全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论
初中数学专题竞赛讲座21：应用题选讲
竞赛讲座21
－应用题选讲
应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.
1.合理选择未知元
例1 （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用
小时，求A、B两地相距多少千米？
解法1 （选间接元）设坡路长x千米，则下坡需
依题意列方程：
解之，得x=3.
答：A、B两地相距9千米.
解法2（选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米，则有如下方程组
解法3（选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，依题意列方程组：
例2 （1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？
解本题若用直接元x列方程十分不易，可引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式，可得：
M（1+0.01x）=0.92M[1+0.01（x+10）].
约去M，得
1+0.01x=0.92[1+01.1（x+10）].
解之，得 x=15.
例3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？
分析选直接元，设两针在3点x分钟时重合，则这时分针旋转了x分格，时针旋转了（x-15）分析，因为分针旋转的速度是每分钟1分格，旋转x分格需要分钟，时针旋转的速度是每分钟分格，旋转（x-15）分格要
初中数学竞赛培训教案
初中数学竞赛培训教案
年级：八年级
学科：数学
课时：1课时
教材：《数学竞赛教程》
教学目标：
1. 提高学生的数学思维能力；
2. 培养学生解决数学问题的技巧；
3. 帮助学生掌握数学竞赛的基本题型和解题方法；
4. 培养学生的团队合作意识和竞争意识。
教学内容：
1. 数论基础；
2. 几何题型；
3. 函数与方程；
4. 逻辑推理；
5. 数学竞赛技巧。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾数学基础知识，如数论、几何、函数等；
2. 介绍数学竞赛的背景和意义，激发学生的学习兴趣。
二、数论基础（10分钟）
1. 复习数论基本概念，如质数、合数、最大公约数等；
2. 通过例题讲解数论在数学竞赛中的应用，如数字推理、质因数分解等。
三、几何题型（10分钟）
1. 复习几何基本概念，如点、线、面、角等；
2. 讲解几何题型的解题方法，如勾股定理、相似三角形、平行四边形等；
3. 分析几何题型的常见陷阱，提醒学生注意。
四、函数与方程（10分钟）
1. 复习函数和方程的基本概念和解法；
2. 讲解函数和方程在数学竞赛中的应用，如函数图像分析、方程求解等；
3. 引导学生掌握函数和方程的解题技巧。
五、逻辑推理（10分钟）
1. 讲解逻辑推理的基本方法和技巧，如递推、归纳、逆向思维等；
2. 通过例题让学生练习逻辑推理，提高解题能力；
3. 培养学生分析问题和解决问题的逻辑思维。
六、数学竞赛技巧（10分钟）
1. 讲解数学竞赛的解题技巧，如分类讨论、转化求解等；
2. 分析数学竞赛中的常见错误，提醒学生注意避免；
3. 引导学生培养良好的解题习惯和思维方式。
初中数学《专题分类讨论题》公开课优质课PPT课件
分类讨论思想介绍
在解答某些数学问题时，因为存在一些不 确定的因素，解答无法用统一的方法或结论给 出统一的表述，对这类问题依情况加以分类， 并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法 叫分类讨论法.
► 类型之一 概念、定义中的分类讨论
例1 函数y ax2 ax 3x 1 与x轴只有一个交点，
► 类型之二 几何图形不确定的分类讨论
例2如图,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点，将△AOB绕
点O逆时针旋转90°得到△COD,抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点A,B,D. （4）点G是抛物线上一点，过点 G作GH垂直 x轴于点H，是否存在 以点G、D、H为顶点的三角形与 △AOB相似，若存在，求出点G的坐 标，若不存在，请说明理由.
点O逆时针旋转90°得到△COD,抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点A,B,D. (1)求抛物线的解析式. （2）在抛物线上是否存在一点M， 使△MAB是以AB为直角边的直角 三角形，若存在，请求出点M的坐 标，若不存在，请说明理由.
