全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第二十一讲分类与讨论
分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．
有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？
因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．
任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．
上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．
分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．
例1求方程
x2-│2x-1│-4=0
的实根．
x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0，
x 1＝3，x 2=-1．
说明 在去绝对值时，常常要分类讨论．
例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数．
解 由[x]的定义，可得
x ≥[x]=x 2-2，
所以 x 2-x -2≤0，
解此不等式得
-1≤x ≤2．
现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解．
(1)当-1≤x ≤0时，原方程为
x 2-(-1)=2，
所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)．
(2)当0≤x ＜1时，原方程为
x 2=2．
(3)当1≤x ＜2时，原方程为
x 2-1=2，
所以
(4)当x=2时，满足原方程．
例3 a是实数，解方程
x│x+1│+a=0．
分析方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x 的取值范围来求解．
解 (1)当x＜-1时，原方程变形为
x2＋x-a=0．①
当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为
(2)当x≥-1时，原方程为
x2＋x＋a=0．②
又x≥-1，即
综上所述，可得：当a＜0时，原方程的解为
例5已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求n的取值范围．
解设三角形的三个角度数分别是α，β，γ，且有α≥β≥γ．由题设α-γ=24．
(1)若β+γ=n，则α=180°-n，
γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n，
所以 104°≤n≤112°．
(2)若α＋γ=n，则β=180°-n，于是
所以
所以 112°≤n≤128°．
(3)若α＋β=n，则γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α
=2n-204°．于是
180°- n≤2n-204°≤204°-n，
所以 128°≤n≤136°．
综上所述，n的取值范围是104°≤n≤136°．
例6证明：若p是大于5的质数，则p2-1是24的倍数．
分析关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．
证把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类．
当p=6k＋1时，
p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．
因k，3k＋1中必有一个偶数，此时24│p2-1．
当p=6k＋5时，
p2-1=36k2＋60k＋24
＝12k2＋12k
=12k(k＋1)≡0(mod 24)．
所以，P2-1是24的倍数．
例7证明
A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
＝4max｛x，y，z｝，
其中max｛x，y，z｝表示x，y，z这三个数中的最大者．
分析欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x 为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得．
证 (1)当x≥y，x≥z时，
A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.
(2)当y≥z，y≥x时，
A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y．
(3)当z≥x，z≥y时，因为
│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，
所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
从而 A=4max｛x，y，z｝．
例8在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．
解两个小矩形的放置情况有如下几种：
(2)两个小矩形都“横放”，如图2-124及图2-125所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
2(a＋3a)＋2[1-a＋3(1-a)]＝8．
(3)两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图2-126，这时两个小矩形的周长和为
练习二十一
1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．
2．解关于x的不等式：a(ax-1)＞x-1.
3．解方程：││x-3│-2│=a．
4．解方程：x2-2[x]-3=0．
6．设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x2-bx＋a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．
7．x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2＋4x＋3的值不能同时是完全平方．。