北师大版高中数学必修二课件：1.5.2面面平行的性质
北师大版高中数学必修2课件：1.5.2 平行关系的性质(2)PPT课件
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
γ
a
b
α
β
例题讲解
例1、求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.
如 图 ,//,A B//C D , A
D
且A,C,
B ,D .
求 证 ： A B C D B
C
例题讲解
证 明 ： 因 为 AB//CD ，
所 以 过 A B ， C D 可 作 平 面 ，
且 平 面 与 平 面 和 分 别 相 交 于 A C 和 B D .
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a M,直线b N,
下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交
其中可能出现的情形有 ( )
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
例题讲解
例2、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、
在 B C A 中 ， N M //A C ， N M //平 面
平 面 //平 面
NM/
平 面 P N M //平 面 直 线 M P//平 面 .
课堂小结
1. 复习了平面与平面平行的 概念及判定;
2. 学习并掌握平面与平面平 行的性质.
1.5.2 平行关系（2）
问题引入 1、什么叫两平面平行？
2、两平面平行的判定定理？ 如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面，那么这两个平面平行. 3、推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条直线,那么这两个 平面平行.
【高中课件】北师大版必修2高中数学1.5.2平行关系的性质配套课件ppt.ppt
【自主解答】 如图，连接DC， 设DC与平面β相交于点G， 则平面ACD与平面α、β分别相交于直线AD、BG.
平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF. 因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF. 于是在△ADC内有BACB＝DGGC， 在△DCF内有DGGC＝DEFE. ∴BACB＝DEFE.
1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据， 可以用来证明线线平行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行， 再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确 定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的 相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平 行”．
如图1－5－13所示，已知异面直线AB，CD都平行于平 面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD与α分别交于M，N 两点，求证：MAMC＝NBND.
图1－5－14
【证明】 过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE， BE，
∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理) 取AE中点N，连接NP，MN， ∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP β，DE β，MN β，BE β， ∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP 平面MNP，∴MP∥β.
(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．
【自主解答】 (1)因为CD∥平面EFGH， 所以CD∥EF，CD∥GH，所以GH∥EF. 同理EH∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为AB⊥CD，所以HE⊥EF. 所以四边形EFGH是矩形．
高中数学北师大版必修二 1.5.2平行关系的性质 课件(36张)
目标导航
预习引导
预习交流 3
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,那么 a 与 β 的位置关系是怎样的? 提示:a∥β.由于 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,而 a⫋α,所以 a 与 β 也没有公共点.故必有 a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法,即 转化为面面平行.
预习交流 4
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,直线 b⫋β,那么 a 与 b 的位置关系是怎 样的? 提示:直线 a 与 b 可能平行,也可能异面,但不可能相交.
问题导学
当堂检测
证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点, ∴ AP∥OM. 又 OM⫋平面 BMD,AP⊈ 平面 BMD,∴ AP∥平面 BMD. ∵ 平面 PAHG∩平面 BMD=GH,AP⫋平面 PAHG, ∴ AP∥GH.
(1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长.
问题导学
当堂检测
思路分析:由 PB 与 PD 相交于点 P 可知 PB,PD 确定一个平面,结合 α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平 面问题.
