第二章特殊三角形复习

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初中二年级数学上册第2章特殊三角形单元复习

第2章特殊三角形单元复习1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质.2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定.3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决.考点一：轴对称与轴对称图形例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是()A. B. C. D.例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于()A.30°B.45°C.60°D.75°2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种.考点二：等腰三角形的性质与判定例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A)A.72°或45°B.45°或36C.36°或90°D.72°或90°例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.（1）求证：∠ACE是等腰三角形.（2）若AC＝13cm，CE＝24cm，求∠ACE的面积.1.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一).2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).3.在①等腰、②底边上的高、③底边上的中线、④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.3.（绍兴市柯桥区）在∠ABC中，与∠A相邻的外角是140°，要使∠ABC是等腰三角形，则∠B的度数是.4.（嘉兴市）如图所示，∠ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝.(第4题）5.（杭州市江干区）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题.考点三：直角三角形的性质与判定例5 （杭州市余杭区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是(C)A.64B.42°C.32°D.26°例6 （天台县）如图所示，在Rt∠ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∠BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1.（1）求∠B的度数.（2）求CN的长.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中，两个锐角互余；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.6.（杭州市拱墅区）在Rt∠ABC中，∠C＝90°，∠A-∠B＝70°，则∠A的度数为()A.80°B.70°C.60°D.50°7.（绍兴市越城区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于()A.30°B.40°C.50°D.60°8.（嘉善县）如图所示，在∠ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点.若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°.考点四：线段的中垂线与角平分线例7 （德清县）如图所示，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∠OB，EC∠OB于点C，EG∠OA于点G，若EC=√3，则OF的长度是()A.2√3B.√3C.3D.2例8 （杭州市西湖区）在∠ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为.（用含α的代数式表示）1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不必证明全等.2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.9.（宁波市江北区）如图所示，在∠ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝2，则AC＝.(第9题）(第10题）10.（杭州市临安区）如图所示，AB∠CD，∠ABC和∠DCB的平分线BP，CP交于点P，过点P作PA∠AB于点A，交CD于点D.若AD＝10，则点P到BC的距离是，∠BPC＝.考点五：勾股定理例9 （嘉兴市）如图所示的图案由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是.例10 （慈溪市）如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，若CD＝5，则AE＝.1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2.2.勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.11.（湖州市南浔区）如图1所示，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图2所示的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为()图1 图2A.5B.5.5C.5.8D.612.（临海市）如图所示，在∠ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2√3.(第12题）（1）求证：∠ABC是直角三角形.（2）D是AC上的中点，求BD的长.考点六：等边三角形与直角三角形例11 （杭州市临安区）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为D，E.（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD＝AE.（2）如图2所示，若AB＝1，BC＝2，求DE的长.（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数.图1 图2 图31.等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线都是对称轴.2.等腰直角三角形是另一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即两个锐角相等且都是45°；斜边上的中线、斜边所对角的角平分线、斜边上的高三线合一.13.（余姚市）如图所示，∠BAC＝90°，B是射线AM上的一个动点，C是射线AN上一个动点，且线段BC 的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连结AD.若2AD＝BC，则∠ABD的度数是.(第13题）14.（杭州市余杭区）如图所示，∠ABC和∠DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.(第14题）（1）求证：BD＝AE.（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积.本章主要易错点1.注意轴对称与轴对称图形的区别，轴对称是指两个图形的关系，而轴对称图形是指一个图形本身的特征.2.“等边对等角”“等角对等边”指的是同一个三角形中边角之间的转化关系，不能与全等混淆.3.等腰三角形“三线合一”的“三线”是指底边的中线、高线和顶角平分线.4.勾股定理描述直角三角形边之间的关系，主要应用于线段长度的计算，注意其前提条件是在直角三角形中，因此构造直角三角形是应用勾股定理最重要的一个步骤.5.等腰三角形中按边分类、直角三角形中按直角分类是特殊三角形问题中常见的分类讨论，要注意合理分类. 练习1.（杭州市江干区）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°2.（湖州市吴兴区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A. 125B. 245C. 135D. 75(第2题）(第3题）(第4题）(第5题）(第6题）3.（杭州市江干区）如图所示，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，DE 是斜边AB 的中垂线，交AC 于点E ，∠EBC 的周长为14，则AB ＝ .4.（嘉兴市）如图所示，已知正方形ABCD 的边长是2cm ，E 是CD 边的中点，点F 在BC 边上移动，当AE 恰好平分∠FAD 时，CF ＝ cm.5.（杭州市萧山区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，S ∠ABC ＝8√3，M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，AC 上任意一点. （1）AB 的长为 .（2）PM+PN 的最小值为 .6.（嵊州市）如图所示，∠ABC 是边长为12的等边三角形，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且BE ＝BD ＝10，P 是线段DE 上的一个动点，分别作点P 关于AB ，AC ，BC 的对称点P 1，P 2，P 3，若连结P 1，P 2，P 3所得的三角形是等腰三角形，则DP ＝ .。

