第四章空间力系1
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第四章空间力系
• 各分力相连的顺序任意，但合成的结果是惟一的。
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
n
2、解析法 各力沿坐标轴投影得:
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
i =1
FRx = F1x + F2x + L + Fnx = ∑ Fix
i =1
n
FRy = F1y + F2y + L + Fny = ∑ Fiy
45o
静力学
D
F2
C F
30o 45o
（2） 列平衡方程
B
F =0 ∑ Fxx = 0
F =0 ∑ F yy = 0 F =0 ∑ Fzz = 0
F11 sin 45 oo − F22 sin 45 oo = 0
F1
α
F A sin 30 oo− F11 cos 45 oo cos 30 oo − F22 cos 45 oo cos 30 oo= 0 F A sin 30 − F cos 45 cos 30
1
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
§4-1 空间汇交力系
Spatial Concurrent Force System 空间汇交力系：各力作用线不在同一平面而且汇交于一点。
一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解
1、空间任意力在轴上的投影
第四章 空间力系 Spatial Force System
16
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
即：力Ｆ对 z 轴之矩，等于该力在垂直于 z 轴 平面上的投影F'对z 轴与投影面交点O之矩。
理论力学第四章1
Ｚ Ｆ
如力F对Z轴之矩表示为： M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。 方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N· m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。 例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
8Leabharlann 1.力在直角坐标轴上的投影 二次投影法 Fz Fy Fx
F xy F sin
Fx F sin cos
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
（4–8）
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲 方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对 3 点之矩矢量的指向）
3. 空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
即： R F
F
x 2
i
0
2 2
FR
F
Fy Fz
空间汇交力系的平衡方程
F 0 F 0 Fz 0
x y
11
§4-2
空间力偶系
M mi 代数和
1.平面力偶系：
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
理论力学 第4章-空间力系
空间上力偶矩矢大小指向不变的力偶其作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的作用效果空间力矩偶矢矢一个自由矢量而力矢和力矩矢量是一个滑移矢量或定位矢量合力偶矩定理
第四章 空间力系
§4-1空间汇交力系
一 空间汇交力系的合成: 1)单 个 力 沿 坐 标 轴 的 分 解 : a)力 的 平 行 六 面 体 法 则 力 的 大 小 : X=Fcosα Y=Fcosβ Z = Fcosγ 力 的 方 向 : 与 x ,y,z 方 向 相 同 为 正 与 x ,y ,z 方 向 相 反 为 负
d) 空 间 汇 交 力 系 的 合 成 :合 力 QQ定 理 . 合力大小: R= ( ∑ X)2 + ( ∑ Y ) 2 + ( ∑ Z ) 2 合 力 方 向 :方 向 余 弦
§4-2 力对轴之矩和力对点之矩
1. 力偶矩矢: 空间力偶对刚体作用矢的效果取 决于以下三个因数
大小:|M|=Fd 转向:右手定则确定 作用面方位:力偶作用面法线所在的空间位置
2. 列空间一般力系平衡方程:
∑x = 0:
T1 + t1 + (T2 + t2 )sinθ + X A + XB = 0
∑ y = 0:
∑M
x
ZA + Z B (T2 + t) θ = 0 cos
பைடு நூலகம்
= 0 : Z B 2b (T1 + T2 ) cos θ b = 0
∑M
∑M
y
= 0 : t1 R + T2 cos θ r T1 R t2 cos θ r = 0
= 0 : (T1 + t2 )b (T2 + t2 ) sin θ b X B 2b = 0
第四章 空间力系
§4-1空间汇交力系
一 空间汇交力系的合成: 1)单 个 力 沿 坐 标 轴 的 分 解 : a)力 的 平 行 六 面 体 法 则 力 的 大 小 : X=Fcosα Y=Fcosβ Z = Fcosγ 力 的 方 向 : 与 x ,y,z 方 向 相 同 为 正 与 x ,y ,z 方 向 相 反 为 负
d) 空 间 汇 交 力 系 的 合 成 :合 力 QQ定 理 . 合力大小: R= ( ∑ X)2 + ( ∑ Y ) 2 + ( ∑ Z ) 2 合 力 方 向 :方 向 余 弦
§4-2 力对轴之矩和力对点之矩
1. 力偶矩矢: 空间力偶对刚体作用矢的效果取 决于以下三个因数
