数学物理方法 13 变分法
力学教学笔记之变分法从另一种观点来看力学
力学教学笔记之变分法:从另一种观点来看力学亢龙有悔，盈不可久也。
我觉得，力学中用到的数学方法就只有三个半。
首先是变分法，当然也就包括了微积分，单变量的和多变量的。
变分法可以从最小功原理重新推导出整个牛顿力学，还可以推广到光学、电磁学乃至量子力学，其实，朗道讲义就是这么做的。
其次就是微扰论，当然也就包括了各种近似算法。
精确解是很少的，你要知道怎么在精确解的基础上进行外推。
海王星就是这么发现的，最近预言的太阳系第九大行星(不是冥王星!)也正在等待验证。
第三个就是混沌理论，即非线性动力学。
相似的原因导致相似的结果?错!拉普拉斯的梦想?永远都只是梦想了!最后的半个是狭义相对论，也就是时空变换方法。
爱因斯坦改变了我们的时空观，但是力学里确实用得不多。
我们谈谈变分法，介绍几个最简单的极值问题，最后是拉格朗日方程——从另一种观点来看力学。
先从微积分讲起。
微积分最关键的一点就是，如果我们知道了某个函数y=f(x)在x0处的数值，如果推断它附近的一点x0+δx处的数值。
搞物理的都是这么猜的，二者的差别是：其中的f′(x0)就是所谓的一阶导数了。
然后，我们就把余量(也就是省略号的部分)直接去掉了，至于说这么做合不合法，有多大误差，那就是数学家的事情了。
如果这两者的差别为零，也就是说f′(x0)=0，这就是极值条件。
光的反射定律和折射定律可以从光程最短原理得到(费马原理)，用微分求极值的方法很容易证明，可是，你真的试过用几何方法证明吗？Try it。
上面就是单变量微积分的全部内容。
多变量微积分与此相似，只不过现在的函数有好几个自变量。
随便举个例子吧。
函数z=f(x,y)在(x0,y0)和(x0+δx,y0+δy)处的差别就是：其中，f′x和f′y就是所谓的偏微分?f/?x和?f/?y。
然后就可以用它去求解多变量的极值问题了。
至于说合不合法、误差有多大，还是那句话，不关我们的事儿，都拜托数学家了。
变分法是泛函分析里的方法。
变分法
他们本身是弹性体各点的函数,U这样的 积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的 积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变 量的值.
13
§10-2 位移变分方程与极小势能原理
一 变分及其性质
高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的 增量。那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通 常用δ表示。变分具有以下的性质：
1
第十章
能量原理与变分法
§10-1 弹性体的变形比能与形变势能 §10-2 位移变分方程与极小势能原理 §10-3 位移变分法
§10-4 应力变分方程与应力变分方法
1
§10-1 弹性体的变形比能与形变势能
一 变形比能 在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力 分量 x , y, z , yz , zx , xy 。根据能量守恒定理，形变 势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于 应力及形变的最终大小。从而有弹性体的形变势能密 度或比能： 1 x x y y z z yz yz zx zx xy xy 2 ij 1 ij d ij ij ij 或 0 2 比能用应力分量表示
U Xu Yv Zwdxdydz X u Yv Zw dS
这个方程就是所谓位移变分方程。其中X,Y,Z为体力分 量，X , Y , Z 为面力分量。
7
虚功方程
在给定体力、面力和约束情况下， 如果找到两种状态:
第一种状态：在给定的体力 fi和面力 X i 已知（找到）可能应力状态ij(k1)，在V内：
则 We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。 虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种 为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。
数学物理方法13变分法
其中 即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4）
若如果折射率
是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的 折射定律（Snell’s law）
（13.3.5）
在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到 （13.3.6）
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取
形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数
本身的变化
（即从A到B的不同曲线） 所引起的．它的值既不取决于某一个
值，也不取决 于某一个 与 的函数关系． 泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中 称为泛函的核． 值，而是取决于整个集合C中
普通函数对 的变分定义为
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3) 因此可得 (13.1.4) 这里 所以 即变分和微分可以交换次序． 代表对 求一阶导数． (13.1.5)
四、 泛函的变分
定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题 泛函的变分定义为 (13.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有 的极值问题．由函数
即有
（13.2.2）
1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数
的积分形式
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，
（13.1.2） 若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点