第2章特殊三角形复习PPT教学课件

个直角三角形全等
4、等腰三角形的底角为15 °，腰长为2a，则三角形的面积为______
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5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1 ，S2，则S1+S2 的值为_____.
6、如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8,AE 平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结 DE，则△BDE的周长为______.
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例7、如图，点M直线y＝2x＋3上在第二象限内的一个动点，过点M作MN垂直于轴于N，在轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形.如果存在，请你写出符合条件的点P 的坐标．如果不存在，请说明理由。
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例8、如图，已知∠ABC=10°,BD=DE=EF=FG,
（1）求∠AFG的度数；
D、∠A： ∠B： ∠C=1：4：4
2、若△ABC的三边a，b，c满足(a-b)(a2+b2c2)=0,则△ABC是（）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形或直角三角形
D、等腰直角三角形
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3、下列命题中，不正确的是（） A、斜边对应相等的两个直角三角形全等 B、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C、有一条边相等的两个等腰直角三角形全等 D、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两
线交BC延长线于N，则△BMN为___________
三角形。
A
D
E
B
A
E
F
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D
Hale Waihona Puke C18第第410题题

浙教版八上数学期末复习-第二章特殊三角形

课题：第二章特殊三角形一、等腰三角形分类讨论1.1等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为：1.2等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．等腰三角形的腰长为：1.3.等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于：钢架问题2.1.如图1，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝图1 图2 图3 图4 图52.2如图2钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…恰能加8根钢架，且P1A=P1P2，求∠A范围．2.3如图3，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为：性质应用3.1如图4，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，求AC的长3.2如图5，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．3.3如图6，等腰△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE作图：4直线L上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线L上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个二、等边三角形性质应用1.1如图7，等边三角形ABC，BC＝2，D是AB的中点，作DF⊥AC于点F，作EF⊥BC于点E，BE的长为：图6 图7 图8 图9 图10 图111.2.如图8，等边△ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。

∠AFE=______面积法：2.1如图9，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，求PE+PF的值。

第二章特殊三角形期末复习

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直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：全等的判定
1）（1）一般三角形全等判定的四种方法（2）有斜边和一条直角边对应相等的两）个直角三角形全等（斜边、直角边” 个直角三角形全等（“斜边、直角边” 或“HL”））
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已知：例1.已知：如图，AB=AC，已知如图，， AD=AE，求证：BD=EC ，求证：
B
C
E
变式：已知AB=AC ， ∠B= ∠C ，求证EB=EC 变式
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1.如图在三角形如图,在三角形如图在三角形ABC中,AB=AC, ∠A=36,你能中你能分成三个等腰三角形吗?(提供两种以上把ABC分成三个等腰三角形吗提供两种以上分成三个等腰三角形吗 A 不同的作图方案) 不同的作图方案
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4.直角三角形斜边上中线等于斜直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。边的一半。
∵ ∠ACB= 90゜゜ＣＤ是ＡＢ边上的中线边上的中线．ＣＤ是ＡＢ边上的中线． 1 ＡＢ=BD=AD ∴ＣＤ＝ 2 ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）于斜边的一半．）
A
证明：在等边△ABC和等边△CDE中证明：∵在等边△ABC和等边△CDE中和等边 AC=BC，CD=CE， ∠ECD=60° AC=BC，CD=CE， ∠ACB= ∠ECD=60° A 三点共线，又∵B，C，D三点共线， ∠ACE=60 ACE=60° ∴ ∠ACE=60° ∠BCE=120° ∴ ∠ACD= ∠BCE=120° ACD和 BCE中在△ACD和△BCE中 AC=BC B ∠ACD= ∠BCE CD=CE 2011-10-12 ACD≌△BCE（SAS） ∴ △ACD≌△BCE（SAS） ∴BE=AD

浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件

知识结构框架图如下:
等腰三角形
等腰三角形的性质: 轴对称性
在同一个三角形中, 等边对等角
底边上的高、中线、顶角平分线三线合一
特
殊
三角
等边三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性质和判定直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
又会有几个等腰三角形？
A
BE＋CF=EF仍然成立吗？
E
OF
B
C
例2、如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD 相交于E点，由这些条件你能推导出哪些结论呢？请说明理由。
D
A
E
C
B
在网格中已有两个点A、B，现要在格点上寻找一个点C，使△ABC为等腰三角形。
① 已知BC=7cm，
D是AB的中点，CD
AD平分∠CAB，BC=10，
BD=7，求点D到
E
AB的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点E C
D
B
∵∠C= 90°， DE⊥AB ,AD平分∠CAB，
∴CD=D(E角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ BC=10，BD=7
∴DE=CD=BC-BD=10-7=3
2 .如图，D为等腰三角形ABC底边BC
有两个角互余的三角如果三角形中两边的平方和等于第三边的平
形是直角三角形
方，那么这个三角形是直角三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性质和判定直角三角形的性质

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件一、教学内容1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用二、教学目标1. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定方法。

2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定。

难点：特殊三角形在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。

2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用，引导学生思考特殊三角形的重要性。

2. 复习等腰三角形（1）教师引导学生回顾等腰三角形的性质与判定方法。

（2）例题讲解：证明一个三角形是等腰三角形。

3. 复习等边三角形（1）教师引导学生回顾等边三角形的性质与判定方法。

（2）例题讲解：证明一个三角形是等边三角形。

4. 复习直角三角形（1）教师引导学生回顾直角三角形的性质与判定方法。

（2）例题讲解：证明一个三角形是直角三角形。

5. 特殊三角形在实际问题中的应用（1）教师讲解特殊三角形在实际问题中的应用方法。

（2）例题讲解：求解一个实际问题，涉及特殊三角形。

（3）随堂练习：解决一个实际问题，涉及特殊三角形。

六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（4）解决一个实际问题，涉及特殊三角形。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。

2. 拓展延伸：（1）引导学生思考：特殊三角形还有哪些性质和应用？（2）推荐阅读：关于特殊三角形的研究性文章，提高学生的兴趣和拓展知识面。

第2章特殊三角形复习

2C
5. 三边都相等的三角形叫做等边三角形也叫正三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，是腰和底边相等的等腰三角形．
６.等边三角形的性质： a. 三边相等 b.三个角相等，都是600 c.三线合一 d.轴对称图形，三条对称轴
７.说一说：你用什么方法可以判定一个三角形是等边三角形
9.有一个角是直角的三角形叫直角三角形 10.直角三角形的两个锐角互余 .
2.
CD=12, DA=13, 且∠ABC=900,
3.
求这个四边
17. 直角三角形全等的判定：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
C
练16：已知CE ⊥ AB，DF ⊥ AB， A
AC=BD，AF=BE，则CE=DF。请说明理由。
16.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理:
B
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
∵ ΔABC是RtΔ
已知是Rt Δ, 得出边的关系
C
A
b
∴ a2+b2=c2
勾股定理的逆定理: 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
4. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 .
A ∵ ∠B=∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
B
C
练9：在⊿ABC中，AB=AC，∠1=∠2 则： ⊿ABD≌⊿ACD
A
D B1
解：∵ ∠1=∠2 ∴ DB=DC （为什么？）
又∵AB=AC, AD=AD
∴ ⊿ABD≌⊿ACD（sss ）