大小:|M|=Fd 转向:右手定则确定 作用面方位:力偶作用面法线所在的空间位置
2. 列空间一般力系平衡方程:
∑x = 0:
T1 + t1 + (T2 + t2 )sinθ + X A + XB = 0
∑ y = 0:
∑M
x
ZA + Z B (T2 + t) θ = 0 cos
பைடு நூலகம்
= 0 : Z B 2b (T1 + T2 ) cos θ b = 0
∑M
∑M
y
= 0 : t1 R + T2 cos θ r T1 R t2 cos θ r = 0
= 0 : (T1 + t2 )b (T2 + t2 ) sin θ b X B 2b = 0
理论力学第七版第四章空间力系
常见的空间力系示例
悬索桥
悬索桥是一种常见的空间力系示例，需要考虑多个力和 力矩的作用。
起重机
起重机是另一个常见的空间力系示例，用于进行吊装和 搬运工作。
空间力系的平衡条件和解题方法
1
ห้องสมุดไป่ตู้
平衡条件
空间力系平衡的条件是合力为零，合力矩为零。
2
解题方法
利用平衡条件和分析方法，逐步确定未知量的数值。
3
示例题目
通过解题方法解决具体问题，加深理解。
空间力系的应用和意义
空间力系的应用涵盖了各个工程领域，可以用于解决实际工程问题，提高工程设计的准确性和效率。
机械工程
用于机械结构的设计和分析，例如机械臂、传动系 统等。
建筑工程
用于建筑物结构的分析和设计，例如桥梁、楼房等。
航空航天
用于航空器和航天器的设计和分析，例如飞机、卫 星等。
海洋工程
用于海洋结构的分析和设计，例如海上平台、潜水 器等。
结论和要点
• 空间力系是由多个力或力矩组成的力的系统。 • 空间力系的力和力矩可以用矢量表示。 • 空间力系需要考虑多个力和力矩的分析和平衡条件。 • 空间力系广泛应用于各个工程领域，提高工程设计的效率和准确性。
复杂性
空间力系一般由多个力和力矩组成，分析较为复杂。
工程应用
空间力系广泛应用于工程力学、机械设计等领域。
空间力系的力和力矩分析方法
力的分析方法
将力分解为分力或合力分解，再 进行叠加得到结果。
力矩的分析方法
根据力对应的力臂和力的矢量关 系，计算力矩。
矢量计算法
利用矢量运算法则，对多个力和 力矩进行矢量计算。
理论力学第七版第四章空 间力系
第四章 空间力系
∑mx(F)=0,∑my(F)=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间汇交力系 的平衡方程为 ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和充分条 件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一轴上投 影的代数和分别等于零。
图4.10
4.4.4 空间力系平衡方程的应用
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(4.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 48.1N· m
图4.5
图4.6
图4.7
图4.8
4.4 空间力系的平衡方程 4.4.1 空间一般力系的平衡方程
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
∑Fy=0
∑Fz=0
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和充分条 件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一轴上投 影的代数和分别等于零。
图4.10
4.4.4 空间力系平衡方程的应用
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(4.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 48.1N· m
图4.5
图4.6
图4.7
图4.8
4.4 空间力系的平衡方程 4.4.1 空间一般力系的平衡方程
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
理论力学——第4章 空间力系
MO (F )z
M z (F)
例题2 解：
已知：F、 a、b、、
求： MO(F)
i jk
MO(F) r F x y z
xa
Fx Fy Fz
yb
z0
Fx F cos sin Fy F cos cos Fz F sin
MO (F ) Fbsin i Fasin j (Fbsin sin Fasin cos ) k
MO (F )z
M z (F)
MO (F) 2OAB
Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab
OAB cos Oab
MO (F) cos M z (F)
MO (F )z M z (F )
Mz(F)
(x,y,z)）
Fxy
M O M O
(F (F
)x )y
M x(F) M y (F)
cos(M , j) M y
M
cos(M , k) M z M
平衡条件
n
Mi 0
i 1
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
0
4-5 空间任意力系向一点简化
z
F2
BA O C
M3
F1
F2
M2
y
z
M1
F1
O
y
z
MO
O
FR
y
x
F3
x
F3
x
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn
M1
A
解：取曲杆为研究对象
a
FA
z
FA
y
z
Fx 0,
FDx 0
B
M y (F ) 0, FAz a M 2 0
第4章空间力系
FRy Fy
FRz Fz
cos FRx
FR
cos FRz
2、空间汇交力系的平衡条件
FR
cos FRy
FR
FRx Fx 0
FRy Fy 0
FRz Fz 0
光滑球铰链 A
Fz
Fy Fx
Fz
