北京市顺义区2013届高三第二次统练数学理试题(Word解析版)
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013年北京市各区高三二模试题汇编--数列(理科)
2013年北京市各区高三二模试题汇编--数列(理科)2013年北京市各区高三二模试题汇编--数列(理科)（2013年东城二模理科）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，若32a =，425S S =，则1a 的值为___12 _____，4S 的值为____152____ （2013年东城二模理科）在数列{}na 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n naa t aa +++-=（t为常数），则称数列{}na 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；新 课 标 第 一 网 ②若数列{}na 满足122n n a n -=，则数列{}na 是比等差数列，且比公差12t =； ③若数列{}nc 满足11c =，21c =，12nn n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n na b 是比等差数列．其中所有真命题的序号是_____①③ ___．（2013年西城二模理科）在等差数列{}na 中，25a=，1412a a+=，则na =______；设*21()1nn bn a =∈-N ，则数列{}nb 的前n 项和nS =______．(答案：21n +，4(1)n n +)(2013年海淀二模理科)已知数列{}na 是公比为q 的等比数列，且134a a⋅=，48a =，则1a q +的值为(D)A ．3B ．2C ．3或2-D ．3或(2013年丰台二模理科) 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的(C)（A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件(2013年海淀二模理科)若数列{}na 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n都有n Tnaa +=成立，则称数列{}na 为周期数列，周期为T . 已知数列{}na 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（D ） A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B.若m =则数列{}na 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}na 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}na 是周期数列(2013年朝阳二模理科)（14）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合nA 中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为kT （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12nnST T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A=，113T =+，213T=⨯，213137S=++⨯=.则当3n =时，3S = 63 ；试写出nS = (1)221n n +- ．(2013年顺义二模理科)已知数列{}na 中,54+-=n a n,等比数列{}nb 的公比q 满数列；④若{}na 是等差数列，{}nb 是等比数列，则数列{}n na b 是比等差数列．其中所有真命题的序号是 ①② .（2013年东城二模理科）（本小题共13分）已知数列{}na ，11a =，2nnaa =，41n a-=，411n a +=（*n ∈N ）．（1）求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=； ⑶设3122310101010n na a a aS =+++++，问S 是否为有理数，说明理由 解：（Ⅰ）4211aa a ===；74210aa ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=． 设T 为其中最小的正整数． 若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t aa a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ），则22n Tn na a a +==，而222n Tn t n taa a +++==从而n tnaa +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=． （Ⅲ）若S 为有理数，即S 为无限循环小数， 则存在正整数0N ，T ，对任意的*n ∈N ，且0n N ≥，有n T naa +=．与（Ⅱ）同理，设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 当041n N +≥时，有41414124()10n n T n T n t aa a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 当0n N ≥时，有22n Tn naa a +==，而222n Tn t n taa a +++==从而n tnaa +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．故S 不是有理数． ……………13分（2013年西城二模理科）（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,nn nSx x x x x x =是正整数1,2,3,,n的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)nna a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称ib 为ia 的满意指数．排列12,,,nb b b 为排列12,,,na a a 的生成列；排列12,,,na a a 为排列12,,,nb b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,na a a 和12,,,na a a '''为nS 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于nS 中的排列12,,,na a a ，定义变换τ：将排列12,,,na a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,na a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．20.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,na a a 的生成列是12,,,nb b b ；12,,,na a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,na a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为ka 与ka '，即：nnaa '=，11n na a --'=，，11k ka a ++'=，kkaa '≠．显然n n b b '=，11n nb b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k kb b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，ia 的满意指数为排列12,,,na a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,na a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比ka 小，则有1k l --项比ka 大，从而(1)21kbl k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比ka '小，则有1k l '--项比ka '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,ka a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且kkaa '≠，所以 l l '≠， 从而 kkb b '≠． 所以排列12,,,na a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,na a a 的生成列为12,,,nb b b ，且ka 为12,,,na a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,na a a 变换为1211,,,,,,kk k na a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''．所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为ia 的满意指数1ib i ≤-，其中1,2,3,,i n=，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n n n -++++-=，即整个排列的各项满意指数之和为有限数， 所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分（2013年海淀二模理科）20. （本小题满分13分） 设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，22221212a a a a a a a a ------能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 20.（I ）解：法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1;①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以 12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a-≥，解得0,1a =-当52a ≥时，则接下来操作第二行 22221212a a a a a a a a ------ 此时第4列和为负，不符合题意. ………………6分 ② 如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数， 所以此时必须有2220a-≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-经检验，0a =或1a =-符合要求 综上：0,1a =- …………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013年北京高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （ ）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2） 故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____． 【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易 【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ， 即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )． 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1） （Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2） 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6） 由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． （步骤3） 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点． （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2） （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4） 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1） （Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0， 所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3） 又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4） （Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5） 假设{}n a (n …2)中存在大于2的项． 设m 为满足m a ＞2的最小正整数， 则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6） 又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7） 因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8） 故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013顺义区高三二模数学(理科)
2013顺义区高三二模数学（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1]B．（﹣3，1）C．[1，2） D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）2．（5分）复数=（）A．B．C．D．3．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B． C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．55．（5分）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B． C．D．8．（5分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O 到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．（5分）的展开式中含x5的项的系数为（用数字作答）．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC=，△ABC的面积S=．11．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE=．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h=m．13．（5分）已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．14．（5分）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．16．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．17．（13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．18．（13分）已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．20．（13分）已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f （x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【解答】由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．故选A．2．【解答】．故选B．3．【解答】点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．4．【解答】按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．5．【解答】q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．【解答】∵变量x，y满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选：C．7．【解答】如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．8．【解答】由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．【解答】由题意可得，的展开式的通项为T r+1==令9﹣2r=5可得r=2即展开式中含x5的项的系数为=36故答案为：3610．【解答】△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得c=．再由正弦定理可得，即，解得sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．11．【解答】由相交弦定理得BF•AF=DF•FC，∵，∴，解得BF=1，∴AF=2．∵CE与圆相切，∴由切割线定理可得CE2=BE•EA，∴，∵BE＞0，解得BE=．12．【解答】由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．13．【解答】∵椭圆的焦点为（±，0）∴双曲线的顶点为（±，0），离心率为，∴a=，，∴c=2，∴b==∴该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．故答案为：．14．【解答】∵x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＜0∴x∈（0，），函数单调增，x∈（，π），函数单调减．∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=cosx和y=f（x）草图如下，由图知y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．【解答】（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）16．【解答】（I）证明：在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1．∵AA1=AD，∴四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1，又A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．又，∴四边形A1B1CD为平行四边形．又E在CD上，∴AD1⊥平面A1B1E；（II）取AB1的中点为N，连接NF．∵F为AA1的中点，∴，∵E为CD的中点，∴，而，∴，因此四边形NEDF为平行四边形，∴DF∥NE，而NE⊂平面AB1E，DF⊄平面AB1E．