图象分别交于M 、N 两点． 要求：在y 轴上求作点P ，使得∠MPN 为直角. yxNMOyxP 2P 1NMO4 / 14老师说：“小丽的作法正确．”请回答：小丽这样作图的依据是 ．三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：08(2)22cos45π--+--︒.18．已知250x x --=，求代数式（x+1）2﹣x （2x+1）的值． 19．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，CD ＝2. 求弦AB 的长．20．已知：如图，在△ABC 中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2 .求BC 的长.21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD,交DC 的延长线于点E, AB=3,EF=0.8,AF=2.4.求AD 的长.22．如图，直线L1：y ＝b x ＋c 与抛物线L2：2y ax =的两个交点坐标分别为(),4A m ，()1,1B .（1）求m 的值；（2）过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线与L1，L2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，请直接写出n 的取值范围.F EDCBAAB CA BD O5 / 1423．《雁栖塔》位于怀柔“北京雁栖湖国际会都中心”所处大岛西南部突出部位的半岛上，是“北京雁栖湖国际会都中心”的标志性建筑，也是整个雁栖湖风景区的标志性建筑.某校数学课外小组为了测量《雁栖塔》（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜,②皮尺,③长为1米的标杆,④高为1.5m 的测角仪（测量仰角、俯角的仪器).第一组选择用②④做测量工具；第二组选用②③做测量工具;第三组利用自身的高度并选用①②做测量工具，分别画出如下三种测量方案示意图.（1）请你判断如下测量方案示意图各是哪个小组的，在测量方案示意图下方的括号内填上小组名称.（2）选择其中一个测量方案示意图，写出求《雁栖塔》高度的思路．FEC BA( )( )E DC B A( )F E DCB A24．阅读下列材料：“怀山俊秀，柔水有情”—怀柔，一直受到世人的青睐.早在上世纪90年代，联合国第4届世界妇女大会NGO 论坛的举办使怀柔蜚声海内外，此后，随着世界养生大会、国际青少年嘉年华、全国汽车拉力赛等一系列活动赛事的成功举办，为这座国际交往新城聚集了庞大的人气. 11月11日，全世界的眼光再次聚焦在北京怀柔雁栖湖，这里成功举办了第22次APEC 峰会.现如今怀柔已成为以自然风光游为基础，休闲度假游、乡村美食游、满族风情游为特色，影视文化游、健身养生游、竞技赛事游为时尚的多元化旅游胜地.随着怀柔旅游业的迅速发展，也带动了怀柔的经济收入.据统计，全年接待游客1047万人次，比上一年增长5.3%；全年接待游客1085万人次，比上一年增长3.7%； 全年接待游客1107.6万人次，比上一年增长2%； 全年接待游客1135万人次，比上一年增长2.4%；全年接待游客1297.4万人次，比上一年增长14.3%.（以上数据来源于怀柔信息网）6 / 14根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将-怀柔区全年接待游客量表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 怀柔区全年接待游览客量约 万人次，你的预估理由是 .25．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，直线CG 与⊙O 相切于点C ，CG ∥AE ，CG 与BA 的延长线交于点G ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点F. （1）求证：AC CE =; （2）若∠EAB =30°，CF=a ，写出求四边形GAFC 周长的思路.26．函数232y x x =++的图象如图所示，根据图象回答问题：（1）当x 时，2320x x ++；（2）在上述问题的基础上，探究解决新问题：①函数(1)(2)y x x =++的自变量x 的取值范围是___________； ②下表是函数(1)(2)y x x =++的几组y 与x 的对应值. x … -7 -6 -4 -3 -2 -10 1 3 4 … y …5.477…4.472…2.449…1.414 …0 1.414 …2.449…4.472…5.477……如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：xy–3–2–11–11234OGF EOD C BA7 / 14③写出该函数的一条性质： .27．已知：关于x 的方程x 2-(m+2)x+m+1=0. （1）求证：该方程总有实数根；（2）若二次函数y= x 2-(m+2)x+m+1（m>0）与x 轴交点为A ，B （点A 在点B 的左边），且两交点间的距离是2，求二次函数的表达式； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线y=n 与抛物线交于点E ，F.若抛物线在点E ，F 之间的部分与线段EF 所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．28．在等边△ABC 中，E 为BC 边上一点，G 为BC 延长线上一点，过点E 作∠AEM=60°，交∠ACG 的平分线于点M.(1)如图（1），当点E 在BC 边的中点位置时,通过测量AE ，EM 的长度，猜想AE 与EM 满足的数量关系是 ；(2) 如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E 在BC 边的任意位置时，始终有AE=EM.小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：在BA 上取一点H 使AH=CE ，连接EH ，要证AE=EM ， 只需证△AHE≌△E CM. 想法2：找点A 关于直线BC 的对称点F ，连接AF ，CF ，EF.（易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M ，C ，F 三点在同一直线上）要证AE=EM ，只需证ΔMEF 为等腰三角形.