第四章空间力系(3)

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第4章空间力系分解

合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即：力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

理论力学第四章空间力系

r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有空间汇交力系平衡的充要条件：充要条件各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例题 1
求：绳的拉力和墙体的约束反力。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量滑移矢量自由矢量力偶矩矢是自由矢量力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知：求： F 对OA边的中点之矩在方向的投影。边的中点D之矩在方向的投影。力边的中点之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z

第四章：空间力系

第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。

2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。

3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。

4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。

5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。

二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。

空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。

各种常见的空间约束及约束反力。

2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。

三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。

空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。

按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。

与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。

由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。

出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。

2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。

但是平衡方程的形式可以改变。

上表列出的是一般用形式。

解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。

一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。

（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。

（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。

第4章空间力系

Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，其大小等于力对垂直于某轴平面内力对O点（即某轴在该面的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应

黄安基--第4章空间力系的简化和平衡

P64
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第四章空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所有的各力偶矩矢的矢量和为零。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章空间力系
作业：今天交上次：全部布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
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第四章空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移至刚体的任意一点,欲不改变该力对于刚体的作用,则必须在该力与指定点所决定的平面（力矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
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第四章空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
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(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。

力学第四章空间力系

例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零；各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，其大小等于力对垂直于某轴平面内力对O点（即某轴在该面的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴正向一致的就取正号；反之，就取负号。

第四章空间力系

效应取决于下列三要素： ⒈
⒉
力矩的大小；
力矩的转向；
⒊ 力的作用线与矩心所组
成的平面的方位 (力矩作用面)。
二、力对点的矩的矢量表示
在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈
⑴
力矩矢的表示方法
力矩矢大小：
M O (F ) M O (F ) F h 2AOB面积
F ,cos g FR
z
注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。
⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 mo ( Fi )。
即 M o mo ( Fi )
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
M Ox [ mO ( F )]x mx ( F );
M Oy [ mO ( F )] y m y ( F ); M Oz [ mO ( F )]z mz ( F )
大小： M O M Ox 2 M Oy 2 M Oz 2 主矩 M O 解析求法
M Oy M Ox M Oz 方向： cos ' ,cos ' ,cosg MO MO MO
M为自由矢量。
⒉
力偶矩矢表示方法
（1）矢量的模，即力偶矩的大小 M Fd 2ABC （2）矢量的方位与力偶作用面相垂直；（3）矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺旋法则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方向，则螺旋前进的方向或拇指的指向即为矢的指向，或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。
空间力系
空间汇交力系力对点的矩与力对轴的矩空间力偶系空间一般力系向一点的简化空间一般力系简化结果的讨论空间一般力系的平衡方程及应用重心习题课

空间一般力系

3
§4–1 空间一般力系的简化
设空间一般力系（F1，F2，……，Fn）中各力作用于刚体上P1，P2，……，Pn各点。
在刚体上任选一点O作为简化中心。
FR Fi
F1 P1
F2 P2
力系等效定理
MO M Oi FR
O
Pn
O
MO
Fn
4
FR Fi MO M Oi
➢ 空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的选择有关。
主视图：yz平面
z
50
200
FAz A FAy C FAx
x 20o Q
FBz B
FBx
100
D Py y
Px Pz
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
z
FBz 2040(N)
Qz
FAz
FAy CA
FBz
Pz
FR
d O' O
MO //
力螺旋
d MO FR
9
§4–2 空间一般力系的平衡
一、空间一般力系的平衡条件
FR
0
MO 0
空间一般力系平衡的充分与必要条件是主矢量和对任一点的主矩都等于零。
二、空间一般力系的平衡方程
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
MO
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴力矩的代数和都必须分别等于零。共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。空间一般力系的平衡方程的其它形式：四矩式，五矩式，六

第四章空间力系和重心

第三节空间任意力系的简化 1.空间任意力系向任意一点简化空间任意力系向任意一点简化
1.1空间力的平移空间力的平移
z F' F F O O y x x F'' x F'' y O y F' F z z
M O (F )
附加力偶矩矢
M O (F ) = Fd
1.2 空间力系的简化
z M2 F'1 M1 O y F'2
3 Fx = F cos α = F 3 −a 3 cosβ = =− 3 3a 3 Fy = F cos β = − F 3 a 3 cosγ = = 3 3a 3 Fz = F cos γ = F 3
Fy
2a
Fx
a
a
[解-方法 2] 解方法 cosγ = a 3 3 = Fz = F cos γ = F 3 3a 3
点O：空间中任意选择的简化中心平移到点O, 将 F1 平移到点O,
M1 = M O (F1 )
将空间中的其它力平移到点O: 将空间中的其它力平移到点O:
M 2 = M O (F2 )
x
M n = M O (Fn )
M i = M O (Fi )
1.2 空间力系的简化
z MO M2 M1 O Mn F'R
空间任意力系
空间平行力系
空间汇交力系
空间力系实例
第一节力在直角坐标轴上的投影
2、力在直角坐标轴上的投影、
2.1力在空间的表示力在空间的表示力的三要素：力的三要素：大小、方向、大小、方向、作用点大小： = 大小： F= F
γ
O
β θ
方向：方向：由α、β、 ϕ 三个方向角确定或由仰角θ 向角确定或由仰角θ 与方位来确定。角ϕ 来确定。 Fxy 作用点：作用点：物体和力矢的起点或终点的接触之点。或终点的接触之点。