∴DF∥平面AB1E．（III）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E，B1（a，0，1）．则，，．由（I）可知AD1⊥平面A1B1E，∴是平面A1B1E的一个法向量．设平面AB1E的一个法向量为，则，得．令x=1，则，z=﹣a，∴．∴==．因为二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，∴，解得a=1，即AB的长为1．17．【解答】（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，解得x=0.06．500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）．（II）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，=，，=．故X的分布列为∴EX===．18．【解答】f′（x）=．（I）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此a﹣a+1=0，解得a=．经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为．…（4分）（II）f′（x）=（a＞0），令f′（x）=0得ax2﹣2ax+1=0…①（i）当△=（﹣2a）2﹣4a＞0，即a＞1时，方程①两根为x1==，x2=．此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：（﹣∞，）（，）（，+∞）所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（，+∞）；f（x）的单调递减区间为（，）．（ii）当△=4a2﹣4a≤0时，即0＜a≤1时，ax2﹣2ax+1≥0，即f′（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…（13分）19．【解答】（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．解得a=2，c=1，又b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．①则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，∴，．所以点M的坐标为．∵M，O，P三点共线，∴k OM=k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，则△=3（12﹣m2）＞0，得．x1+x2=m，．∴|AB|2==，又=，∴==，故当时，的最大值为．20．【解答】（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x﹣f（x）+即m＜x﹣，令h（x）=x﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）。
2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
北京市顺义区2013届高三第二次统练理科综合试题.pdf
C. 向淀粉碘化钾溶液中滴加稀硫酸，在空气中放置一段时间后变蓝：
4H+ + 4I- + O2==2 I2 + 2H2O
D. 服用阿司匹林过量出现水杨酸（
）反应，可静脉注滴NaHCO3溶液
+ 2 HCO3－ →+ 2 CO2↑ + 2 H2O
10. 用下图所示装置进行实验，将少量液体甲逐滴加入到固体乙中，试管中试剂为丙，则下表中正确的是选项甲乙
战机着舰时与尾钩完全咬合后，在短短数秒内使战机速度从数百公里的时速减少为零，并使战机滑行距离不超过百米
．(g取10m/s2)
(1)设歼—15飞机总质量，着陆在甲板的水平部分后在阻拦索的作用下，速度由=100m/s滑行50m后停止下来，水平
方向其他作用力不计，此过程可视为匀减速运动．求阻拦索对飞机的水平作用力F；
②在图（乙）所示的电路中，为了便于实验的调节，滑动变阻器R1应选
（选填：“滑动变阻器A”或“滑动变阻器B”）。为了保证实验操作过程的安全（即使滑动变阻器R1的阻值调为
0，也不会烧坏电流表），并便于实验调节，定值电阻器R3的阻值应选 （填选项前的字母）。
A．100Ω B．1kΩ C. ６kΩ D. 10kΩ
17. 我国的航天事业发展迅速，到目前为止，我们不仅有自己的同步通信卫星，也有自主研发的“神舟”系列飞船
，还有自行研制的全球卫星定位与通信系统（北斗卫星导航系统)。其中“神舟”系列飞船绕地球做圆轨道飞行的高度
仅有几百千米；北斗卫星导航系统的卫星绕地球做圆轨道飞行的高度达2万多千米。对于它们运行过程中的下列说法正
开始振动，图乙为质点P的振动图像。下列判断正确的是
A．该波的波速为2m/s，t=2s时刻振源O的振动方向沿y轴正方向
2013年北京市顺义区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)
2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x ∈R|2x +1<0}，B ={(x +1)(x −2)<0}，则A ∩B =( ) A.(−∞, −1) B.(−1, −12)C.(−12,2)D.(2, +∞)2. 在复平面内，复数1−2i 2+i对应的点的坐标为（ ）A.(0, −1)B.(0, 1)C.(45, −35)D.(45, 35)3. 参数方程{x =2−ty =−1−2t （为参数）与极坐标方程ρ=sin θ所表示的图形分别是（ ）A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线4. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(−2, k)且a →⊥(2a →−b →)，则实数k ＝（ ） A.−14 B.−6C.6D.145. 如图，AB ，AC 分别与圆O 相切于点B ，C ，ADE 是⊙O 的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE ．则（ ）A.AB 2=AD ⋅DEB.CD ⋅DE =AC ⋅CEC.BE ⋅CD =BD ⋅CED.AD ⋅AE =BD ⋅CD6. 从0，1中选一个数字，从2，4，6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A.36 B.30 C.24 D.127. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ．若圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是（ ） A.[2√2, 2√5] B.(2√2, 3√2] C.(3√2, 2√5] D.(0, 2√2)∪(2√5, +∞)8. 已知函数f(x)=sin (2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π)．则下列结论正确的是（ ） A.f(1112π)=−1B.f(7π10)>f(π5)C.f(x)是奇函数D.f(x)的单调递增区间是[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．在△ABC 中，若b =4，cos B =−14，sin A =√158，则a =________，c =________．如图是根据50个城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5, 26.5]，样本数据的分组为[20.5, 21.5),[21.5, 22.5),[22.5, 23.5),[23.5, 24.5),[25.5, 26.5]，由图中数据可知a =________；样本中平均气温不低于23.5∘C的城市个数为________．已知定义域为R的偶函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，且f(12)=2，则不等式f(2x)>2的解集为________．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120∘，那么|PF|=________．函数B1的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)= x+1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)=x2−2x(x∈R)是单函数；②函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2是单函数；③若y=f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)−cos(2ωx+π6)+1−2sin2ωx，(x∈R, ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f(x)在区间[−π4, π3]上的最大值和最小值．已知{a n}为等差数列，且a2=−1，a5=8．（1）求数列{|a n|}的前n项和；（2）求数列{2n⋅a n}的前n项和．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中两次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX；（3）求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．设函数f(x)=13x3−ax(a>0)，g(x)＝bx2+2b−1．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求a，b的值；(Ⅱ)当a＝1−2b时，若函数f(x)+g(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(Ⅲ)当a＝1−2b＝1时，求函数f(x)+g(x)在区间[t, t+3]上的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M:x2+y2+6x−2y+7=0相切．过点(0, −12)的直线与椭圆C交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点(n, S n)在函数y＝2x+1−2的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n}满足：b1＝0，b n+1+b n＝a n，求数列{b n}的前n项和公式；(Ⅲ)在第(II)问的条件下，若对于任意的n∈N∗不等式b n<λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先解不等式求出集合A和B；再由交集定义求出结论．【解答】解：∵集合A={x∈R|2x+1<0}={x|x<−12}B={(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}∴A∩B={x|x<−12}∩{x|−1<x<2}=(−1, −12)故选B．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】化简复数1−2i2+i，它在复平面内的对应点为(0, 1)，由此求得结果．【解答】复数1−2i2+i =(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5i5=−i，它在复平面内的对应点为(0, −1)，3.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形；将参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数）的参数方程消去参数后化成直角坐标方程即可得到结论．【解答】解：∵曲线的参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数），消去参数t得：2x−y−5=0．∴它所表示的图形是直线．∵ρ=sinθ∴ρ2=ρsinθ∴x2+y2=y∴直角坐标方程为x2+y2−y=0∴它所表示的图形是圆故选B．4.【答案】D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知易得2a→−b→的坐标，由成立垂直的充要条件可得关于k的方程，解之即可．【解答】∵a→=(2, 1)，b→=(−2, k)，∴2a→−b→=(6, 2−k)，又∵a→⊥(2a→−b→)，∴2×6+1×(2−k)＝0，解得k＝145.【答案】C【考点】与圆有关的比例线段【解析】由已知中AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，根据切割线定理，及相似三角形性质（对应边成比例），逐一分析四个答案，可得结论．【解答】解：∵AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，由切割线定理可得AB2=AD⋅AE，故A不正确，D不正确；由△ACD∽△AEC，可得CD⋅AE=AC⋅CE，故B不正确；由△ACD∽△AEC，可得AD⋅CE=AC⋅CD，由△ABD∽△AEB，可得AD⋅BE=AB⋅BD，又因为AB=AC，故BE⋅CD=BD⋅CE，故C正确故选C6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先选后排，特殊元素和特殊位置优先安排的原则即可得出．【解答】解：分以下两类：①当从0，1中选一个数字为0时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则0不能在首位，共可组成C32C21A22=12个偶数；②当从0，1中选一个数字为1时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则1不能放在末位，共可组成C32C21A22=12个偶数．综上可知：共有12+12=24个偶数．故选C．7.【答案】D【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以(−1, −1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵圆C：(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)，表示以C(−1, −1)为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM=√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP=√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r<2√2或r>2√5时，圆C不经过区域D上的点故选：D8.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用正弦函数的单调性【解析】根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．【解答】解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z．不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．∴D√；故选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）【答案】−2【考点】程序框图【解析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：由程序框图，知：第一次循环：i=1+1=2，S=3−13+1=12；第二次循环：i=2+1=3，S=12−112+1=−13；第三次循环：i=3+1=4，S=−13−1−13+1=−2．结束循环，输出S=−2．故答案为：−2．【答案】 2,3【考点】 正弦定理同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin B =√154且B 为钝角，cos A =78，再利用诱导公式求得sin C 的值，再利用正弦定理求得a 、c 的值． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，b =4，cos B =−14，sin A =√158，∴ sin B =√154 且B 为钝角， ∴ cos A =78，sin C =sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =√158×(−14)+78×√154=3√1516． 由正弦定理可得4sin B=a sin A=c sin C，即√154=√158=3√1516，∴ a =2，c =3，故答案为2，3． 【答案】 0.18,33【考点】频率分布直方图 【解析】先由样本的频率分布直方图，结合总的概率和为1求出a ，再求出平均气温低于23.5∘C 的城市频率，利用频数=频率×样本容量求解平均气温不低于23.5∘C 的城市个数即可． 【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a =1−1×(0.10+0.12+0.12+0.22+0.26)=0.18．平均气温低于23.5∘C 的频率，即最右边三个矩形面积之和为0.18+0.22+0.26=0.66， ∵ 总城市数为50，∴ 平均气温不低于23.5∘C 的城市个数为50×0.66=33． 故答案为：0.18；33．【答案】 (−1, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合 其他不等式的解法 【解析】根据偶函数性质可知f(−12)=2，及f(x)在[0, +∞)上是增函数，利用函数单调性即可求得不等式的解集． 【解答】解：因为f(x)为偶函数，且f(12)=2，所以f(−12)=2， 又f(x)在(−∞, 0]上是减函数，所以f(x)在[0, +∞)上是增函数，由f(2x )>2得，2x >12或2x <−12（舍），由2x >12解得x >−1．所以不等式f(2x )>2的解集为(−1, +∞)． 故答案为：(−1, +∞)． 【答案】 4【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P 的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P 的横坐标，从而可求得|PA|． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴ |PF|=|PA|，F(1, 0)，准线l 的方程为：x =−1； 设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ， 依题意，∠AFF′=60∘，|FF′|=2，∴ |AF′|=2√3，PA // x 轴，∴ 点P 的纵坐标为2√3，设点P 的横坐标为x 0，则(2√3)2=4x 0， ∴ x 0=3，∴ |PF|=|PA|=x 0−(−1)=3−(−1)=4．故答案为：4．【答案】③【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据已知中“单函数”的定义，可得函数f(x)为单函数时，对任意x1≠x2，均有f(x1)≠f(x2)成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．