数学(浙教版)第二章特殊三角形总复习知识点+典型例题+同步练习(答案版)

第二章复习知识讲解一、轴对称图形1.对称轴的性质：轴对称图形的对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。

2.成轴对称的两个图形是全等图形。

3.折叠问题二、等腰三角形的性质及判定（一）性质1.等边对等角。

2.三线合一（同一顶点）。

3.两腰上的中线相等。

4.两底角平分线相等。

（二）判定满足以上四条性质即可判定为等腰三角形。

注：等边三角形的性质与等腰三角形的性质相似，但判定不可。

（二）等边三角形的判定1.有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。

2.三条边相等或两角为60°的三角形为等边三角形。

三、逆命题与逆定理1.逆命题：原命题的条件和结论互换位置的命题称为该命题的逆命题。

2.逆定理：一定是真命题。

3.定理一定是真命题，但不是所有的真命题都是定理。

四、直角三角形的性质1. 两锐角互余。

2. 斜边上的中线为斜边的一半。

3. 30°角所对直角边为斜边一半。

且两直角边成3倍关系。

五、勾股定理1. a²+b²=c²，两直角边平方和等于斜边的平方。

2. 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,13.3. 利用勾股定理会求第三边，会算距离，构建直角三角形，会算方向，会画出一些特殊线段。

六、直角三角形的判定1. 有两个角互余的角为直角三角形。

2. 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（勾股定理的逆定理）3. 一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL ）七、补充点1. 垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

2. 角平分线逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例1 有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ B ）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 下列说法中正确的是（ C ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方典型例题C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)例3 如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（C ）A.2B.2C.3D.23例4 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是11≤a≤12例5 已知等边三角形的高为23，则它的边长为 4例6 如图，已知∠BAC =130°，AB=AC ，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，则∠ADB=50°例7 如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=62一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( A )A. AD与BDB. BD与BCC. AD与BCD. AD，BD与BC2. 若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( B )A. 5B. 7C. 5或7D. 63.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )A.44°B. 60°C. 67°D. 77°4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（D）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5.如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（C）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（D）同步练习A.27B.18C.183D.937.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3:4:5；(3)三边之比为5:12:13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为( D )A．50°B．130°C．55°或130°D．50°或130°10.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（C）A.0B.1C.2D.311.如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( A )A. 10cmB. 8cmC. 12cmD. 20cm12.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ C ）A.AE=EFB.E是AC的中点C.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等二、填空题24 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是52.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝33.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10 米．4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为115．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠2，则△ABC的边BC的长为AGE=30°，若AE=EG=3三、解答题1. 如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连接AP（1）求AB的长度；45（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.16,45（3）过点D做DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，能不能使得DE=CD？若能，请求出此时t的值，若不能请说明理由. 53.如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．等边三角形4.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD 的右侧．．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图（2），当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.∠α+∠β=180②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．α=β。

浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形

浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形一、教学内容本节课复习浙教版数学八上课件第二章特殊三角形部分。

详细内容包括：1. 等腰三角形的性质与判定；2. 等边三角形的性质与判定；3. 直角三角形的性质与判定；4. 三角形的面积计算；5. 三角形全等的判定。

二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定；2. 学会运用三角形的面积计算方法解决实际问题；3. 掌握三角形全等的判定方法，并能够运用其解决实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：三角形全等的判定方法。

教学重点：等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定；三角形的面积计算。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件；2. 学具：三角板、直尺、量角器、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：以一个等腰三角形为背景，提出问题：如何判断一个三角形是等腰三角形？引导学生回顾等腰三角形的性质与判定。

2. 例题讲解：（1）等腰三角形的性质与判定；（2）等边三角形的性质与判定；（3）直角三角形的性质与判定；（4）三角形的面积计算；（5）三角形全等的判定。

3. 随堂练习：设计相关练习题，让学生巩固所学知识。

4. 小结：六、板书设计1. 第二章特殊三角形复习2. 内容：（1）等腰三角形的性质与判定；（2）等边三角形的性质与判定；（3）直角三角形的性质与判定；（4）三角形的面积计算；（5）三角形全等的判定。

