复变函数1,2习题课

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工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大天津工业大学理学院赵璐

z1 z2 z2 z1
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复变函数
教师：赵璐邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2

复变函数课件第二章习题课

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复变函数极限的洛必达法则
如果f (z)和g(z)在z0解析,且f (z0 )=g(z0 ) 0, g '(z0 ) 0,
f (z) f (z0 )
lim f (z) lim z z0 zz0 g(z) zz0 g(z) g(z0 )
z z0
= f '(z0 ) g '(z0 )
习题课
第二章解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
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1、重点与难点
重点：1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数；
难点：1. 解析函数的概念； 2. 多值函数单值化。
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2、内容提要
它们之间的关系
极限连续性
指数函数三角函数双曲函数对数函数
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复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
复合函数的连续性
(2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处连续.
sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
、csionshh((xx

yi ) yi )

cosh x cos sinh x cos
y i sinh y i cosh
x sin x sin
y, y.
、cosh2 z sinh2 z 1
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双曲函数的定义和性质

复变函数--习题课

(4) ch2 z sh2 z 1;
(5) sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
18
4）对数函数满足方程ew z (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数, 记为 w Ln z. 因此 w Ln z ln z i Arg z
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函数Ln z的主值(支),所以
0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0)
lim
1
1 e y2
z0
z0
y0 yi
lim f (z) f (0) , 故 f (z) 在原点不可导.
z0
z0
27
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
8
2. 解析函数
1)定义如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是区域 D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
线性部分.则 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f (z)dz.
7
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称 f (z)在区域 D内可微. 可导与微分的关系函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.

复变函数课后部分答案

1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3

3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,

3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！

复变函数课后部分习题解答精编版

（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π）所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

复变函数习题课1

4 Ln(3 4i ) ln(3 4i ) 2ni ln 5 i arctan 2ni, 3
4 , 3
n 0,1,2,.
i e
i
iLni
e
i (ln i 2 ni )
e
i (ln i i arg i 2 ni )
e
2 n 2
2
2
2
z1 z 2 ( z1 z 2 )( z1 z 2 ) z1 z1 z 2 z1 z 2 z 2 ，
两式相加，得
2
2
2
z1 z 2 z1 z 2 2( z1 z 2 )。
几何意义：平行四边形对角线长度的平方和等于相邻两边长度的平方和的两倍。
ux 3x( x2 y 2 )1/ 2 , u y 3 y( x2 y 2 )1/ 2 , vx 0, vy 0,
可见，当且仅当 x 0, y 0时，C - R方程成立。
因此，函数 z 3 仅在点z 0处是可导的，因而处处不解析。
16. u( x, y) xy是一个调和函数，求：
2
y
1 1 2 x y 左侧部分的区域。 2 2
o
1 2
x
14. 函数在一点可导与在一点解析有无不同？其充要条件是什么？
解：函数w f ( z )在点z0 处可导，意味着极限
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim 存在； z 0 z
函数w f ( z )在点z0 处解析，意味着 f ( z )在z0 的某个邻域内可导。
1 f ( z) f ( z) , 2 1 1 i 2 i 2 v f ( z ) f ( z ) z z 2i 2i 2 2 1 2 1 2 2 ( z z ) ( y x 2 ), 4 2 i 2 (2) 解析函数 f ( z ) xy ( y x 2 ) 2 i 2 i 2 2 ( x y ) 2 xyi z . 2 2

复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)（1）1-；（2）ππ2(cosisin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1ie +；（5）i sin R e θ；（6）i +答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为4π2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π3；原题即为代数形式；三角形式为4π4π2(cosisin )33+；指数形式为4πi 32e ．（2）略为 5πi 35π5π2[cos sin ], 233i e +（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+（6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1）()103i 1+-；2）()31i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi632e 0,1,2k +=；1.3计算下列复数（1 （2答案（1（2）(/62/3)i n eππ+1.4 已知x 的实部和虚部．【解】令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到2212()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为 ,x ±虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值．1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以1.6 如果复数b a i +是实系数方程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()kkz z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．1.7 证明：2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.【解】因为222244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n nnnn n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式（1） cos5θ；（2）sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有1.11 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成立。

复变函数课后习题题解

P42T7 (3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0uu xy∂∂==∂∂因为f(z)解析，C-R 条件成立。

