复变函数 第二章复习题

第二章 复习题
一、单项选择题：
1．函数()w f z =在点0z 则称()f z 在点0z 解析。

A ）连续
B ）可导
C ）可微
D ）某一邻域内可微
2．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点(,)x y 的C R -条件指：
A ）,u v u v x y y x
∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ C ）,v u v u x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ D ）,v u v u x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 3．函数3w z =把Z 平面上单位圆在第二象限弧段变成W 平面上单位圆的 象限弧段.
A ）第一、二、三
B ）第二、三、四
C ）第三、四、一
D ）第四、一、二
4．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，则（1）(,)u x y ，(,)v x y 在区域D 满足C R -条件.（2）,,,x y x y u u v v 在D 连续，是()f z 在区域D 可微的 条件
A ）必要非充分
B ）充分非必要
C ）充分必要
D ）以上都不对
5．指数函数z e ω=的基本周期为
A ）2π
B ）2i π
C ）i π
D ）π
6．设12,22
i z i z ==+，则ln z 2z （ln z 表示主值） A ）〈 B 〉= C ） 〉 D ）无法比较大小
7．cos(2i A ）≤1 B ）=2 C ）〈2 D 〉2
8．设z x iy =+，则2z e = A ）2z e B ）22x y e
- C ）22x y e - D 22x y e - 9．2()f z x iy =-,直线1:2
L x =-
，则()f z 在 A ）Z 平面上解析 B ）L 上可微 C ）L 上可析 D ）Z 平面上可微
10．以0，1，∞为支点的函数有
A B C D
11．设()f z =0C 为单位圆，则0arg ()C f z ∆=
A ）π
B ）2π
C ）
43π D ）23π 12．函数z w e =把Z 平面上实轴变换成W 平面上
A ）负实轴
B ）正实轴
C ）实轴
D ）单位圆
13．一般幂函数i
w z =是 函数
A ）单值
B ）有限的多值
C ）无限多值
D ）以上都不对
14．若()(),,,u x y v x y 在点(),x y 满足C R -条件.则()f z u iv =+在点(),x y
A ）可微
B ）不可微
C ）不一定可微
D ）解析
15．复数i z i =，其幅角主值arg z = A ）2π
- B ）2
π C ）π D ）0 二、多项选择题：
1． 函数()f z z -=在Z 平面上处处
A ）不连续
B ）连续
C ）不可微
D ）可微
E ）解析
2． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在点z 可微，则()f z '=
A ）u v i x x ∂∂+∂∂
B ）u u i x y ∂∂-∂∂
C ）u v i x y ∂∂+∂∂
D ）v v i y x ∂∂+∂∂
E ）v u i y y
∂∂-∂∂ 3． 在Z 平面上任何一点不解析的函数有
A ）2
()f z z = B ）()Re f z z = C ）22()f z xy ix y =+ D ）22x iy + E ）3323x iy +
4． 方程ln 2i
z π=的解为
A ）z i =-
B ）z i =
C ）2i
z e
π-=
D ）2i z e π=
E ）z e π=
5． 复数3i z i =的幅角Argz 可以是
A ）0
B ）
2π C ）2π- D ）2π E ）2π- 二、填空题：
1若()f z 在点0z 则称0z 为()f z 的奇点。

2．函数()()(),,f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：（1）
（2）
3．对任意复数z ，若z w z e
e +=，则必有w =
4．根式函数w == 5具有这种性质的点：使当 则称此点为多值函数的支点。

6．根式函数w 只以 及 为支点，以 为支割线， 且在 能分出n 个单值解析分支.
7．()34Ln i --=
8．对一般幂函数a w z =，
（1）当 a z 是z 的单值函数
（2）当 a z 取 个不同的值
（3）当 a z 是无限多值的
9．函数()w f z ==，其中12m z z z 互不相同，且12m a a a N +++=
（1）当且仅当 时，k z 是()f z 的支点
（2）当且仅当 时，∞是()f z 的支点
10．由已给单值解析分支的初值1()f z ，计算终值2()f z ，即2()f z = 其中arg ()c f z ∆为
四、计算题：
1．()()()cos sin cos sin x x f z e x y y y ie y y x y =-++是否在Z 平面上解析？
如果是，求其导函数。

2．设z x iy =+，试求1Re z e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．试求函数()cos 1i -之值
第二章
一、1.D 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9.B 10.
11.D 12.B 13.C 14.C 15.D
二、1.BC 2.ABDE 3.ABCDE 4.BD 5.ADE
三、1、不解析，但在0z 的任一领域内总有()f z 的解析点
2、（1）二元函数(),u x y 、(),v x y 在D 内满足C R -条件。

3、2k i π（k 为整数）
4、arg 21
z k n n z e π+，0,1,,1k n =-
5、变点z 绕这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支。

6、,,z a z ==∞以z a =出发并伸向无穷的广义简单曲线，割破后的z 平面上。

7、()4ln 5arg 213i tg k π⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦
8、（1）a 是一整时， （2）a 是一有理数学
p q
，（既约分数） （3）a 是一无理数或虚数。

9、（1） 10、()()arg 2c i f z f z e ∆，()1arg i f z e ，当z 从1z 沿曲线C 到终点2z 时，()f z 的幅
角的连续改变量
四、1、解：()()()(),cos sin ,cos sin x x u x y e x y y y v x y e y y x y =-⋅=- ()c o s s i n c o s x x y u e x y y y y v =-+
= ()s i n s i n c o s x y x u e x y y y
y v =--+=-
故()f z 在z 平面上解析，且
()()()'cos 1sin sin 1cos x x f z e y x y y ie y x y y =⋅+-+⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 2、解：11
x yi x y i x iy x y
x y x y z e e e e e
--++++===⋅ 21R e c o s x y x y
x y z e e ++⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3、解：()()()11cos 12i i i i e e
i ---+-=
()112i i i e e -+++=
c o s 11s i n 1122e i e e e ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。