【解答】解：①中函数f(x)=x2−2x(x∈R)，当x=0或x=2时，f(x)=0，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；②中函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2，当x=0或x=4时，f(x)=2，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；③由“单函数”的定义可得f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)成立，故③为真命题④中函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题只有③故答案为：③三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【考点】求两角和与差的正弦正弦函数的奇偶性正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为√2sin(2ωx+π4)，由此根据函数的周期求得ω的值．（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，再根据−π4≤x≤π3，求得函数的最值．【解答】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a2=−1，a5=8，所以{a1+d=−1a1+4d=8解得a1=−4，d=3，…所以a n=−4+3(n−1)=3n−7，…因此|a n|=|3n−7|={−3n+7,n=1,23n−7,n≥3…记数列{|a n|}的前n项和为S n，当n=1时，S1=|a1|=4，当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5，当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+...+|a n|=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n−7)=5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n2−112n+10，又当n=2时满足此式，综上，S n={4,n=132n2−112n+10，n≥2…（2）记数列{2n a n}的前n项和为T n，由（1）可知，a1=−4，d=3，a n=3n−7，则T n=2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n，①2T n=22a1+23a2+24a3+⋯+2n a n−1+2n+1a n，②①-②可得−T n=2a1+d(22+23+⋯+2n)−2n+1a n=−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n−7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n−7)=−20−(3n−10)2n+1，故T n=20+(3n−10)2n+1…【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=−1，a 5=8，利用等差数列的通项公式能求出a n ，由此能求出数列{|a n |}的前n 项和；（2）记数列{2n a n }的前n 项和为T n ．则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，由错位相减法可求和． 【解答】 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2=−1，a 5=8，所以{a 1+d =−1a 1+4d =8解得a 1=−4，d =3，…所以a n =−4+3(n −1)=3n −7，… 因此|a n |=|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3…记数列{|a n |}的前n 项和为S n ， 当n =1时，S 1=|a 1|=4，当n =2时，S 2=|a 1|+|a 2|=5，当n ≥3时，S n =S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) =5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10，又当n =2时满足此式，综上，S n ={4,n =132n 2−112n +10，n ≥2…（2）记数列{2na n }的前n 项和为T n ，由（1）可知，a 1=−4，d =3，a n =3n −7， 则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，①2T n =22a 1+23a 2+24a 3+⋯+2n a n−1+2n+1a n ，② ①-②可得−T n =2a 1+d(22+23+⋯+2n )−2n+1a n =−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n −7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n −7) =−20−(3n −10)2n+1， 故T n =20+(3n −10)2n+1…【答案】 解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D) =34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716． （2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18，P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14，P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38， 故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2， 则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）该射手恰好命中两次共有C 32=3种情况，根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可．（3）该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次可分为以下两种情况：“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”事件，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”事件，且上述两种事件互斥，利用相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式解出即可．【解答】 解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D)=34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716． （2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18， P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14， P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38， 故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2， 则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12．【答案】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ， 解得a =13,b =13． (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)， 当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)， 故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增， 而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5； ④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5． 【考点】 函数的零点利用导数研究函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I ）求出f ′(x)，g ′(x)，由题意得f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，解该方程组即可； (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在(−2, 0)内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可； (III)当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调区间及极值点，按照在区间[t, t +3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值； 【解答】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ，解得a =13,b =13．(II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)， 当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)， 故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增， 而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5；④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5．【答案】 解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0． 由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3，解得c =√2或c =−√2（舍去）． 当c =√2时，a 2=c 2+1=3， 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12． 因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点． 由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k 1+3k 2，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k ．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k2，则0<t ≤1且k 2=13t−13，S =94t ⋅√43t−13=94√4t 3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大， 此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12． 【考点】圆锥曲线的综合问题 直线的一般式方程 椭圆的标准方程【解析】（1）写出直线AF 的方程，由直线AF 与圆M 相切得关于c 的方程，解出c 再由a 2=c 2+b 2即可求得a 值； （2）易判断直线PQ 的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ ，根据点到直线的距离公式表示出点A(0, 1)到直线PQ 的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ 的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k 的值；【解答】 解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0．由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3， 解得c =√2或c =−√2（舍去）． 当c =√2时，a 2=c 2+1=3， 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12． 因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点． 由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k1+3k ，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k 2．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k 2，则0<t ≤1且k 2=13t −13，S =94t ⋅√43t −13=94√4t3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大， 此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12．【答案】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式， 所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)． 当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1=2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0，所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43． 故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b nbn+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b n b n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nb n+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1，故实数λ的取值范围是(1, +∞)． 【考点】 数列的求和 数列的函数特性等差数列与等比数列的综合【解析】（I ）由题意可知S n =2n+1−2，分当n ＝1，和n ≥2两种情况，可得数列{a n }的通项公式；第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页(II)可得b n+1+b n =2n ，分n 为奇数和n 为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，分当n 为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得b nbn+1的最大值是1，进而可得结论． 【解答】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式， 所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)． 当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0， 所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43． 故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b nb n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nbn+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1， 故实数λ的取值范围是(1, +∞)．。
2013年北京高三(二模)数学(理)分类汇编系列三解析版9圆锥曲线
【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线24yx =焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,则AB 的中点到y 轴的距离等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D抛物线24y x =的焦点（1，0），准线为l ：1x =-，设AB 的中点为 E ，过 A 、E 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C 、F 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：则由EF 为直角梯形的中位线知522AC BD ABEF +===，所以1514EH EF =-=-=,即则B 的中点到y轴的距离等于4．选D.2．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3)【答案】A双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22bx x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80ba∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。
所以此双曲线的离心率的取值范围是[3,)+∞，选A.3 ．（2013北京海淀二模数学理科）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．1C ．1D ．2+【答案】B抛物线的焦点为(1,0)，即2(1,0)F ,所以双曲线中1c =。
双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，（不妨设在第一象限）若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。
北京市顺义区2013届高三数学第二次统练-理科
17.(本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征
召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者 中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方 图如图所示,其中年龄分组区间是: . 20,25, 25,30, 30,35, 35,40, 40,45
-6-
(I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在35,40岁的人数;
A. 3,1
B. 3,1
C. 1,2
D. ,2 3,
2.复数 3 2i 1 i
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 1 5 i 22
B. 1 5 i 22
C. 1 5 i 22
D. 1 5 i 22
3.在极坐标系中,直线 l 的方程为 sin 2 ,则点 4 2
A2, 3 到直线l 的距离为 4
(II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层 抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动, 再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名 志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄 低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.