数学物理方法参考答案
数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。
在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。
它包括了导数、积分和微分方程等内容。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。
下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。
可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。
可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。
也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。
3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。
可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。
二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。
它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。
在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。
下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。
可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。
也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。
2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。
可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
变分法推导
j
(3)
(3)式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。
(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移
中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：
k r i mi ai qj q j 1 j n
m a r
由此，可得另外一个关系式：
d ri dt q
ri ri q j q t j 1 q q j
2 k 2
i r r d i q j dt q j
(8)
i r ri j q j q
k
L q j qj 0 q j (11a)
V Qj 广义力： 代入(11a)式中，而拉格朗日 q j 函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又可以写为：
d L j 1 dt q j
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
(i 1,2,n)
(1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k， )
求(1)式的变分：
ri ri q j j 1 q j
k
(i 1,2,, n)
(5)
为推导拉氏方程，先证明 ri 与 d ri 之间 的两个关系式:
q j
dt q j
k r ri (1) i i j (ri ri (q1 , q2 ,, t ) r q t j 1 q j (6)
j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率， q
数学物理方法 百科
数学物理方法百科数学物理方法百科数学物理方法是研究物理现象的数学方法，它是物理学的重要分支之一。
数学物理方法的应用范围非常广泛，包括量子力学、相对论、统计力学、流体力学、电磁学等领域。
本文将介绍数学物理方法的一些基本概念和应用。
1.微积分微积分是数学物理方法中最基本的工具之一。
它是研究物理现象的数学方法中最常用的方法之一。
微积分的主要应用包括求导、积分、微分方程等。
在物理学中，微积分被广泛应用于研究物理现象的变化和运动规律。
2.线性代数线性代数是数学物理方法中另一个重要的工具。
它主要研究向量、矩阵、线性方程组等。
在物理学中，线性代数被广泛应用于研究物理现象的空间结构和变换规律。
3.偏微分方程偏微分方程是数学物理方法中最重要的工具之一。
它主要研究物理现象的变化和运动规律。
在物理学中，偏微分方程被广泛应用于研究物理现象的波动、传播、扩散等。
4.变分法变分法是数学物理方法中另一个重要的工具。
它主要研究物理现象的最小化问题。
在物理学中，变分法被广泛应用于研究物理现象的最小化问题，如能量最小化、作用量最小化等。
5.群论群论是数学物理方法中另一个重要的工具。
它主要研究物理现象的对称性和变换规律。
在物理学中，群论被广泛应用于研究物理现象的对称性和变换规律，如对称群、李群等。
数学物理方法是研究物理现象的数学方法，它是物理学的重要分支之一。
数学物理方法的应用范围非常广泛，包括量子力学、相对论、统计力学、流体力学、电磁学等领域。
本文介绍了数学物理方法的一些基本概念和应用，希望能够对读者有所帮助。
数学物理方法
数学物理方法
在许多科学领域，特别是数学和物理学中，有许多强大的方法和技巧可用于解决各种问题。
这些方法通常以数学为基础，并被广泛应用于理论和实践中。
一种常用的数学方法是微积分。
微积分是研究函数及其性质的数学分支，广泛应用于物理学中。
通过求导和积分，我们可以得到函数的斜率、最大值、最小值以及曲线下的面积等重要信息。
另一个重要的数学工具是线性代数。
线性代数研究向量空间和线性变换的性质。
在物理学中，线性代数常用于描述物理系统的变换和相对关系。
概率论和统计学也是数学物理中经常使用的方法。
通过概率论，我们可以描述随机事件的发生概率，并对其进行建模和预测。
统计学则通过收集和分析数据来推断总体的特征和规律。
在物理学中，还有许多其他的数学工具和技术被广泛应用。