故uu xy∂∂==∂∂即u=C2从而f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数. 若C ≠0，则f(z) ≠0,但2()()f z f z C⋅=，即u2+v2=C2 则两边对x,y 分别求偏导数，有220,220u v u v u v u v xxyy∂∂∂∂⋅+⋅=⋅+⋅=∂∂∂∂ 利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂所以00u v u v x x u v v u x x ∂∂⎧⋅+⋅=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪⋅-⋅=⎪∂∂⎩所以0,uv xx∂∂==∂∂即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.P72T22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+(1)22u x y xy=-+ (2)22,(1)0y u f x y==+解 (1)因为 2ux y xyυ∂∂=+=∂∂2uy x yxυ∂∂=-+=-∂∂所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C yxxyxy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22xyf z x y xy xy C =-++-+++令y=0,上式变为 22()i()2xf x x C =-+从而 22()i i 2zf z z C=-⋅+(2)2222()uxyx x y ∂=-∂+ 22222()ux yyx y ∂-=∂+用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y xu u xy ydx dy C dx x dy C y xxx y xx yC xx yx yυ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰2222()i(1)y x f z C x yx y=+-+++由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭P42T13. 计算下列各值 (1) e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)(2)22π22i 33333ππ1ee ee cos i sin e 3322iπ--⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-+-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(3)()()2222222222i i222222R e eR e e eR e ecos i sin ecos x yx yxy x yx yx x yxx yy y x y x y y x y -+-++++=⋅⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⋅-+-⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭(4)()()i 2i 2i i22i 2ee ee e ex y x y xyx-+-+---=⋅=⋅=．15. 计算下列各值． (1)()()3ln 23i i arg 23i ln i πarctan 2⎛⎫-+-+=- ⎪⎝⎭(2)((ππln 3ln i arg 3ln i ln i66⎛⎫==-= ⎪⎝⎭(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i (4)()()πln ie ln e i arg ie 1i2=+=+17. 计算下列各值． (1)()()()()()1iπ1i i 2πi 1iln 1i 1i ln 1i 4ππi 2π44π2π4π2π41i e e eππe i ln 2π44e eππecos lni sin ln 44ππecos lni sin ln 44k k k k k -⎛⎫-⋅+ ⎪-+-⋅+⎝⎭⎛-+ ⎝+++====+-++=⋅⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦(2)(()())()()(()()(5ln 33ln 3i π2πi 3π233ecos 21i sin 21cos 21πi sin 21k k k k k k --+⋅++-=====++=⋅++(3)()()iiln 1i ln 1i ln 1i 02πi i 2πi 2π1e eeeek k k ----⋅+⋅+-⋅=====()()()1i1iln 1i ln ππ1i ln 1i 2πi 1i 2πi i 44ππππi 2π2πi i 2π2π4444π2π4π2π4eee eeeeππe cos i sin 44()224e k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+-++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+- ⎪⎝⎭--======⋅⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭习题一p12t7 ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e50255i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2ei i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos i sin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos i sin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i932π2πcos i sin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosi sin0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos i sini 6622=+=z ． 2551cosπi sin πi6622=+=-z3991cosπi sinπi 6622=+=--z⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πi sin πcosi sin0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosi sin3322=+=+z2cos πi sin π1=+=-z3551cosπi sinπ3322=+=--z⑶的平方根．πi4e 22⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e 6cos i sin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos i sin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πi sin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z 习题二p42t66. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1)22()i f z xy x y=+解：22(,),(,)u x y xy v x y x y==在全平面上可微.22,2,2,y u v v y xy xy xxyxy∂∂∂∂====∂∂∂∂所以要使得u v xy∂∂=∂∂， uv yx∂∂=-∂∂,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (2) 22()i f z x y=+.解：22(,),(,)u x y x v x y y==在全平面上可微.2,0,0,2u u v v x yxyxy ∂∂∂∂====∂∂∂∂只有当z=0时,即(0,0)处有uv xy ∂∂=∂∂,u v yy∂∂=-∂∂.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (3) 33()23i f z x y=+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y==在全平面上可微.226,0,9,u u v v x y xyxy∂∂∂∂====∂∂∂∂=时，才满足C-R 方程.从而f(z)0±=处可导，在全平面不解析. (4)2()f z z z=⋅.解：设i z x y =+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y=+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y xxyxy∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂所以只有当z=0时才满足C-R 方程. 从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.T88. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件.222,3u u nxy m y nx x y∂∂==+∂∂223,2v v x ly lxyx y∂∂=+=∂∂u v n lx y∂∂=⇒=∂∂3,3u v n l myx∂∂=-⇒=-=-∂∂所以3,3,1n l m =-=-=. 习题三 p7011. 计算积分21zCedzz +⎰ ,其中C 为 (1)1z i -= (2)1z i += (3)2z =解 (1)221()()zzziz iCCeeedz dz i ez z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰(2) 221()()zzziz iCCeeedz dz i ez z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin 1111zzziiCC C eeedz dz dz e ei z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰T12 T13 T14 自己求。