频率/ 0.07
x 组距
0.04 0.02 0.01
-5-
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写
出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 f x 3 cos x sin x sin 2x 1 .
2 cos x
2
(I)求 f 的值; 3
(II)求函数 f x的最小正周期及单调递减区间.
A1
线 l 的距离为 d ,且 M ,O, P 三点共线.求 12 AB 2 13 d 2 的最
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 答案 A解析 化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．2．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 由已知得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l .5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5中含x 2的项为：(C 25＋C 15a )x 2，即C 25＋C 15a ＝5，a ＝－ 1.6．执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 B解析 k ＝1，T ＝11，S ＝1，k ＝2，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，…由于N ＝10，即k >10时，结束循环，共执行10次．所以输出S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！.7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为()答案 A解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O －ABC 的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图，所以选A.8．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c 答案 D解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c.（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1(D)210．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 若c ＝0，则有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0 )单调递减是错误的，D 正确．选C.11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.12．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎭⎫1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 答案 B二、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.14．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________. 答案 8解析 由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n＝n (n －1)2＝2÷114＝28，∴n ＝8.15．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即{ 3sin θ＝－cos θ，2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ，∴d ＝23，a 1＝－3.∴nS n ＝n ·⎝⎛⎭⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， f ′(n )＝13n (3n －20)．由函数的单调性知f (6)＝－48，f (7)＝－49. ∴nS n 的最小值为－49.三、解答题17．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．(1)证明 连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则{n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即{ x 1＋y 1＝0，x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则{m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝{ 800X －39 000，100≤X <130，，130≤X ≤150. (2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×20．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x－1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1，令1)1()(-+=x e x g x ，则0)2()(>+='x e x g x ，又0)0(=g显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 令g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0，所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ， 当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0.22．[选修4－1]几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．(1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解 连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.23．[选修4－4]坐标系与参数方程已知动点P 、Q 都在曲线C ：{ x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．[选修4－5]不等式选讲设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.。
2013高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析)
2013年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）A.(−3, 1]B.(−3, 1)C.[1, 2)D.(−∞, 2)∪[3, +∞)2. 复数3−2i1+i=()A.1 2+52i B.12−52i C.−12+52i D.−12−52i3. 在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=√22，则点A(2, 3π4)到直线l的距离为（）A.√2B.√22C.2−√22D.2+√224. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.−10B.−3C.4D.55. 已知数列{a n}中，a n=−4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n−a n−1(n≥2)，且b1=a2，则|b1|+ |b2|+...+|b n|=()A.1−4nB.4n−1C.1−4n3D.4n−136. 设变量x，y满足约束条件{x+2y≥22x+y≤44x−y≥−1，则23x−y的取值范围是（）A.[√24，12] B.[12，64] C.[√24，64] D.[164，2√2]7. 已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→=λAB→，AQ→=(1−λ)AC→，λ∈R，则BQ→⋅CP→的最大值为()A.32B.−32C.38D.−388. 设m，n∈R，若直线l:mx+ny−1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为√3，则△AOB的面积S的最小值为（）A.12B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）(x−1x)9的展开式中含x5的项的系数为________（用数字作答）．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A=13，∠B=π4，b=5，则sin C=________，△ABC的面积S=________．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=√2，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=√72，则BE=________．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则ℎ=________m．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2√63，顶点与椭圆x28+y25=1的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0, π]时，0<f(x)<1；当x∈(0, π)且x≠π2时，(x−π2)f′(x)<0．则函数y=f(x)−cos x在[−3π, 3π]上的零点个数为________．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=(√3cos x−sin x)sin2x2cos x +12．（1）求f(π3)的值；（2）求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（1）求证：AD1⊥平面A1B1E；（2）求证：DF // 平面AB1E；（3）若二面角A−B1E−A1的大小为45∘，求AB的长．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20, 25),[25, 30),[30, 35),[35, 40),[40, 45]．(Ⅰ)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35, 40)岁的人数；(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X 的分布列及数学期望．已知函数f(x)=e x1+ax2，其中a为正实数，e=2.718…．(I)若x=12是y=f(x)的一个极值点，求a的值；(II)求f(x)的单调区间．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点P的坐标为(2, 1)，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求1213|AB|2+1316d2的最大值．已知函数f(x)=2ae x+1，g(x)=ln x−ln a+1−ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g(x)的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1 // l2．（1）若对任意的x∈[1, 5]，不等式x−m>√xf(x)−√x成立，求实数m的取值范围．（2）对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x．我们把|f(x0)−g(x0)|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2．参考答案与试题解析2013年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】由x2−4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．所以B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}＝{x∈R|x≤1或x≥3}，又A＝{x∈R|−3<x<2}，所以A∩B＝{x∈R|−3<x<2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}＝{x|−3<x≤1}．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数的除法运算进行化简．【解答】3−2i 1+i =(3−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−5i2=12−52i．3.【答案】B【考点】点的极坐标和直角坐标的互化点到直线的距离公式【解析】把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．