Fy Fx
例4-1 图示为用起重
杆吊起重物。起重杆的
A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳CB 和DB拉住，两绳分别
上面三式联立，解得 F1=F2=3.54 kN FA=8.66 kN
例 ：结构如图所示，杆重不计，已知力P， 求两杆的内力和绳BD的拉力。
z D
z D
C
F3
C
A
B
x
P
y A
y F2
F1
B
x
P
§4-2 空间力对点之矩和对轴之矩
一、力对点之矩
矢量
r
的矩
O
A
Mo( A) r A, Mo r A sin
i1
i1
z
M
Fz
FR
Mz
Fy
y
y
x
Fx
x
Mx
My
2、空间任意力系的简化结果分析
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR, MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0
平衡
2、FR 0, MO 0
合力
3、FR 0, MO 0 4、FR 0, MO 0
合力偶 ?
(1) FR 0, MO 0, FRMO
1、空间任意力系的简化
Fn An
o A2
A1 F2
F1
Fn'
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第4章空间力系
矩平面，指向由右手螺旋规则 来拟定，即从矢量旳正向观看， 力矩旳转向是逆钟向旳。
12
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
14
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
11
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
12
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
14
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
11
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
哈工大理论力学第四章
∑F =0
z
FOA sin 45 −P = 0
（拉） F = −1414N F = F = 707N OA OB OC
例4-4 已知： F, l, a,θ 求： x ( F ) , My ( F ) , Mz ( F ) M 解：把力 F 分解如图
Mx F = −F ( l + a) cosθ My F = −Fl cosθ
∑F = 0
FA = 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图。
∑F =0 ∑F =0
x
y
FOB sin 45 − FOC sin 45 = 0
− FOB cos 45 − FOC cos 45 − FOA cos 45 = 0
空间平行力系的平衡方程
∑F = 0 ∑M
z
x
=0
பைடு நூலகம்
∑M
y
=0
2.空间约束类型举例 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例 3.空间力系平衡问题举例
§4–6 重 心 6
1．计算重心坐标的公式
P ⋅ xC = P ⋅ x1 + P2 ⋅ x2 + .... + Pn ⋅ xn 1 = ∑ Pi ⋅ xi
M = rBA × F
2、力偶的性质 (1） (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 变而改变。 变而改变。
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′) = rA × F + rB × F ′
理论力学 第四章 空间力系
第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。
设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。
在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。
已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。
解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。
理论力学第四章空间力系
→
→ →
→
→
→
→
→
→
AB × F ')
→
力偶矩矢与矩心无关 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 自由矢量
21
结论： 结论：
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： 空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： ①力偶矩的大小 M = Fd = 2 A∆ABC ②力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 转向——遵循右手螺旋规则 ③转向——遵循右手螺旋规则
xi
yi
——空间汇交力系的平衡方程 ——空间汇交力系的平衡方程
8
已知： CE=EB=DE； [例1] 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE；θ = 30 ，
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图， 画受力图如图， 列平衡方程
∑F
x
=0
F sin 45o − F sin 45o = 0 1 2
→ → → → → → → →
= [ m O ( F )] x i + [ m O ( F )] y i + [ m O ( F )] z k
