19_20学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念图象及性质教

第1课时 对数函数的概念、图象及性质问题导学预习教材P130－P135，并思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图象是什么形状？你能画出y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象吗？3．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？1．对数函数的概念一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．■名师点拨在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数．2．对数函数的图象及性质底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都是对数函数．( )(2)对数函数的定义域、值域都是R.( )(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(4)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√下列函数是对数函数的是( )A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)C．y＝log x e D．y＝log x x答案：A函数f(x)＝lg(3x)－2－x的定义域是( )A．(0，2) B．[0，2]C．[0，2) D．(0，2]答案：D对数函数f(x)＝loga x的图象过点(3，1)，则f(9)的值为________．答案：2若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．答案：(－∞，0)对数函数的概念下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝log a x(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x .【解】 (1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．判断一个函数是对数函数的方法1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log 14xB ．y ＝log 14(x ＋1)C ．y ＝2log 14xD ．y ＝log 14x ＋1解析：选A.形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数，故选A.2．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)·log a x 是对数函数，则实数a 的值为________．解析：因为(a 2－4a ＋4)·log a x 是对数函数，则a 2－4a ＋4＝1，得a ＝1或a ＝3.由于a >0，a ≠1，则a ＝1舍去，即a ＝3.答案：33．若对数函数f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，则f (8)＝________． 解析：依题意知1＝log a 2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，故f (8)＝log 28＝3. 答案：3与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域： (1)y ＝1log 2（x －1）；(2)y ＝log 2(16－4x)； (3)y ＝log (x －1)(3－x )．【解】 (1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2（x －1）≠0，解得x >1，且x ≠2.所以函数y ＝1log 2（x －1）的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x <2. 所以函数y ＝log 2(16－4x)的定义域是{x |x <2}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.所以函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 ①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．求下列函数的定义域：(1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log x －2(5－x )．解：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1， 所以－1<x <1.所以该函数的定义域为(－1，1)． (2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，x －2>0，x －2≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3，所以2<x <5，且x ≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)．对数型函数的图象 角度一 对数型函数图象的辨析已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )【解析】 当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C 符合，故选C.【答案】 C角度二 作对数型函数的图象画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|log 12x |.【解】 (1)函数y ＝log 3(x －2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|log 12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x ≤1，log 2x ，x >1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．角度三 对数型函数图象的数据分析如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1【解析】 作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.【答案】 B有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y ＝m ＋log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点时，只需令f (x )＝1求出x ，即得定点为(x ，m )．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．1．在同一坐标系中，函数y ＝2－x与y ＝log 2x 的图象是( )解析：选A.函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x过定点(0，1)，单调递减，函数y ＝log 2x 过定点(1，0)，单调递增，故选A.2.已知函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象如图所示． (1)求实数a 与b 的值；(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 的图象有何关系？解：(1)由图象可知，函数的图象过(－3，0)点与(0，2)点，所以得方程0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ，解得a ＝2，b ＝4.(2)函数y ＝log a (x ＋4)的图象可以由y ＝log a x 的图象向左平移4个单位得到．1．对数函数的图象过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为 ( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x解析：选D.由于对数函数的图象过点M (16，4)，所以4＝log a 16，得a ＝2.所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.2．已知函数f (x )＝log a (x －1)＋4(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点Q ，则Q 点坐标是( ) A ．(0，5) B ．(1，4) C ．(2，4) D ．(2，5)解析：选C.令x －1＝1，即x ＝2.则f (x )＝4.即函数图象恒过定点Q (2，4)．故选C.3．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将点(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}．[A 基础达标]1．下列函数中与函数y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝(x )2C ．y ＝log 22xD ．y ＝2log 2x解析：选C.y ＝x 2＝|x |，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，y ＝log 22x＝x (x ∈R )，y ＝2log 2x ＝x (x >0)，故与函数y ＝x 是同一个函数的是y ＝log 22x.故选C.2．y ＝2x与y ＝log 2x 的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．原点对称D ．y 轴对称解析：选B.函数y ＝2x与y ＝log 2x 互为反函数，故函数图象关于直线y ＝x 对称． 3．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1x ＋2的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，12B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选C.对于函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1x ＋2，有⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2>0.解得x >－2且x ≠12.故定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )解析：选C.由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：57．函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点________．解析：依题意，当x ＝0时，y ＝log a (0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)． 答案：(0，－2)8．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________． 解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，即1＜a ＜2， 若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1无解． 综上，a 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)9．已知函数f (x )＝log 3x . (1)作出函数f (x )的图象；(2)由图象观察当x >1时，函数的值域． 解：(1)函数f (x )的图象如图：(2)当x >1时，f (x )>0.故当x >1时，函数值域为(0，＋∞)．10．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数y ＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数y ＝f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明． 解：(1)要使函数y ＝f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞0，3－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数y ＝f (x )－g (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜32.(2)由(1)知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域关于原点对称， 所以，f (－x )－g (－x ) ＝log a (3－2x )－log a (3＋2x ) ＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )] ＝－[f (x )－g (x )]．所以函数y ＝f (x )－g (x )是奇函数．[B 能力提升]11．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0，10]，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．10 C ．1D.110解析：选C.由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0，10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0<x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.12．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出f (x )的大致图象．解：因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， 所以f (－x )＝lg(1－x )． 又f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－lg(1－x )， 所以f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x >0，0，x ＝0，－lg （1－x ），x <0，所以f (x )的大致图象如图所示：13．求函数y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.[C 拓展探究]14．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，g (x )＝(f (x ))2＋f (x 2)． (1)求g (x )的定义域；(2)求g (x )的最大值以及g (x )取得最大值时x 的值． 解：(1)因为f (x )的定义域为[1，9]，所以要使函数g (x )＝(f (x ))2＋f (x 2)有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，所以1≤x ≤3，所以g (x )的定义域为[1，3]．(2)因为f (x )＝2＋log 3x ，所以g (x )＝(f (x ))2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为g (x )的定义域为[1，3]， 所以0≤log 3x ≤1.所以当log 3x ＝1，即x ＝3时，函数g (x )取得最大值． 所以g (x )max ＝g (3)＝13.。