七、作业设计1. 作业题目：A. ABC，AB=AC；B. DEF，DE=DF；C. GHI，GH=GI；A. 等边三角形，边长为3cm；B. 等腰直角三角形，直角边长为4cm；C. 一般三角形，底为6cm，高为4cm；（3）已知在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，求∠ABC的度数。

2. 答案：（1）A、B为等腰三角形；（2）A. 面积为3.9cm²；B. 面积为8cm²；C. 面积为12cm²；（3）∠ABC=70°。

【单元复习】第2章特殊三角形(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(解析版)

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（浙教版）【单元复习】第2章特殊三角形（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第2章特殊三角形一、图形的轴对称轴对称图形定义：一个沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合图形。

对称轴：定义、位置的确定、条数、对称点、作图、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段图形的轴对称、定义、性质：成轴对称的两个图形是全等图形。

二、等腰三角形1．等腰三角形的性质：边——等腰三角形两腰相等；角——等腰三角形两底角相等(即在同一个三角形中，等边对等角)；线——等腰三角形三线合一，这三线是指顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线，也就是说一条线段充当三种身份；是常添的辅助线等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有1条或3条。

2．等腰三角形的判定：边——有两条边相等的三角形是等腰三角形；（注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？）角——有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）。

3．等边三角形的性质：等边三角形各条边相等，各内角相等，且都等于60；三线合一在每边上都成立。

等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。

4．等边三角形的判定：边——有三条边相等的三角形是等边三角形；角——有三个角都是60的三角形是等边三角形；有两个角都是60的三角形是等边三角形；边角——有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1．直角三角形的性质：角——直角三角形两锐角互余；边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；边——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。

a+b=c30°角所对的直角边等于斜边的一半。

2．直角三角形的判定：角——有一个角是直角的三角形是直角三角形；角——有两个角互余的三角形是直角三角形；边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。

第二章特殊三角形复习

第二章特殊三角形复习三角形是初中数学中的重要内容，而特殊三角形更是其中的重点和难点。

在这一章的学习中，我们接触到了等腰三角形、等边三角形和直角三角形等特殊的三角形类型，它们各自具有独特的性质和判定方法。

接下来，让我们一起对这些知识进行系统的复习。

一、等腰三角形等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

1、性质（1）等腰三角形的两腰相等。

（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。

（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

2、判定（1）如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等（简写成“等角对等边”）。

（2）如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

例如，在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，如果已知角 B ＝ 70°，那么根据“等边对等角”，角 C 也是 70°，顶角 A 的度数就是 180° 70° 70°＝ 40°。

二、等边三角形等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，且每个角都是 60°。

1、性质（1）等边三角形的三条边相等。

（2）等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60°。

（3）等边三角形具有等腰三角形的一切性质。

2、判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

在解决等边三角形相关问题时，要充分利用其角和边的特点。

比如，已知一个等边三角形的边长为 5 厘米，那么它的周长就是 5×3 ＝ 15 厘米。

三、直角三角形直角三角形是指其中一个角为直角（90°）的三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

期中复习--特殊三角形

A
E
D
C F 思路：找出不变量，分析问题的数量关系，通过已知和未知的联系，建构方程，最后解出方程
B
试一试
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 厘米，BC＝8厘米，现将直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为多少?
练一练
1、若a,b,c为△ABC的三边，且(a-b)(a2+b2-c2)=0,则 △ABC是等腰或直角或等腰直角三角形？
第二章特殊三角形复习
热身练习
1、（1）在三角形ABC中，AB=AC, ∠A＝50°，则
∠B＝
65 °
， ∠C＝ 65 ° 。
变式1：在三角形ABC中，AB=AC, ∠B=50°，则∠
A=
80 °，
∠C=
50° 。
变式2：已知等腰三角形一个内角为50°，求另两个
角度数。
（2）等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则
D C
A
E
B
6、如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中点，
F是CD的中点，则EF⊥CD，请说明理由。
G
D
F
C
A E
B
7、如图，AC与BD相交于点O，已知AD ⊥ BD，
BC ⊥AC,AC=BD,则OA=OB请说明理由。
C O A
D
B
等腰直角三角形
性质
两锐角互余，边考虑: 直角三角形斜边上的中线等且都为45度；于斜边的一半；两直角边相等，直角三角形两直角边的平方且三边之比为：和等于斜边的平方. 1 :1 : 2 （勾股定理）
角考虑:
判定方法
有一角为直角（或90°）的三角形是直角三角形；