问题导学
当堂检测
(1)证明:∵ PB∩PD=P, ∴ 直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又 α∥β,∴ AC∥BD. (2)解:由(1)得 AC∥BD,∴ ∴=
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预习引导
2.平面和平面平行的性质定理 (1)文字叙述: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号表示: ������ ∥ ������ ������⋂������ = a ⇒ a∥b. ������⋂������ = b (3)图形表示:
高一数学(北师大)必修2课件：1.5.2平行关系的性质
1•理解线面平行的性质定理2•理解面面平行的性质定理3•能够利用两个定理解决有关问题.HI首页X褊嚴E DWf 思维脉络首页1・直线与平面平行的性质定理文字语言:如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线符号语言:川％压0QCI0二图形语言:作用:证明两条—平行.首页做一做1如图所示，在四棱锥P-ABCD中,分别为A C,PC上的点,且MNII平面丹10，则（）A.MNWPDB.MNIIB4C.MNWADD.以上均有可能PBX名师点拨：;I正确理解线面平行的性质定理:(1)克线与平面平行的性质定理中有三个条件：①直线/和平面僅平行。
即/ //a；②平面a』相交亍即g Dp=b ；③直线I在平面0内，即库乩这三个条件缺一不可.(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.(3)在应用线面平行的性质定理时亍往往会出现这样的易错点fa. // 宰趴所以a //,所以在应用时要谨慎.; (4)线面平行的判定定理与性质定理常常交桥使周::先通过线线平行找出线面平行"再通过线面平行推出线线I平行，其关系可用以下关系链表示：i 「囊线］在平面内作您丽|经过直线作或找平翦|...... •平行…或找二篆直线八平行t面号平WT的交线"•平行..DWf D 鵜細ANC首页2 •平面与平面平行的性质定理文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的•平行.符号语言:a II p.a^\y-a,p^\y-b^c图形语言:作用:证明直线与直线DWf D為絲狐观首页做一做2 平面a II平面0,平面y II平面5,且aC\y=a,ar\3=b,j3C\y=c^r\3=d,则交线a.b.c.d的位置关系是（）A.互相平行 B.交于一点C.相互异面D.不能确定解答，(名师点拨JIa正确理解面面平行的性质定理:(1)面面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一1种方法；I] (2〉已知两个平面平行'虽然一个平面内的任何直线I〕椰平行于另一个平面’但是这两个平面内的所有直线并不II-定相互平行.[ (3)面面平行的其他性质：: II ①两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一： I个平面.简言之严面面平行，则线面平行「这可以作为证iII明銭面平行的一种方法. i I ②夹在两个平行平面间的平行践段相等. i I ③两个平面都与第三个平面平行.那么这两个平面互i 「相平行+i I: ④两条直线被三个平行平面所截.截得的对应线段成1II比仙i Ii ⑤经过平面外一点有JI只有一个平面与已知平面平行.=DWf D為絲狐观首页思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“V”,错误的打“X”.(1)如果三个平面a,0,y满足a\\p\\y,且平面5与这三个平面相交，交线分别为d上G则有a II b II c成立()(2)若直线"与平面a不平行，过直线“的平面”与平面a的交线为/，则" 与/不平行.()(3)若直线"与平面a平行，则直线“一定平行于平面a内所有的直线. ()首页X籀嚴E探究一直线与平面平行的性质及其应月【例1】如图所示，己知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和仲作平面交平面BDM于GE求证:APWGH.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC 探究一探究二探究二易错辨析证明涟接A C交BD于点O，连接MO.:四边形ABCD是平行四边形，・：0是AC的中点.又M是PC的中点,・II OM.・・OMM平面BMDAPE平面BMD..9.AP\\平面BMD :•平面BAHGA平面BMD=GHAP圧平面PAHG./.APWGH.首页X籀嚴E探究一探究二探究二易错辨析c反恩感悟上: :: 如果已知亢线与平面平行，在利用直线与平面平行的；ti性质定理时■常作过此克线与已知平面相交的辅助平面.i: : I完成线面平行向线线平行的转化"再由线线平行向线面平II行转化•这种互相转化的思担方法的应用「在立体几何中；［十IANC 分常见. ii 「'■ta ■■ ■«*■ ■ * ■ ■・■・■■■■・■■心■ ■■■“■ ■ a：■ ■・■•■■!