数学物理方法第三章
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数学物理方法(王元明)第三章
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
b 2 4ac A B 4 AB A 2 2 2 2 (d y ) a (d x ) 0 0 4 1 ( a ) 4 a 0 a 0 2 2 x y 双曲型方程 2u 2u 2 2 2 0 0 4 1 1 0 (d y ) (d x ) 0 2 2 x y 椭圆型方程 2 u u a2 2 0 2 4 1 0 0 (dy)2 0 t x 抛物型方程
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
数学物理方法第三章答案完整版
第三章答案1. (6分)已知齐次状态方程Ax x=&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1t -Φ和系统矩阵A 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。
解： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 13e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。
()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭&解：11t tt Att tt t tt e te te e e t t tee te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ （4分）0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e τττττττττ------=Φ+Φ-⎡⎤⎡⎤+⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （4分）3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2tt 2t t 2tt 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。
解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。
求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
解：解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； （4分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t ttte e te e te e d e e t e e tee x 212111)(00100τττττ。
《数学物理方法》第三章 1
∫
C
f ( z )dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u ( x, y )dy
C C
2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) (t:α→β)
∫
C
f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ′(t )dt
α
β
3.2 柯西积分定理
(u + iv )(dx + idy)
，则
f ( z )dz = udx − vdy + i(vdx + udy )
上式说明了两个问题： 上式说明了两个问题： (1) 当 f ( z ) 是连续函数，且C是光滑曲线时， 是连续函数， 是光滑曲线时， 一定存在； 积分 ∫C f ( z )d z 一定存在； (2)
长和弧长，两边取极限就得到 长和弧长，
∫
C
f ( z )d z ≤
∫
C
f ( z ) dz =
∫
C
f ( z ) ds
f 连续， （6）积分估值定理 若沿曲线 C ，(z) 连续，且f ( z ) ）
在
C上满足
f ( z ) ≤ M ( M > 0) ，则
C
∫
f ( z )d z ≤ M ⋅ l
其中 l 为曲线 C 的长度． 的长度．
k
)∆ y )∆ y
+
k
i ∑ [ v( ξ
]Hale Waihona Puke kkkk
k
k
由此可知， 由此可知，当 n →∞且小弧段长度的最大值 的分法如何， λ → 0 时，不论对C的分法如何，点(ξk ,ηk )的取法 如何，只要上式右端的两个和式极限存在， 如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么 左端的和式极限也存在， 连续， 左端的和式极限也存在，由于 f ( z ) 连续，则
《数学物理方法》第3章
1 k
(3.2.1) 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数 的中心，ak 为幂级数的系数。
32
§3.2.1 阿贝尔定理
定理
若幂级数 ，在某点z0收敛， 则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝
对收敛，并在
|z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2)
的闭圆上一致收敛．
由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设 级数的R=1/3．
50
(方法三）变量代换法．
令w=(3z)2，则
，易见
w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为
51
既然幂级数在收敛圆内收敛，
在收敛圆外发散．
那么，在收敛圆周上情况怎样
呢？
52
【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1， 问它们在收敛圆周上的敛散性如何？
设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2 点收敛(|z2-b| ＞ |z1-b|)．由阿贝尔定理可知， 该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛 内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论 得证．
36
§3.2.2 收敛圆与收敛半径
阿贝尔定理及其推论表明： (1)幂级数 在某
除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还 有两个很有用的判别法，如表3-2所示．
35
24
26
20
4. 一致收敛级数的重要性质
一致收敛级数的三个性质的
条件与结论之间的联系列于表3-3.
一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题3.1.5 和习题3.1.6； 这里仅证明性质(3)，即证明 性质(3) 魏尔斯 特拉斯(Weierstrass)定理
(3.2.1) 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数 的中心，ak 为幂级数的系数。
32
§3.2.1 阿贝尔定理
定理
若幂级数 ，在某点z0收敛， 则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝
对收敛，并在
|z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2)
的闭圆上一致收敛．
由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设 级数的R=1/3．
50
(方法三）变量代换法．
令w=(3z)2，则
，易见
w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为
51
既然幂级数在收敛圆内收敛，
在收敛圆外发散．
那么，在收敛圆周上情况怎样
呢？
52
【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1， 问它们在收敛圆周上的敛散性如何？
设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2 点收敛(|z2-b| ＞ |z1-b|)．由阿贝尔定理可知， 该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛 内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论 得证．
36
§3.2.2 收敛圆与收敛半径
阿贝尔定理及其推论表明： (1)幂级数 在某
除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还 有两个很有用的判别法，如表3-2所示．
35
24
26
20
4. 一致收敛级数的重要性质
一致收敛级数的三个性质的
条件与结论之间的联系列于表3-3.