第二章特殊三角形的有关知识(知识整理)

FEDCBAFEDCBA第二章特殊三角形的有关知识一、等腰三角形1.性质（两腰相等；两底角相等；三线合一；轴对称图形；两腰上的高线相等；两底角的角平线相等；底边上任意一点到两腰的距离是一个定值）例题1. 等腰三角形的一个外角等于110°,它的三个内角应该为．例题2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o ，则顶角的度数为（）例题3.在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，则底边上的高AD = ．例题4.在等腰△ABC 中，AD 是底边上的高，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DF ⊥AC ，垂足为点F ，若AE =3.2则AF = .2.判定（同一个三角形中，等角对等边；三线合一逆命题）例题5．已知AB ＝AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．例题6.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90o ，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交AC 于D ，过C 作BD 垂线交BD 的延长线于E ，交BA 的延长线于F ，求证：BD ＝2CE ．二、直角三角形1.性质（勾股定理、两锐角互余、斜边上的中线、30度所对的直角边是斜边的一半；斜边上的高线）例题7.在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA =80°，则∠A = ．例题8.在锐角△ABC 中，BE 、CF 是高，点M 、N 分别是BC 、EF 的中点，试判断MN 与EF 有何关系并加以说明。

（10分）C2.直角三角形全等（HL ）例题9.如图，已知∠B =∠D =90°,AC =EF ,BF =CD ，AC 与EF 相交于点G ，则FG =CG ．3.直角三角形的边角计算例题9.有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，090ADC ∠=，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积。

（6分）例题10.已知直角三角形的一直角边长是4直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形之和是10形）面积之和的是（）(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 例题11.如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ， AC =C ，A ，B 依次在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 2，l 3之间的距离为7 ，那么 l 1，l 2之间的距离为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2三、角平线及中垂线 1.中垂线定理及逆定理 2.角平线定理及逆定理例题12..如图，△ABC 中，∠C=Rt ∠，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=7.8cm ，D 到AB 的距离为 cm. 四、认识特殊的三角形（等边三角形、等腰直角三角形）例题13．等边三角形的边长为a ，它的面积．例题14.．如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且AD=CE ，BE 和CD 相交于点P 。

第二章特殊三角形复习

第二章特殊三角形复习三角形是初中数学中的重要内容，而特殊三角形更是具有独特的性质和应用。

在这一章中，我们主要学习了等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

接下来，让我们对这些特殊三角形进行一次全面的复习。

等腰三角形，顾名思义，至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个等腰三角形的腰，另一边则被称为底边。

两腰所夹的角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。

等腰三角形的性质非常重要，其中最关键的一点就是“等边对等角”，也就是说等腰三角形的两底角相等。

另外，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这被称为“三线合一”。

在解决与等腰三角形相关的问题时，经常需要利用这些性质进行推理和计算。

比如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，那么根据“三角形内角和为 180 度”以及“两底角相等”的性质，就可以轻松算出底角的度数为 50 度。

再来说说等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个角也都相等，且每个角都是 60 度。

等边三角形具有非常高的对称性，其稳定性在实际生活中有广泛的应用，比如一些建筑结构中就会采用等边三角形的元素来增加稳定性。

直角三角形是另一种特殊的三角形，它有一个角是直角。

直角三角形的性质也很多，其中最重要的就是勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么就有 a²＋ b²＝ c²。