&■ ■■■■■■<!■ ■ is ■ ■■■■■■■】■■■■(■■■•■■•■ ■■■«■■ m ■首页X籀嚴E变式训练1如图所示亦n”二CD/zn尸EF0PI尸A5ABII久求证:CDWEF.探究二平面与平面平行的性质及其应用【例2】如图所示，已知刖風点P 是平面切外的一点(不在a 与”之 间)，直线P5"分别与a,0相交于点A,〃和CQ(1) 求证:ACIIBD;(2)若PA=4 cm,AB=5 cmfC二3 eg求PD的长.分析:由PB与PD相交于点P可知P5PD确定一个平面，结合a II几可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.I反思感悟)利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤: (1 ｝先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面.使这两条直线椰在这个平面内;(4)由定理得出结论.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC 探究一探究二探究二易错辨析变式训练2在正方体中，作截面EFGH(如图所示)交GDA1B/5CQ分别于点E,FGH,则四边形EFGH的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形首页X籀嚴E解析:由于正方体中平面ABB X A X\\平面DCCQi，又截面EFGH与平面ABB{A{.平面DCC X D X分别相交于由面面平行的性质定理知GFHEH;同理可得EFWGH,故四边形EFGH —定是平行四边形，故选A.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC探究三平行关系的综合问题【例3】如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE /ED=2 :1,在棱PC上是否存在一点F,使BFII平面AEC?并证明你的结论.i!l首页探究一探究二探究二易错辨析分析:可从“若两个平面平行，则一个平面内的任一直线都与另个平面平行”这一结论入手考虑，作过点B与平面AEC平行的平与PC的交点就是要找的点.首页X 籀嚴ED 嘉絲邀IANC探究一探究二探究二易错辨析解:存在•当F 是棱PC 的中点时,BFII 平面AEC ，证明如下: 取PE 的中点M,连接FMJBF,则FMII CE.因为FW 平面AECCE9平面AEC,所以FM11平面AEC.① 由EM 二 -PE 二ED,知E 是MD 的中点，连接2设BD n A C 二0则0为BD 的中点，连接OEMBMWOE.因为BMg 平 探究一 探究二 探究二易错辨析由FMHBM=M,得平面BFMW 平面AEC. 因为BFM 平面BFM,所以BF11平面AEC.P首页X籀嚴E匚反思感悟j 空间中三种平行关系的转化| L由面面平行的性质知，当a //P时，若/呈s则必有:1//P，因此可通过面面平行来证明线面平行.1 2.空间中三种平行关系的转化如下：线线平行i 3■在解决问题时▼论证平行关系亍用判定定理；已知平!行关系，则用性质定理.变式训练3如图所示屮为平行四边形ABCD所在平面外一点，点M,N 分别为AB,PC的中点，平面PADH平面PBC=l.(1)求证:BCIIZ;⑵MN与平面是否平行?证明你的结论.探究一探究二探究二易错辨析证明:如图所示，取PD的中点£连接ENAE，又因为N为PC的中点，所以EN |DC.在平行四边形ABCD ^.CD AB,又M为AB的中点，所以EN AM.所以四边形A MNE为平行四边形，所以AE〃MN. 又AE仝平面PAD,MN工平面PAD,所以MW〃平面PAD.在立体证明中错套平面几何定理而致误典例如图所示，已知EF分别是正方^ABCD-A X B X C{D X的棱AA^CC,的中点•求证四边形BEDpF是平行四边形.错解:在正方^ABCD-A X B X C X D^,平面A X ADD X\\平面B X BCC{, 由面面平行的性质定理得D{E\\FB.同理QiFHEB，故四边形EEFD、为平行四边形.正解:取DiD的中点G，连接EG,GC,:K是AiA的中点,G是DiD的中点，• ••EG AD.由正方体性质知AD BC. /.EG BC.•:四边形EGCB是平行四边形，•：EB GC.又：GF分别是DiACiC的中点，•:D1G FC.•:四边形DiGCF为平行四边形，•:D\F GC. ② 由①參口EB DiF,•:四边形BEDiF是平行四边形.工纠错心得」III L立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能I直接使•用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几「何问题转化为平面几何问题再证明.: 2•错解中就是担当然认为四边形EEDiF一是平面图I［形，而没有必要的说理••■■■■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■0■■■■■■■■■■■■■■■■■首页X初虢弟E D煮腦t®1 •如果直线t/平行于平面％则下列说法正确的是（）A.