Leabharlann Baidu ► 类型之二 几何图形不确定的分类讨论
求a的值. 解分类讨论问题的一般步骤：
(1)分类的原因（为何分类）：条件不确定（具体哪种函数不确定） (2)分类的标准（如何分类）：按a取值分（① a=0 ② a≠0 ） (3)逐类讨论： (4)归纳总结：
八年级上数学全册教案-21
§12．3 等腰三角形
课时安排
4课时
从容说课
前面两节中，通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步对轴对称的性质作了研究，还探讨了轴对称变换，能够作出一些简单的平面图形关于一条直线的对称图形，所以学生对这些结论已经有所了解．
本节在我们已学过的知识的基础上，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题时，再对等边三角形的相关内容进行深入探讨．
本节的重点是探索等腰三角形和等边三角形的性质及判定，并利用这些性质和判定求解相关的问题，进一步发展学生的数学思维．本节的重点同时也是本节的难点．教师在教学中，不可操之过急，应逐步引导，让学生去发现去探索这些性质，学生对它的理解要有一个过程，对它的应用也要慢慢去认识，并且在教学中要注意对学生数学思想的渗透以及分析问题、解决问题能力的培养．
§12．3．1 等腰三角形（一）
第七课时
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
（二）能力训练要求
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法
探究归纳法．
教具准备
师：多媒体课件、投影仪；
最新冀教版初中数学八年级下册第二十一章复习优质课教案
第二十一章一次函数
教学目标
1能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义，并根据已知条件确定一次函数的表达式。
2会画一次函数图象，根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。
3能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。
一、本章知识梳理
1一般的若y kx b
=+
（k，b是常数，且0
k≠），那么y叫做x的一次函数，
当b=0时，一次函数y=也叫正比例函数。
2.正比例函数kx
y=（0
k≠）是一次函数的特殊形式当=0时，y=0故正比例函数图像过原点（00)
3.一次函数的图像和性质：
说明：（1）与坐标轴交点（0，b ）和（-
k
b
，0） b 的几何意义：_____________________ （2）增减性： >0，y 随的增大而增大；<0，y 随增大而减小
（3）倾斜度：||越大，图象越接近于y 轴；||越小，图象越接近于轴。 （4）图像的平移： 当b>0时，将直线y=的图象向上平移b 个单位可得y=+b 的图像；
当b<0时，将直线y=的图象向下平移b 个单位可得
y=+b 的图像
4直线b 1=1+b 1与直线y 2=2+b 2（1≠0 ，2≠0）的位置关系．
①1≠2⇔y 1与y 2相交；
②⎩⎨⎧=≠212
1b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）
； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==21
初中数学竞赛辅导资料21
初中数学竞赛辅导资料21
第二十一课综合除法和余数定理的应用
例1计算（8x 2
-2x+x 4
-14）÷（x+1）
解：8x 2-2x+x 4-14= x 4+0·x 3+8x 2-2x-14，x+1= x-（-1）。1+0+8-2-14 -1
余数
31191111911--+-+-+- ∴商式=x 3-x 2
+9x-11，余数=-3。
例2请应用综合除法计算（5x 3-24x 2+2x 4+15）÷（x-2） 答案：商式=2x 3
+9x 2
-62x-12，余数=-9。 例3求x+3除3x 3
+5x 2
-2所得的余数。
解由余数定理得f （-3）=3×（-3）3
+5×（-3）2
-2=-38。
例4求2x+1除6x 4-5x 3-3x 2-x+4所得的余数（分别用余数定理和综合除法解）。 解1：∵2x+1=2[x-（-2
1）]，∴由余数定理，得
f （-2
1）=6×（-
2
1）4-5×（-
2
1）3-3×（-
2
1）2-（-
2
1）+4=4
19
解2：2x+1=2[x-（-
2
1）]。 6-5-3-1+ 4-
2
1余数
4
192
31864
32
143+
-
+-+-+-
∵6x 4-5x 3-3x 2-x+4=（x+2
1）（6x 3-8x 2+x-2
3）+
4
19=（2x+1）（3x 3-4x 2+
2
x -
4
3）+
4
19，
∴商式=3x 3
-4x 2
+
2
1x-
4
3；余数=4
19
例5已知f （x ）=2x 3+7x 2+k 能被2x+3整除，求k 。
解：∵f （x ）能被2x+3整除，∴f （x ）含有因式2x+3，由因式定理，得f （-2
初中数学竞赛培训(21)
初中数学竞赛培训（初二）（20）
一、填空题：
1、某电影院的票价是：个人每张6元，每10人一张团体票为40元，学生享受九折优惠，某校1258名学生看电影(教师免票)，学校应向电影院至少付_________________元钱。
2、利用公式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)=(ac ＋bd)2＋(bc －ad)2 或其它方法找出一组正整数填空：(22＋92×32)(42＋92×52)=( ) 2+92×( ) 2。
3、如图，梯形ABCD 的面积为34cm 2，
AE=BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD
的面积为11cm 2，则阴影部分的面积
为 _ cm 2。
4、在表达式S=4321x x x x -+-中， x 1、x 2、x 3、x 4 是1、2、3、4的一 种排列（即：x 1、x 2、x 3、x 4取1、2、3、4中的某一个数，且x 1、x 2、x 3、x 4 互不相同）。则使S 为实数的不同排列的种数有 种。
二、解答题
5、某同学买某种铅笔，当他买了x 支，付了y 元（x 、y 都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱”。求x ·y 。
6.如图：菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得P 、Q 、R 、S 为AB 、BC 、CD 、DA 上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数
n
m 为矩形ABCD 的周长，求m ＋n 。
7. 在△ABC 中，AB=AC ，D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且∠BED ＝2∠CED ＝∠A. 求证：BD=2CD.
