第三章数学物理方法

n2

cn 2 (n 2)( n 1)( x x0 ) n ,
cn n( x x0 )
n0
n 1
cn n( x x0 )
n 1


n 1
cn 1 (n 1)( x x0 ) n ,
n 0

可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n n2
例1 在 x0 0 的邻域内求解常微 y 2 y 0 （为常数） 分方程 解 这里p( x) 0, q( x) ，设解为
2
y ( x ) a0 a1 x a2 x 2 ak x k
则
y ( x ) 1a1 2a2 x (k 1)ak 1 x k
下面给出具体解法： 设方程的解为 n 0 将 p( x)和q( x) 也展开成Taylor 级数，有
p( x) ak ( x x0 )
k 0 k
y ( x) cn ( x x0 ) n

q( x) bl ( x x0 )l
l 0

代入方程（3.1.2），有
2k
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y ( x) a0 1 ( x) 2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2!
2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x ) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n n 0 n
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0

y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0

n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
k 0
k k 0
(1 x ) y (k 2)(k 1)ak 2 x (k 2)(k 1)ak 2 x k 2 (k 2)(k 1)ak 2 x k k (k 1)ak x k
可以证明，方程（3.1.1）系数 p( x), q( x) 的解析性质完全可 以确定方程解的解析性质。为 了用复变函数的方法讨论方程 （3.1.1）及其解的解析性质， 有时需要将x延拓到复数域（仍 用x表示）。 如果 p( x), q( x) 在 x0 点解 析，则 x0 称为方（3.1.1） 的常点；
即
ak 2 k (k 1) l (l 1) (l k )(l k 1) ak ak (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
这就是系数的递推公式, 由此得
(l )(l 1) (1 l )(l 2) a2 a0 a3 a1 2! 3! (2 l )(l 3) (2 l )(l )(l 1)(l 3) a4 a2 a0 43 4!
k 0 k 0
n
n
由此可知 cn 可以由初值 c0 , c1
以及 ak , bk 表示出来，如：
n 0时，有
n 1时，有
1 c2 (a0c1 b0c0 ) 2
1 c3 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1 ) 6
1 ( a0 2 a1 b0 )c1 2a0 c2 (a0b0 b1 )c0 6 .
由幂级数的乘法：
k ( x x0 ) l ( x x0 ) ( n k k )( x x0 ) n
k l k 0 l 0 n 0 k 0 n
及
c n(n 1)( x x )
n0 n 0 n0 n2
cn n(n 1)( x x0 ) n 2
k 0 k 2
2 xy 2(k 1)ak 1 x l (l 1) y l (l 1)ak x k
k 0 k 0

k 1
2kak x k
k 1

将这些结果代入方程（3.3.1）， k 并令 x 项系数为零，可得
(k 2)(k 1)ak 2 k (k 1)ak 2kak l (l 1)ak 0
由 y0 x 和y1 x 的系数可以看出， 如果常数 l 是某个偶数，比方说 2k ，则 y0 ( x) 只到 x 2k 项为止， 以后各项的系数都含因子 (2k l ) 因而为零，于是y0 ( x) 就不再是 无穷级数，而是 2k 次多项式， 并且只含偶次幂项； 同理，当 l 为奇数，比如 k 2k 时，则 1 y1 ( x)是 2k 1 次多项式，并且 只含奇次项。
.
l
y (1)
l
前面 已经分析过,当 l 为偶（奇） y 是只含偶（奇） 数时，0 ( x)( y1 ( x)) 次幂的多项式，它们就是 Legendre方程满足自然边界 条件的解。因此Legendre方程
的本征值问题可以写成
(1 x ) y 2 xy y 0, y (1) .
y ( x ) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得
2 1a2 2 a0 0, 4 3a4 2 a2 0,
3 2a3 2 a1 0, 5 4a5 2 a3 0,
c n(n 1)( x x )
n 0 n 0 l 0 n 0 n2
ak ( x x0 ) cn n( x x0 ) n 1
k k 0 n 0


bl ( x x0 )l cn ( x x0 ) n 0
.
(3.1.3)
由此可得系数的递推公式
( k 1)( k 2)a k 2 2 ak 0
以及 2
a2 a4 2!
a0 , a0 ,
a3 a5
2
3!
a1 ,
4
4!
4
5!
a1 ,
a2 k (1) k
2k
(2k )!
a0 . a2 k 1 (1) k
如果在x0 点 p( x) 和 q( x) 有一个 不是解析的，则 x0 称为方程 （3.1.1）的奇点。下面分别 讨论方程（3.1.1）在常点邻 域及在奇点邻域内的解。 3.1 二阶常微分方程的级数解法 3.1.1常点邻域内的级数解法 定理1（Cauchy定理）设问题为
y( பைடு நூலகம்) p( x) y q ( x) y 0, y ( x0 ) c0 , y( x0 ) c1.
高尔基
制作：武进牛塘中学 王强 周晓春 蒋华菊
在应用分离变量法求解数 学物理问题时，我们需要求 解二阶常微分方程的本征值 问题，但在上一章中涉及的 是两个自变量的偏微分方程， 分离变量后得到的常微分方 程是二阶线性常系数常微分 方程（或可化为常系数的常 微分方程，如Euler方程）。
在进一步的讨论中，比如在极 坐标、柱坐标系及球坐标系下 用分离变量法求解数学物理定 解问题时，会遇到更一般的， 即二阶线性变系数常微分方程 的本征值问题。为此，我们在 这一章中讨论形如 y( x) p( x) y q( x) y 0 (3.1.1) 的方程的解法，并给出相应本 征值问题的一些共性。
(n 2)(n 1)( x x0 ) [ (k 1)an k ck 1 ]( x x0 ) n
n 0 k 0
[ bn k ck ]( x x0 )n 0
n 0 k 0
n
比较等式两边 x x 同次幂的 系数有
0
(n 2)(n 1)cn 2 (k 1)an k ck 1 bn k ck 0 (n 0,1, 2,)
2
在 x 0 的邻域内的级数解。 称为Legendre 其中 l 为参数， 方程的阶数。 2x l (l 1) 这里 p( x) 1 x2 , q( x) 1 x2
x0
在 x 0 处解析，所以 x 0 是 方程（3.3.1）的常点。
由定理1，方程（4.3.1）的解 可以设为 y ( x) a x (3.3.2)
以此类推，可求出全部系数 cn 得到式（3.1.2）的级数解。它 包含两个常数 c0 , c1 （由初始条件 ，于是可将级数（3.1.3） 确定） 分成两个级数 y0 ( x) 和 y1 ( x)，它们 分别含有 c0 和 c1 。即 这两个 级数的第一项分别为 c0 和 c1 ( x x0 ) 因此 y0 ( x) 和 y1 ( x) 线性无关， 从而构成式（3.1.2）的基础解 系。

或写成 y( x) a0 cosx a1 sin x 其中 a0 , a1 为任意常数．这个解是
,
我们熟知的，现在主要是熟悉 幂级数解法。
现在，我们用级数解法来求解 重要的特殊函数微分方程 —Legendre方程
(1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 (3.3.1)
y0 ( x)
可以证明级数 y0 ( x) 和 y1 ( x) 的收 敛半径都是1，但在 x 1 处 级数 y0 (1) 与 y1 (1) 均发散。即 Legendre方程的级数解在 x 1, x 1 处为无限值。但在 实际问题中 x 常常代表 cos , x 1, x 1 对应于 0, 因此 如果要求物理量在一切方向 上有有限值，则需引入自然 边界条件
l
(2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k )a1 a2 k 1 (2k 1)!