平面a内有且只有一条直线与“平行B.平面a内有无数条直线与“平行C.平面a内不存在与“平行的直线5 D.平面a内任一条直线都与d平行首页X初虢弟E D煮腦t®20 3 4 52•若平面a II平面堆禹则a与b~定是（）A.平行直线B.异面直线c・相交直线 D.无公共点的直线53•如图所示，在正四棱柱ABCDTBGD中,E，F，G,H分别是棱CCiCmDDC的中点、,N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件 ______________ 时，有MNII平面B、BDD\・INA B5解析:连接F&由题意知，HNII平面B、BDD「FH\\平面B、BDD「且HNOFH二H、所以平面NHFW平面B X BDD X.所以当M在线段HF上运动时，有MNII平面B X BDD{.5 A B矗X麴競E DSM?2 23 ④4•已知三棱锥缶BCD中二/截面EFGH与AB.CD都平行，则截面EFGH的周长是_____________ .首页1 2 3 [J] 5解析:截面肯定是平行四边形，且篇=务,所以EF=—a, R理空=—.AC AB AC所以FG=W@所以EF+FG=a. 所以截面EFGH的周长为2么N(5•在正方WABCD-A X B X C{D X中,分别为棱A/】与BC的中点，求证:EFII平面AiACC]・首页X褊嚴E DWf12 3 41-22345证明:取B[C]的中点G,连接EG ，GF因为EG 分别是A]Bi ，BiC\的中点，所以EGIIAG 因为 EG0 平面 A {ACC V A X C X ^ 平面 A X ACC X , 所以EG II 平面A X ACC V同理個为G ，F 分别是B^C^BC 的中点，所以GF\\C X C. 因为GFg 平面A]ACG ，C]C2平面A X ACC 所以GFW首页X 褊嚴E DWf1，平面A l ACC l・因为EGRGF=G,所以平面EFGW平面A X ACC X.又EF9平EFG,所以EFII平面A{ACC1-。
1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
2020-2021学年高中数学北师大版必修二课件：1.5.2 第2课时 平面与平面平行的性质
类型二 利用面面平行证明线线、线面平行 【典例2】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的 一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相 交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD. (2)已知PA=4 cm，AB=5 cm，PC=3 cm，求PD的长. 【解题指南】利用面面平行的性质证明线线平行，再 利用平行线分线段成比例求值.
【解析】选D.由直线a和点B可以确定一个平面γ， γ∩β=b，则b就是唯一过点B且与a平行的直线.
类型一 空间中平行关系的判断 【典例1】已知a，b表示两条不同的直线，α，β表 示两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，a α，b β，则a∥b； ②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β； ③若α∥β，a α，则a∥β；
结论：平面与平面平行的性质定理： _如__果__两__个__平__行__平__面__同__时__与__第__三__个__平__面__相__交__，__那__么__它__ _们__的__交__线__平__行__._
【对点训练】
1.若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，那么
直线a，b的位置关系是 ( )
【解析】(1)因为PB∩PD=P，
所以直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ=AC，β∩γ=BD.又α∥β，所以AC∥BD.
(2)由(1)，得AC∥BD，所以PA ＝ P，C
AB CD
所以 4＝ 3所，以
5 CD
CD＝15 cm，
4
所以 PD＝PC＋CD＝27 cm.
4
【方法总结】 1.证明线线平行 (1)公理4：平行线间的传递性. (2)利用面面平行的性质定理：给出两个平面平行，而 没有给出第三个平面和它们相交时，常常需要作出平 面和它们相交，然后将面面平行转化为线线平行.
北师大版高中数学必修二1.5.2 平行关系的性质
设该平面为β. 则α∩β=CD.
A
B
AB
AB//CD
AC//BD
AB//平面α
C
D
四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？
a
a
b
b
// a a // b b
A1 P
C1
（ 2）
EF 面AC EF // 面AC. BC 面AC EF // BC
E D
B1 C B
A
BE、CF显然都和面AC相交.