【解答】点A(2,3π4)的直角坐标为(−√2, √2)，直线：l:ρsin(θ+π4)=√22即ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x+y−1＝0．由点到直线的距离公式得d=√2+√2−1|√1+1=√22，4.【答案】A【考点】程序框图【解析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】按照程序框图依次执行为k＝1，S＝1；S＝2×1−1＝1，k＝2；S＝2×1−2＝0，k＝3；S＝2×0−3＝−3，k＝4；S＝2×(−3)−4＝−10，k＝4≥5，退出循环，输出S＝−10．5.【答案】B【考点】数列的求和【解析】先由a n=−4n+5及q=a n−a n−1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+...+|b n|．【解答】解：q=a n−a n−1=(−4n+5)−[−4(n−1)+5]=−4，b1=a2=−4×2+5=−3，所以b n=b1⋅q n−1=−3⋅(−4)n−1，|b n|=|−3⋅(−4)n−1|=3⋅4n−1，所以|b1|+|b2|+...+|b n|=3+3⋅4+3⋅42+...+3⋅4n−1=3⋅1−4n1−4=4n−1，故选B．6.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x−y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x−y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件{x+2y≥22x+y≤44x−y≥−1，设目标函数为：z=3x−y，直线4x−y+1=0与x+2y−2=0交于点A(0, 1)，直线2x+y−4=0与x+2y−2=0交于点C(2, 0)，直线4x−y+1=0与2x+y−4=0交于点B( 12, 3)，分析可知z在点B处取得最小值，z min=3×12−1=−32，z 在点C 处取得最大值，z max =3×2−0=6， ∴ −32≤3x −y ≤6， ∴√24≤23x−y ≤64．故选：C ．7.【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平面向量数量积的运算 向量的三角形法则【解析】利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值． 【解答】解：如图所示，BQ →⋅CP →=(BA →+AQ →)⋅(CA →+AP →) =[BA →+(1−λ)AC →]⋅(CA →+λAB →)=AB →⋅AC →−λAB →2+(λ−1)AC →2+λ(1−λ)AB →⋅AC →=(λ−λ2+1)×1×1×cos 60∘−λ+λ−1 =12(−λ2+λ)−12=−12(λ−12)2−38，(0≤λ≤1)． 当λ=12时，则BQ →⋅CP →的最大值为−38． 故选D ． 8. 【答案】 C【考点】点到直线的距离公式 三角形求面积 【解析】由距离公式可得m 2+n 2=13，面积为S =12⋅|1m ||1n |=12|mn|，由基本不等式可得答案． 【解答】解：由坐标原点O 到直线l 的距离为√3，可得√m 2+n 2=√3，化简可得m 2+n 2=13，令x =0，可得y =1n ，令y =0，可得x =1m ， 故△AOB 的面积S =12⋅|1m||1n|=12|mn|≥1m +n =3，当且仅当|m|=|n|=√66时，取等号， 故选C二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上） 【答案】 36【考点】二项式系数的性质 【解析】先求出(x −1x )9的展开式的通项为T r+1=C 9r x 9−r (−1x )r =(−1)r C 9r x 9−2r，然后令9−2r =5可求r ，代入即可求解 【解答】解：由题意可得，(x −1x )9的展开式的通项为T r+1=C 9r x 9−r (−1x )r =(−1)r C 9r x 9−2r令9−2r =5可得r =2即展开式中含x 5的项的系数为C 92=36 故答案为：36 【答案】4+√26,100+25√29【考点】 正弦定理 三角形求面积同角三角函数间的基本关系【解析】利用同角三角函数的基本关系求得sin A ，利用正弦定理求得a 的值，再由余弦定理求出c ，再由正弦定理求得sin C 的值．从而求得△ABC 的面积S =12ab ⋅sin C 的值． 【解答】解：△ABC 中，由cos A =13，可得sin A =2√23．由正弦定理可得 asin A=bsin B ，即 2√23=5sin π4，解得a =203．再由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cos A ，即 4009=25+c 2−10c ⋅13，解得 c =5+10√23． 再由正弦定理可得 csin C =asin A ，即5+10√23sin C =2032√23，解得 sin C =4+√26．故△ABC 的面积S =12ab ⋅sin C =12×203×5×4+√26=100+25√29， 故答案为 4+√26，100+25√29． 【答案】12【考点】与圆有关的比例线段 【解析】利用相交弦定理可得BF ⋅AF =DF ⋅FC ，解出BF ；再利用切割线定理可得CE 2=BE ⋅EA ，解得BE ． 【解答】解：由相交弦定理得BF ⋅AF =DF ⋅FC ， ∵ DF =CF =√2，AF =2BF ，∴ 2BF 2=(√2)2，解得BF =1，∴ AF =2． ∵ CE 与圆相切，∴ 由切割线定理可得CE 2=BE ⋅EA ，∴ (√72)2=BE ⋅(BE +1+2)，∵ BE >0，解得BE =12． 故答案为12． 【答案】 4【考点】由三视图求体积 【解析】由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出ℎ即可． 【解答】解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱， 几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和， 所以：2×2+52×4+(2+4+5+√32+42)×ℎ=92，解得ℎ=4． 故答案为：4． 【答案】 (±2√2，0),y =±√153x 【考点】 双曲线的特性 【解析】求得椭圆的焦点，求得双曲线的顶点，从而可得几何量，即可求得双曲线的焦点坐标、渐近线方程． 【解答】解：∵ 椭圆x 28+y 25=1的焦点为(±√3, 0)∴ 双曲线的顶点为(±√3, 0)，离心率为2√63， ∴ a =√3，3=2√63， ∴ c =2√2，∴ b =√c 2−a 2=√5∴ 该双曲线的焦点坐标为 (±2√2，0)，渐近线方程为 y =±√153x ． 故答案为：(±2√2，0)，y =±√153x ． 【答案】6【考点】根的存在性及根的个数判断 导数的运算 【解析】根据x ∈[0, π]时，0<f(x)<1；当x ∈(0, π)且x ≠π2时，(x −π2)f′(x)<0，确定函数的单调性，再利用函数的图形，即可得到结论． 【解答】解：∵ x ∈(0, π) 且x ≠π2时，(x −π2)f′(x)<0 ∴ x ∈(0, π2)，函数单调增，x ∈( π2, π)，函数单调减．∵ x ∈[0, π]时，0<f(x)<1，在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y =cos x 和y =f(x)草图如下，由图知y=f(x)−cos x在[−3π, 3π]上的零点个数为6个．故答案为：6．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）由函数的解析式可得f(π3)=(√3cosπ3−sinπ3)sin(2×π3)2cosπ3+12=(√3×12−√3)×√322×12+12=0+12=12．…（2）∵cos x≠0，得x≠kπ+π2，(k∈z)故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2, (k∈z)}．因为f(x)=(√3cos x−sin x)sin2x2cos x +12=sin x(√3cos x−sin x)+12=√32sin2x−sin2x+12=√32sin2x−1−cos2x2+12=√32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π．由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，x≠kπ+π2，k∈z，得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，x≠kπ+π2，k∈z，所以，f(x)的单调递减区间为（kπ+π6, kπ+π2），（kπ+π2, kπ+2π3），k∈z．…【考点】求二倍角的余弦求两角和与差的正弦求二倍角的正弦正弦函数的单调性【解析】（1）把x=π3直接代入函数的解析式，化简求得f(π3)的值．（2）由cos x≠0，得x≠kπ+π2，(k∈z)．化简函数的解析式为sin(2x+π6)，从而求得f(x)的最小正周期．再由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，x≠kπ+π2，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．【解答】解：（1）由函数的解析式可得f(π3)=(√3cosπ3−sinπ3)sin(2×π3)2cosπ3+12=(√3×12−√3)×√322×12+12=0+12=12．…（2）∵cos x≠0，得x≠kπ+π2，(k∈z)故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2, (k∈z)}．因为f(x)=(√3cos x−sin x)sin2x2cos x+12=sin x(√3cos x−sin x)+12=√32sin2x−sin2x+12=√32sin2x−1−cos2x2+12=√32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π．由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，x≠kπ+π2，k∈z，得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，x≠kπ+π2，k∈z，所以，f(x)的单调递减区间为（kπ+π6, kπ+π2），（kπ+π2, kπ+2π3），k∈z．…【答案】（1）证明：在长方体体ABCD−A1B1C1D1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1．∵AA1=AD，∴四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1，又A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．又A1B1= // CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形．又E在CD上，∴AD1⊥平面A1B1E；（2）取AB1的中点为N，连接NF．∵F为AA1的中点，∴NF= // 12A1B1，∵E为CD的中点，∴DE=12CD，而CD= // A1B1，∴NF= // DE，因此四边形NEDF 为平行四边形，∴ DF // NE ，而NE ⊂平面AB 1E ，DF ⊄平面AB 1E ． ∴ DF // 平面AB 1E ．（3）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，设AB =a ， 则A(0, 0, 0)，D(0, 1, 0)，D 1(0, 1, 1)，E(a2，1，0)，B 1(a, 0, 1)． 则AD 1→=(0,1,1)，AB 1→=(a,0,1)，AE →=(a 2,1,0)． 由（1）可知AD 1⊥平面A 1B 1E ， ∴ AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量． 设平面AB 1E 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅AE →=0˙，得{ax +z =0a2x +y =0．令x =1，则y =−a 2，z =−a ， ∴ n →=(1,−a2,−a)．∴ |cos <n →，AD 1→>|=|n →||AD 1→|˙=|−a 2−a|√2×√1+a 24+a 2．因为二面角A −B 1E −A 1的大小为45∘， ∴3a 2⋅=√22， 解得a =1，即AB 的长为1．【考点】直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法 【解析】（1）利用长方体的性质可得A 1B 1⊥AD 1．由于侧面四边形ADD 1A 1为正方形，可得对角线A 1D ⊥AD 1，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取AB 1的中点为N ，连接NF ．利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到四边形NEDF 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；（3）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出． 