一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题3.1.5 和习题3.1.6； 这里仅证明性质(3)，即证明 性质(3) 魏尔斯 特拉斯(Weierstrass)定理
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
北京大学数学物理方法经典课件第三章-幂级数展开
泰勒级数的定义及性质
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它将函数展开为一系列的非负整数次幂函数的和。泰勒级数在解析学中起 着重要的作用，具有一些重要的性质。
泰勒展开的应用
通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为一个多项式，从而简化计算和分析。泰勒展开在数学和物理领域 中有广泛的应用，包括数值计算、数值解微分方程等。
幂级数展开的基本思想和方法
幂级数展开的基本思想是将待展开的函数表示为幂级数的形式，然后通过求 解系数的方式得到展开式。常用的展开方法包括泰勒展开和洛朗展开。
幂级数展开的典型例题
通过具体的例题，我们可以更好地理解和应用幂级数展开。这些例题涉及到各种函数的展开，以及如何利用展 开式求解问题。
幂级数练习题解析
为了加深对幂级数展开的理解提高 解决问题的能力和技巧。
幂级数分析的收敛性问题
在进行幂级数展开时，我们需要考虑展开式的收敛性。这一节将介绍幂级数 在不同区域内的收敛性条件，并给出相应的判别方法。
幂级数收敛半径的计算方法
幂级数的收敛半径是一个重要的概念，它决定了幂级数在哪些点上收敛。我们将介绍几种计算收敛半径的方法， 并通过例题进行实际应用。
经典函数的泰勒级数展开
许多经典函数都可以表示为泰勒级数的形式。在这一节中，我们将重点介绍 几个常见函数的泰勒级数展开，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
洛朗级数的定义及性质
洛朗级数是一种特殊的幂级数展开形式，它包含了正幂次和负幂次两部分。 洛朗级数在解析学和复变函数中有重要的应用。
洛朗展开的应用
幂级数展开的误差估计
在实际计算中，我们常常需要估计幂级数展开的误差。这一节将介绍如何使 用剩余项来估计幂级数展开的误差，并给出具体的计算方法。
数学物理方法第三章2012
1 ln (1 ) k lim [ ln (k 1)]2 ( ln k ) 2 lim ln (k 1) ln k ln (k 1) ln k lim k k k 1 ln k (k 1) 1 1 0 ( 2 ) 2k 1 1 k 2 ln k (k 1) 0 1 k (k 1) [ ln k (k 1)]2 lim k lim lim k 2 k k (2k 1) 2k 1 k (k 1)[ ln k (k 1)]2
( n ) ( z) [ a0 ]( n) [ a1 ( z z0 )]( n) [ a2 ( z z0 ) 2 ]( n)
幂级数在收敛圆内可任意逐项求导，还可以逐项积分。
12
作业：P37，3， 4
比值法：
ln k
k ln k (z 2) k 例：求收敛圆
k 级数在其收敛圆内解析 本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，
且这种展开式是唯一的
——解析函数与幂级数的密切关系 定理：设 f(z) 在以 z0 为圆心的圆CR 内解析，则对 圆内任意点 z，f(z)可展开为
f ( z ) ak ( z z 0 ) k ,
结论：幂级数的和可表为连续函数 的回路积分 可在积分号下求导 解析函数：魏尔斯特拉斯定理）
乘以
n! 1 2i ( z ) n 1
a0 a1 ( z0 ) n ! a2 ( z0 ) 2 n! ( )d n! n! C ' ( z)n1 2 i C ' ( z)n 1 2 i C ' ( z) n 1 2 i C ' ( z) n 1 2 i
最新数学物理方法第三章第三讲解析教学讲义ppt课件
也可采用间接展开法，即利用基本展开公式以及逐项求
导、逐项积分、代换方法等将函数展开成罗朗级数。 如
上例
ez z2
1 z2
(1
z
z2 2!
z3 3!
z4 ) 4!