例如，微分方程用于描述自然界中的变化和运动；复数分析在电磁学和量子力学等领域中发挥重要作用；变分法用于求解极值问题等等。
总的来说，数学和物理学密不可分，数学提供了解决问题的工具和框架，而物理学为数学提供了实际应用的背景和意义。
通过运用数学方法，我们可以更深入地理解物理现象并解决各种科学问题。
数学物理中的变分法
摘要数学物理中的变分方法是把一个数学物理方程的定解问题归结为变分问题——求泛函的极值问题。
变分方法是解数学物理方程定解问题的常用方法。
变分原理描述微分方程定解问题与一定条件下泛函的极值问题之间存在着一种等价关系，从而可以通过求解相应泛函的极值问题（即变分问题）得到微分方程定解问题的解。
本文首先介绍了变分原理及其在边值问题中的应用，阐述了Dirichlet原理、正定对称算子的变分原理以及其它边值问题的变分原理；其次讨论的变分方法的基本问题；接着着重介绍了数学物理中常见的两种变分方法：Ritz方法和Galerkin方法及其在解本证值和边值问题中的应用；最后给出了其他一些变分近似方法：Kantorovich法、最速下降法、最小平方法及Courant法等。
关键词：变分方法；Dirichlet原理；Ritz方法；Kantorovich法AbstractV ariational methods in mathematical physics is due to the variational problem - seek the extremal of the functional definite solution of a mathematical physics equations. The variational method is commonly used method for solving mathematical physics EQUA TION. V ariational principle to describe the differential equation definite solution of the problem under certain conditions, functional extremal problem there is an equivalence relation, thus solving the problem of the extreme value of the corresponding functionals (ie, change of sub-issues) to get the differential equation given solution of the problem solution.This paper first introduces the application of the variational principle and its Boundary Problems on the Dirichlet principle, the variational principle of symmetric positive definite operator, and the other boundary value variational principle; followed by discussion of the variational method; then focuses on mathematical physics in two of the variational method: the Ritz method and Galerkin method and its application in the solution of the value of the card and Boundary V alue Problems; Finally, some other variational approximation methods: of Kantorovich method, the steepest descent method, the least squares method and the Courant law.Key words:variational methods; Dirichlet principle; Ritz method; Kantorovich method目录目录 (I)第1章概述 (1)第2章变分原理 (2)2.1膜平衡问题 (9)2.2 Dirichlet原理 (3)2.3正定对称算子的变分原理 (5)2.4其它边值问题的变分原理 (7)2.4.1 Neumaan问题的变分原理 (7)2.4.2 第三类边值问题的变分原理 (8)第3章变分方法的基本问题 (9)3.1 泛函与泛函极值的基本问题 (9)3.2 Euler-lagrange方程 (10)3.3 多个变量的变分问题 (11)3.4变端点问题和自然边界条件 (13)第4章常见的两种变分方法及其应用 (15)4.1 Ritz方法 (15)4.1.1 Ritz方法在本征值问题中的应用 (17)4.1.2 Ritz方法解边值问题 (20)4.2 Galerkin方法 (21)4.2.1 Galerkin方法解本征值问题 (22)4.2.2 Galerkin方法解非齐次边值问题 (24)第5章变分的其他近似方法 (26)5.1 Kantorovich法 (26)5.2 最速下降法 (27)5.3 最小平方法及Courant法 (29)5.4 有限元方法 (30)5.4.1 区域的剖分 (30)5.4.2 线性插值基函数 (31)5.4.3 有限元方程的形成 (33)5.4.4 求解有限元方程 (34)结论 (35)参考文献 (36)致谢 (37)第1章概述数学物理中的变分方法是把一个数学物理方程的定解问题归结为变分问题——求泛函的极值问题。
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
数学物理方法-13-变分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
变分法旳优点:
(1) 变分法在物理上能够归纳定律．因为几乎全部旳自 然定律都能用变分原理旳形式予以体现；
(2) 变分法易于实现数学旳统一化．因为一般而言，数学 物理方程旳定解问题都能够转化为变分问题．尤其是前面 简介旳斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变 分法提供了施－刘型本征值问题旳本征函数系旳完备性等 结论旳证明；