复变函数第一章习题课

(3)
17
代入极坐标下拉普拉斯方程, 看是否满足.
∂ ∂v 1 ∂ 2 v ∂ sin ϕ 1 sin ϕ + = − + − ρ 2 ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ ρ ρ sin ϕ sin ϕ = 2 − 2 ≡ 0. (4)
ρ
ρ
可见, 前面假设的量函数v满足Laplace方程. 进一步, 应用C-R条件(求势函数u)
∂u 1 ∂v cosϕ ∂u ∂v sin ϕ = = 2 , = −ρ = . ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ ρ ρ
(5)
18
于是u的全微分为
cos ϕ ∂u ∂u cos ϕ sin ϕ du = dρ + dϕ = dρ + dϕ = d − . (6) 2 ∂ρ ∂ϕ ρ ρ ρ
9
消掉u的具体办法: Eq. (1a)左右对左右对ϕ求偏导, 得到
1 ∂ 2v ∂ 2u = , 2 ∂ϕ∂ρ ρ ∂ϕ
接着Eq. (1b)左右乘ρ然后对ρ求偏导, 得到
∂ ∂v ∂ 2u =− , ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ∂ϕ
比较上面两式, 即可得到Eq. (3b).
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1 + t 2 ) F ' ' (t ) + 2tF ' (t ) = 0.
(3)
F '' 2t 或者 F ' = − 1 + t 2 . 一次积分后, 得F ’(t)=C1/(1+t2). 再
次积分, 得到
F (t ) = C1arctg(t ) + C2 , (C1,2为积分常数)

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

复变函数课后习题问题详解(全)85912

复变函数课后习题答案解析(全)

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3．求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4．设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6．证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。

复变函数课后习题答案（全）第四版

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3．求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4．设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6．证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。

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(c)
．
-1
y
-i O
| z (1 i ) | 1
x
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7
三、复变函数极限和连续判别让z沿不同路径趋近于0 例４设 z x iy ，试讨论下列函数的连续性：
2 xy , 2 2 f (z) x y 0, z 0 z 0
解
因为 z0 0时，
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3
2. 幂和方根的计算： 1 2kπ 2kπ n n w z r cos i sin n n
2i 1 i 5 )( ) 化为三角形式，例2 将复数 z ( 1 i 1 i
6 3 z 并求 , z .
3 3 解因为 z 2(cos( ) i sin( )), 所以 4 4 3 3 6 6 z ( 2 ) (cos( 6) i sin( 6)) 4 4 8i . 3 3 2k 2k 1/ 3 3 z ( 2 ) [cos( 4 ) i sin 4 ] 3 3
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连续性可导与解析判别定理 C-R条件
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2
一、复数的计算 (商：分子分母同乘分母共轭或三角形式) 1. 几种形式的转化
2i 1 i 5 )( ) 化为三角形式. 例1 将复数 z ( 1 i 1 i (辐角用主值) 2i 解 1 i 1 i
1 i 5 ( ) i 则 z 1 i . 1 i 3 3 三角形式为 z 2(cos( ) i sin( )). 4 4
那么
的值等于（ 0
）