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ → → → → →
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ →
→ → → → → →
M x ( F ) = yFz − zF y M y ( F ) = zF x − xFz M Z ( F ) = xF y − yFx
第四章 空间力系
9
4.3.2 空间力偶系的合成与平衡条件
空间力偶系可以合成，得到一个合力偶， 空间力偶系可以合成，得到一个合力偶，合力偶的矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和。 等于各分力偶矩矢的矢量和。
M R = M1 + M 2 + L + M n = ∑ M i
i=1 n
M2
MR
写成投影形式
M Rx = M x1 + M x 2 + L + M xn = ∑ M xi
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ d
z F
b
z Fz
B
a
Fx A
F
Fy F xy
O
O
y
z y a
x
y Fy Fxy
6
d
x
b'
a'
F xy x
Fx
b
其正负号按右手螺旋法则确定， 其正负号按右手螺旋法则确定，即以右手四指的绕向表 示 力使物体绕轴转动的方向，大姆指指向与z轴一致时为 力使物体绕轴转动的方向， 正，反之为负。 反之为负。 通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况： 通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况： 力与轴相交， (1) 力与轴相交，即 d=0 ； 力与轴平行， (2) 力与轴平行，即
Fxy=0 。两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，力 两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，
对该轴之矩等于零。 对该轴之矩等于零。
7
4.3 空间力偶
4.3.1 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢 ——
如图所示的空间力偶 (F，F' ) 对于任一点的矩可表示为 ，
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A
B O D
C
W
解：取节点O为研究对象，其受力如图所示。
建立坐标系Oxyz
Fx 0
FBO sin 30 FCO sin 30 0
Fy 0
FBO cos30 FCO cos30 FAO sin 30 0
Fz 0
FAO
FAO cos30 W 0
FR FR '2 FR '2 FRz x y
2
( FX ) 2 ( FY ) 2 ( FZ ) 2
主矢方向
X ,cos Y ,cos Z cos
R' R' R'
2 2 2 M Ox M Oy M Oz
主矩大小： M O
主矩方向： M Oy M Ox M Oz cos ' , cos ' , cos ' MO MO MO
力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影 等于力对于该轴之矩，这便是力矩关系定理。
3-3 空间力偶系
一.力偶矩的矢量表示 空间力偶对刚体的转动效应（大小和转 向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
M rF
力偶矩矢的大小:
r
F’
r F Fr sin a
力偶矩矢的方向: 右手法则
2 2
y
F y F sin sin Fz F cos
例3-1 沿图示长方体的对角线AB有一力F作用， 其值为F=500N，求该力在三个坐标轴上的投影。
z B 5m F O x 3m A y 4m
解：采用二次投影法。由图中几何关系可知
sin γ cos γ 2 4 3 , cosθ , sin θ 2 5 5
S
yd S S
其中S表示平板的面积。
重心的确定方法
实验法 悬挂法
称重法
简单图形的计算方法 分割法 对称性
负面积法
求出图示两种平面图形（阴影部分）的重心坐标。RBiblioteka yRy l x
r O
r
x
O r
l
R
y
r O l
r
x 解：图形对称于x轴 而
2
yC 0
2
r l rl xC 2 2 2 2 R r R r
的投影对于这个平面
与该轴的交点的矩.
M Z ( F ) M o ( Fxy )
从z轴的正向观看，力使刚体绕z轴的 转向逆时针时取正号，反之取负号
2S A'B 'O
三.力矩关系定理
力对点之矩矢
M o ( F ) (yFz zFy )i (zFx xFz )j (xFy yFx )k
第三章 空间力系
第四章 空间力系
3-1 空间汇交力系 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
3-3 空间力偶
3-4 空间任意力系的简化 3-5 空间任意力系的平衡 3-6 重心和形心
§3-1空间汇交力系的合成与平衡
一.力在直角坐标轴上的投影
（1）直接投影法：已知力及其与三个轴正 向间所夹的最小角 z
M
O
M 0 R // M
M 0
力螺旋 o
FR
M o
力螺旋 o
FR
M FR
oo
F M R M O O M FR
FR
力系向任一点 O 简化的结果 主矢 主 矩
MO 0
力系简化的 最后结果
说
明
FR 0
3
FR 0
M 0 FR M
FR
M o
MO
FR
FR
FR
O’
oo
M FR
M FR
如果一个力与一个力系等效，称该力是这个 力系的合力！
合力 o
合力对空间任一点的矩等于力系中各力对同一点 的矩的矢量和！——空间力系的合力矩定理
4 FR 0 5 FR 0
F3 2 2 P
§3-6
一.
