第4章空间力系分解
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理论力学第四章1
Ｚ Ｆ
如力F对Z轴之矩表示为： M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。 方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N· m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。 例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
8Leabharlann 1.力在直角坐标轴上的投影 二次投影法 Fz Fy Fx
F xy F sin
Fx F sin cos
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
（4–8）
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲 方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对 3 点之矩矢量的指向）
3. 空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
即： R F
F
x 2
i
0
2 2
FR
F
Fy Fz
空间汇交力系的平衡方程
F 0 F 0 Fz 0
x y
11
§4-2
空间力偶系
M mi 代数和
1.平面力偶系：
工程力学(高教版)教案：4.1 力的投影与分解
第四章 空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。
按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。
前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。
第一节 力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F 与x 轴如图4－1(a)所示，过力F 的两端点A 、B 分别作垂直于x 轴的平面M 及N ，与x 轴交于a 、b ，则线段ab 冠以正号或负号称为力F 在x 轴上的投影，即F x ＝±ab符号规定：若从a 到b 的方向与x 轴的正向一致取正号，反之取负号。
已知力F 与平面Q ，如图4－1(b)所示。
过力的两端点A 、B 分别作平面Q 的垂直线AA ′、BB ′，则矢量B A ''称为力F 在平面Q 上的投影。
应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)图4－ 1图4－2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。
如图4－2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。
设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαcos cos cos F F F F F F z y x (4－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图4－2（b ）所示。
设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγcos sin sin cos sin F F F F F F z y x (4－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。
工程力学第4章 力系的平衡
2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
13
建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
14
15
例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
16
17
解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
空间力系的受力分析
（2）力矩矢通过O点
MOF
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指向由右 手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
M OFrF
r h O
x
B
F A
y
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
MOrF
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
Fz F
i
M OFrF= x
Fx
jk yz Fy Fz
空间汇交力系的平衡条件：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
例题：已知：
C E E B E, D 30 ,0 F 1k0N 求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E α
C B
α F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象 建坐标系如图，
z D
E
C
α F2
B
F1 α
P
AБайду номын сангаас
y
x
FA
列平衡方程：
Fx 0
F 1 si 4 n 0 5 F 2si 4 n 0 5 0
z
Fz
βF
α
Fx
γ Fy
y
x
2、二次投影法 已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F cos
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos
φ
Fy y
Fy Fxy sin
Fx
最后得：
x
Fx F s in cos
F xy
Fy F s in s in
黄安基--第4章 空间力系的简化和平衡
P64
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第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
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第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
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第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
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(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
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第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
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第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
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第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
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(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第四章4-1,2,3
FAx 0 A
y x C
θ
P B
l /2 RB
m d
l /2
FAy
∑ Fx = 0 ∑ Fy= 0
FAx - P cosθ = 0 FAy - P sinθ + RA = 0
FAx = P cosθ θ
m 1 FAy = + Psin θ l 2
例4-4:塔式起重机如图所示.设机身的重力为G1,载重的 重力为G2 ,距离右轨的最大距离为L,平衡重物的 重量为G3 ,求起重机满载和空载均不致翻倒时, 平衡重物的重量G3所满足的条件.
G1 F q2 Fq1 q
L G2
d1 B qm d2
mA A FAx FAy
L
G2
列平衡方程求解: 列平衡方程求解 ∑Fx = 0 FAx -Fq1 = 0
y C G1 H h d1 B d2 Fq1
1 h 3
Fq2
0
1 l 2
x
1 1 FAx = Fq1 = q m h = γ 1 h 2 2 2
a G3 e
C G1 L A b B
G2
解:取起重机为研究对象,画出受力图 取起重机为研究对象, 1,满载时,当重物距离右轨最远时,当起重机平衡时: ,满载时,当重物距离右轨最远时,当起重机平衡时: ∑ mB(F) = 0 - G1 e- G2 L- NA b+ G3 (a+ b) = 0 ) NA =[ -G1 e- G2 L+ G3 ( a+ b)]/b ) 起重机不翻倒的条件为: 起重机不翻倒的条件为: NA ≥0 G3 ≥( G1 × e+ G2 × L)/( a+ b) ( ) G3 a C e G 1 L B b NB
y x C
θ
P B
l /2 RB
m d
l /2
FAy
∑ Fx = 0 ∑ Fy= 0
FAx - P cosθ = 0 FAy - P sinθ + RA = 0
FAx = P cosθ θ
m 1 FAy = + Psin θ l 2
例4-4:塔式起重机如图所示.设机身的重力为G1,载重的 重力为G2 ,距离右轨的最大距离为L,平衡重物的 重量为G3 ,求起重机满载和空载均不致翻倒时, 平衡重物的重量G3所满足的条件.