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α， AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线？ （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ （1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1 F 于点E、F, 连结BE、CF.
平面ACF∩β=BG 平面ACF∩γ=CF //
A
AD // GE DE
EF AG GF
BG // CF
AB DE .
BC EF
AG AB GF BC
B
G
E
F
C
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？ 为什么？ 2.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题 是否正确： （1）若m//α, n//α, 则m//n;
北师大版高中数学必修二 5.2平行关系的性质(16张ppt)
证明： a//
a与 没 有 公 共 点
a
又 因 为 b在 内
b
a与 b没 有 公 共 点
又 a与b都在平面内
且没有公共点
a // b
北 师 大 版 高 中数学 必修二 5 .2平 行关系 的性质 (16张p pt)【精 品】
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,那么过该直线的任意一 个平面与已知平面的交线与该直线平行。
b
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识应用知识应用
【例2】三棱锥A-BCD被一平面所截，截面 为平行四边形EFGH，求证：CD//平面EFGH
线面平行
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知识应用知识应用
【例1】已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面, 求证：另一条也平行于这个平面。
如 图 ： 已 知 直 线 a ， b ， a//b ， a//。 求 证 ： b / /
a
b
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2.5.2 直线和平面平行的性质
复习
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行．
a
a
b
a
//
b
a // b
判定定理可概括为:线线平行
线面平行.
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件 问题，反之，如果已知直线与平面平行，可以得到什么结论呢 ？
高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1-5-2平行关系的性质课件
α
思考2:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面 α有几种位置关系？
a
a
α
α
思考3:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面 α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
a
b α
思考4:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么 结论？并用文字语言表述之.
βa
例3.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与 γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.
求证：AB DE
A
BC EF
证明：连结AF交β于M,连结BM、EM，BE. ∵β∥γ，平面ACF分别交β、
γ于BM、CF，∴BM∥CF.
B
∴ AB AM
BC MF
同理， AM DE
MF EF
C
AB DE BC EF
D
M E
F
知识小结
1．直线与平面平行和平面与平面平行的性质：
面面平行
线面平行
线线平行 2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
l α β
“若面面平行，则线面平行”
/ /,l l / /
思考7:若 // ，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，
那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
γ
b β
α
a
定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那么它们 的交线平行.
γ
“若面面平行，则线线平行”
b β
α
a
/ /, a, 平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行.
直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平 行”，在实际应用中它有何功能作用？
《1.5.2 第2课时 平面与平面平行的性质》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B. ……………
方法二:如图，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交 AB于F，则ME∥NF， ………………………………………
2分
连接EF，则EF 平面AA1B1B， ∵BD=B1C，DN=CM，
ME B1M , NF BN . BC B1C AD BD
【变式训练】在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AE、CD1 的中点，AD=AA1=a，AB=2a. 求证：MN∥平面ADD1A1.
【解题提示】可证过MN的平面与平面ADD1A1平行，由 M、N是中点，可取CD中点G，然后证明平面MNG∥平面 ADD1A1.
【证明】取CD的中点G，连接MG、NG， ∵M，N，G分别是AE，CD1，CD的中点， ∴NG∥DD1，GM∥AD， 且NG∩GM=G， DD1∩AD=D， ∴平面MNG∥平面ADD1A1， 又直线MN 平面MNG， ∴MN∥平面ADD1A1.
【例1】如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α 与β之间)，直线PB、PD分别与 α、β相交于点A、B和C、D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA=4 cm，AB=5 cm， PC=3 cm，求PD的长. 【审题指导】由PB与PD相交于点P可知PB、PD确定一个 平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平 行关系，这样就转化为平面问题.
3.如图，在三棱锥O－ABC中，D、E、F分 别是棱OA、OB、OC上的点，且平面DEF∥ 平面ABC，则角一定相等的有_______对. 【解析】因为平面DEF∥平面ABC， 所以DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC， △DEF∽△ABC，所以相等的角有9对. 答案：9
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1、C1、B的平面与底 面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是 ________.