z
（ A）
1 （A）
3i
1 3 i （C） 2 2
3 1 i （B） 2 2
（D）
y tg x
3i
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5
二、由方程(不等式)判断对应图形的性质 (令z = x + iy, 复—实—复) 例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?
k = 0, 1, 2
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4
练习：(i 4 1)
5 5 cos( ) i sin( ) 6 6 2009 2357 256 74 当 z z z z z 1 1 时， cos( ) i sin( ) 3 3
5 设复数 z 满足 arg(z 2) ， , arg(z 2) 3 6
lim u( x , y ) 不存在, 随 k 值的变化而变化 , 所以 x x
y y0
0
f ( z )在复平面除去原点外连续，在原点处所以不连续.
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9
四、映射的像（将映射对应二元函数与已知条件结合）例5 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平面上的什么曲线？ (1) x 2 y 2 9, (2) x 2. 2 2 2 (1) 因为 x y z 9 解
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21
六、初等函数
1 与实初等函数不同的性质 (1). 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) (2). 负数无对数的结论不再成立 (3). 三角正弦与余弦不再具有有界性
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22
例8 下列命题中，正确的是( D )
cos( x iy ) 1 （B）若 z0 是函数 f ( z ) 的奇点,则 f ( z ) 在点 z0 不可导
f ( z ) 在 D内是一常数 (C) 若 arg( f ( z )) 在 D内是一常数，
若f (z)与 f ( z ) 在 D内解析，则 f ( z ) 在 D内是一常数（D）
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20
3 解析函数的导数
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
v u v u 0 x x v u u v 0 y y
由此可知或者u = v = 0, 从而f (z)为一常数.
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17
或者
u x u y
v x 0 v y
又f (z)在 D 内解析, 所以满足柯西 – 黎曼方程:
u v u v , . x y y x
由上面两式得
u 2 v 2 ( ) ( ) 0, x x
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18
所以
u u v v 0. x y x y
u, v 均为常数, 故 f (z) 为常数.
（A）设 x , y 为实数，则
（C）若 u, v 在区域 D 内满足柯西-黎曼方程，则 f ( z ) u iv 在 D 内解析
（D）若 f ( z ) 在区域 D 内解析,则 if ( z ) 在 D 内也解析
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为任意实数，则
1 ( D )
（B）等于1 （A）无定义（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1
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14
2、f (z)取常值的等价条件
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 .
(1) f ( z )恒取常值;
( 2) f ( z ) 0;
(4) f ( z )解析;
( 3) f ( z ) 常数;
(5) Re[ f ( z )] 常数;
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26
1 i ( 1 i ) 例11 试求函数值及其主值:
解
(1 i) e
1i
(1i ) Ln (1i )
e
( 1 i ) ln 2 i 2 k 4
e
ln 2 2 k i 2 k ln 2 4 4
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25
( 2) 例10 求出
2
的值.
2Ln ( 2 )
解
(2)
e
e
2 ln 2
2
e
2 ln 2 i ( 2 k )
{cos[ 2( 2k 1)] i sin[ 2( 2k 1)]}
( k 0, 1, 2,)
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练习 1.如果 f ( z )在单位圆 z 1 内处处为零，且内 f (z) ，那么在 z 1 f ( 0 ) 1
( C
)
（A） 0 （B） 1 （C） 1 （D）任意常数
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19
2．设函数 f ( z ) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，正确的是( D ) 则 f ( z ) 在 D内是一常数 (A) 若 f ( z ) 在 D内是一常数， (B) 若 Re( f ( z ))在 D内是一常数， f ( z ) 在 D内是一常数
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13
练习 1．函数 f ( z ) 3 z （A）解析的（C）不可导的 2．函数
2
在点 z 0 处是( B) （B）可导的（D）既不解析也不可导
f ( z ) z 2 Im(z ) 在z = 0处的导数为( A )
（A）等于0 （C）等于-1
（B）等于1 （D）不存在
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12
五、函数解析性相关性质 u
v u v , 1 函数解析、可导的判别 x y y x 2 2 2 f ( z ) ( x y x ) i ( 2 xy y ) 在何处例6 函数可导，何处解析. 解 u( x, y ) x 2 y 2 x, ux 2 x 1, uy 2 y;
1 1 (a) Re( ) ; (b) | z | Re z 1; z 2 (c) zz (1 i ) z (1 i ) z 1 0.
y
解 (a)
O
( x 1)2 y 2 1
1
x
无界多连通域.
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6
(b)
O
y i
1/2
-i
x
无界单连通域.
1 1 x iy 1 2 又 w 2 ( x iy ), z x iy x y 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x , v 1 y 9 9 9 9 1 2 2 1 2 2 u v (x y ) 表示 w 平面上的圆. 81 9
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24
2. 初等函数的计算例9 解解方程 sin z 0
e iz e iz e 2 iz 1 sin z 0 iz 2i 2ie
e 2 iz 1
e
2 iz
e
2 k i
z k.
( k 0, 1, 2,)
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v( x, y ) 2 xy y 2 , v x 2 y , v y 2 x 2 y; 1 当且仅当 y 时， ux v y , uy v x . 2 1 故 f ( z ) 仅在直线 y 上可导. 2 1 由解析函数的定义知, f ( z ) 在直线 y 上处处 2 不解析, 故 f ( z ) 在复平面上处处不解析.