【解答】（1）证明：在长方体体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， ∵ A 1B 1⊥平面A 1ADD 1， ∴ A 1B 1⊥AD 1． ∵ AA 1=AD ，∴ 四边形ADD 1A 1为正方形， ∴ A 1D ⊥AD 1， 又A 1B 1∩A 1D =A 1， ∴ AD 1⊥平面A 1B 1D ． 又A 1B 1= // CD ，∴ 四边形A 1B 1CD 为平行四边形． 又E 在CD 上，∴ AD 1⊥平面A 1B 1E ；（2）取AB 1的中点为N ，连接NF ． ∵ F 为AA 1的中点，∴ NF = // 12A 1B 1，∵ E 为CD 的中点，∴ DE =12CD ，而CD = // A 1B 1， ∴ NF = // DE ，因此四边形NEDF 为平行四边形，∴ DF // NE ，而NE ⊂平面AB 1E ，DF ⊄平面AB 1E ． ∴ DF // 平面AB 1E ．（3）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，设AB =a ， 则A(0, 0, 0)，D(0, 1, 0)，D 1(0, 1, 1)，E(a2，1，0)，B 1(a, 0, 1)． 则AD 1→=(0,1,1)，AB 1→=(a,0,1)，AE →=(a 2,1,0)．由（1）可知AD 1⊥平面A 1B 1E ， ∴ AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量．设平面AB 1E 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅AE →=0˙，得{ax +z =0a 2x +y =0．令x =1，则y =−a2，z =−a ， ∴ n →=(1,−a2,−a)．∴|cos<n→，AD1→>|=|n→||AD1→|˙=|−a2−a|√2×√1+a24+a2．因为二面角A−B1E−A1的大小为45∘，∴3a2⋅=√22，解得a=1，即AB的长为1．【答案】（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．∴(0.07+x+0.04+0.02+0.01)×5＝1，解得x＝0.06．500名志愿者中，年龄在[35, 40)岁的人数为0.06×5×500＝150（人）．(II)用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C83C203=14285，P(X=1)=C121C82C203=2895，P(X=2)=C122C81C203=4495，P(X=3)=C123C203=1157．故X的分布列为∴EX=0×14285+1×2895+2×4495+3×1157=17195=95．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（I）根据小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．即可得出x，再用频率×总体容量即可．(II)分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名；则其中年龄“低于35岁”的人有20×(0.01+0.04+0.07)×5＝12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．X的可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布即可得出，再利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．∴(0.07+x+0.04+0.02+0.01)×5＝1，解得x＝0.06．500名志愿者中，年龄在[35, 40)岁的人数为0.06×5×500＝150（人）．(II)用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C83C203=14285，P(X=1)=C121C82C203=2895，P(X=2)=C122C81C203=4495，P(X=3)=C123C203=1157．故X的分布列为∴EX=0×14285+1×2895+2×4495+3×1157=17195=95．【答案】解：f′(x)=(ax2−2ax+1)e x(1+ax2)2．(I)因为x=12是函数y=f(x)的一个极值点，所以f′(12)=0，因此14a−a+1=0，解得a=43．经检验，当a=43时，x=12是y=f(x)的一个极值点，故所求a的值为43．…(II)f′(x)=(ax2−2ax+1)e x(1+ax2)2(a>0)，令f′(x)=0得ax2−2ax+1=0…①(I)当△=(−2a)2−4a>0，即a>1时，方程①两根为x1=2a−√4a2−4a2a=a−√a2−aa，x2=a+√a2−aa．此时f′(x)与f(x)的变化情况如下表：, +∞)所以当a>1时，f(x)的单调递增区间为(−∞, a−√a2−aa )，(a+√a2−aa, +∞)；f(x)的单调递减区间为(a−√a2−aa , a+√a2−aa)．(II)当△=4a2−4a≤0时，即0<a≤1时，ax2−2ax+1≥0，即f′(x)≥0，此时f(x)在(−∞, +∞)上单调递增．所以当0<a≤1时，f(x)的单调递增区间为(−∞, +∞)．…【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】(I)依题意，由f′(12)=0，即可求得a的值；(II)求f′(x)=(ax2−2ax+1)e x(1+ax2)2，令f′(x)=0可求得方程ax2−2ax+1=0的根，将f′(x)与f(x)的变化情况列表，可求得f(x)的单调区间．【解答】解：f′(x)=(ax 2−2ax+1)e x(1+ax2)2．(I)因为x=12是函数y=f(x)的一个极值点，所以f′(12)=0，因此14a−a+1=0，解得a=43．经检验，当a=43时，x=12是y=f(x)的一个极值点，故所求a的值为43．…(II)f′(x)=(ax2−2ax+1)e x(1+ax2)2(a>0)，令f′(x)=0得ax2−2ax+1=0…①(I)当△=(−2a)2−4a>0，即a>1时，方程①两根为x1=2a−√4a2−4a2a =a−√a2−aa，x2=a+√a2−aa．此时f′(x)与f(x)的变化情况如下表：, +∞)所以当a>1时，f(x)的单调递增区间为(−∞, a−√a2−aa)，(a+√a2−aa, +∞)；f(x)的单调递减区间为(a−√a2−aa, a+√a2−aa)．(II)当△=4a2−4a≤0时，即0<a≤1时，ax2−2ax+1≥0，即f′(x)≥0，此时f(x)在(−∞, +∞)上单调递增．所以当0<a≤1时，f(x)的单调递增区间为(−∞, +∞)．…【答案】（I）由题意得2c＝2，2a+2c＝6．解得a＝2，c＝1，又b2＝a2−c2＝3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(II)设A(x1, y1)，B(x2, y2)．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y＝kx+m(m≠0)．由{y=kx+m3x2+4y2=12消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12＝0．①则△＝64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)>0，∴x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2．所以点M的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．∵M，O，P三点共线，∴k OM＝k OP，∴3m3+4k2−4km3+4k2=12，∵m≠0，∴k=−32．此时方程①为3x2−3mx+m2−3＝0，则△＝3(12−m2)>0，得m∈(−2√3,2√3)．x1+x2＝m，x1x2=m2−33．∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=1312(12−m2)，又d=√32+22=√13∴1213|AB|2+1316d2=(12−m2)+(m−4)24=−34(m+43)2+523，故当m=−43∈(−2√3,2√3)时，1213|AB|2+1316d2的最大值为523．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c＝2，2a+2c＝6．解得a，c，再利用b2＝a2−c2解出即可；(II)设直线l的方程为y＝kx+m(m≠0)．与椭圆的方程联立，得到判别式△>0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k OM＝k OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值【解答】（I）由题意得2c＝2，2a+2c＝6．解得a＝2，c＝1，又b2＝a2−c2＝3，所以椭圆C的方程为x 24+y23=1．(II)设A(x1, y1)，B(x2, y2)．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y＝kx+m(m≠0)．由{y=kx+m3x2+4y2=12消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12＝0．①则△＝64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)>0，∴x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2．所以点M的坐标为(−4km3+4k ,3m3+4k)．∵M，O，P三点共线，∴k OM＝k OP，∴3m3+4k2−4km3+4k2=12，∵m≠0，∴k=−32．此时方程①为3x2−3mx+m2−3＝0，则△＝3(12−m2)>0，得m∈(−2√3,2√3)．x1+x2＝m，x1x2=m2−33．∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=1312(12−m2)，又d=√32+22=√13，∴1213|AB|2+1316d2=(12−m2)+(m−4)24=−34(m+43)2+523，故当m=−43∈(−2√3,2√3)时，1213|AB|2+1316d2的最大值为523．【答案】解：（1）函数y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0, 2a+1)，又f′(x)=2ae x，∴f′(0)=2a，函数y=g(x)的图象与直线y=1的交点为(2a, 1)，又g′(x)=1x，g′(2a)=12a由题意可知，2a=12a，即a2=14又a>0，所以a=12…不等式x−m>√xf(x)−√x可化为m<x−√xf(x)+√x即m<x−√xe x，令ℎ(x)=x−√xe x，则ℎ′(x)=1−(2√x+√x)e x，∵x>0，∴2√x+√x≥√2，又x>0时，e x>1，∴(2√x√x)e x>1，故ℎ′(x)<0∴ℎ(x)在(0, +∞)上是减函数即ℎ(x)在[1, 5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1, 5]，不等式x−m>√xf(x)−√x成立，只需m<ℎ(5)=5−√5e5，所以实数m的取值范围是(−∞, 5−√5e5)…（2）证明：y=f(x)和y=g(x)公共定义域为(0, +∞)，由（1）可知a=12，∴|f(x)−g(x)|=|e x−ln x|令q(x)=e x−x−1，则q′(x)=e x−1>0，∴q(x)在(0, +∞)上是增函数故q(x)>q(0)=0，即e x−1>x…①令m(x)=ln x−x+1，则m′(x)=1x−1，当x>1时，m′(x)<0；当0<x<1时，m′(x)>0，∴m(x)有最大值m(1)=0，因此ln x+1<x…②由①②得e x−1>ln x+1，即e x−ln x>2又由①得e x>x+1>x由②得ln x<x−1<x，∴e x>ln x∴|f(x)−g(x)|=e x−ln x>2故函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2…【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程其他不等式的解法【解析】（1）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m<x−√xe x，令ℎ(x)=x−√xe x，求导数可得函数ℎ(x)在[1, 5]上是减函数，从而可得m<ℎ(5)即可；（2）可得a=12，进而可得|f(x)−g(x)|=|e x−ln x|，通过构造函数q(x)=e x−x−1，可得e x−1> x…①，构造m(x)=ln x−x+1，可得ln x+1<x…②，由①②得e x−1>ln x+1，即e x−ln x>2，还可得e x>ln x，综合可得结论．【解答】解：（1）函数y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0, 2a+1)，又f′(x)=2ae x，∴f′(0)=2a，函数y=g(x)的图象与直线y=1的交点为(2a, 1)，又g′(x)=1x ，g′(2a)=12a由题意可知，2a=12a ，即a2=14又a>0，所以a=12…不等式x−m>√xf(x)−√x可化为m<x−√xf(x)+√x即m<x−√xe x，令ℎ(x)=x−√xe x，则ℎ′(x)=1−(2√x+√x)e x，∵x>0，∴2√x√x≥√2，又x>0时，e x>1，∴(2√x√x)e x>1，故ℎ′(x)<0∴ℎ(x)在(0, +∞)上是减函数即ℎ(x)在[1, 5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1, 5]，不等式x−m>√xf(x)−√x成立，只需m<ℎ(5)=5−√5e5，所以实数m的取值范围是(−∞, 5−√5e5)…（2）证明：y=f(x)和y=g(x)公共定义域为(0, +∞)，由（1）可知a=12，∴|f(x)−g(x)|=|e x−ln x|令q(x)=e x−x−1，则q′(x)=e x−1>0，∴q(x)在(0, +∞)上是增函数故q(x)>q(0)=0，即e x−1>x…①令m(x)=ln x−x+1，则m′(x)=1x−1，当x>1时，m′(x)<0；当0<x<1时，m′(x)>0，∴m(x)有最大值m(1)=0，因此ln x+1<x…②由①②得e x−1>ln x+1，即e x−ln x>2又由①得e x>x+1>x由②得ln x<x−1<x，∴e x>ln x∴|f(x)−g(x)|=e x−ln x>2故函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2…。