高中数学 第1章 5.2 第2课时 平面与平面平行的性质优质课件 北师大版必修2
行(píngxíng)于平面β．其D中正确的是（ ）
A.②
B.③
C. ①②
D.①③
第十四页，共23页。
解：①若平面(píngmiàn)α∥平面(píngmiàn)β，则直线 a∥平面(píngmiàn)β；因为直线a α，平面 (píngmiàn)α∥平面(píngmiàn)β，则α内的每一条直线 都平行平面(píngmiàn)β．显然正确．
第十七页，共23页。
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点(dǐngdiǎn)A1，C1，B 的平面
与底面平A行BCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关 系是(p__ín__g_x.í 【解析n】g)因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面ABCD∩平面A1C1B＝l， 平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1.
别交于直线AD,BE,CF,因为α，β，γ两两平行，所以
AD∥BE∥CF,故
AB DE . BC EF
当直线m与l不共面时，连接DC.
设DC与β相交于点G,则平面(píngmiàn)ACD与α，β
分别相交于直线AD,BG,平面(píngmiàn)DCF与β，γ
分因为别α相，交β，于γ直两线两G平E行,C，F.所以(suǒyǐ)BG∥AD,GE∥CF.
第十一页，共23页。
例2 如图，平面(píngmiàn)α，β，γ两两平行，且 直线l与α，β，γ分别相交于点A,B,C,直线m与α， β，γ分别相交于点D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长.
B
E
第十二页，共23页。
解 当直线m与l共面时，该平面(píngmiàn)与α，β，γ分
因此 AB DG，DG DE .
高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课件
②若AB、CD异面， 如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、 BE、ED. ∵AE∥CD. ∴AE、CD确定平面AEDC. 则 平 面 AEDC 与 α 、 β 的 交 线 分 别 为 ED 、 AC ， ∵ α∥β ， ∴ED∥AC. 又P、N分别为AE、CD的中点， ∴PN∥ED，又ED 平面α，PN 平面α， ∴PN∥平面α.
题型二 面面平行性质定理的应用 【例2】 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，
M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α. 证明 ①若AB、CD在同一平面内，则平 面ABDC与α、β的交线为BD、AC. ∵α∥β，∴AC∥BD. 又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD. 又BD 平面α，MN 平面α，∴MN∥平 面α.
【迁移】 上题条件不变，问“不管怎样翻折矩形ABEF， 线段MN总和线段FD平行．”这个结论对吗？如果对请证 明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论 成立．
符号 语言
a∥α a β ⇒a∥b α∩பைடு நூலகம்＝b
图形 语言
【预习评价】 (1)如图，直线l∥平面α，直线a 平面 α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？ 提示 不一定，因为还可能是异面直线． (2)如图，直线a∥平面α，直线a 平面β，平面α∩平面β ＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什 么位置关系？
题型三 平行关系的综合应用
【例3】 如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中， AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意 翻折． 求证：当F、A、D不共线时，线段MN总平行 于平面FAD.
证明 在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G. 由于ABCD和ABEF都是矩形，且AD＝BE. ∴四边形ADBE是平行四边形．又AM＝DN， ∴四边形AMND为平行四边形，∴MN∥AD. 折 叠 之 后 ， MG∥BE∥AF ， NG∥AD ， 且 MG∩NG ＝ G ， AD∩AF＝A，如图， ∴平面ADF∥平面GNM. 又MN 平面GNM， ∴MN∥平面ADF. ∴当F、A、D不共线时，MN总平行于平面ADF.
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想一想：由两个平面平行可以得到哪些结论呢？ 1.平行于同一平面的两平面平行；
2.夹在两平行平面间的平行线段相等.
议
例2几何体ABCD—A1B1C1D1是棱长为a
的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1
1 AP a, 的中点，P是AD上的一点， 3
过P、M、N的平面交底面ABCD于PQ，
γ
β α b a
平行.