初二数学1121教案
初二数学1121教案教案标题: 初二数学1121教案
教学目标:
1. 理解和应用二元一次方程组的概念和解法；
2. 掌握解二元一次方程组的基本方法；
3. 运用二元一次方程组解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点:
1. 理解二元一次方程组的概念；
2. 掌握解二元一次方程组的基本方法。
教学难点:
1. 运用二元一次方程组解决实际问题；
2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备:
1. 教材：《初中数学》教材第八章相关内容；
2. 教具：计算器、白板、黑板、粉笔；
3. 教学辅助工具：多媒体投影仪。
教学过程:
Step 1: 引入新知
通过多媒体投影仪展示一个实际生活中的问题，例如两个人的年龄总和是40岁，大的人比小的人年龄大12岁，让学生思考如何用数学解决这个问题。
Step 2: 介绍二元一次方程组的概念
简单解释什么是二元一次方程组，它包含两个方程和两个变量，在求解时需要找到满足这两个方程的x和y的值。
Step 3: 解二元一次方程组
3.1 介绍代入法
通过一个简单的例子，教授代入法的步骤和基本原理。例如：
方程组：
x + y = 7
2x - y = 1
通过将第一个方程的x或y的值代入到第二个方程，求解出另一个未知数的值，然后再代入到第一个方程中，得出另一个未知数的值。
3.2 介绍消元法
通过一个简单的例子，教授消元法的步骤和基本原理。例如：
方程组：
2x + 3y = 8
5x - 2y = 1
通过将两个方程相加或相减来消去一个未知数，从而求解另一个未知数。然后再将求得的值代入到其中一个方程中，求解另一个未知数的值。
中考数学分类讨论课件市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
第10页
【作业训练】
1．已知等腰△ABC周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一
定有一定有条边等于（
）
A．7㎝
B．2㎝或7㎝ C．5㎝
D．2㎝或7㎝
2.（衡阳）若等腰三角形两个角度比是1:2，则这个三角形顶角为（ ）度。
Ａ 30
Ｂ 60
Ｃ 30或90
Ｄ 60
3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而
25
5
5 5
或
2
5 5.
A
MD
N
B
EC
第9页
例题12：（湘潭）如图，直线y=3x+3 交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两 点 抛物线交x轴于另一点C（3,0）.
(1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在， 求出符合条件Q点坐标；若不存在，请说明理由。
第5页
3：三角形、圆等几何图形相关量求解分类讨论问题
例题6：（青海）方程
x 2 9x 18 0 两个根是等腰三角形
底和腰，则这个三角形周长为（ ）
Ａ 12
Ｂ 12或15
Ｃ 15
Ｄ 不能确定
例题7：（武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上 高为12cm,求此三角形面积。（54或84）
初二奥数教材 《第21讲 分类与讨论》
第二十一讲分类与讨论
分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？
因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．
任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．
上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．
分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是
对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．例1求方程
x2-│2x-1│-4=0
的实根．
x2+2x-1-4=0，
x2-2x＋1-4=0，
x1＝3，x2=-1．
说明在去绝对值时，常常要分类讨论．
例2 解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超过x的最大整数．解由[x]的定义，可得
2017年八下第21章一次函数全章名师教案(冀教版)
2017年八下第21章一次函数全章名师教案（冀教版）
第二十一一次函数1结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条确定一次函数的表达式
2会利用待定系数法确定一次函数的表达式
3能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和表达式=x+b(≠0)探索并理解>0和<0时,图像的变化情况
4体会一次函数与二元一次方程的关系
能用一次函数解决简单的实际问题
6进一步发展学生的数学抽象能力,强化数学的应用意识1结合具体情境体会和理解一次函数及正比例函数的意义,能根据已知条运用待定系数法确定一次函数的表达式
2逐步学会运用函数的观点观察、分析问题,预测实际问题中的变量的变化规律1通过讨论一次函数与方程(组)的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程(组)及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系
2通过本的学习,要让学生感受数学的价值,培养和提高学生的应用意识
3注重对学生情感态度的评价,在学生学习活动中,培养学生自信、自强的性格,记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程
中所表现出的创新精神1本的内容、地位和作用
