江苏省南京市某高级中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试卷

2017-2018学年度第一学期第一次月考高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 若{}1,0A =-，{}2,1,0=B ，则A B = ▲ ．答案：{}1,0,1,2-2． 函数ln(2)4y x x =--的定义域为 ▲ ． 答案：{}24x x <≤3． 满足{}4,3{}5,4,3,2⊆⊆A 的集合A 的个数为 ▲ ． 答案：44． 若幂函数)(x f y =的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛9,31，则=)2(f ▲ ．答案：415． 已知函数f (x )＝x 4－ax 3－1是偶函数，则实数a ＝ ▲ ． 答案：06. 函数f (x )=1+log a (x -1)的图象通过的定点是 . 【答案】(2,1)【解析】 由对数函数过定点(1,0)，可以得出图象过定点(2,1)7． 若9.0log 3=a ，8.08.0=b ，9.08.0=c ，则c b a ,,的大小关系为 ▲ ．（用“<”连接） 答案：b c a <<8． 已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出，那么f (g (3))＝ ▲ ．x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f (x )2341g (x )3412答案：29．已知函数53()5f x ax bx cx =+++，且(3)3f -=，则(3)f = ． 【答案】7【解析】(3)(3)10f f -+=10．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3,则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．［答案］ －12,－13［解析］ 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12,－13.11． 已知集合{}0122=+-=x ax x A ，若A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 答案：0=a 或1≥a12．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为 。

【答案】（0，21） 【解析】因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜2113．若函数431)(2+⎪⎭⎫⎝⎛+-=xx x f 的零点()0,1,x k k k Z ∈+∈，则所有满足条件的实数k 的和为 ▲ ． 答案：1-14．已知函数)0(1)(>+=m x mxx f ，且0)2()3(2<+--a f a f ，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 答案：231<<-a二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分14分)计算：（1）()122230133220083482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）21log 32.5log 6.25lg0.001ln 2-++++ 解析（1）原式=344112992--+=…………7分（2）原式=11233122-++⨯=…………14分16．(本题满分14分)已知集合{}2450A x x x =--≤，{}260B x x =-≥，M A B =． （1）求集合M ；（2）已知集合{}17C x a x a a =--∈R ≤≤，，若M C M =，求实数a 的取值范围．解：（1）因为集合{}2450A x x x =--≤，所以15x -≤≤， …………………………2分又因为{}260B x x =-≥，所以3x ≥， ……………………………………………4分所以[]35M =，．………………………………………………………………………6分 （2）因为MC M =，所以M C ⊆，…………………………………………………8分则137517a a a a -⎧⎪-⎨⎪--⎩≤，≥，≤， ……………………………………………………………………12分 所以2a ≤． …………………………………………………………………………14分 17．(本题满分14分)已知二次函数)(x f 满足34)()1(+=-+x x f x f ()R ∈x ，且()10=f ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数[]4,2),log 1(2∈-=x x f y 的值域． 解析：（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f 由()10=f 知：1=c则()()11)1(1)()1(22++-++++=-+bx ax x b x a x f x f b a ax ++=234+=x从而：3,42=+=b a a ，所以，1,2==b a ，所以 12)(2++=x x x f ………6分（2）)log 1(2x f -=()4log 5)(log 21log 1log 12222222+-=+-+-x x x x8745log 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ，…………8分令x t 2log =，因为[]4,2∈x ，所以[]2,1∈t …………10分则原函数可化为：874522-⎪⎭⎫⎝⎛-=t y ，[]2,1∈t因为对称轴为45=t ， 所以当45=t 时，87min -=y ；当2=t 时，41max =y …………12分 因此，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,87 …………14分18．(本题满分15分)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，12)(-=x x f ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)1(-m f 4<，求实数m 的取值范围． 解析：（1）设0<x ，则0>-x因为函数)(x f 是偶函数，所以()()12--=-=x x f x f …………4分 ⎩⎨⎧<≥=∴---0,20,2)(11x x x f x x ；…………7分（2）当01≥-m 时，即1≥m 时，42)1(2<=--m m f ，从而4<m ，所以 41<≤m ；当01<-m 时，即1<m 时，()42211)1(<==-----m m m f ，从而2->m ，所以 12<<-m综上：实数m 的取值范围为：42<<-m…………16分19．(本题满分16分)设函数xx a x f 3123)(+-⋅=是实数集R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）判断函数)(x f 在R 上的单调性，并证明之；（3）若函数f (x )的定义域为(－1，1)，求满足不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解析：（1）因为)(x f y =是R 上的奇函数，所以0)0(=f ，解得2=a ，………2分 从而()13132)(+-=x x x f ，()())(3131213132)(x f x f xxx x -=+-=+-=---所以，当2=a 时，函数)(x f y =是奇函数．………4分（2）由（1）知：()13132)(+-=x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=13212x 1342+-=x判断函数)(x f y =是R 上的单调递增函数…………6分证明：任取R ,21∈x x ，且21x x < 则)1342()1342()()(2121+--+-=-x x x f x f ()()()()131313134134134212112+++-+=+-+=x x x x x x =()()()13133342121++-x x x x…………8分因为当R ,21∈x x 时，03,0321>>x x ，所以()()0131321>++x x又因为21x x <，所以2133x x <，所以03321<-x x ，从而()()()013133342121<++-x xx x 所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f < 所以，函数)(x f y =是R 上的单调递增函数；…………10分（3）由（1）（2）可知：)(x f y =是R 上的单调递增函数，且为奇函数， 所以函数y ＝f (x )是(－1，1)上的单调递增函数，且为奇函数，原不等式可化为：f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， …………12分 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜1－m 2＜1，1－m ＜m 2－1，…………14分即1＜m ＜ 2.所以实数m 的取值范围为(1，2)． …………16分20． (本题满分16分)已知函数2()21g x ax ax =-- )0(≠a 的值域为[)2,-+∞，设函数()()2g x f x x=+．（1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）若对于任意x ∈R ，都有f (2x2＋k x )＋f (21－x )＞0成立，求实数k 的取值范围；（3）令)3124()12()(--⋅+-=x x t f x h －2，当124t <<时，求函数()h x 的零点个数．解：（1）因为2()21g x ax ax =--的值域为[)2,-+∞，所以，由题意得：012a a >⎧⎨--=-⎩所以1=a ，所以2()21g x x x =--，1()f x x x=-f (x )的定义域为{},0x x R x ∈≠，f (－x )＝－x ＋1x ＝－(x －1x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数 …………4分（2）不等式f (2x2＋k x )＋f (21－x )＞0，即22111122022x kxx x x kx+--+-+->， 所以对于任意x ∈R ，都有2211112222xkxx x x kx+--+->-成立， 设1()22x x F x =-，则F (x )在R 上是单调增函数，所以有x 2＋k x ＞x －1，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋(k －1)x ＋1＞0成立， 所以△＝(k －1)2－4＜0，即－1＜k ＜3． 故实数k 的取值范围为(－1，3)．…………8分 （3）令0)3124()12()(=--⋅+-=xx t f x h ，即14213202121x xx t t --+--=--． 令012>-=x u ，则 2(32)(41)0u t u t -++-= )(* …………10分记2()(32)(41)u u t u t φ=-++-， 因为124t <<，所以对称轴3212t x +=> 因为(0)410(1)20t t φφ=->⎧⎨=-<⎩所以方程)(*的根为1u 、2u ，有2110u u ≤<<， 因为12-=x u ，所以原方程有三个相异实根，即当124t <<时，函数()h x 有三个零点．…………16分。