1 z2
1 z
1 2!
1 z 3!
1 z2 4!
两种方法相比，其繁简程度显而易见. 因此，以后在
求函数的罗朗展开式时，通常不用公式去求系数 cn ，而常
长 的 时 间 隧 道，袅
数学物理方法第三章第三讲解析
例1
把函数
f (z)
ez z2
在以 z 0
为中心的圆环域 0 z 内展开成罗朗级数.
【解】 直接法展开
利用公式计算 cn ，那么就有
cn
1 2πi
C
e
n3
d
其中 C 为圆环域内的任意一条简单曲线.
当 n 3 0 ，即 n 3 时，由于 ez zn3 解析， cn 0 ，
1 z 3
n0
(
z
2)n
1 2(z 2) n(z 2)n1 , z 2 1
所以
f
(z)
z
1
2
(z
1 3)2
1 2 3(z 2) n(z 2)n2 z2
n(z 2)n2 , 0 z 2 1 n1
3 用级数展开法计算闭合环路积分
在罗朗展开式中的系数项中. 令 n 1 ，得到
(z)
1 (z 2)(z 3)2
在 0 z 2 1内展开成罗朗级数.
【解】因在 0 (z 2)n . n
因为
1 1 1 z 3 (z 2) 1 1 (z 2)
(z 2)n , z 2 1 n0
数学物理方法电子教案第三章
第三章 幂级数展开§3.1 复数项级数(一) 复数项级数 1.复数项级数定义 复数项级数：()1.1.3..., (211)++++=∑∞=k k kw w w w，级数中每一项都可分为实部和虚部k k k iv u w +=那么，∑∑∑∞=∞=∞=+=111k k k k k k v i u w 即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。
这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。
2. 复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数ε，必有N 存在，使得n>N时，,1ε<∑++=pn n k kw其中，p 为任意正整数。
3. 复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数)3.1.3( (1)221∑∑∞=∞=+=k k k k kv u w收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。
◆ 绝对收敛的复数项级数必是收敛的◆ 绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。
4. 两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛n n m mk kk k q pqp •=•∑∑∑∞=∞=∞=1,11(二) 复变项级数(函数项级数) 1. 复变项级数定义()()()()()6.1.3..., (2)11++++=∑∞=z w z w z w z w kk k它的各项是z 的函数。
2.复变项级数收敛如果在某个区域B (或某根曲线 l )上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就叫做在B (或l )上收敛。
3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6) 在某个区域B (或某根曲线 l )上收敛的充分必要条件是，在B (或l )上各点z, 对于任一给定的小正数ε，必有()εN 存在，使得()εN n >时，(),1ε<∑++=pn n k kz w 式中p 为任意正整数。
数学物理方法教学Chapt3
对于与点z0紧邻z而言，Iz-z0I很小，上式中以am最为重要，则
这意味着F1-F2不可能在α上处处为零.这样，在α上处处为零，势必 使得在β上也处处为零，这与原来的假定矛盾！解析延拓唯一得证！
第三章 幂级数展开
3.1 复数项级数 3.2 幂级数 3.3 泰勒级数展开 3.4 解析延拓 3.5 洛朗级数展开 3.6 孤立奇点分类
两个级数和的乘积.
函数项级数收敛：如果函数项级数wk，
在某个区域B(或某根曲线l)上所有的点z都收敛，则称级数在B(或l)上 收敛.
复数项级数
函数项级数一致收敛：如果函数项级数wk在B(或l)上各点z，对于任
一给定的小正数ε，必有N(z)存在，使得n>N(z)时，
式中p为任意正整数.若N跟z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛.
解析延拓就是解析函数定义域的扩大!
B F(z) b f(z)
解析延拓
解析延拓的方法
1. 利用泰勒级数展开：选取区域b的任一内点z0， 在z0的邻域上将解析函数f(z)展开为泰勒级数.如果泰勒 级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义 域就扩大一步;
2. 利用一些特殊方法.
解析延拓的唯一性证明
一给定的小正数ε，必有N存在，使得n>N时，
式中p为任意正整数.