本的知识内容主要包括:一次函数,一次函数的图像和性质,用待定系数法确定一次函数表达式,一次函数的应用,一次函数与二元一次方程的关系这些内容彼此关联,依次递进一次函数是在学习了一般的函数概念之后,进一步研究的第一类特殊函数,它不仅是现实生活中极为广泛的一类数量关系的抽象模型,有着广泛的应用,而且在整个函数知识的学习中,起着承上启下的重要作用,这主要表现为:第一,通过一次函数的学习,使学生对“函数”这一抽象的核心概念的理解更加深入,对“函数模型”的理解逐步走向深入与深刻、丰满与充实,对“函数”这一系统知识的认识与掌握进一步强化和提升;第二,一次函数的学习,不仅从变量关系类型上为二次函数、反比例函数的学习提供了对照与类比,更从研究方法(如“利用函数图像研究函数的性质”“借助待定系数法求函数表达式”等)上,展示了普遍的意义和作用
八年级数学竞赛辅导讲义
全国初中数学联赛
一全国初中数学联赛简介
中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。
竞赛简介
奖项名称：全国初中数学联合竞赛
创办时间：1984年
主办单位：由各省、市、自治区联合举办，轮流做庄
竞赛介绍：
同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。1984年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，天津数学会在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位，从此，“全国初中数学联赛”也形成了制度。
“全国初中数学联赛”原来不分一试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针，1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。
中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起，我们力求降低试题的难度。题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式a
ac
b b x 2422
,1-±-=
内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A 、一4
B 、8
C 、6
D 、0
思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。 【例4】
设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义
（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）
第1讲全等三角形的性质与判定 (2)
第2讲角平分线的性质与判定 (12)
第3讲轴对称及轴对称变换 (17)
第4讲等腰三角形 (25)
第5讲等边三角形 (37)
第06讲实数 (43)
第7讲变量与函数 (50)
第8讲一次函数的图象与性质 (55)
第9讲一次函数与方程、不等式 (64)
第10讲一次函数的应用 (69)
第11讲幂的运算 (81)
第12讲整式的乘除 (87)
第13讲因式分解及其应用 (94)
第14讲分式的概念•性质与运算 (101)
第15讲分式的化简求值与证明 (109)
第16讲分式方程及其应用 (118)
第17讲反比例函数的图象与性质 (126)
第18讲反比例函数的应用 (139)
第19讲勾股定理 (146)
第20讲平行四边形 (158)
第21讲菱形与矩形 (167)
第22讲正方形 (175)
第23讲梯形 (185)
第24讲数据的分析 (194)
B A
C D E
F 第1讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
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七年级
第一讲走进美妙的数学世界
第二讲跨越——从算术到代数第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想
第四讲数轴——数与形的第一次
碰撞
第五讲解读绝对值
第六讲计算——工具与算法的变
迁
第七讲物以类聚——话说同类项第八讲一元一次方程
第九讲绝对值与一元一次方程第十一讲列方程解应用题——设元的技巧
第十二讲社会、生活、经济——
情境应用题
第十三讲一次方程组
第十四讲一次方程组的应用
第十五讲倾斜的天平——由相
等到不等
第十六讲不等式（组）的应用第十七讲整式的乘法与除法
第十八讲乘法公式
第十九讲丰富的图形世界
第二十讲线段
第二十一讲角
第二十二讲平行线的判定与性质第二十三讲简单的面积问题第二十四讲质数、合数与因数分
解
第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析
第二十六讲整数整除的概念和性质
第二十七讲不定方程、方程组第二十八讲计数方法
第二十九讲最值问题
第三十讲创新命题
第三十一讲代数式的值
第三十二讲最大公约数与最小公倍数
八年级
第一讲分解方法的延拓
第二讲分解方法的延拓
第三讲因式分解的应用
第四讲分式的概念、性质及运算第五讲有条件的分式的化简与求值
第六讲实数的概念及性质
第七讲二次根式的运算
第八讲二次根式的化简求值
第九讲三角形的边与角
第十讲全等三角形
第十一讲等腰三角形的性质
第十二讲等腰三角形的判定
第十三讲从勾股定理谈起
第十四讲多边形的边角与对角线
第十五讲平行四边形
第十六讲完美的正方形
第十七讲梯形
第十八讲由中点想到什么
第十九讲平行截割
第二十讲飞跃-从全等到相似
第二十一讲相似三角形的性质第二十二讲直角三角形的再发现
初中数学竞赛课程教案
初中数学竞赛课程教案
课时安排：24课时
教学目标：
1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。
2. 巩固和拓展初中数学知识，提高学生的数学水平。
3. 培养学生的团队合作意识和竞赛意识，激发学生学习数学的兴趣。
教学内容：
1. 数论：数的性质、因数分解、最大公约数和最小公倍数、同余方程等。
2. 几何：平面几何的基本性质、三角形、四边形、圆、几何证明等。
3. 代数：一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数、二元一次方程组等。
4. 初等数学中的综合问题：数学归纳法、数列、组合问题、概率问题等。
教学过程：
第1-4课时：数的性质
1. 介绍数的性质的基本概念和性质。
2. 讲解质数和合数的定义及其性质。