除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的三角函数值。

比如，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。

以一个锐角为 A 的直角三角形为例，sin A ＝对边/斜边，cos A ＝邻边/斜边，tan A ＝对边/邻边。

这些三角函数值在解决与直角三角形相关的角度和边长问题时非常有用。

在实际解题中，我们常常需要综合运用特殊三角形的各种性质和定理。

比如，给出一个等腰直角三角形，已知斜边的长度，要求出两条直角边的长度。

特殊三角形复习课件

顶角和底角相等
如果一个三角形的顶角和底角相等，则它是等边三角形。
直角三角形的判定方法
总结词
一个角为90度
直角三角形是一个角为90度的三角形，可以通过以下方法进行判定
如果一个三角形有一个角为90度，则它是直角三角形。
两边的平方和等于第三边的平方
斜边的中线等于斜边的一半
如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则它是直角三角形。
适用范围
适用于所有等腰三角形，无论其是否为直角三角形或等边三角形。
等边三角形的面积计算
等边三角形的面积计算公式是边长的平方乘以高然后除以4。
输入标题
详细描述
等边三角形是三边相等的三角形，其面积可以通过边长和相应的高来计算。边长是等边三角形的一条边，高是从顶点垂直到底边的线段。
总结词
公式
适用于所有等边三角形，无论其是否为直角三角形或等腰三角形。
两个底角也相等。
性质
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即
高所在的直线。
判定
可以通过两边相等来判定一个三角形为等腰三
角形。
等边三角形
01
02
03
04
总结词
三边相等，三角相等
详细描述
等边三角形是三边长度都相等的三角形，对应的三个角也都
相等。
性质
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，即三条边的垂直
适用于所有直角三角形，无论其是否为等腰三角形或等
边三角形。
05
特殊三角形在实际生活中的应用
等腰三角形在建筑中的应用
等腰三角形因其两边长度相等的特性，在建筑设计中常被用于构造对称和稳定的结构。例如，桥梁的斜拉索、建筑的屋顶和装饰线条等。

第2章特殊三角形(2.5-2.8)复习浙教版数学八年级上册课件

(2)若AB=20cm，AC=16cm，则BC=_1_2__c_m_，CD=_9_._6_c_m__.
直角三角形的性质：
1.直角三角形两锐角互余
2.直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方（勾股定理）
A
你能将这个直角三角形裁剪成两个等腰三角形吗？
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
D
取裁剪下的等腰△BCD,在线段BC上取一点F，
过点F作FG⊥CD，FH⊥BD，垂足分别为G、H，
若FG＝FH，则DF与BC的位置关系是_D_F_⊥__B_C_ .
将两个全等的直角三角形按如图所示叠放，AD与BC交于点E.
直角三角形的性质直角三角形的判定直角三角形全等的判定
C
D
EE
(1)你能发现或提出一些数学问题吗？
已知△ABC，请你添加一个条件，使它成为直角三角形。
A
A
C
B
C
B
A
16
你能将这个直角三角形裁剪成两个直角三角形吗？
直角三角形的性质： 1.直角三角形两锐角互余
2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
D 20
12
B
C
在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边上的高线.
(1)若∠B=40°,则∠BCD=_5_0_°;
C
B
在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线.
若CD=10cm，则AB= 20cm；
A
DGHC源自F直角三角形的性质： 1.直角三角形两锐角互余； 2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

第二章 特殊三角形复习

初中二年级数学上册第2章 特殊三角形单元复习

第2章特殊三角形复习PPT教学课件

浙教版八上数学期末复习-第二章 特殊三角形

第二章特殊三角形期末复习

浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件

第2章特殊三角形复习

数学(浙教版)第二章 特殊三角形 总复习 知识点+典型例题+同步练习(答案版)

浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形

【单元复习】第2章 特殊三角形(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(解析版)

第二章特殊三角形复习

期中复习--特殊三角形

第二章特殊三角形的有关知识(知识整理)

第二章特殊三角形复习

特殊三角形复习课件

第2章 特殊三角形(2.5-2.8)复习 浙教版数学八年级上册课件

第二章特殊三角形复习

初中二年级数学上册第2章特殊三角形单元复习

浙教版八上数学期末复习-第二章特殊三角形

数学(浙教版)第二章特殊三角形总复习知识点+典型例题+同步练习(答案版)

【单元复习】第2章特殊三角形(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(解析版)

第2章特殊三角形(2.5-2.8)复习浙教版数学八年级上册课件