G1 F q2 Fq1 q
L G2
d1 B qm d2
mA A FAx FAy
L
G2
列平衡方程求解: 列平衡方程求解 ∑Fx = 0 FAx -Fq1 = 0
y C G1 H h d1 B d2 Fq1
1 h 3
Fq2
0
1 l 2
x
1 1 FAx = Fq1 = q m h = γ 1 h 2 2 2
a G3 e
C G1 L A b B
G2
解:取起重机为研究对象,画出受力图 取起重机为研究对象, 1,满载时,当重物距离右轨最远时,当起重机平衡时: ,满载时,当重物距离右轨最远时,当起重机平衡时: ∑ mB(F) = 0 - G1 e- G2 L- NA b+ G3 (a+ b) = 0 ) NA =[ -G1 e- G2 L+ G3 ( a+ b)]/b ) 起重机不翻倒的条件为: 起重机不翻倒的条件为: NA ≥0 G3 ≥( G1 × e+ G2 × L)/( a+ b) ( ) G3 a C e G 1 L B b NB
空间一般力系
3
§4–1 空间一般力系的简化
设空间一般力系（F1，F2，……，Fn）中各力作用于刚体 上P1，P2，……，Pn各点。
在刚体上任选一点O作为简化中心。
FR Fi
F1 P1
F2 P2
力系等效定理
MO M Oi FR
O
Pn
O
MO
Fn
4
FR Fi MO M Oi
➢ 空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
主视图：yz平面
z
50
200
FAz A FAy C FAx
x 20o Q
FBz B
FBx
100
D Py y
Px Pz
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
z
FBz 2040(N)
Qz
FAz
FAy CA
FBz
Pz
FR
d O' O
MO //
力螺旋
d MO FR
9
§4–2 空间一般力系的平衡
一、空间一般力系的平衡条件
FR
0
MO 0
空间一般力系平衡的充分与必要条件 是主矢量和对任一点的主矩都等于零。
二、空间一般力系的平衡方程
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
MO
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。 空间一般力系的平衡方程的其它形式：四矩式，五矩式，六
§4–1 空间一般力系的简化
设空间一般力系（F1，F2，……，Fn）中各力作用于刚体 上P1，P2，……，Pn各点。
在刚体上任选一点O作为简化中心。
FR Fi
F1 P1
F2 P2
力系等效定理
MO M Oi FR
O
Pn
O
MO
Fn
4
FR Fi MO M Oi
➢ 空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
主视图：yz平面
z
50
200
FAz A FAy C FAx
x 20o Q
FBz B
FBx
100
D Py y
Px Pz
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
z
FBz 2040(N)
Qz
FAz
FAy CA
FBz
Pz
FR
d O' O
MO //
力螺旋
d MO FR
9
§4–2 空间一般力系的平衡
一、空间一般力系的平衡条件
FR
0
MO 0
空间一般力系平衡的充分与必要条件 是主矢量和对任一点的主矩都等于零。
二、空间一般力系的平衡方程
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
MO
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。 空间一般力系的平衡方程的其它形式：四矩式，五矩式，六
第四章 空间力系和重心
第三节 空间任意力系的简化 1.空间任意力系向任意一点简化 空间任意力系向任意一点简化
1.1空间力的平移 空间力的平移
z F' F F O O y x x F'' x F'' y O y F' F z z
M O (F )
附加力偶矩矢
M O (F ) = Fd
1.2 空间力系的简化
z M2 F'1 M1 O y F'2
3 Fx = F cos α = F 3 −a 3 cosβ = =− 3 3a 3 Fy = F cos β = − F 3 a 3 cosγ = = 3 3a 3 Fz = F cos γ = F 3
Fy
2a
Fx
a
a
[解-方法 2] 解 方法 cosγ = a 3 3 = Fz = F cos γ = F 3 3a 3
点O：空间中任意选择的简化中心 平移到点O, 将 F1 平移到点O,
M1 = M O (F1 )
将空间中的其它力平移到点O: 将空间中的其它力平移到点O:
M 2 = M O (F2 )
x
M n = M O (Fn )
M i = M O (Fi )
1.2 空间力系的简化
z MO M2 M1 O Mn F'R
空间任意力系
空间平行力系
空间汇交力系
空间力系实例
第一节 力在直角坐标轴上的投影
2、力在直角坐标轴上的投影 、
2.1力在空间的表示 力在空间的表示 力的三要素： 力的三要素： 大小、方向、 大小、方向、作用 点 大小： = 大小： F= F
γ
O
β θ
方向： 方向：由α、β、 ϕ 三个方 向角确定或由仰角θ 向角确定或由仰角θ 与方位 来确定。 角ϕ 来确定。 Fxy 作用点： 作用点：物体和力矢的起 点 或终点的接触之点。 或终点的接触之点。
哈工大理论力学第四章
∑F =0
z
FOA sin 45 −P = 0
（拉） F = −1414N F = F = 707N OA OB OC
例4-4 已知： F, l, a,θ 求： x ( F ) , My ( F ) , Mz ( F ) M 解：把力 F 分解如图
Mx F = −F ( l + a) cosθ My F = −Fl cosθ
∑F = 0
FA = 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图。
∑F =0 ∑F =0
x
y
FOB sin 45 − FOC sin 45 = 0
− FOB cos 45 − FOC cos 45 − FOA cos 45 = 0
空间平行力系的平衡方程
∑F = 0 ∑M
z
x
=0
பைடு நூலகம்
∑M
y
=0
2.空间约束类型举例 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例 3.空间力系平衡问题举例
§4–6 重 心 6
1．计算重心坐标的公式
P ⋅ xC = P ⋅ x1 + P2 ⋅ x2 + .... + Pn ⋅ xn 1 = ∑ Pi ⋅ xi
M = rBA × F
2、力偶的性质 (1） (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 变而改变。 变而改变。