E-L方程除了上面给出旳形式(13.2.6)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) F 不显含 x
且
F 0 x
因为
F F ( y, y),
d (F y F ) F y[F d (F )] y[F d (F )]
dx
y x y dx y
y dx y
若 y 0, E-L方程等价于
F y F c y
y(x) 旳泛函，而称 y(x) 为可取旳函数类，为泛函 T[ y(x)]
旳定义域。简朴地说，泛函就是函数旳函数（不是复合函数
旳那种含义）．
一般来说，设C是函数旳集合，B是实数或复数旳集合， 假如对于C旳任一元素 y(x) 在B中都有一种元素 J 与之相应， 则称 J 为 y(x) 旳泛函，记为
J J[ y(x)]
设 u(x, y) 为 x, y 旳二元函数，则
J
x2 x1
y2 y1
F
(
x,
y,
u,ux
,
u
y
)dxdy
u(x1, y) u(x2 , y) u(x, y1) u(x, y2 ) 0
与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
F F F ( ) ( )0
yi |xa 0,
yi |xb =0
(i 1, 2,, n)
则与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
变分法在解决物理问题上的应用
变分法在解决物理问题上的应用陈曼（2008213561）（华中师范大学物理系武汉）摘要本文是变分法在各个领域的应用的总结篇，总结了作者所了解到的关于变分法的知识。
关键词变分法 MOV A变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
微分几何中的测地线的研究也是很显然的变分性质的领域。
变分问题其实是是泛函极值问题，最后的求解都归结为求欧拉方程的边值问题。
由于它是研究泛函极值的一种方法，所以它在多个领域都有着广泛的应用。
有这样一个经典的泛函极值问题：假设已知函数可导且连续，求函数使（1）达到极大或极小值。
（1）式所给出的泛函称为最简泛函，它分为无约束条件和有约束条件两种，其中无约束条件的泛函极值问题又分为固定端点和可变端点两种情形。
可变端点又包含两类：一类是所求函数曲线的左（或右）端点的横坐标确定而纵坐标自由：另一类是左（或右）端点的纵坐标确定而横坐标不确定。
1.1固定端点的泛函极值问题设端点条件为。
因为泛函时取极值，于是有（2）但是，（3）由固定端点条件可知：（4）将（3）及（4）代入（2）得（5）由的任意性和变分法的基本引理可知必有（6）这就是欧拉方程。
再加上固定端点条件，即可求得使得泛函取极值的函数曲线。
1.2第一类可变端点问题设端点条件为。
由(5)推导过程知，此时(5)应变为因为上式对取任意值均成立，所以欧拉方程不变仍为(6)，但定解条件为1.3第二类可变端点问题设端点条件为。
显然，此时欧拉方程(6)仍成立,一组定解条件为至此，所说的都是简单泛函极值问题。
事实上有很多的数学建模都可以采用这种方法，光学上的最小路径也可以用这种方法求解，那就是一种可变边界的极值问题。
理解变分法-概述说明以及解释
理解变分法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学和物理学领域中，变分法是一种重要的数学工具和方法，用于解决极值问题。
变分法通过构建一个泛函，对其中的函数进行变分，来求解函数在给定条件下使得泛函取得极值的问题。
变分法的核心思想是在一个函数空间中寻找函数的极值点，这使得它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
在现代物理学中，变分法被广泛应用于解决复杂的动力学问题。
例如，在经典力学中，变分法可以用于推导出作用量原理，从而得到运动方程。
在量子力学中，变分法则可以用于计算量子态的能量最小值，从而研究原子结构和分子动力学。
在工程领域中，变分法也被广泛应用于结构力学、热传导等领域。
通过变分法，工程师可以求解各种复杂的边值问题，优化结构设计，提高工程效率。
总的来说，变分法是一种强大的数学工具，它在解决各种科学和工程问题中都发挥着重要作用。
本文将通过深入探讨变分法的基本原理及其在物理学和工程领域的应用，来帮助读者更好地理解和应用这一方法。
1.2 文章结构文章结构部分将介绍整篇文章的组织架构和内容安排。
首先，我们将从引言部分入手，包括概述、文章结构和目的。
在引言中，我们将简单介绍变分法的概念和背景，以及本文的目的和重要性。
随后，我们将进入正文部分，主要讨论变分法的基本原理、在物理学中的应用以及在工程领域中的应用。
这一部分将详细阐述变分法的基本概念和数学原理，并举例说明在不同领域中如何应用变分法来解决问题以及取得成就。
最后，我们将进行结论部分的总结，强调变分法在各个领域中的重要性和价值，并展望未来变分法的发展方向和应用前景。
通过本文的阐述，读者将对变分法有更深入的理解，并认识到其在科学研究和工程实践中的重要作用。
1.3 目的本文的主要目的是帮助读者更深入地理解变分法的基本原理以及在物理学和工程领域中的应用。
通过对变分法的概念进行解释和举例，我们将阐明其在不同领域中的重要性和实际应用，希望能够帮助读者更好地理解这一重要的数学工具。
数学中的变分法用于物理分析
数学中的变分法用于物理分析物理学是自然科学的一门基础学科，它研究自然界中的物理现象、规律和原理。
在物理学中，数学是一种重要的工具和语言，尤其是微积分学和微分方程是研究物理现象时最为常用的数学方法。
但是，微积分学和微分方程并不是物理学中唯一的数学方法，变分法也是一种很重要的数学方法，在物理学中有着广泛的应用。
变分法是研究变化的方法，它研究一类包括函数、曲线、曲面等变化形式的问题。
在物理学中，变分法被广泛应用于研究系统的稳定性、运动状态和波动性质等问题。
例如，在机械系统中，变分法可以用来求解系统的势能函数和运动方程，进而得到系统的稳定性和运动规律。
在电磁学中，变分法可以用来求解系统的电势和电场强度，进而得到系统的能量和电荷分布情况。
利用变分法可以得到许多重要的物理结论，其中最著名的是费马原理和哈密顿原理。
费马原理的内容是从一个点到另一个点的路径上，光线所需时间的变分等于零。
这个原理可以用来研究光的折射和反射问题，进而推导出光学中的斯涅尔定律和反射定律。
