山西省洪洞县霍峰中学2017届九年级一轮复习数学导学案专题五 二次函数的动点问题(无答案)

专题五 二次函数的动点问题
1如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴 交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、
E .
（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；
（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由
分析 (1)由点B (-2,m )在直线12--=x y 上,可求得m 的值及 点B 的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB 和CE 的长来说明CB =CE,
过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，由△DFB ≌△DHE,证得D 是BE 的中点；
(3)若存在点P 使得PB=PE,则点P 必在线段BE 的中垂线CD 上,
动点P 又在抛物线上,通过解直线CD 和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.
解（1）∵ 点B (-2,m ) 在直线12--=x y 上， ∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3) ∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2，
∴ 点A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4
1=a .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(4
1-=x x y ，即x x y -=24
1.
（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，则点G 坐标为(2,3)
BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =5432222=+=+BG CG . ∵ CE =5，∴ CB =CE =5.
②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，则点H 的坐标为H (0,-5).
又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.
∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE . 即D 是BE 的中点. (3)由于PB =PE ，∴ 点P 必在线段BE 的中垂线CD 上， 又点P 在抛物线x x y -=24
1上,
∴ 符合条件的点P 应是直线CD 与该抛物线的交点. 设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将点D (0,-1) C (2,0) 代入， 得⎩⎨
⎧=+-=0
21
b k b . 解得 1,21-==b k . ∴直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.
解方程组 x x y x y -=-=
24
11
2
1
得 2515311+=+=y x 2515322-=-=y x ∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，2
51+)或(53-，2
51-).
2.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线3
4y x b =-+相交
于点B ，点C ，直线3
4
y x b =-+与y 轴交于点E ．
（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．
（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？
3.如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一
个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．
（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？
4如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分） ∴A （-1，0）B （3，0）；（1分）
将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1
（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），（1分） E （2(,23)x x x --（1分）
∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =
时，PE 的最大值=9
4
（1分）
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -
（结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分）
5如图13，已知抛物线224
233
y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，
抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ． （1）求点B 和点C 的坐标；
（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．
（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
解： （1）把x =0代入224
233y x x =-++把y =0代入224
233
y x x =-++（2）连结OP ，设点P 的坐标为P OBPC
S 四边形=OPC S △+OPB S △=11
2322x y ⨯⨯+⨯⨯ = 23242233x x x ⎛⎫
+-++ ⎪⎝⎭
=233x x -++
∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤∴2
3324S x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭（03
x ≤≤）
（3）存在． BC 13 ① 若BQ = DQ ∵ BQ = DQ ，BD = 2
∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2
tan 3
QM OC OBC BM OB ∠=
== ∴QM =
23
所以Q 的坐标为Q （2，
2
3
） ． ② 若BQ =BD =2∵ △BQM ∽△BCO ，∴ BQ BC =QM CO =BM
BO
∴
2QM ∴ QM
∵ BQ BC =BM OB ∴
=3BM ∴ BM
∴ OM
= 3 所以Q 的坐标为Q
（3
，）
6． 如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点；
（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）点 M （2）经过t 秒时，NB t =，2OM t =
则3CN t =-，42AM t =-∵BCA ∠=MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+ ∴11
(42)(1)22
AMQ S AM PQ t t =
=-+△ 22t t =-++ ∴2
219
224
S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∵02t ≤≤∴当12t =时，S 的值最大．
（3）存在． 设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =-
图12
∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM ∠=，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高 ∴PQ 是底边MA 的中线 ∴12PQ AP MA ==∴1
1(42)2
t t +=- ∴1
2
t =
∴点M 的坐标为（1，0） ②若90QMA ∠=，此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t = ∴点M 的坐标为（2，0）
7.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．
（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （秒）。

①当t ＝5时，求出点P 的坐标；
②若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．
解:（1）P 点从A 点运动到D 点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒） （2）①当t ＝5时，P 点从A 点运动到BC 上，
此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2 过点P 作PE ⊥AD 于点E ，则PE=AB=3,AE=BP=2 ∴OD=OA+AE=10+2=12∴点P 的坐标为（12，3）． ②分三种情况：
i ．当0＜t ≤3时，点P 在AB 上运动，此时OA=2t,AP=t ∴s=2
1
×2t ×t= t 2 ii ．当3＜t ≤8时，点P 在AB 上运动，此时OA=2t ∴s=
2
1
×2t ×3=3 t
iii ．当8＜t ＜11时，点P 在CD 上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= t ∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t ∴s=
2
1
×2t ×(11- t)=- t 2+11 t 综上所述，s 与t 之间的函数关系式是：当0＜t ≤3时，s= t 2；当3＜t ≤8时，s=3 t ；当8＜t ＜11时，s=- t 2+11 t。