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′) = rA × F + rB × F ′
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
理论力学习题册答案
第一章静力学公理与受力分析(1)一．是非题1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。
（）2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。
（）3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。
（）4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。
（）5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。
（）二．选择题1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（）①二力平衡公理②力的平行四边形法则③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理三．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A )b(杆ABd(杆AB、CD、整体)c(杆AB、CD、整体))e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体四．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体第一章 静力学公理与受力分析（2）一．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
WADB CE Original FigureAD B CEWWFAxF AyF BFBD of the entire frame)a (杆AB 、BC 、整体)b (杆AB 、BC 、轮E 、整体)c (杆AB 、CD 、整体)d (杆BC 带铰、杆AC 、整体)e(杆CE、AH、整体)f(杆AD、杆DB、整体)g(杆AB带轮及较A、整体)h(杆AB、AC、AD、整体第二章平面汇交和力偶系一．是非题1、因为构成力偶的两个力满足F= - F’，所以力偶的合力等于零。
（）2、用解析法求平面汇交力系的合力时，若选用不同的直角坐标系，则所求得的合力不同。
（）3、力偶矩就是力偶。
（）二．电动机重P=500N，放在水平梁AC的中央，如图所示。
空间力系的简化
F
MO
O
主矩： M O M O
x FR
FR
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
y FR
2 2 F F ( F ) ( F ) 709.4 kN R x y 合力FR的大小： R
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 体，是一个压力 FN
未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰
FAz
A
FAx
FAy
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角
坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
MO
O
主矩： M O M O
x FR
FR
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
y FR
2 2 F F ( F ) ( F ) 709.4 kN R x y 合力FR的大小： R
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 体，是一个压力 FN
未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰
FAz
A
FAx
FAy
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角
坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
理学空间力系
Fy F sin sin Fz F cos
力的方向: cos = Fx
F
解析表达式: F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
cos = Fy
F
力的大小: F Fx2 Fy2 Fz2
cos = Fz
F
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16
理论力学
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）空间力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶矩矢 M rBA F
M o (F, F ) M o (F ) M o (F ) rA F rB F
4
09:39
❖§4–1空间汇交力系
理论力学
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
(3) 指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。 或从力偶矢的末端看去，力偶的 转向为逆时针转向。
用矢量表示。
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09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
理论力学
15
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
第4章空间力系平衡
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
力螺旋 o Mo
M FR
O
M
FR
M
FR
O O
oo M
M FR
FR
空间力系简化结果分析
主矢(O)
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0
Fx
Fz
例题
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
因为力在坐标轴上的投影分别为： Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为： x l, y l b, z 0
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
§3-3 空间力偶理论
一. 空间力偶的性质
作用于同一物体上的 大小相等,方向相反 且不共线的两个力 组成的特殊力系.