平行力系中心与重心
平行力系中心的存在和唯一性。
平行力系中心
Fi
ri
ri
F1
rC
FR
Fn
O
rC
C
rC
Fr
i 1
n
i i
FR
二.
物体的重心
z
Fi
rC
Pr
i 1
n
i i
P
ri
ri
F1
FR
Fn
xC
Px
二、空间力偶的等效条件
力偶等效定理：
作用面平行的两个力偶，若其力偶矩大小相 等、转向相同，则两力偶等效。
力偶矩矢为自由矢量，它可以在刚体上自由平移 力偶矩矢为一自由矢量
三. 空间力偶系的合成与平衡 1 .空间力偶系的合成
M M1 M 2 M n M i ( M i x )i ( M i y ) j ( M i z )k
MO 0 MO 0
平衡 合力偶 合力
平衡力系 主矩与简化中心的 位置无关 合力作用线通过 简化中心 合力作用线离简化中心 O 的距离 d
MO FR
MO 0
FR ⊥ M O
合力
FR 0
FR // M 0 MO 0
力螺旋
力螺旋的中心轴通 过简化中心 力螺旋的中心轴离简化
FR 与 M 0
i 1
n
i i
P
x
O
rC
C
rC
yC
Py
i 1 i
n
i
P
y
zC
Pz
i 1
n
i i
P
如果物体是均质的，变为
xC
V
xdV V , yC
V
ydV V , zC
V
zdV V
其中V表示物体的体积。
如果物体是均质等厚平板，重心坐标为
xC
S
xd S S , yC
二.
空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的合成
F2 F 3 F1 O F4
FR
FR
=
O
FR F i
FR ( Fix i Fiy j Fiz k )
FR Fix i Fiy j Fiz k
FR FRx i FRy j FRz k
固定端约束
A
A
空间： A
A 平面： X A M A
YA
二.简化结果分析
1
FR 0
M 0
FR
O
M
O
O
M
M o
若简化中心为O1点，如何?
2
FR 0
M 0
FR
FR
O
O
O
M
FR
M o
若简化中心为O1点，如何?
合力偶矩矢的方向余弦:
M cos
M My cos M Mz cos M
x
2.空间力偶系的平衡
空间力偶系平衡的必要与充分条件:
力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。
M
i 1
n
i
0
M
i 1 n n ix
平衡方程:
0 0 0
B 5m F O x 3m A y 4m z
因此，力F在坐标轴上的投影分别为
2 4 Fx F sin cos 500 282.8 N 2 5
Fy F sin sin 500 2 3 212.1 N 2 5
2 Fz F cos 500 353.6 N 2
力对通过该点的轴之矩
M x ( F ) yFz zFy
M y ( F ) zFx xFz
M z ( F ) xFy yFx
[ Mo ( F )]x M x ( F ) [ Mo ( F )]y M y ( F )
[ Mo ( F )]z M z ( F )
已知： F、P及各尺寸 求：各杆内力
解：研究对象，长方板,
M F 0
AB
P F6 2 M AE F 0
M F 0
AC
F5 0
F4 0
M F 0
EF
M F 0
FG
F1 0
M F 0
BC
F2 1.5P
M O (F )
F
O
Mo (F ) r F
r
z
M o (F )
o x
α r A
F
B
力矩矢的大小：
r F Fr sin 2S ABO
y
力矩矢的方向： 右手法则
力矩矢与o点的选择有关!，它是定位矢量
在直角坐标系下的力矩矢的解析表达式
Mo (F ) r F
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
M x M x M x
M y M y M y
M z M z M z
合力偶矩矢的大小:
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
空间汇交力系的平衡
FR F i 0
空间汇交力系的平衡方程：