想法3：将线段BE 绕点B 顺时针旋转60°，得到线段BF ，连接CF ，EF ，要证y –2–112345–2–112345O 备用图1 y –2–112345–2–112345O 备用图28 / 14AE=EM ，只需证四边形MCFE 为平行四边形.请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM.（一种方法即可）29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内一点，给出如下定义：过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，作正方形ABCD （点A 、B 、C 、D 顺时针排列），即称正方形ABCD 为以A 为圆心，OA 为半径的⊙A 的“友好正方形”.（1）如图1，若点A 的坐标为（1,1），则⊙A 的半径为 . （2）如图2，点A 在双曲线y=x1（x ＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD 是⊙A 的“友好正方形”，试判断点C 与 ⊙A 的位置关系，并说明理由.（3）如图3，若点A 是直线y=-x+2上一动点，正方形ABCD 为⊙A 的“友好正方形”，且正方形ABCD 在⊙A 的内部时，请直接写出点A 的横坐标m 的取值范围.(2)AB C G E M (1)M E G C B Ax y 图1D C BA O x y图2–11234–11234O y 图312345–1–2–31234–1–2–3O9 / 14怀柔区—第一学期初三期末质量检测数学试卷答案及评分参考 .1一、选择题(本题共30分，每小题3分)题 号 123 4 5 6 7 8 910答 案 (B) (C)(B) (D) (B) (C) (D) (A) (B) (C)题 号 111213141516 答 案 ()()b a b a b +- y=-x 2+3等(满足a 〈0，c=3即可)约0.9812π 10半圆（或直径）所对的圆周角是直角三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)17．解：原式=2221222+-⨯………………………………4分 21 ………………………………5分18．解：原式=22212x x x x ++--. ………………………………2分=21x x -++.………………………………3分 ∵250x x --=，∴25x x -=.………………………………4分10 / 14∴原式=221()1514x x x x -++=--+=-+=-.………………………………5分 19．解：∵OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，∴AD ＝BD ＝21AB ． ………………………………1分 ∵OC ＝5，CD ＝2，∴OD ＝OC －CD ＝3． ………………………………2分 在Rt △AOD 中，OA ＝5，OD ＝3，∴AD ＝22OD OA -＝2235-＝4， ………………………………4分∴AB ＝2AD ＝8．………………………………5分 20．解：∵∠A=105°，∠B=30°.∴∠C=45°. ……………………………… 1分 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴ ∠ADB=∠ADC=90° 在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2.∴∠DAC==∠C =45°.∵ sinC=ADAC,∴AD=2.…………………2分 ∴ AD=CD=2.…………………………3分 在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，∠B=30°. ∵AD=2, ∴AB=22. ∴由勾股定理得：BD=226AB AD -=. ……………………4分∴BC=BD+CD=62+. ………………………………5分21．解:∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=DC=3,AB ∥DE. ………………………………1分 ∴AF DCFE CE=. ∵AB=3,EF=0.8,AF=2.4,∴2.430.8CE=.……………………………3分 ∴CE=1. ……………………………… 4分 ∴DE=DC+CE=3+1=4.∵AB ∥DE,∴∠BAE=∠E.∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE.∴∠E=∠DAE.0.82.43FEDCBA AABD O11 / 14F D EAOBGC ∴AD=DE=4.∴AD 的长为4. …………………………… 5分22．解：（1）把()1,1B 代入2y ax =得：a=1，∴2y x =.………………………1分把(),4A m 代入2y x =得4=2m .∴m=2±.……………………………2分∵点A 在二象限，∴m=-2. ………………………………3分 （2）-2〈n 〈1. ………………………………5分23．解：（1）二组 一组 三组………………………………3分（2）一图思路:①分别测出在同一时刻标杆EF 和《雁栖塔》AB 的影长DF,CB ；②由△ABC ∽△EFD ，利用AB CB EFDF= 求出AB 的值. ………………………5分二图思路：①用测角仪测出∠ACB 的角度; ②用皮尺测量CB 的长;③AB=CBtan ∠ACB; ④AE=AB+1.5………………………………5分 三图思路：①用皮尺分别测量DF 、CF 、CB 的长；②由△ABC ∽△DFE , 利用AB CB DFCF=求出AB 的值 .……………………………5分24．解：（1）如下图：………………………………3分-怀柔区全年接待游客量统计图万人次1297.411351107.61085104720001500100050020152014201320122011（2）1375（预估值在13231483之间都可以），预估理由须包含折线图中提供的信息且支撑预估的数据. 如由前几年平均数得到等.………………………………5分 25．证明：(1)连接OC,如图.∵直线CG 与⊙O 相切于点C,∴CG ⊥OC. ∵C G ∥AE,∴AE ⊥OC.又∵OC 为⊙O 的半径,∴AC CE =.