由于两条交线a,b分别
在两个平行平面α，β内，
所以a与b不相交.
又因为a,b都在同一平
面γ 内，由平行线的定
义可知a∥b.
定理
简记:面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行.
图形语：
a b
/ / , I a, 符号语言： I b
a // b
例1:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图,α //β ,AB//CD,且A∈α , C∈α ,B∈β ,D∈β . 求证:AB=CD. 证明 因为AB//CD,所以过AB,CD 可作平面γ ,且平面γ 与平面α 和β分 别相交于AC和BD.
议
因为α //β,所以AC//BD. 因此,四边形ABDC是平
与另一个平面有什么位置关系？
a
直线与平 面没有公 共点
结论：如果两个平面平行，那么一个平面内的
直线与另一个平面平行.
思
思考2:如果两个平面平行，两个平面内的直线有
什么位置关系？
提示:如果两个平面平行，那 么两个平面内的直线是异面 直线,或者是平行直线.
思
思考3:若α ∥β ，平面α，β分别与平面γ 相交于直线 a，b，那么直线a，b的位置关系如何？为什么？
ab =P a // b //
P
a ,b //
b
符号语言 转 线面平行 化
图形语言
转 面面平行 化
线线平行
导
知识回顾:面面平行的判定定理2
如果一个平面内有两条相交直线
a α
b
分别平行于另一个平面内的两条
直线，那么这两个平面平行.
β
思
思考1:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线
又PE
平面EDC,
∴PE∥平面A1BF.
平面和平面平行的判定定理:
直线与直线平行
平面与平面平行
平面和平面平行的性质定理
结论: 1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的 直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面 平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等.
DP DQ ， AD CD DP CD 2 DQ DP AD AP a, AD 3
2 2 在Rt△PDQ中， PQ DP 2 DQ2 a. 3
【方法技巧】
应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
评
议
例3 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中， 点D、E、F分别是AB、AA1、CC1的中 点，P是CD上的点，
吉安县三中高二数学备课组
1、理解平面与平面平行的性质定理，能用文字语 言、符号语言、图形语言正确表述 2、能用平面与平面平行的性质定理证明空间中的 平行问题
知识回顾:：面面平行的判定定理1
线不在多 贵在相交
导
a
如果一个 平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，
那么这两个平面平行.
a , b
求证：直线PE∥平面A1BF.
【解题提示】要证直线PE∥平面A1BF可以转化为证明
平面EDC∥平面A1BF.
展
【证明】如图所示，连接DE、CE, ∵D、E、F分别是所在棱的中点， ∴DE∥A1B,A1E CF, ∴四边形A1ECF是平行四边形,
∴EC∥A1F,又DE∩CE=E,
A1B∩A1F=A1,∴平面EDC∥平面A1BF，
小结
空间线面间平行关系转化示意图
判定 判定 性质 性质 判定 性质
线线平行
线面平行
面面平行
检
1. 如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角
形，CB=CD，EC⊥BD.若∠BCD=120°，M为线段AE的
中点，求证：DM∥平面BEC.
M
【证明】取AB中点为N，连接MN,DN，
因为M是AE的中点，所以MN∥BE.
因为△ABD是等边三角形，
所以DN⊥AB.
由CB=CD,∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，
所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB，
所以ND∥BC，又因为MN∩DN=N，
BE∩BC=B，
所以平面MND∥平面BEC，
Q在CD上，求PQ的长度. 【解题提示】解答本题的关键是利用面面平行的性质及 空间线线平行的传递性证明PQ∥AC.
展
【解析】连接AC,A1C1, ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
平面PMN∩平面ABCD=PQ,
平面PMN∩平面A1B1C1D1=MN，
∴MN∥PQ,
展
∵M、N分别为A1B1,B1C1的中点， ∴MN∥A1C1,又AC∥A1C1, ∴PQ∥AC,