绝对收敛：若复数项无穷级数wk各项的模组成的级数
收敛，则级数wk绝对收敛.
复数项级数
绝对收敛级数性质：
1.绝对收敛级数必是收敛的； 2.绝对收敛级数各项先后顺序可以任意改变，其和不变；
3.两个绝对收敛级数各项相乘得到的级数也是绝对收敛的，其和等于
数学物理方法梁昆淼编刘法缪国庆修订梁昆淼编刘法缪国庆修订讲演者徐卫青xuwq412mailustceducn数理系物理教研室第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类复数项级数表达式设有复数项的无穷级数它的每一项都可分为实部和虚部复数项级数它的每项都可分为实部和虚部它的每项都可分为实部和虚部那么wk的前n1项的和可以写为从而复数项无穷级数wk的收敛性问题归结为两个实数项级数的收敛性问题
《数学物理方法》第三章 2
f (ζ ) ∫ C ζ − z0 dζ 1 f (ζ ) f ( z 0 + ∆z ) = ∫ C ζ − z 0 − ∆z d ζ 2πi 1 f ( z0 ) = 2πi
z
从而有
f (z0 +∆z) − f (z0) 1 f (ζ ) f (ζ ) = dζ − ∫ dζ ∫C C ζ −z ∆z 2πi∆z ζ − z0 −∆z 0
1 = 2πi
f (ζ ) ∫ C (ζ − z0 )(ζ − z0 − ∆z )dζ
1 f (ζ ) ∆zf (ζ ) = dζ + ∫ dζ ∫C 2 C (ζ − z )2 (ζ − z −∆z) 2πi (ζ − z0 ) 0 0
∆z f (ζ ) ds ∆zf (ζ ) I =| ∫ dζ |≤ ∫ 2 C (ζ − z )2 (ζ − z −∆z) C ζ − z0 ζ − z0 −∆z 0 0
f ( z) dz 的值可能也无 z − z0
∫
C
f ( z) dz = z−z
0
∫
z − z0 =δ →0
f ( z) dz → ∫ z−z
0
z − z0 =δ
f (z ) dz z−z
0 0
→ f ( z0 ) ∫
z − z0 =δ
1 dz = 2πif ( z0 ) z − z0
上面的猜想是否成立，我们即将进行证明 上面的猜想是否成立，我们即将进行证明.
iz iz z +i =1 z =− i
z （2）注意到函数 f (z) = ） 2在 5− z
z ≤ 2 内解析，而 i 在 内解析，
z = 2
内，由柯西积分公式得
z
从而有
f (z0 +∆z) − f (z0) 1 f (ζ ) f (ζ ) = dζ − ∫ dζ ∫C C ζ −z ∆z 2πi∆z ζ − z0 −∆z 0
1 = 2πi
f (ζ ) ∫ C (ζ − z0 )(ζ − z0 − ∆z )dζ
1 f (ζ ) ∆zf (ζ ) = dζ + ∫ dζ ∫C 2 C (ζ − z )2 (ζ − z −∆z) 2πi (ζ − z0 ) 0 0
∆z f (ζ ) ds ∆zf (ζ ) I =| ∫ dζ |≤ ∫ 2 C (ζ − z )2 (ζ − z −∆z) C ζ − z0 ζ − z0 −∆z 0 0
f ( z) dz 的值可能也无 z − z0
∫
C
f ( z) dz = z−z
0
∫
z − z0 =δ →0
f ( z) dz → ∫ z−z
0
z − z0 =δ
f (z ) dz z−z
0 0
→ f ( z0 ) ∫
z − z0 =δ
1 dz = 2πif ( z0 ) z − z0
上面的猜想是否成立，我们即将进行证明 上面的猜想是否成立，我们即将进行证明.