哈密顿原理的内容是一个物理系统在所有可能的路径中，动力学量随时间变化的变分等于零。
这个原理可以用来研究物理系统的动力学行为，进而推导出力学中的牛顿第二定律和能量守恒定律。
除了费马原理和哈密顿原理之外，变分法还有许多其他的应用。
在波动理论中，变分法被用来求解波动方程和边界条件，从而得到波浪的传播和反射规律。
在量子力学中，变分法被用来求解薛定谔方程和波函数，从而得到原子和分子的能级和电子云分布情况。
在天体物理学中，变分法被用来求解万有引力定律和行星运动方程，从而得到天体轨道的形状和性质。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，对于物理学的研究有着广泛的应用。
通过变分法可以得到一些重要的物理结论，从而深入理解自然界中的物理现象、规律和原理。
因此，掌握变分法的基本原理和应用技巧，对于物理学和其他自然科学的研究都具有重要的意义和价值。
数学物理方法教程
数学物理方法教程数学和物理是两门紧密相关的学科，它们的方法和工具可以相互借鉴和应用。
下面我将介绍一些常见的数学物理方法。
首先，微积分是数学和物理学中最基础的方法之一。
微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念。
在物理学中，微积分常被用于研究物体的速度、加速度和位置的关系。
通过求导和积分，我们可以得到物体的速度和位移函数。
微积分也能够用于求解物理系统的微分方程，例如牛顿第二定律和麦克斯韦方程组等。
其次，线性代数在物理学中扮演着重要的角色。
线性代数主要研究线性方程组、向量空间和线性变换等概念。
在物理学中，我们常常需要解决多个物理量之间的线性关系。
线性代数的方法能够帮助我们建立和求解这些关系。
例如，在电路分析中，我们可以将电流和电压等物理量表示为线性方程组，然后用线性代数的方法解得未知量。
另外，微分方程是数学和物理学中常用的工具。
微分方程描述了变量之间的关系，这些关系通常包含导数或微分操作。
在物理学中，我们经常遇到关于物理量的微分方程，例如弹簧振子的运动方程和热传导方程等。
通过求解微分方程，我们可以得到物理系统的行为和性质。
解微分方程的方法有很多，包括常数变易法、特征方程法和分离变量法等。
此外，概率论和统计学在物理学中也有广泛的应用。
概率论研究随机事件的概率和规律，统计学则研究数据的收集和分析方法。
在物理学中，我们常常需要通过实验或观测来获得数据，并对这些数据进行统计分析。
概率论和统计学的方法可以帮助我们评估实验结果的可靠性和推断物理系统的性质。
最后，变分法是一种在数学和物理学中常见的方法。
变分法研究如何找到函数的极值或使泛函取极值的函数。
在物理学中，我们常常需要找到使作用量取极值的物理场或轨迹。
变分法的思想是，通过对物理量进行微小的变分，获得使作用量变化最小的物理场或轨迹。
这样，我们可以得到物理系统的运动方程或场方程。
综上所述，数学物理方法是研究自然界的重要工具。
微积分、线性代数、微分方程、概率论和统计学以及变分法等方法在物理学中都有广泛的应用。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分法的发展与应用
变分法的发展与应用应用数学11XX班XXX 0XXXX摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。
变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。
变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。
近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。
因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。
关键词：起源；发展；应用1.引言变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。
它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。
变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。
它们在材料学中研究材料平衡中大量使用。
微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。
近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。
因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。
2.变分法的起源物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。
他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。
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所以极值曲线为
13.3 光学中的泛函极值典型例子
泛函极值问题的求解,通常有两种结果：
（i）解析解 由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的．
但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解．因为历史悠
久，它自有一套办法． （ii）近似解 所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程， 直接求得所需要的解——极值曲线 因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法．
把泛函的极值问题称为变分问题． 注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分 条件．如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、 负值,但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的 存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存 在性是不成问题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极