北京市顺义区高三数学第二次统练 文(顺义二模)(含解析)
顺义区2013届高三第二次统练数学试卷（文史类）选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）． 1.已知集合{}{}32,13A x R x B x R x x =∈-<<=∈≤≥或，则A B =I （ ） A ．(3,1]- B ．(3,1)- C ．[1,2) D ．(,2)[3,)-∞+∞U 【答案】A解析因为{}13B x R x x =∈≤≥或，所以{}31A B x R x =∈-<≤I ,选A.2．复数321ii -=+（ ） A ．1522i + B ．1522i - C ．1522i -+ D ． 1522i --【答案】B 解析32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个不相等的实根的概率是（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45【答案】C解析a 有5种取法，b 有3种取法，所以共有15种结果。
要使方程有两个不相等的实根，则有22440a b ∆=->，即22,a b a b >>。
若1b =，则1a >，此时2,3,4,5a =。
若2b =，则2a >，此时3,4,5a =。
若3b =，则3a >，此时4,5a =。
所以共有9种。
所以关于x 的方程2220x ax b ++=有两个不相等的实根的概率是93155=，选C.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ．10-B ．3-C ．4D ． 5【答案】A解析第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。
第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。
第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。
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北京市顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B A A.(]1,3- B.()1,3-C.[)2,1D.()[)+∞⋃∞-,32,【答案】A【解析】因为{}13B x R x x =∈≤≥或，所以{}31A B x R x =∈-<≤ ,选A.2.复数=+-i i123 A.i 2521+ B.i 2521- C.i 2521+-D.i 2521--【答案】B 【解析】32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 3.在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ,则点⎪⎭⎫⎝⎛43,2πA 到直线l 的距离为 A.2 B.22 C.222-D.222+【答案】B【解析】由224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ得sin cos 1ρθρθ+=，即直线方程为1x y +=。
⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2πA 中，对应的直角坐标为3cos 2cos 243sin 2sin 24x y πρθπρθ⎧===-⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ ，即直角坐标为(2,2)-。
所以点到直线的距离为221222-+-=，选B.4.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为A.10-B.3-C.4D.5【答案】A【解析】第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。
第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。
第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。
第四次运行，满足条件循环2(3)410,5s k =⨯--=-=。
此时不满足条件，输出10s =-，选A.5.已知数列{}n a 中,54+-=n a n ,等比数列{}n b 的公比q 满足()21≥-=-n a a q n n ,且21a b =,则=+++n b b b 21A.n41-B.14-nC.341n -D.314-n【答案】B【解析】因为14n n q a a -=-=-，123b a ==-，所以1113(4)n n n b b q--==-⋅-，所以113(4)34n n n b --=-⋅-=⋅，即{}nb 是公比为4的等比数列，所以12n b b b +++ 3(14)4114n n -==--，选B.6.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则yx -32的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,42B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,42 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,641 【答案】C开始1,1==s k?5<k 1+=k kk s s -=2输出s结束否 是【解析】设3z x y =-，则3y x z =-。
做出可行域如图，平移直线3y x z =-，由图象可知当直线经过点B 时，直线截距最大，此时z 最小。
当经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最大。
直线2x+y-4=0与x+2y-2=0交于点C （2，0），代入直线得36z x y =-=。
直线4x-y+1=0与2x+y-4=0交于点B 1(,3)2.代入直线得133322z =⨯-=-。
所以362z -≤≤，即362222z -≤≤，即322644x y -≤≤，所以32x y -的取值范围是2[,64]4，选C. 7.已知正三角形ABC 的边长为1,点P 是AB 边上的动点,点Q 是AC 边上的动点,且()R ∈-==λλλ,1,AC AQ AB AP ,则CP BQ ⋅的最大值为A.23B.23-C.83D.83-【答案】D【解析】()()[(1)]()BQ CP BA AQ CA AP BA AC CA AB λλ⋅=+⋅+=+-⋅+uu u r uu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uuu r uu r uu u r22(1)(1)AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅-+-+-⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2(1)cos601λλλλ=-+⨯-+-2113()228λ=---,01λ≤≤，所以当12λ=时，B Q C P⋅u u ur u u r 的最大值为38-，选 D.8.设R ∈n m ,,若直线01:=-+ny mx l 与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且坐标原点O 到直线l 的距离为3,则AOB ∆的面积S 的最小值为 A.21 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意知11(,0),(0,)A B m n 。
O 到直线l 的距离2213d m n ==+，即2213m n +=。
因为22123m n mn =+≥，所以16mn ≤，16mn≥当且仅当66m n ==时取等号。
此时AOB ∆面积的为11116322S m n =⨯⨯≥⨯=，所以AOB ∆面积的最小值为3，选C. 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)9.91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含5x 的项的系数为 (用数字作答).【答案】36【解析】展开式的通项公式为9921991()(1)k kk k k k k T C x C x x--+=-=-，由925k -=，解得2k =，所以252539(1)36T C x x =-=，即5x 的项的系数为36.10.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S .【答案】246+,1002529+ 【解析】由1cos 3A =得22sin 3A =.所以s i n s i n ()s i n c o s cC B C B C B C =+=+212224()2336+=+=.由正弦定理sin sin a bA B=得22520sin sin 3322b a A B =⋅=⨯=，所以ABC∆的面积为1sin 2S ab C =1202410025252369++=⨯⨯⨯=. 11.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点E F ,是AB 延长线上一点,且BF AF CF DF 2,2===,若CE 与圆相切,且27=CE ,则=BE .E B AFD C【答案】21 【解析】由相交弦定理得BF•AF=DF•FC ，因为BF AF CF DF 2,2===，所以222(2)BF =, 解得1BF =,所以2AF =.因为CE 与圆相切，所以由切割线定理可得2CE BE EA =⋅，即27()(12)(3)2BE BE BE BE =⋅++=⋅+,解得12BE =. 12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m 2,则=h m.【答案】4【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：222524(24534)922h +⨯⨯+++++=，即1664h =，解得4h =。
13.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为362,顶点与椭圆15822=+y x 的焦点相同,正(主)视图侧(左)主视图俯视图2 45h那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .【答案】(22,0),(22,0)-，153y x =±【解析】椭圆的焦点坐标为(3,0)±，所以双曲线的顶点为(3,0)±，即3a =，又263e =，所以263c e a ==，解得22c =，所以225b c a =-=。
所以双曲线的焦点坐标为(22,0),(22,0)-。
双曲线的渐近线方程为51533b y x x x a =±=±=±。
14.设定义在R 上的函数()x f 是最小正周期为π2的偶函数,()x f '是()x f 的导函数.当[]π,0∈x 时,()10<<x f ;当()π,0∈x 且2π≠x 时,()02<'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x π.则函数()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为 . 【答案】6【解析】因为[]π,0∈x 且2π≠x 时，()02<'⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x π，所以(0,)2x π∈，函数单调增，(,)2x ππ∈，函数单调减。