iz iz z +i =1 z =− i
z （2）注意到函数 f (z) = ） 2在 5− z
z ≤ 2 内解析，而 i 在 内解析，
z = 2
内，由柯西积分公式得
数学物理方法课件：03第三章 柯西定理,柯西积分
(3) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(4) | f (z)dz | | f (z) |ds max | f (z) | lC
C
C
zC
| dz | ds
曲线 C 的长度
n
n
f ( k )zk | f ( k ) | |zk | 求极限 (4)
k 1
k 1
§3.2 柯西积分定理及其推广
g(z)
f (a z) f (a) 1 f (z)dz
z
2 i
CR (z a)2
1
2 i
dz f (z) [(z a z)1 (z a)1
CR
z
1 (z a)2 ]
z
f (z)
z( ) i ei
z
四
个
C
dz (z a)n
f [z( )] z( )d
a
步
2π i ei dθ
骤
0
nei n
2π 0
e i (1n)
dθ
2
0,
,
n1 n1
积分值与圆周 C 的半径无关
例2：计算 I Re z dz，其中 C 为： y
C
(1) 从 0 到 1+i 的直线段；
i
1 i
➢ 复变函数积分的定义，性质，计算方法 ➢ 利用柯西定理和柯西积分公式计算积分
作业：习题三 4(2), 6, 8, 10, 11, 14
§3.1 复变积分的概念及其简单性质
1.积分的定义
• 有向曲线： 给定起点和终点的曲线
CB
沿有向曲线 C 反向遍历得到曲线 C • 围线：逐段光滑的简单闭曲线
围线的正向(左手法则)：
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
收敛域
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1
n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0
可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0
y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0
n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!
数学物理方法 第三章 幂级数展开
wuxia@
y
∞ 1 1 1 1 1 ∞ 1 例： ∑ Re z ⋅ 2k = ∑ x ⋅ 2k = x ∑ 2k k =1 k =1 k =1 ∞
i D1 D2
1 n+ p 1 1 2 若级数收敛，则∀ε > 0, 要求 | ∑ k |< ε o x x k = n +1 2 N与x有关，当x → 0时，N (ε , x) → ∞, 在D1上找不到最大的N， D1上收敛但不一致。 D 2上，x > 1, ∃N (ε ,1), D 2上一致收敛，
上次课复习
柯西Cauchy定理
单连区域柯西定理：
如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的 任一分段光滑闭合曲线l，有
∫ f ( z )dz = 0
l
复通区域柯西定理：
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则
∫ f ( z )dz + ∑ ∫
l i =1
n
li
f ( z )dz = 0
wuxia@
k +1 1 k 1
ak +1 1 = lim | | R1 = R1 < 1 k →∞ ak R
wuxia@
k =1
收敛，则幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛。
例1：求幂级数1 + t + t 2 + ⋯ + t k + ⋯的收敛圆，t为复变数。 解： ak ak = 1, R = lim | |= 1 k →∞ a k +1 收敛圆以t = 0为圆心，R = 1,圆内表示为 | t |< 1 说明： 其实，本例是几何级数，公比为t， t k = 1 + t + t 2 + ⋯ + t n ∑
y
∞ 1 1 1 1 1 ∞ 1 例： ∑ Re z ⋅ 2k = ∑ x ⋅ 2k = x ∑ 2k k =1 k =1 k =1 ∞
i D1 D2
1 n+ p 1 1 2 若级数收敛，则∀ε > 0, 要求 | ∑ k |< ε o x x k = n +1 2 N与x有关，当x → 0时，N (ε , x) → ∞, 在D1上找不到最大的N， D1上收敛但不一致。 D 2上，x > 1, ∃N (ε ,1), D 2上一致收敛，
上次课复习
柯西Cauchy定理
单连区域柯西定理：
如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的 任一分段光滑闭合曲线l，有
∫ f ( z )dz = 0
l
复通区域柯西定理：
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则
∫ f ( z )dz + ∑ ∫
l i =1
n
li
f ( z )dz = 0
wuxia@
k +1 1 k 1
ak +1 1 = lim | | R1 = R1 < 1 k →∞ ak R
wuxia@
k =1
收敛，则幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛。
例1：求幂级数1 + t + t 2 + ⋯ + t k + ⋯的收敛圆，t为复变数。 解： ak ak = 1, R = lim | |= 1 k →∞ a k +1 收敛圆以t = 0为圆心，R = 1,圆内表示为 | t |< 1 说明： 其实，本例是几何级数，公比为t， t k = 1 + t + t 2 + ⋯ + t n ∑
数学物理方法-第三章
z1, z2 zn , zn1, zn2 zn p 使对于任意正整数 p ,
有 S n p S n zn1 zn2 zn p .
n p
即
zk 令 p 1 ,取极限得,
k n1
级数收敛的必要条件: lim n zn 0 ,
即不满足 limn zn 0 的级数必是发散的.