且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等
高技术领域都有十分广泛的应用．
有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，
然后通过电子计算机求定解问题的数值解．
模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，
而在模型上实测解的数值．
变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，
已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故 本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论．
解目前，我们只能用间接方法来求解，由于 不显含 ，故其E-L方程为（13.2.7）式
令
故有
令
分离变量得到 再令 代入上式得到
即得到
此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图13.1的A,B两点）决定．
13.2.2泛函的条件极值问题
在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件 的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制
定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解
其实也是某种程度的近似．
如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别
甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法求近 似解．量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于课时，
这里就不再重复介绍．
近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等．
变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变
定义：泛函 泛函的核
二、泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数 ，与此相应的泛函 ，使泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大 值统称为泛函的极值． 引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函 的极小值问题．物理学中常见的有光学中的费马(Fermat) 原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值 问题．
从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形 状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条 件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了 一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似 解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已 经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，
（13.3.3）
其中 即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4） 若如果折射率 是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的 折射定律（Snell’s law） （13.3.5） 在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到 （13.3.6）
值．
E-L方程除了上面给出的形式(13.2.6)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) 且 因为
不显含
若
E-L方程等价于
（13.2.7）
(2) 且不依赖于则E- Nhomakorabea方程化为
（13.2.8）
(3)
不依赖于 则E-L方程化为
且
（13.2.9）
由此可见 (4)
仅为
的函数．
关于
是线性的：
则E-L方程化为 （13.2.10） 对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量 函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：
泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的．因为它与泛 函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数 等相关．另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且 约束条件的类型也有不同，等等．下面我们首先讨论泛函的 极值的必要条件．
一、 泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
设 的极值问题有解 （13.2.1） 现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法 研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分 则 可视为参数 的函数
2. 泛函表示为多个函数的积分形式
则与此泛函极值问题相应的E-L方程为 （13.2.11）
3. 泛函的积分形式中含有高阶导数
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（13.2.12）