…………………2分12 / 14F D EAOBGC (2)连接AC ，如图.①由∠EAB =30°，CG ∥AE,可得∠CGB =30°， 又由直线CG 与⊙O 相切于点C ，∠AOC=60°，可推出△AOC 是等边三角形. ………………………3分②由△AOC 是等边三角形，∠EAB =30°，CF=a ， 可得∠CAF=∠ACF =30°，CF=AF=a ，DF=12a , AD=32a .…………………4分 ③利用CG ∥AE ，可得到△ADF ∽△GDC ，从而推出AG=3a ，GC=3a .④计算出四边形GAFC 的周长为5+3a a .(每一步没有写出结果，只要写出思路就可得满分)………………………………5分 26．解：（1）21xx--或.………2分（2）①21x x ≤-≥-或………………3分 ②如图: ………………………………4分 ③关于直线x=-1.5对称或增减性等. ……………………5分27．解：（1）△=(m+2)2-4（m+1）= m 2≥0∴不论m 取何值，该方程总有实数根. …………2分 （2）由题意可知： x 1=1，x 2=m+1，∴A （1,0） B （m+1,0）. ……………………3分 ∵两交点间距离为2， ∴m+1-1=2.∴m=2. ……………………4分∴y= x 2-4x+3. …………5分（3）1≤n ＜2. …………7分28．(1)相等；…………1分 (2)想法一：∵△A BC 是等边三角形，xyy=2y=1y=-1(0，1)(2，-1)(3，0)(1，0)C BAO O321H(2)A BCGE M13 / 14∴AB=BC, ∠B=60°. …………2分 ∵AH=CE,∴BH=BE. ∴∠BHE=60°.∴AC//HE.∴∠1=∠2. ……………………………3分 在△A OE 和△COM 中,∠ACM=∠AEM=60°,∠AOE=MOE, ∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ……………………………5分 ∵∠BHE=60°,∴∠AHE=120°.∵∠ECM=120°.∴∠AHE=∠ECM. ……………………………6分 ∵AH=CE,∴△AHE ≌△ECM （AAS ）.∴AE=EM. ……………………………7分（或根据一线三等角证△ABE ∽△ECO,得∠BAE=∠CEM, 再证∠AHE=∠ECM,得△AHE ≌△ECM （ASA ）） 想法二：∵在△A OE 和△COM 中, ∠ACM=∠AEM=60°, ∠AOE=∠COM,∴∠EAC=∠EMC. ……………………………3分 又∵对称△ACE ≌△FCE,∴∠EAC=∠EFC, AE=EF. …………5分∴∠EMC=∠EFC.∴EF=EM.∴AE=EM. …………7分想法三：∵将线段BE 绕点B 顺时针旋转60°,∴可证△ABE ≌△CBF （SAS ）. …………………2分 ∴∠1=∠2 AE=CF. …………………3分 ∵∠AEM=∠CBA=60°,∴∠1=∠CEM.∴∠2=∠CEM.∴EM//CF. …………4分 ∵∠CBF=60°,BE=BF,∴∠BEF=60°,∴∠MCE=∠CEF=1200.∴CM//EF. …………………5分 ∴四边形MCFE 为平行四边形.∴CF=EM.∴AE=EM. …………………7分 29．解：（12;…………………2分（2）∵A （2，21）, ∴O A=217414=+ ∵AC=22=2232O 21A CGE MFOABCGE MyxDC B A –11234–11234O∴O A<A C，∴点C在⊙A外.(或如图，利用勾股定理直观分析：∵OB<BC,AB=AB, ∴O A<A C也可以) …………6分（3） m<1且m≠0.…………8分14 / 14。
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7题图6题图5题图4题图怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数 学 试 卷 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．13-的相反数是 （ ） A ．3- B ．3 C ．13- D ．132．已知，ABC △中，∠C=90°，sin ∠A 的度数是 （ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ． 90° 3．若反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限内，则k 的取值范围是 （ ） A ．2k >- B ．2k <- C ．0k > D ．0k <4．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为（ ）. A ． 8 B ．6C ．4D ．105．如图，D 是ABC △边AB 上一点，则下列四个条件不．能单独判定．．．．．ABC ACD △∽△的是( ) A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC AB CD BC= D ．2AC AD AB =⋅6．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ( ) A ．12 B ．56 C ．13 D ．237．如图，BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上两点，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是 ( )A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 ( )二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE=1，BC =3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为 ． 10．如图，点A 、B 、C 是半径为3cm 的⊙O 上三个点，且︒=∠30ABC ， 则劣弧 AC 的长 是 .11．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上， 则∠AED 的正弦值等于 ．