注:但是不是充分条件,如调和级数
1
,故有 limk
ck 1 z1k 1 ck z1k
z1
1,
这与上节所述级数 ck z1k 收敛的必要条件 limn zn 0 相矛盾, k 0
因此, 级数在圆外一点 z0 收敛的假设不成立.所以, 级数在圆外发散
1
cos
z.
2
z
2
z 2
z
5
.
2 将下列函数在指定环域内展开成 Laurent 级数。
1
z 1 ,0
z2 z 1
z
1,1
z
.
2sin z , 0 z 1 1
z 1
3
把
f
z
1 展开成下列区域收敛的 Laurent 级数：
z 1 z
1 z 1 1.21 z 1 2.
4、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。
(3) (1)n 收敛,但 (1)n 1 不收敛,故称
n1 n
n1 n
n1 n
(1)n 为非绝对收敛,或称条件收敛;
n1 n
1 也收敛, 原级数收敛,但非绝对收敛.
2n
n 1
注意调和级数
11
(1
n1
2p
3p
)
n1
1 np
,当p>1时收敛；
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R2
C
z0
内圆一周的任意闭合曲线
证明：为了避免讨论f(z)在边界的解析性，取积分路径 为C‘R1和C'R2 由复通区域cauch公式
1 f ( ) f ( z) d 2 i C 'R1 z 1 f ( ) d 2 i C 'R 2 z
积分方向为逆时针方向
由复通区域cauch定理
CR2
R1 z
R2
C R1
C
z0
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 C ( z ) 2 i k 0
Laurant定理：设f(z)在圆环 R2<z-z0 < R1内单值解 析，则对圆环内的任意z点，f(z)可展开为
f ( z)
其中：
k
a (z z )
k 0
k
CR2 C R1
R1 z
1 f ( ) ak d k 1 2 i C ( z0 )
C为圆环内按逆时针方向饶
(k ) f ( k ) ( z ) wn ( z) n 1
n 1
第二节 幂级数
概念 形如 an ( z z0 ) n 的级数被称为以z0为中心
的幂级数，其中an是复变常数。
收敛性
ak ( z z 0 )
k 0 k
n 0
收敛半径的另一个公式
幂级数的性质
C
z0
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) d d 2 i C 'R1 z 2 i C 'R 2 z
1 f ( ) k 1 ( z z0 ) d k 1 C 2 i R1 ( z0 ) 2 i k 0
( z0 )l f ( )d l 1 C 'R 2 l 0 ( z z0 )
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 1 ( z ) CR 2 i k 0 0
k
1 1 ( z z0 ) f ( )d k 1 2 i C 'R 2 ( z0 ) k
k
1
f ( ) f ( ) CR 1 ( z0 )k 1 d C ( z0 )k 1 d f ( ) f ( ) CR 2 ( z0 )k 1 d C ( z0 )k 1 d
CR2
R1 z
R2
C R1
C
z0
1 1 1 1 z0 1 ( z z0 ) /( z0 ) z z0 ( z z0 )
z z0 1 ( z z0 ) k k 1 z0 k 0 z0 k 0 ( z0 )
n n n 0 n 0 n 0
z
0
cn ( z z0 ) dz cn ( z z0 ) dz
n z n n 0 n 0 0
cn ( z z0 ) n1 n 0 n 1
且逐项求导或逐项积分后的新级数与原级数具 有相同的收敛半径.