4.泛函的积分形式中含有多元函数
设 为
的二元函数，则
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（13.2.13）
例2 试求解最速降线落径问题，即变分问题
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3)
因此可得 (13.1.4) 这里 所以 即变分和微分可以交换次序． 代表对 求一阶导数． (13.1.5)
四、 泛函的变分
定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题 泛函的变分定义为 (13.1.6) 在极值曲线 附近，泛函 的增量，定义为 (13.1.7) 依照上述约定，当 时，泛函增量 的线性
定义： 变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法． 研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法， 即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为 求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．
三、 变分
定义： 变分 如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 并定义与函数曲线 邻近的曲线（或略为变形的
泛函中
为
，即
由于两端固定，所以要求
．由(13.1.8)，有
（13.2.3）
式(13.2.3)的积分号下既有 应用分部积分法可使积分号下出现
，又有
，对第二项
(13.2.4)
根据（17.2.2）,所以 （13.2.4）故有
,再根据
（13.2.5）
因为
并且
是任意的，所以
(13.2.6) 上式(13.2.6)称为欧拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange） 方程，简称为E-L方程． 此即泛函取极值的必要条件．即泛函 必须是满足泛函的变分 的函数类 的极值函数 ．因此，
图13.1
我们知道，此时质点的速度是
因此从 A滑到B所需的时间为
即为 （13.1.1）
式中
代表对
求一阶导数． 我们称上述的 为可取的函数类，为泛函
为
的泛函，而称
的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数
的那种含义）．
一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合， 如果对于C的任一元素 则称 为 在B中都有一个元素 与之对应，
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取 形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数 本身的变化
（即从A到B的不同曲线） 所引起的．它的值既不取决于某一个 值，也不取决 于某一个 与 的函数关系． 泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中 称为泛函的核． 值，而是取决于整个集合C中
(3)
变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，
其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由 直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的 是里茨 （Ritz）法． 由于里茨法中的试探函数的选 取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机
的展，又迅速发展了一种有限元法；
(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而
条件
（13.2.14）
即所谓的等周问题：
(13.2.15) （注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源 于求一条通过两点，长度固定为l的曲线 使面积
取极大值）
其中
为常数．此类问题可以仿照普通函数的
条件极值问题的拉格朗日乘子法．即将附加条件(13.2.14)乘以 参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到
主要部分定义为泛函的变分，记为 (13.1.8)
在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样 在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因此，通常 称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法． 例 1 计算泛函的变分
解
注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即
13．2 泛函的极值
于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题．
其对应的E-L方程为
这是通过
和
两点的
在附加条件（13.2.14）
之下使泛函取极值的必要条件．它实际上是一个关于 的二阶常微分方程．其通解中含有三个参数，即 和两个积分
常数．它们可由条件
和附加条件
（13.2.14）来确定 .
例3
求
的极值，其中 ，且已知
曲线）作为比较曲线，记为
其中
是一个小参数；
是一个具有二阶导数的任意
选定函数，规定 它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛 函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将 而令 变化，这样规定的好处在于：建立了由参数 固定，
到泛函
就成为了参数
值之间的对应关系，因此泛函
的普通函数．原来泛函的极值问题就成为
普通函数对 的变分定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有 的极值问题．由函数