哈工大理论力学第四章

∑F =0
z
FOA sin 45 −P = 0
（拉） F = −1414N F = F = 707N OA OB OC
例4-4 已知： F, l, a,θ 求： x ( F ) , My ( F ) , Mz ( F ) M 解：把力 F 分解如图
Mx F = −F ( l + a) cosθ My F = −Fl cosθ
∑F = 0
FA = 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图。
∑F =0 ∑F =0
x
y
FOB sin 45 − FOC sin 45 = 0
− FOB cos 45 − FOC cos 45 − FOA cos 45 = 0
空间平行力系的平衡方程
∑F = 0 ∑M
z
x
=0
பைடு நூலகம்
∑M
y
=0
2.空间约束类型举例 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例 3.空间力系平衡问题举例
§4–6 重心 6
1．计算重心坐标的公式
P ⋅ xC = P ⋅ x1 + P2 ⋅ x2 + .... + Pn ⋅ xn 1 = ∑ Pi ⋅ xi
M = rBA × F
2、力偶的性质 (1） (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改力偶对任意点取矩都等于力偶矩，变而改变。变而改变。
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′) = rA × F + rB × F ′

理论力学第4章-空间力系

mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x

0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同一轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz

l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡

x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时大小: 方向: 作用线 : 由空间作用线函数方程确定 ; 或简单地在 L 作用面内 , 以 d=| L R | 及 L 转向来确定作用线位于 R 左侧或右侧的位置 . R=R 可合为一合力

理论力学第四章空间力系

第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。

工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。

设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。

与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。

§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。

在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。

已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。

解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。

第4章空间力系平衡

5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR

力螺旋 o Mo

M FR
O

M
FR
M
FR
O O
oo M
M FR
FR
空间力系简化结果分析
主矢(O)
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0
Fx
Fz
例题
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
因为力在坐标轴上的投影分别为： Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为： x l, y l b, z 0
cos( MO ,
j)

My MO

0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
§3-3 空间力偶理论
一. 空间力偶的性质
作用于同一物体上的大小相等,方向相反且不共线的两个力组成的特殊力系.
力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。

M
F
r
1. 直接求解法
例列传动轴的平衡方程。解：画受力图。列出各力在轴上的投影及对轴之矩。
y
FAy
FCr FCt
FBy
A
FAx z FAz
C
FDt
D
Bx
FBz
FDr
由表中各行可列出六个平衡方程为：
Fx=FAx=0

空间力系

静力学第四章空间力系杨文刚车床主轴受力分析§4-1 空间汇交力系§4-2 力对点之矩和力对轴之矩§4-3 空间力偶系§4-4 空间任意力系§4-5 重心空间汇交力系空间力偶系空间任意力系空间力系主要内容学习方法：在平面力系的基础上推广；注意其与平面力系的异同。

1 回顾平面汇交力系：力的平行四边形法则∑=iR F F 简化结果：平衡条件：=∑i F ∑=0x F ∑=0y F平面汇交力系合成的平行四边形法则对空间汇交力系是否适用？∑=i R F F 简化结果：平衡条件：=∑i F ∑=0x F ∑=0y F ∑=0zF2 空间汇交力系的简化与平衡条件§4-2 力对点之矩和力对轴之矩1 回顾平面力对点之矩1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素：()hF F M±=注意：其力矩作用面固定。

代数量2 空间力对点之矩三要素：(1)大小:力F与力臂的乘积(2)方向:转动方向(3)作用面：力矩作用面。

定位矢量2 空间力对点之矩3 力对轴之矩力与轴相交或与轴平行时（力与轴在同一平面内时），力对该轴的矩为零。

代数量3 力对轴之矩= -+ 0=1 回顾平面力偶in i i M MM ∑==∑=1两个要素：a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩d F M ⋅±=代数量=∑i M 简化结果：平衡条件：2 空间力偶空间力偶的三要素：（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；（3）作用面：力偶作用面。

2 空间力偶力偶矩矢矢量力偶矩相等的力偶等效2 空间力偶(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。

（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。

（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

(5)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。

第四章 空间力系(3)

第4章空间力系分解

理论力学 第四章 空间力系

第四章：空间力系

第4章 空间力系

黄安基--第4章 空间力系的简化和平衡

力学第四章空间力系

第四章空间力系

空间一般力系

第四章 空间力系和重心

哈工大理论力学第四章

理论力学 第4章-空间力系

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第4章空间力系平衡

空间力系

第四章空间力系(3)

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第4章空间力系

黄安基--第4章空间力系的简化和平衡

第四章空间力系和重心

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