2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线试题理北师大版

2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线试题理

北师大版

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2＝2px (p >0)

y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2

，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2

，0 F ⎝

⎛⎭

⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－p 2

离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p

2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向 向右

向左

向上

向下

【知识拓展】

1．抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p

2，也称为抛物线

的焦半径．

2．y 2

＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a

4.

3．设AB 是过抛物线y 2

＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

(1)x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2

.

(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．

(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2

(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a

4，0)，准线

方程是x ＝－a

4

.( × )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )

(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2

4

，

y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )

1．(2016·四川)抛物线y 2

＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)

答案 D

解析 ∵对于抛物线y 2

＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

4，0，

∴对于y 2

＝4x ，焦点坐标为(1,0)．

2．(2016·张掖一诊)过抛物线y 2

＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B

解析 抛物线y 2

＝4x 的焦点为F (1,0)， 准线方程为x ＝－1.

根据题意，可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.

3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l

的斜率的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]

答案 C

解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2

－8)x ＋4k 2

＝0，

由Δ＝(4k 2

－8)2

－4k 2

·4k 2

＝64(1－k 2

)≥0， 解得－1≤k ≤1.

4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2

＝－8x 或x 2

＝－y

解析 设抛物线方程为y 2

＝2px (p ≠0)或x 2

＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2

＝－8x 或x 2

＝－y .

5．(2017·合肥月考)已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线与圆x 2

＋y 2

－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2

解析 抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线为x ＝－p

2，

圆x 2

＋y 2

－6x －7＝0，即(x －3)2

＋y 2

＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.

又因为抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线与圆x 2

＋y 2

－6x －7＝0相切，所以3＋p

2

＝4，解得p ＝2.

题型一 抛物线的定义及应用

例1 设P 是抛物线y 2

＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4

解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，