12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填 整数之和都相等，则第99个格子中的数为 ，2012个格子中的数为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos60︒+︒ 14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 解15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来．解：16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C. 解：17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：18．如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC于E ，AC=8，BC=6．求DE 的长．解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米， 此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度． 解：20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．乙超市：（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=，延长． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB =OC 的长． 证明：A22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积.解：五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角， 旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：x25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数学试题评分标准及参考答案 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号9 10 1112 答案91π55 2； －1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos60︒+︒解: 原式=12⋅分 =………………………………………………5分14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 解（1）228y x x =--=x 2－2x+1－1－8=(x －1)2 －9.………………………………………………3分(2)抛物线的顶点坐标是 (1，－9)抛物线的对称轴方程是 x =1 ……………………………4分 抛物线与x 轴交点坐标是（－2，0）（4，0）；当x ＞1 时，y 随x 的增大而增大. ………………………………5分 15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 去括号，得 4x ＋4≤5x ＋8 ……………………………… 1分 移项、合并同类项，得－x ≤4……………………………… 3分系数化为1，得 x ≥4- ……………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：………………… 5分16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C.解:方法一、作DE ⊥BC ，如图1所示，…………1分 ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3， ∴四边形ABED 是正方形.…………………2分 ∴DE=BE=AB =3. 又∵BC =7， ∴EC =4，……………………………………3分 由勾股定理得CD =5.…………………………4分 ∴ cos ∠C=45EC CD =.…………………………5分 方法二、作AE ∥CD ，如图2所示，……………1分 ∴∠1=∠C ，∵AD ∥BC ， ∴四边形AECD 是平行四边形.………………2分 ∵A B=AD=3，∴EC=AD =3， 又∵BC =7， ∴BE=4，……………………………………3分 ∵ AB ⊥BC ，由勾股定理得AE=5. ………………4分 ∴ cos ∠C= cos ∠1=45BE AE =. …………………………5分 17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， ………………………………………1分抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩ … ………4分 ∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ……………………………………5分18．如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使B D B C =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．解：在ABC △中，9086C AC BC ===，，∠， 10AB ∴==．…………………2分又6BD BC == ，4A D A B B D∴=-=． D E A B ⊥ ，90ADE C ∴==∠∠．又A A = ∠∠，A E D ABC ∴△∽△．………………………………4分D EA D BC AC∴=．.3684=⨯=⋅=BC AC AD DE ………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度．解：依题意得，90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABDE 是矩形 ，…………1分1.5.DE AB ∴== ……………2分在Rt BCD △中，sin ,CD CBD BC∠=……………3分又∵ 20BC = ，60CBD ∠=，由BCCD=60sin∴ sin 6020CD BC =⋅︒== .……………4分1.5CE ∴= .………………………………………5分即此时风筝离地面的高度为()1.5米 .20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．