3. 讲解最大公约数和最小公倍数的计算方法及其性质。
4. 练习相关题目，巩固所学知识。
第5-8课时：因数分解
1. 介绍因数分解的意义和方法。
2. 讲解质因数分解和交叉约简法。
3. 讲解因数分解的应用，如求最大公约数和最小公倍数等。
4. 练习相关题目，巩固所学知识。
第9-12课时：同余方程
1. 介绍同余方程的定义和基本性质。
2. 讲解同余方程的解法，如中国剩余定理等。
3. 讲解同余方程的应用，如密码学等。
4. 练习相关题目，巩固所学知识。
第13-16课时：平面几何的基本性质
1. 介绍平面几何的基本性质，如平行线、垂直线、相交线等。
2. 讲解三角形的性质，如三角形的内角和、外角定理等。
3. 讲解四边形的性质，如矩形、菱形、正方形的性质等。
4. 练习相关题目，巩固所学知识。
第17-20课时：几何证明
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全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第二十一讲分类与讨论
分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．
有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？
因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．
任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．
上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．
分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．
例1求方程
x2-│2x-1│-4=0
的实根．
x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0，
x 1＝3，x 2=-1．
说明 在去绝对值时，常常要分类讨论．
例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数．
解 由[x]的定义，可得
x ≥[x]=x 2-2，
所以 x 2-x -2≤0，
解此不等式得
-1≤x ≤2．
现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解．
(1)当-1≤x ≤0时，原方程为
x 2-(-1)=2，
所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)．
(2)当0≤x ＜1时，原方程为
x 2=2．
(3)当1≤x ＜2时，原方程为
x 2-1=2，
所以
(4)当x=2时，满足原方程．
例3 a是实数，解方程
x│x+1│+a=0．
分析方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x 的取值范围来求解．
解 (1)当x＜-1时，原方程变形为
x2＋x-a=0．①
当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为
(2)当x≥-1时，原方程为
x2＋x＋a=0．②
又x≥-1，即
综上所述，可得：当a＜0时，原方程的解为
例5已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求n的取值范围．
解设三角形的三个角度数分别是α，β，γ，且有α≥β≥γ．由题设α-γ=24．
(1)若β+γ=n，则α=180°-n，
γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n，
所以 104°≤n≤112°．
(2)若α＋γ=n，则β=180°-n，于是
所以
所以 112°≤n≤128°．
(3)若α＋β=n，则γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α
=2n-204°．于是
180°- n≤2n-204°≤204°-n，
所以 128°≤n≤136°．
综上所述，n的取值范围是104°≤n≤136°．
例6证明：若p是大于5的质数，则p2-1是24的倍数．
分析关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．
证把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类．
当p=6k＋1时，
p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．
因k，3k＋1中必有一个偶数，此时24│p2-1．
当p=6k＋5时，
p2-1=36k2＋60k＋24
＝12k2＋12k
=12k(k＋1)≡0(mod 24)．
所以，P2-1是24的倍数．
例7证明
A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
＝4max｛x，y，z｝，
其中max｛x，y，z｝表示x，y，z这三个数中的最大者．
分析欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x 为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得．
证 (1)当x≥y，x≥z时，
A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.
(2)当y≥z，y≥x时，
A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y．
(3)当z≥x，z≥y时，因为
│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，
所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
从而 A=4max｛x，y，z｝．
例8在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．
解两个小矩形的放置情况有如下几种：