（1） 设幂级数 cn ( z z0 )n 的收敛半径为 R ，那么
n 0
(i)它的和函数 f ( z ) ，即
f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
是收敛圆 z z0 R 内的解析函数. (ii)幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项 积分，即
[ cn ( z z0 ) ] [cn ( z z0 ) ] ncn (z z0 ) n1 ,
l
CR2
R1 z
( z0 )l l 1 ( z z ) l 0 0
( z0 ) k 1 f ( )d k 1 2 i C 'R 2 k 0 ( z z0 )
1 f ( ) d C ' 2 i R 2 z
R2
C R1
k
l = -(k +1)
1
1 k 1 1 f ( ) f ( )d f ( z ) ( z z0 ) d ( z z0 ) k 1 k 1 C ' 1 ( z ) 2 i R 2 ( z0 ) 2 i CR k k 0 0
1 f ( ) ( l 1) 1 l ( z z0 ) d ( z z ) ( z ) f ( )d k 1 1 ( z ) 0 0 CR C ' 2 i 2 i k 0 0 l 0
k
R2
令 k = -(l+1)
n 0
第四节 解析延拓
回顾
taylor级数：设f(z)在以z0为圆 心的圆CR内解析，则对圆内的 任意z点，f(z)可展开为 其中：
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0
(k )
k
1 ak 2 i
C R1
f f ( ) d k 1 ( z0 )
收敛，
1、绝对收敛的级数各项先后次序可以 任意改变。
2、两个绝对收敛的复数项级数的和， 积，仍绝对收敛。
一、复变项级数
k 1
k
( z ) 1 ( z ) 2 ( z ) k ( z ) ,
的每一项都是复变函数。
实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成 一个复数项级数。
连续，则该级数在B内连续
n 1
级数 wn ( z ) 在曲线C上一致收敛，且
可积性
wn(z)在C上连续，则
C n 1 n
n 1
w ( z)dz w ( z)dz
n 1 C n
级数 wn ( z ) 在B内一致收敛f(z)，且
解析性
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
2
2
1
k
a (z z )
k 0
k
a1 a2 a3
2 3
正幂部分收敛半径为R1 负幂部分，记 =1/( z-z0 ),级数 的收敛圆半径为 1/R2 即在 z-z0 = R2圆外收敛圆
1 lim ak / a( k 1) R2 k
( z0 ) k!
CR1为圆CR内包含z且与CR 同心的圆
若存在奇点，就不能展开为taylor级数， 但可以展开为laurant级数
z
CR1 C R
§3.5 洛朗级数展开
考虑如下幂级数
a2 ( z z0 ) a1 ( z z0 ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )
第三节 Taylor级数表示
幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.而且
，任何一个解析函数都可以用幂级数来表示。这个问题不
但有理论意义，而且很有实用价值.
• Taylor定理
设函数 f(z)在以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于 圆内任一点z，函数f(z)可写成
f ( z ) ak ( z z 0 )
正幂部分
an ( z z 0 )
n 0
n
n a ( z z ) 负幂部分 n 0 n 1
1 z z0
R1 z0 R2 z0
|z-z0|<R1
R1
R2 z0
R2<|z-z0| 收敛环 R2<|z-z0|<R1
k
a (z z )
k 0
k
在圆环 R2<z-z0 < R1内绝对一致 收敛圆 ，如果 R2 R1 ，则级 数处处发散。
把ln(1 z)在 z 1 的圆域内展开为幂级数
【解】由于函数
1 在单位圆周 z 1 上有一个奇 2 (1 z )
点 z 1 ，而在 z 1 内处处解析，所以它在 z 1内可展开成 z 的幂级数.
1 1 n n ( 1) z 2 (1 z ) 1 z n 0 (1) n 1nz n 1 , z 1
级数是研究复变函数的重要工 具，我们将看到一个函数的解析性 与一个函数能否展为幂级数是等价 的.以此出发，我们又可发现解析函 数的一些重要性质，从而加深对解 析函数的了解和认识.
第三章 级数
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 复数项级数 幂级数 Taylor级数表示 Laurent级数表示 孤立奇点的分类
复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概 念应当是相对于这个定义域而言的。
收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收 敛，则称在 B 中收敛。
它满足柯西判据： 复数项级数收敛的充要条件是，在B上各点 z，对于一小正整数 ，必存在一 N(z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
使得 n>N(z) 时有
n p
k n 1
( z) ,
k
z z0 ( z z0 ) z0 z z0
对于C‘R1的积分
f ( ) d 2 i C 'R1 z 1
f ( ) f ( ) k 1 d ( z z0 ) d C ' k 1 R 1 2 i z 2 i C ( z0 ) k 0 1
如果极限
lim wk lim uk i lim vk 存在并有限
n k 1 n k 1 n k 1
n
n
n
则级数收敛，否则为发散 复数项级数收敛性归结为两个实数项级数的收敛性，因 此实数项级数的性质和规律均可移植到复数项级数中来