第2章 轴向拉伸与压缩

危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。 危险点：应力最大的点。
N(x) σ max = m ax( ) A x) (
材料力学
Saint-Venant原理 原理： 4. Saint-Venant原理：
离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。 离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。 变形示意图： 变形示意图：
材料力学
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为： [例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m， mm，许用应力[ Pa。 =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力[σ]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。 试校核刚拉杆的强度。
材料力学
[例2]
作用，方向如图， 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 杆的轴力图。 坐标向右为正， 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x) L x q O
自由端。 自由端。 取左侧x 段为对象， 取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
q(x) x qL Nx
材料力学
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。
拉伸应力： 2. 拉伸应力： P
σ
N
N σ= A
拉正压负. 拉正压负.
轴力引起的正应力 —— σ ： 在横截面上均布。 在横截面上均布。
危险截面及最大工作应力： 3. 危险截面及最大工作应力：
P + x
材料力学
[例1]
点分别作用着大小为5 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A PA
B PB B PB
C PC C PC
D PD D PD
N1
A PA
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
∑ X = 0 N1 − PA + PB − P − PD = 0 C
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。 应力分布示意图： 应力分布示意图：
P
P
a
b
σ σ
c
P
σ
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
应力集中（ 5. 应力集中（Stress Concentration）： ）：
N –
kL2 2
1 x N ( x ) = ∫0 − kx d x = − kx 2 2 1 2 N ( x ) max = − kL 2
材料力学
x
O
四、应力的概念
问题提出： 问题提出： P P
内力大小不能衡量构件强度的大小。 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 强度： 内力在截面分布集度应力； 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 材料承受荷载的能力。
N1 − 5P + 8P − 4P − P = 0
N1 = 2P
材料力学
N2
同理，求得AB、BC、 同理，求得AB、BC、 AB CD段内力分别为： CD段内力分别为： 段内力分别为
B PB N3
C PC C PC N4
D PD D PD D PD
N2= –3P N3= 5P N4= P
轴力图如右图
材料力学
n↑安全 ↔
三、许用应力：[σ ] = 许用应力：
σ jx
n
四、强度条件(拉压杆)： 强度条件(拉压杆)
σ
其中
max = max(
N ( x) ) ≤ [σ A( x )
]
--（危险点的） σmax--（危险点的）最大工作应力
五、三类强度问题： 三类强度问题：
依强度准则可进行三种强度计算： 依强度准则可进行三种强度计算： ①校核强度： 校核强度： ②设计截面尺寸： 设计截面尺寸：
材料力学
二、截面法 · 轴力
内力的计算是分析构件强度、刚度、 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： 截面法的基本步骤：
① 截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。 截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。 代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用， ② 代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力 （力或力偶）代替。 力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。 ③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。 （此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）
材料力学
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的外力称为拉力。 轴向拉伸，对应的外力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的外力称为压力。 轴向压缩，对应的外力称为压力。
P
材料力学
二、 工 程 实 例
材料力学
材料力学
用截面法计算拉( §2–2 用截面法计算拉(压)杆的内力
一、内力
指由外力作用所引起的、 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成 （附加内力）。 附加内力）。
N 2P + – 3P
5P + P x
材料力学
轴力图的特点： 轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力( 轴力(图)的简便求法： 自左向右: 的简便求法： 自左向右: 增量为正； 遇到向左的P ， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P 增量为负。 ， 轴力N 增量为负。
5kN 5kN +
8kN
3kN
8kN – 3kN
σ
max
= 44.9 MPa < [σ ] = 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。 此杆满足强度要求，是安全的。
材料力学
[例5]
简易起重机构如图， 为刚性梁， 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使
杆最轻， 应为何值？ 杆的许用应力为 许用应力为[ BD杆最轻，角 θ 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[σ]。
Δ dN N σ = lim = A dA Δ →0 Δ A
应力单位：Pa = N/m2 应力单位
p
τ
M
σ
M Pa = 106 N/m2 G Pa = 109 N/m2
位于截面内的应力称为“剪应力” Stress)。 位于截面内的应力称为“剪应力”(Shear Stress)。
Δ dT T τ = lim = A dA Δ →0 Δ A
材料力学
五、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设： 变形规律试验及平面假设： a c b d
横截面
变形前
受载变形后： 纵向纤维变形相同。 受载变形后：各纵向纤维变形相同。
P
a´ c´
b´ d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 （直杆在轴向拉压时） 直杆在轴向拉压时）
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§2–3 拉（压）杆的强度条件 3
一、极限应力sjx：指材料破坏时的应力. 极限应力sjx：指材料破坏时的应力. sjx
静载: 二、安全系数n ：静载: 安全系数n n = 1.25 ~ 2.5 3 ~ 9 (危险性大) (危险性大) 危险性大
动载: 动载: n = 2 ~ 3.5 or 采用安全系数原因: 采用安全系数原因:
1.极限应力的差异. 1.极限应力的差异. 极限应力的差异 横截面尺寸的差异. 2. 横截面尺寸的差异. 3.载荷估计不准 载荷估计不准. 3.载荷估计不准. 4.应力计算的近似性 应力计算的近似性. 4.应力计算的近似性. 5.构件与工程的重要性 构件与工程的重要性. 5.构件与工程的重要性. 6.减轻设备自重的要求. 6.减轻设备自重的要求. 减轻设备自重的要求 n↓经济 杆件能安全工作的应力最大值
第2章 轴向拉伸与压缩
材料力学
本章主要内容
§2–1 引言 §2–2 用截面法计算拉(压)杆的内力 §2–3 拉压杆的强度条件 §2-4 拉压杆的变形 胡克定律 §2-5 材料拉伸和压缩时的力学性能 §2-6 温度和时间对材料力学性能的影响 §2-7 拉伸、压缩超静定问题
材料力学
§2–1 1
一、概念
应力的表示： 2. 应力的表示：
①平均应力 (∆A上平均内力集度) 上平均内力集度)
∆P
M ∆A
pM
∆P = ∆A
②全应力（总应力）：(M点内 全应力（总应力）：(M点内 ）：(M 力集度) 力集度)
ΔP d P p M = lim = A dA ΔA → 0 Δ
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③全应力分解为： 全应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” Stress)； 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
轴力最大值: BD杆 轴力最大值:
N BD
Px = hcosθ
N BD
PL = hcosθ
BD杆面积A：
A ≥ N BD / [σ ]
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L x
XA YA
A
B
θ
NB
P
V = ALBD
o
C
最小值： ③ 求VBD 的最小值：
2 PL = Ah / sin θ ≥ ; [θ ] sin 2θ
P P
1.
定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度 集度。 定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。