乙超市：（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：（1）树状图为：…………2分 （2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （甲）=64=32，…………3分 去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （乙）=62=31……………………4分 ∴我选择去甲超市购物……………………………………………………………………5分21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB =OC 的长． （1）证明：连接OD .∵OA OD =，22.5A ∠=， 22.5ODA A ∴∠=∠=︒，45DOC ∴∠=︒ . ……………………1分∵45ACD ∠=，90ODC ∴∠=︒ ，OD CD ∴⊥ . ……………………2分又∵点D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线 .……………………3分 （2）∵直径AB =12OD AB ∴==. …………… 4分 在Rt OCD △中，sin ODC OC= ，∴sin 45︒=，∵sin 45︒=，2OC ∴= .……………………5分22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. 解：（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E .∴DCO ECO ∠=∠，且OD AC ⊥.…………………1分∵AC BC =， ∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点.∴122AO AB ==. ∵120C ∠=︒，∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒. ∴在R t AOD △中，112OD AO ==. 即半圆的半径为1. ……………………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得： 222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -=AC解得 x =（x =舍去）∴ 11422ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=△ …………………….4分 ∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴ 2S π=-=阴影….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：作AE y ⊥轴于E ∵42AOD S OD ==△，∴.421=⋅AE OD∴4AE =. ………………………………………1分∵AB OB C ⊥，为OB 的中点，∴90DOC ABC OC BC OCD BCA ==︒==∠∠，，∠∠. ∴Rt Rt DOC ABC △≌△.…………………………………3分 ∴2AB OD ==. ∴A （4，2）. 将A （4，2）代入1k y x =中，得8k =. 18y x∴=． ……………4分 将()42A ，和()02D ，-代入2y ax b =+，得422a b b +=⎧⎨=-⎩解之得：12a b =⎧⎨=-⎩∴22y x =-.…………………………………………………………………5分 （2）在y 轴的右侧，当12y y >时，04x <<． ………………………6分当1y ＜2y 时x ＞4. ……………………………………………………7分24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角,旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图①图② 图③解：（1）E （4，132） ………………………………………………1分（2）︒60 …………………………………………………………………2分 （3）设x CG =，则x EG =，x FG -=6，在Rt △FGC 中，∵222CG FG CF =+，∴222)6(4x x =-+，解得 313=x ，即313=CG . ∴G （4，313）. …………………………………………………………4分（4）设以点C 为顶点的抛物线的解析式为2)4(-=x a y . 把A （0，6）代入得，2)40(6-=a . 解得， 83=a . ∴此抛物线的解析式为2)4(83-=x y .……………………………………6分 ∵矩形EDCF 的对称中心为对角线FD 、CE 的交点H ，∴由题意可知H 的坐标为（7，2）. 当7=x 时，2827)47(832≠=-=y ， ∴点H 不在此抛物线上. ………………………………………………7分25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；xy (第25题)x（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2 (2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ， 则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°. 又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BC OB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………4分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线AC 的解析式为132y x =-+.………………6分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分 解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式， 即：2327(3)44PAC S m ∆=--+.评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了部分解法，学生的其他解法可参照评分标准给分.。