力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
r
1. 直接求解法
例 列传动轴的平衡方程。 解：画受力图。列出各力在轴上的投影及对轴之矩。
y
FAy
FCr FCt
FBy
A
FAx z FAz
C
FDt
D
Bx
FBz
FDr
由表中各行可列出六个 平衡方程为：
Fx=FAx=0
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合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，
可以同时改变力的大小与力偶臂的长短，且作用面可以平行
移动，对刚体的作用效果不变。
MO ( F ) r F x Fx
x
r
j
A(x,y,z) y
h
i
j y Fy
k z Fz
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
符号规定：
为代数量
逆 z 轴看，Fxy使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负。
z
O
Mz F
z
Fxy
Mz F
O
Fxy
> 0
< 0
右手螺旋法则：四指屈向表Fxy绕O点转动方向，拇指
与 z 轴指向一致为正，反之为负。
15
力对轴之矩
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
(1)先分解F
z
z’
Fr Ft
F Fxy
Fxy＝Fcos Fr ＝ Fsin ( 径向力) 分解Fxy x Ft ＝ Fcos sin ( 圆周力或切向力) Fa ＝Fcos cos ( 轴向力) (2) 求F在 x、y 、z 轴投影。 Fx ＝ Ft ＝ Fcos sin
x’
Fa
§4–3
400N
400N
空间力偶
400N 400N 1000N
讨论空间力偶对物体的作用效果
0.5m
400N 0.2m 0.5m 400N
1000N
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
21
力偶矩矢定义式：
M
M rBA F
M rAB F
所以，欲求力对一点之矩，可先求力对过该点三个直角坐
标轴的矩。 MO ( F )
2 2 2 M x ( F ) MO ( F ) MO ( F )
M (F ) cos(M O , i ) x MO (F )
M y (F ) cos(M O , j ) MO (F )
z
经验可知：Fz不能使门转动。只有Fxy对门
有转动效应。且这种转动效应与力Fxy的大小 及其作用线到点O的距离有关。
O
x
力对轴之矩定义式为：
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
为代数量
h
B
A
y
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面上的投影 对轴与平面交点之矩。
14
2、力对轴之矩 Mz (F ) MO (Fxy ) Fxy h
求：杆受力及绳拉力。 解：研究对象：起重杆AB E F
z
D F2 E
30o
z
30
F1 cos 45
30o
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F
y
0
x’
C θ A x
F1 FA
BF
B
FA
P yA θ
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
第四章 空 间 力 系
1
第四章 空间力系
作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且不 能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。 P
A C
E
B
F
m1＝Fr1 y FCy m2＝Pr2
FBy x
z
F
FCz
P
FBz
2
§4—1 空间汇交力系
一、 力在空间直角坐标系上的投影
1、直接投影法
已知力与 x、y、z 轴夹角，即力的方向角α、β、γ。
z
90
Fz
γ β
Fz＝Fcosγ
F Fy y
α
x Fx O
Fy＝Fcosβ
Fx＝Fcosα
3
2．二次投影法 已知力F 与 z 轴夹角γ，以及在与该轴垂直平面上的投影与另
一轴的夹角φ 。 z
(1) F 向 z 轴和 xy 面投影
Fz＝Fcosγ Fxy＝Fsinγ Fy Fxy y (2) Fxy向 x、y 轴投影 Fx＝Fsinγcosφ Fy＝Fsinγsinφ Fx＝Fsinγcosφ
12
MO ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力矩矢量在坐标轴上的投影：
B
z
MO (F )
M O ( F ) x yFz zFy
F
i O
x
M O ( F ) y zFx xFz
M y (F ) Fz l F cos l M z ( F ) Fx (l a) F sin (l a )
C
Fx
x’
D E
θ
（方法2）利用 解析式求
x
A
B
y
F
Fz
力的投影
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
M y ( F ) zFx xFz
对照：
x
Fx
F xy
Fy
MO ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。
18
注意：
理论分析——用力对点之矩。 实际计算——用力对轴之矩。
P
y
F
z
0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
解得：
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
9
§4—2 力对点的矩和力对轴之矩
平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与
平面垂直的轴的力矩。即：
11
y
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩用矢量表示 ——力矩矢 定义式： M (F ) r F
O
B
z
大小： M O ( F ) F r sin 2OAB
MO (F )
F
i O
k
方位： 力矩作用面法线； 指向： 右手螺旋法则。
F
C
空间力偶矩矢为自由矢量。 力为滑移矢量。
F F F
B
B
F
力对点之矩为定点矢量。
rA BA
A
24
3．力偶系的合成与平衡条件
M1 M2
Mn
Mn
M1
M2
Mn
M1
M2
与汇交力系的合成相同，对于空间力偶系：
M Mi
（证明P80自习）
B
F
rBA
d A
C F
大小：力乘以力偶臂 Fd=2∆ABC。
方位：力偶作用面法线。 转向：右手螺旋法则。
22
力偶的性质
(1)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。 (2）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。 （3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
MO (F ) MO (F ) rA F rB F F F MO (F ) MO (F ) (rA rB ) F
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即
F
FR 0