因为[]π,0∈x 时，[]π,0∈x ，在同一坐标系中作出cos y x =和()y f x =草图如下，由图知()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为6个．三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值; (II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间.16.(本小题满分14分)如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 的中点,F 为1AA 的中点.(I)求证:⊥1AD 平面E B A 11; (II)求证://DF 平面E AB 1;(III)若二面角11A E B A --的大小为45,求AB 的长.17.(本小题满分13分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.202530354045年龄/岁频率/组距0.07 0.02 x0.04 0.01 OFED 1A 1C 1B 1DA CB18.(本小题满分13分)已知函数()21ax e x f x+=,其中a 为正实数, 718.2=e .(I)若21=x 是()x f y =的一个极值点,求a 的值; (II)求()x f 的单调区间.19.(本小题满分14分)已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为21,F F ,且221=F F ,点P 在椭圆上,且21F PF ∆的周长为6.(I)求椭圆C 的方程;(II)若点P 的坐标为()1,2,不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,设线段AB 的中点为M ,点P 到直线l 的距离为d ,且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB +的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数()()2ln 1ln ln ,12-+-=+=a x x g ae x f x,其中a 为大于零的常数, 718.2=e ,函数()x f y =的图像与坐标轴交点处的切线为1l ,函数()x g y =的图像与直线1=y 交点处的切线为2l ,且21//l l .(I)若在闭区间[]5,1上存在x 使不等式()x x f x m x ->-成立,求实数m 的取值范围;(II)对于函数()x f y =和()x g y =公共定义域内的任意实数0x ,我们把()()00x g x f -的值称为两函数在0x 处的偏差.求证:函数()x f y =和()x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)参考答案一、ABBA BCDC 二、9.3610.9225100,624++ 11.2112.413.()x y 315,0,22±=± 14.6三、15.解:(I)=⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 213cos 232sin3sin 3cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ 212122323213+⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=210+= 21=.……………………………………………………………4分 (II)0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ故()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f()21sin cos 3sin +-=x x x 21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x xx x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx ,所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ, 所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ. ……………………………………………………………13分 16.(I)证明:在长方体1111D C B A ABCD -中,因为⊥11B A 平面11ADD A , 所以111AD B A ⊥. 因为AD AA =1,所以四边形11A ADD 为正方形, 因此D A AD 11⊥, 又1111A D A B A =⋂, 所以⊥1AD 平面D B A 11. 又CD B A //11,且CD B A =11, 所以四边形CD B A 11为平行四边形. 又E 在CD 上,所以⊥1AD 平面E B A 11.……………………………………………………………4分 (II)取1AB 的中点为N ,连接NF .因为F 为1AA 的中点,所以1121//B A NF 且1121B A NF =, 因为E 为CD 的中点,所以CD DE 21=,而11//B A CD ,且11B A CD =, 所以DE NF //,且DE NF =, 因此四边形NEDF 为平行四边形, 所以EN DF //,而⊂EN 平面E AB 1, 所以//DF 平面E AB 1.……………………………………………………………9分 (III)如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系xyz A -,设a AB =, 则()()()()1,0,,0,1,2,1,1,0,0,1,0,0,0,011a B a E D D A ⎪⎭⎫⎝⎛, 故()()⎪⎭⎫⎝⎛===0,1,2,1,0,,1,1,011a AE a AB AD . 由(I)可知⊥1AD 平面E B A 11,所以1AD 是平面E B A 11的一个法向量. 设平面E AB 1的一个法向量为()z y x n ,,=,则0,01=⋅=⋅AE n AB n ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02,0y x a z ax令1=x ,则a z ay -=-=,2, NFED 1A 1C 1B 1DA CBxyz所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a n ,2,1. 设1AD 与n 所成的角为θ,则22114122cos a a a aAD n AD n ++--=⋅=θ. 因为二面角11A E B A --的大小为45,所以45cos cos =θ,即224512232=+a a , 解得1=a ,即AB 的长为1.……………………………………………………………14分 17.解:(I)因为小矩形的面积等于频率,所以除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x .………………………………………………………3分 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人). (II)用分层抽样的方法,从中选取20名, 则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名. 故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P ,()9544232018212===C C C X P , ()57113320312===C C X P ,故X 的分布列为X 0 1 2 3P285149528 9544 5711 所以95171571139544295281285140=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………………………13分18.解:()()()222112ax e ax axx f x++-='.(I)因为21=x 是函数()x f y =的一个极值点, 所以021=⎪⎭⎫⎝⎛'f , 因此0141=+-a a , 解得34=a .经检验，当34=a 时，21=x 是)(x f y =的一个极值点，故所求a 的值为34.……………………………………………………………4分(II)()()()()0112222>++-='a ax e ax axx f x令()0='x f 得0122=+-ax ax ……① (i)当()0422>--=∆a a ,即1>a 时,方程①两根为aa a a x a a a a a a a a x -+=--=--=22221,2442.此时()x f '与()x f 的变化情况如下表:x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-a a a a 2, aaa a --2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a a a a a a a 22, a a a a -+2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2a a a a ()x f ' +0 — 0 +()x f↗极大值↘极小值↗所以当1>a 时,()x f 的单调递增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-a aa a 2,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2a aa a ; ()x f 的单调递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--a aa a a a a a 22,. (ii)当0442≤-=∆a a 时,即10≤<a 时,0122≥+-ax ax , 即()0≥'x f ,此时()x f 在()+∞∞-,上单调递增. 所以当10≤<a 时,()x f 的单调递增区间为()+∞∞-,. ……………………………………………………………13分 19.解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ,解得1,2==c a , 又3222=-=c a b ,所以椭圆C 的方程为13422=+y x . ……………………………………………………………3分(II)设()()2211,,,y x B y x A .当直线l 与x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点M 在x 轴上,且与O 点不重合, 显然P O M ,,三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线l 的方程为()0≠+=m m kx y .由⎩⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得()0124843222=-+++m kmx xk .……………………………………………①则()()0124434642222>-+-=∆mkm k ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122143124,438k m x x k km x x 所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-22433,434k m k km . 因为P O M ,,三点共线,所以22432433,kkmk m k k OP OM +-=+=, 因为0≠m ,所以23-=k , 此时方程①为033322=-+-m mx x ,则()01232>-=∆m,⎪⎩⎪⎨⎧-==+33,22121m x x m x x所以()()2122122y y x x AB-+-=()()[]21221241x x x x k -++=()2121213m -=, 又1342232822-=+-=m m d ,所以()()352344344121613131222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB , 故当()0,3234-∈-=m 时,2216131312d AB +的最大值为352. ……………………………………………………………13分 20.解:(I)函数()x f y =的图像与坐标轴的交点为()12,0+a ,又()xae x f 2=',()a f 20='∴.函数()x g y =的图像与直线1=y 的交点为()1,2a , 又()x x g 1=',()aa g 212='∴.由题意可知,41,2122=∴=a a a , 又0>a ,所以21=a .……………………………………………………3分不等式()x x f x m x ->-可化为()x x f x x m +-<,即x e x x m -<.令()x e x x x h -=,则()xe x x x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='211,221,0≥+∴>x xx .又0>x 时,1>xe ,121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴xe x x , 故()0<'x h ,()x h ∴在()+∞,0上是减函数,即()x h 在[]5,1上是减函数,因此,在闭区间[]5,1上,若存在x 使不等式()x x f x m x ->-成立,只需()e h m -=<11,所以实数m 的取值范围是()e -∞-1,.…………………………………8分 (II)证明:()x f y =和()x g y =公共定义域为()+∞,0,由(I)可知,21=a . ()()x e x g x f x ln -=-∴.令()1--=x e x q x,则()01>-='xe x q ,()x q ∴在()+∞,0上是增函数,故()()00=>q x q ,即x e x>-1.①令()1ln +-=x x x m ,则()11-='xx m , 当1>x 时,()0<'x m ;当10<<x 时,()0>'x m ,()x m ∴有最大值()01=m ,因此x x <+1ln .②由①②得1ln 1+>-x e x,即2ln >-x e x. 又由①得x x e x >+>1, 由②得x x x <-<1ln ,x e x ln >∴,()()2ln >-=-∴x e x g x f x ,故函数()x f y =和()x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.。